CN112009729B - 一种空间机器人球形外包络抓捕方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种空间机器人球形外包络抓捕方法，包括设计空间机器人球形外包络抓捕目标的抓捕方式；建立坐标系，对模型进行受力分析；建立目标与球形外包络之间的接触力模型；利用Kane方程建立空间机器人和目标的动力学模型。通过本发明的技术方案，使目标在机械臂抓捕前处于球形外包络中，不易逃离，且通过与包络的接触降低目标相对平台的相对运动，便于完成机械臂抓捕操作。

Description

一种空间机器人球形外包络抓捕方法

技术领域

本发明属于航天器在轨服务与空间碎片清除技术领域，尤其涉及一种空间机器人球形外包络抓捕方法。

背景技术

随着近地轨道航天应用的逐渐发展，针对在轨运行航天器的在轨服务任务和针对空间碎片的碎片清除任务越来越受到国内外研究人员的重视。一方面，为增加航天器使用寿命，降低使用成本，多个航天机构利用单臂空间机器人完成了燃料加注、模块更换等在轨服务任务及相关实验，如日本的工程试验卫星7、美国的轨道快车以及机器人注燃任务等。另一方面，目前因发生失败、功能失效甚至机身爆炸产生的空间碎片严重影响到太空环境的安全，利用空间机器人清除空间碎片一直是碎片清除任务中的热点和难点问题，如德国的DEOS任务和美国的凤凰计划等。因此空间机器人在在轨服务任务与空间碎片清除任务中均有着广阔的应用前景，利用空间机器人完成对合作/非合作目标的抓捕是目前被广泛认可的可行性方案。

为实现空间机器人对目标的抓捕，国内外许多学者开展了大量研究，然而采用空间机械臂抓捕一直存在很大的缺陷，即机械臂的跟踪能力有限，对具有较大角速度的翻滚目标难以直接捕获，且目标逃离的风险比较大。有学者提出在空间机械臂的末端安装毛刷型末端作用器，通过其与目标表面的接触降低目标的角速度，逐渐使其进入机械臂的抓捕能力之内，但是因毛刷质量小，变形复杂，其接触力建模困难，且依然存在目标逃离的风险。

综上所述，要实现空间机械臂对目标的刚性连接抓捕，需要事先对具有较大角速度的翻滚目标进行适当地消旋，使翻滚目标逐渐进入慢旋状态，在机械臂的抓捕能力范围之内，且需要考虑在对目标消旋过程中笼住目标，以免将目标推离追踪航天器，继而产生不必要的相对轨道控制问题。在笼住目标的过程中，需要进行恰当的碰撞接触力建模。

基于以上情况，设计一种在抓捕前笼住目标，防止目标逃离，且能够降低目标相对航天器平台的相对运动的抓捕方法显得尤为重要。

发明内容

本发明提出一种空间机器人球形外包络抓捕方法，并给出球形外包络抓捕中接触力的建模方法，使目标在机械臂抓捕前处于球形外包络中，不易逃离，且通过与包络的接触降低目标相对航天器平台的相对运动，便于完成机械臂抓捕操作。本发明的具体技术方案如下：

一种空间机器人球形外包络抓捕方法，其特征在于，所述方法适用于空间机器人球形外包络抓捕系统，所述抓捕系统包括航天器平台、机械臂、球形外包络和轻质杆，轻质杆一端固连于航天器平台上，球形外包络与航天器平台通过轻质杆连接，目标与球形外包络碰撞接触，轻质杆能够传递目标对球形外包络的反作用力或力矩；

将航天器平台、球形外包络和轻质杆看成一个整体，忽略球形外包络与轻质杆的质量，将目标看成一个六自由度单刚体；

具体地，所述抓捕方法包括以下步骤：

S1：建立坐标系，对空间机器人与目标进行受力分析；

S1-1：设机械臂有n个臂杆，臂杆之间通过旋转关节连接，将空间机器人和目标均视为刚体，建立体坐标系、安装系、关节参考系和抓捕系，其中，

体坐标系包括航天器平台的本体坐标系F_b、目标体坐标系F_t、球形外包络体坐标系F_env和臂杆体坐标系F_j，其中，j为臂杆的编号，j＝1,2,…,n，F_b固连于航天器平台质心，F_t固连于目标体质心，F_env固连于球形外包络的球心，F_j固连于机械臂中第j个臂杆上，其原点位于连接第j个臂杆与第j-1个臂杆的旋转关节上；

安装系包括臂安装系F_w和包络安装系

F_w位于机械臂与航天器平台的铰接点处，固连于航天器平台上，

位于轻质杆与航天器平台的连接点处，固连在航天器平台上；

建立关节参考系

其中，j为臂杆的编号，j＝1,2,…,n，

固连于第j-1个臂杆上，其原点位于连接第j个臂杆与第j-1个臂杆的旋转关节上，与F_j有一个平行于转轴Γ_j的同名轴，将由

沿转轴正向转到F_j的角定义为q_j，在机械臂的末端即第n个臂杆上，固连末端作用器系F_h，F_h在意义上与关节参考系相同；

抓捕系

位于机械臂与目标的抓捕点处，固连于目标上，当机械臂完成抓捕时F_h与F_h*重合；

S1-2：受力分析；

航天器平台受到外力

外力矩

以及目标对球形外包络的接触反作用力

其中，i为接触点编号，i＝1,2,…,n_env，n_env为目标与球形外包络的接触点个数；机械臂受到关节控制力矩

j为臂杆的编号，j＝1,2,…,n，臂末端与目标的接触力

和接触力矩

目标受到球形外包络的接触力

i为接触点编号，i＝1,2,…,n_env，臂末端接触的反作用力

和反作用力矩

S2：建立目标与球形外包络之间的接触力模型；

设目标与球形外包络接触点的个数为n_env，n_env为整数，n_env∈[0,8]，目标上与球形外包络的第i个接触点为p_i，其中，i为接触点编号，i＝1,2,…,n_env，对应在球形外包络上的接触点为

i＝1,2,…,n_env，考虑摩擦，目标所受球形外包络的约束力包括法向碰撞力和切向摩擦力，由于目标与球形外包络接触的时间和接触点的位置与个数均不确定，则需要给出碰撞接触条件；

设航天器平台相对惯性系的位置为^ep^b、姿态角为^eΦ^b、线速度为^ev^b、角速度为^eω^b、坐标转换矩阵为^eR^b，给定球形外包络中心相对航天器平台的位置^bp^env，r_env为给定的球形外包络球半径，则球形外包络中心相对惯性系的位置^ep^env、线速度^ev^env、姿态角^eΦ^env和角速度^eω^env分别为：

其中，[^bp^env]^×中的上标“×”是叉乘反对称阵的符号；

设目标体相对惯性系的位置为^ep^t、姿态角为^eΦ^t、线速度为^ev^t、角速度为^eω^t、坐标转换矩阵为^eR^t，接触点p_i相对目标体质心的位置为

则目标接触点p_i相对球形外包络中心的位置

为：

球形外包络接触点

相对球形外包络中心的位置

为：

设目标接触点p_i处的总接触力为

则目标接触点p_i处的接触开关条件为：

其次，计算目标接触点p_i点与球形外包络接触点

点之间的相对运动状态，p_i点相对惯性系的位置

和速度

为：

点相对惯性系的位置

和速度

为：

p_i点相对

点的位置

和速度

为：

碰撞法线的单位矢阵l_n为：

相对运动变量

与

的法向分量为：

切向单位矢阵l_t为：

采用弹簧阻尼模型计算接触点p_i的法向正压力为：

其中，k和c分别为弹性系数和刚度系数；

根据库伦摩擦模型，摩擦力大小与正压力成正比，则采用库伦摩擦模型，摩擦系数为μ，计算p_i点的切向摩擦力

则目标在p_i点处所受的总接触力为：

目标受到的总球形外包络接触力由各碰撞点处的接触力并列组成，即：

R为实值矩阵，相应地

为3n_env×1维的实值矩阵；

S3：利用Kane方程建立空间机器人和目标的动力学模型；

S4：根据步骤S2和步骤S3建立的接触力模型与空间机器人和目标的动力学模型，即可使空间机器人对目标实施抓捕。

本发明的有益效果在于：

1.本发明的抓捕方法先将翻滚目标几何约束在球形外包络中，然后实施抓捕，可以有效防止在空间机器人抓捕过程中目标逃跑；

2.本发明的抓捕方法利用目标与球形包络中的碰撞摩擦，降低目标相对航天器平台的相对运动，为空间机器人安全有效的抓捕打下基础；

3.本发明的抓捕方法给出了目标与包络之间是否碰撞的判断条件，综合考虑了接触点处法向正压力和切向摩擦力的影响，建立了接触力模型，并通过数值仿真验证了其有效性。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，通过参考附图会更加清楚的理解本发明的特征和优点，附图是示意性的而不应理解为对本发明进行任何限制，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，可以根据这些附图获得其他的附图。其中：

图1是本发明方法的流程框图；

图2是空间机器人球形外包络抓捕方法示意图；

图3(a)是坐标系示意图；

图3(b)是组合体受力分析图；

图4(a)是目标、外包络与接触点的相对位置关系；

图4(b)是接触点约束力；

图5是目标总包络接触力计算流程图；

图6(a)、图6(b)、图6(c)和图6(d)是空间机器人捕获目标运动过程；

图7是抓捕点在末端坐标系中的位置；

图8是抓捕点在末端坐标系中的姿态；

图9是机械臂实际关节角速度；

图10是机械臂关节力矩；

图11是机械臂末端受力；

图12是机械臂末端受力矩；

图13是目标速度；

图14是目标角速度；

图15是目标所受包络接触力；

图16是目标所受包络接触力矩；

图17是能量时间曲线。

附图标号说明：

1-航天器平台；2-机械臂；3-球形外包络；4-轻质杆；5-末端作用器；6-目标。

具体实施方式

为了能够更清楚地理解本发明的上述目的、特征和优点，下面结合附图和具体实施方式对本发明进行进一步的详细描述。需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明的实施例及实施例中的特征可以相互组合。

在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是，本发明还可以采用其他不同于在此描述的其他方式来实施，因此，本发明的保护范围并不受下面公开的具体实施例的限制。

一种空间机器人球形外包络抓捕方法，方法适用于空间机器人球形外包络抓捕系统，具体如图2所示，抓捕系统包括航天器平台1、机械臂2、球形外包络3和轻质杆4，轻质杆4一端固连于航天器平台1上，球形外包络3与航天器平台1通过轻质杆4连接，目标6与球形外包络3碰撞接触，轻质杆4能够传递目标6对球形外包络3的反作用力或力矩；

将航天器平台1、球形外包络3和轻质杆4看成一个整体，忽略球形外包络3与轻质杆4的质量，将目标6看成一个六自由度单刚体；

抓捕前，将目标6几何约束在球形外包络3范围内，当目标6角速度和平动速度降低至机械臂2能够抓捕的范围内时，通过末端作用器5控制机械臂2对目标6实施抓捕；

在抓捕前利用球形外包络3，将目标6体几何约束在包络的范围内，可以防止目标逃离；另一方面，考虑摩擦因素的影响，处于球形外包络3中的目标6体在翻滚时会与包络球表面发生碰撞，产生的切向摩擦力会降低目标体的相对运动。

如图1所示为本发明方法的流程框图，具体地，抓捕方法包括以下步骤：

S1：建立坐标系，对空间机器人与目标进行受力分析；

S1-1：设机械臂有n个臂杆，臂杆之间通过旋转关节连接，将空间机器人和目标均视为刚体，建立体坐标系、安装系、关节参考系和抓捕系，如图3(a)所示，其中，

体坐标系包括航天器平台的本体坐标系F_b、目标体坐标系F_t、球形外包络体坐标系F_env和臂杆体坐标系F_j，其中，j为臂杆的编号，j＝1,2,…,n，F_b固连于航天器平台质心，F_t固连于目标体质心，F_env固连于球形外包络的球心，F_j固连于机械臂中第j个臂杆上，其原点位于连接第j个臂杆与第j-1个臂杆的关节上；

安装系包括臂安装系F_w和包络安装系

F_w位于机械臂与航天器平台的铰接点处，固连于航天器平台上，

位于轻质杆与航天器平台的连接点处，固连在航天器平台上；

建立关节参考系

其中，j为臂杆的编号，j＝1,2,…,n，

固连于第j-1个臂杆上，其原点位于连接第j个臂杆与第j-1个臂杆的旋转关节上，与F_j有一个平行于转轴Γ_j的同名轴，将由

沿转轴正向转到F_j的角定义为q_j，在机械臂的末端即第n个臂杆上，固连末端作用器系F_h，F_h在意义上与关节参考系相同；

抓捕系

位于机械臂与目标的抓捕点处，固连于目标上，当机械臂完成抓捕时F_h与

重合；

S1-2：受力分析，如图3(b)所示；

航天器平台受到外力

外力矩

以及目标对球形外包络的接触反作用力

其中，i为接触点编号，i＝1,2,…,n_env，n_env为目标与球形外包络的接触点个数；机械臂受到关节控制力矩

j为臂杆的编号，j＝1,2,…,n,臂末端与目标的接触力

和接触力矩

目标受到球形外包络的接触力

i为接触点编号，i＝1,2,…,n_env，臂末端接触的反作用力

和反作用力矩

S2：建立目标与球形外包络之间的接触力模型；

设目标与球形外包络接触点的个数为n_env，n_env为整数，n_env∈[0,8]，目标上与球形外包络的第i个接触点为p_i，其中，i为接触点编号，i＝1,2,…,n_env，对应在球形外包络上的接触点为

其中，i为接触点编号，i＝1,2,…,n_env，目标与外包络接触的相对位置关系如图4(a)所示，接触点约束力如4(b)所示，考虑摩擦，目标所受球形外包络的约束力包括法向碰撞力和切向摩擦力，计算流程图如图5所示，由于目标与球形外包络接触的时间和接触点的位置与个数均不确定，则需要给出碰撞接触条件；

设航天器平台相对惯性系的位置为^ep^b、姿态角为^eΦ^b、线速度为^ev^b、角速度为^eω^b、坐标转换矩阵为^eR^b，给定球形外包络中心相对航天器平台的位置^bp^env，r_env为给定的球形外包络球半径，则球形外包络中心相对惯性系的位置^ep^env、线速度^ev^env、姿态角^eΦ^env和角速度^eω^env分别为：

其中，[^bp^env]^×中的上标“×”是叉乘反对称阵的符号；

设目标体相对惯性系的位置为^ep^t、姿态角为^eΦ^t、线速度为^ev^t、角速度为^eω^t、坐标转换矩阵为^eR^t，接触点p_i相对目标体质心的位置为

则目标接触点p_i相对球形外包络中心的位置

为：

球形外包络接触点

相对球形外包络中心的位置

为：

设目标接触点p_i处的总接触力为

则目标接触点p_i处的接触开关条件为：

其次，需要计算目标接触点p_i点与球形外包络接触点

点之间的相对运动状态，p_i点相对惯性系的位置

和速度

为：

点相对惯性系的位置

和速度

为：

p_i点相对

点的位置

和速度

为：

碰撞法线的单位矢阵l_n为：

相对运动变量

与

的法向分量为：

切向单位矢阵l_t为：

采用弹簧阻尼模型计算接触点p_i的法向正压力为：

其中，k和c分别为弹性系数和刚度系数；

根据库伦摩擦模型，摩擦力大小与正压力成正比，则采用库伦摩擦模型，摩擦系数为μ，计算p_i点的切向摩擦力为：

则目标在p_i点处所受的总接触力为：

目标受到的总球形外包络接触力由各碰撞点处的接触力并列组成，即：

R为实值矩阵，相应地

为3n_env×1维的实值矩阵；

S3：利用Kane方程建立空间机器人和目标的动力学模型；

首先对空间机器人建模，选取系统的广义速率为：

其中，

为平台的空间速度，包含平台的线速度v_b和角速度ω_b，空间速度关于时间的一阶导数为

为各臂杆的关节角速度，其关于时间的一阶导数为

则利用Kane方程可以得到空间机器人的动力学方程为：

其中，等式左侧中H_b,H_m分别为平台和机械臂的广义质量阵，H_bm为平台与机械臂的耦合质量阵，与系统的构型有关，

为H_bm的转置矩阵，c_b,c_m分别为平台和机械臂的非线性广义惯性力；等式右侧中

为平台所受的外力/力矩，τ_m＝[τ₁ τ₂ … τ_n]^T为机械臂的各节臂杆所受的关节控制力矩，等式右侧后两项为目标与球形外包络和机械臂末端之间的接触碰撞引起的力/力矩效应，J_b,J_m分别为臂末端与航天器平台和机械臂之间的雅克比矩阵，

为J_b的转置矩阵，

为J_m的转置矩阵，F_h为臂末端受到的目标接触力/力矩，f_env为第三步中目标受到的包络接触力；根据力的平移定理可得空间机器人的动力学方程中的力雅克比矩阵

为：

其中，I₃为3×3的单位阵,

为包络接触点相对平台的位置，即

建立目标单刚体的六自由度动力学模型为：

等式左侧中H_t为目标体的广义质量阵，

为目标的线速度和角速度，c_t为目标的非线性广义惯性力；等式右侧为目标所受到的两种碰撞接触力的影响项,其中

为目标抓捕点与目标之间的力雅克比矩阵,J_env为球形外包络接触点与目标之间的力雅克比矩阵,同样根据力的平移定理可得：

S4：根据步骤S2和步骤S3建立的接触力模型与空间机器人和目标的动力学模型，设计简单的机械臂逆动力学控制即可使空间机器人对目标实施抓捕。

为了方便理解本发明的上述技术方案，以下通过具体实施例对本发明的上述技术方案进行详细说明。

实施例1

以带有球形外包络的单臂空间机器人和自由翻滚目标体为研究对象，对机械臂抓捕目标进行分析，验证本发明方法的有效性。

不考虑球形外包络与轻质杆的质量，空间机器人与目标体均视为刚体，则步骤S1中设计的球形外包络与目标体的几何特性如表1所示，球形外包络的中心相对航天器平台的位置为^bp^env＝[0 0 6.8]^T；步骤S2中空间机器人的机械臂有7个单自由度旋转关节，即有7个臂杆。

表1球形包络与目标几何特性

航天器平台与目标体的质量惯量特性如表2所示。

表2航天器平台与目标质量惯量特性

步骤S2中计算目标与包络之间的接触力模型中的相关量如表3所示。

表3接触力模型相关参数

步骤S4中航天器平台控制不动，目标几何约束在球形外包络中，机械臂选用简单的逆动力学PD控制方法进行抓捕控制，根据空间机器人的动力学方程,所设计的控制律为：

其中，K_P和K_D为控制参数，q_d为规划的关节角的期望轨迹，q为机械臂关节角的实际轨迹,通过上述控制律可以实现使机械臂关节角q跟踪上期望指令q_d，即：q→q_d t→∞。

通过Matlab闭环数值仿真，得到带有球形包络的单臂空间机器人捕获目标的运动过程，如图6所示。目标上的抓捕点相对空间机器人末端坐标系中的位置和姿态如图7和图8所示，相对位置和姿态在15.1s左右收敛到零，即机械臂成功捕获目标。机械臂各臂杆的关节角速度、关节力矩以及机械臂末端受力/力矩如图9-图12所示，数值均在工程应用中可运行的范围之内。目标星的速度、角速度、所受包络的接触力/力矩以及能量响应曲线如图13-图17所示，由图可知，目标始终处于球形包络中，没有逃离，且目标在包络中连续碰撞了三次后被机械臂成功捕获到，在碰撞过程中，目标平动动能减小，虽然转动动能略有增加，但目标的总动能呈下降的趋势，便于机械臂的成功捕获。

综上，本发明的一种空间机器人球形外包络抓捕目标的方法，即先将翻滚目标几何约束在球形外包络中，然后再实施抓捕。通过该方法既可以有效防止目标在空间机器人抓捕过程中逃离，又可以降低目标相对航天器平台的相对运动，为空间机器人安全有效的抓捕打下基础，具有良好的工程应用价值。

在本发明中，除非另有明确的规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”、“固定”等术语应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或成一体；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通或两个元件的相互作用关系。对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

在本发明中，除非另有明确的规定和限定，第一特征在第二特征之“上”或之“下”可以包括第一和第二特征直接接触，也可以包括第一和第二特征不是直接接触而是通过它们之间的另外的特征接触。而且，第一特征在第二特征“之上”、“上方”和“上面”包括第一特征在第二特征正上方和斜上方，或仅仅表示第一特征水平高度高于第二特征。第一特征在第二特征“之下”、“下方”和“下面”包括第一特征在第二特征正下方和斜下方，或仅仅表示第一特征水平高度小于第二特征。

在本发明中，术语“第一”、“第二”、“第三”、“第四”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性。术语“多个”指两个或两个以上，除非另有明确的限定。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种空间机器人球形外包络抓捕方法，其特征在于，所述方法适用于空间机器人球形外包络抓捕系统，所述抓捕系统包括航天器平台、机械臂、球形外包络和轻质杆，轻质杆一端固连于航天器平台上，球形外包络与航天器平台通过轻质杆连接，目标与球形外包络碰撞接触，轻质杆能够传递目标对球形外包络的反作用力或力矩；

将航天器平台、球形外包络和轻质杆看成一个整体，忽略球形外包络与轻质杆的质量，将目标看成一个六自由度单刚体；

具体地，所述抓捕方法包括以下步骤：

S1：建立坐标系，对空间机器人与目标进行受力分析；

S1-1：设机械臂有n个臂杆，臂杆之间通过旋转关节连接，将空间机器人和目标均视为刚体，建立体坐标系、安装系、关节参考系和抓捕系，其中，

体坐标系包括航天器平台的本体坐标系F_b、目标体坐标系F_t、球形外包络体坐标系F_env和臂杆体坐标系F_j，其中，j为臂杆的编号，j＝1,2,…,n,F_b固连于航天器平台质心，F_t固连于目标体质心，F_env固连于球形外包络的球心，F_j固连于机械臂中第j个臂杆上，其原点位于连接第j个臂杆与第j-1个臂杆的旋转关节上；

安装系包括臂安装系F_w和包络安装系

F_w位于机械臂与航天器平台的铰接点处，固连于航天器平台上，

位于轻质杆与航天器平台的连接点处，固连在航天器平台上；

建立关节参考系

其中，j为臂杆的编号，j＝1,2,…,n,

固连于第j-1个臂杆上，其原点位于连接第j个臂杆与第j-1个臂杆的旋转关节上，与F_j有一个平行于转轴Γ_j的同名轴，将由

沿转轴正向转到F_j的角定义为q_j，在机械臂的末端即第n个臂杆上，固连末端作用器系F_h，F_h在意义上与关节参考系相同；

抓捕系

位于机械臂与目标的抓捕点处，固连于目标上，当机械臂完成抓捕时F_h与

重合；

S1-2：受力分析；

航天器平台受到外力

外力矩

以及目标对球形外包络的接触反作用力

其中，i为接触点编号，i＝1,2,…,n_env，n_env为目标与球形外包络的接触点个数；机械臂受到关节控制力矩

j为臂杆的编号，j＝1,2,…,n,臂末端与目标的接触力

和接触力矩

目标受到球形外包络的接触力

i为接触点编号，i＝1,2,…,n_env，臂末端接触的反作用力

和反作用力矩

S2：建立目标与球形外包络之间的接触力模型；

设目标与球形外包络接触点的个数为n_env，n_env为整数，n_env∈[0,8]，目标上与球形外包络的第i个接触点为p_i，其中，i为接触点编号，i＝1,2,…,n_env，对应在球形外包络上的接触点为

考虑摩擦，目标所受球形外包络的约束力包括法向碰撞力和切向摩擦力，由于目标与球形外包络接触的时间和接触点的位置与个数均不确定，则需要给出碰撞接触条件；

设航天器平台相对惯性系的位置为^ep^b、姿态角为^eΦ^b、线速度为^ev^b、角速度为^eω^b、坐标转换矩阵为^eR^b，给定球形外包络中心相对航天器平台的位置^bp^env，r_env为给定的球形外包络球半径，则球形外包络中心相对惯性系的位置^ep^env、线速度^ev^env、姿态角^eΦ^env和角速度^eω^env分别为：

其中，[^bp^env]^×中的上标“×”是叉乘反对称阵的符号；

设目标体相对惯性系的位置为^ep^t、姿态角为^eΦ^t、线速度为^ev^t、角速度为^eω^t、坐标转换矩阵为^eR^t，接触点p_i相对目标体质心的位置为

则目标接触点p_i相对球形外包络中心的位置

为：

球形外包络接触点

相对球形外包络中心的位置

为：

设目标接触点p_i处的总接触力为

则目标接触点p_i处的接触开关条件为：

其次，计算目标接触点p_i点与球形外包络接触点

点之间的相对运动状态，p_i点相对惯性系的位置

和速度

为：

点相对惯性系的位置

和速度

为：

p_i点相对

点的位置

和速度

为：

碰撞法线的单位矢阵l_n为：

相对运动变量

与

的法向分量为：

切向单位矢阵l_t为：

采用弹簧阻尼模型计算接触点p_i的法向正压力为：

其中，k和c分别为弹性系数和刚度系数；

根据库伦摩擦模型，摩擦力大小与正压力成正比，则采用库伦摩擦模型，摩擦系数为μ，计算p_i点的切向摩擦力

则目标在p_i点处所受的总接触力为：

目标受到的总球形外包络接触力由各碰撞点处的接触力并列组成，即：

R为实值矩阵，相应地

为3n_env×1维的实值矩阵；

S3：利用Kane方程建立空间机器人和目标的动力学模型；

S4：根据步骤S2和步骤S3建立的接触力模型与空间机器人和目标的动力学模型，即可使空间机器人对目标实施抓捕。

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