CN111985078A - 用于地震预测的点震源地震反应的刚度矩阵计算方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种用于地震预测的点震源地震反应的刚度矩阵计算方法，假定点源位错层固定，求得位错源层内的动力响应及固定端面反力；将固定端面反力反加于层状半空间得到固定端面的动力响应；将位错源层内的动力响应和固定端面的动力响应叠加，得到总的动力响应；将总的动力响应与震源时间函数相结合，再经由Fourier‑Hankel逆变换，从而得到时间空间域内三分量的地震图。本发明是一种基于精确动力刚度矩阵结合积分变换的半解析方法，具有精度不受层厚度限制和不存在误差积累的优点。

Description

用于地震预测的点震源地震反应的刚度矩阵计算方法
技术领域
本发明涉及一种地震勘探技术领域，特别涉及一种用于地震预测的点震源地震反应的刚度矩阵计算方法。
背景技术
目前，近年来，在全球大震频发和“韧性城市”建设发展等背景下，由于多数地区强震观测台站数量较少，强震动记录难以满足需求，对于这些缺乏强震动记录的地区，地震动合成是估计未来大地震产生强地面运动的一种有效途径，而点震源地震反应的精确求解是其关键环节。
以点震源地震反应求解为核心的地震动合成研究对计算资源有着很高要求，精确高效的数值计算方法是研究顺利开展的保障。目前三维近场地震波场合成方法主要包括理论格林函数法、数值格林函数法和随机合成理论等，其中数值格林函数方法可以计算地表三个平动分量的地震动，而随机合成只能提供一个水平分量，并不能明确方位，两种方法不协调，难以满足重大工程抗震分析对多点多维宽频带地震动输入的需求。而基于频率-波数域格林函数的地震动合成方法是一种具有严密理论基础的宽频带合成方法，可以计算三个平动分量地震动，有效频带可以达到0.1Hz～20Hz。
目前基于频率-波数域格林函数的地震动合成的已有方法主要包括Haskell传递矩阵法和广义反透射系数矩阵法，Haskell传递矩阵法高频计算中往往会出现数值不稳定性的问题，而广义反透射系数矩阵法有奇异点积分困难的问题。
发明内容
本发明为解决公知技术中存在的技术问题而提供一种用于地震预测的点震源地震反应的刚度矩阵计算方法，该方法在频率-波数域中进行求解。
本发明为解决公知技术中存在的技术问题所采取的技术方案是：一种用于地震预测的点震源地震反应的刚度矩阵计算方法，假设在分层介质内部存在一位错点源，将位错点源所在层定义为点源位错层；设点源位错层固定，求得位错源层内的动力响应及固定端面反力；将固定端面反力反加于层状半空间得到固定端面的动力响应；将位错源层内的动力响应和固定端面的动力响应叠加，得到总的动力响应；将总的动力响应与震源时间函数相结合，再经由Fourier-Hankel逆变换，从而得到时间空间域内三分量地震图。
进一步地，该方法包括如下步骤：
步骤一，采用位移和应力间断来表征震源作用；将空间域内表示的震源作用经由周向Fourier展开以及径向Hankel变换展开到波数域内，再结合震源处上下界面的位移和应力连续条件，得到上下行P、SV和SH波的幅值系数；
步骤二，由位移和应力幅值与波幅值系数间关系，由上下行P、SV和SH幅值系数，得到由层内全空间中的位错源产生的位移和应力幅值的解，定义此解为特解，特解包括固定端面反力；反向施加特解的位移幅值于位错源层，由位错源层动力刚度矩阵，求得反向施加特解的位移所产生的动力响应的解，定义此解为齐解，齐解包括固定端面反力；
步骤三，反向施加总的固定端面反力于整个层状半空间，其中总的固定端面反力为特解中的固定端面反力与齐解中的固定端面反力之和；将层刚度矩阵和半空间刚度矩阵集成求得总的动力刚度矩阵，由总的动力刚度矩阵求得反向施加固定端面反力产生的动力响应的解，定义反向施加固定端面反力产生的动力响应的解为固定端面反力解；
步骤四，将固定端面反力解与位错源层内解叠加，求得频率波数域内的总响应；
步骤五，将求得的频率波数域内的总响应与震源时间函数结合，并经由Fourier-Hankel逆变换，从而得到时间空间域内R、T、Z三分量地震图。
进一步地，步骤五中，只对齐解和固定端面反力解实施Hankel积分逆变换。
进一步地，步骤五中，建立RTZ柱坐标系，设RTZ柱坐标系的三个坐标向量为r,θ,z，设R、T、Z对应为时间空间域的RTZ坐标系的r、θ、z三个坐标方向的位移；设U、V、W对应为频率波数域的三维直角坐标系的X、Y、Z三个坐标方向的位移；则由下式得到时间空间域内R、T、Z三分量地震图：
Figure BDA0002582381100000021
式中，r、θ、z对应为RTZ柱坐标系的三个坐标方向向量，t为时间，ω为圆频率，Jm(kr)为第m阶Bessel函数，m为Bessel函数阶数，i为虚数单位，k为波数。
本发明具有的优点和积极效果是：本发明建立的层状半空间中点震源地震反应的刚度矩阵求解方法，是一种基于精确动力刚度矩阵结合积分变换的半解析方法，具有精度不受层厚度限制和不存在误差积累的优点；由于求解中层内特解可解析给出，可显著降低积分求解的难度；由于频率波数积分能处理高频分量，结合分级离散断层面缩短上升时间方法使得震源辐射高频地震波，可实现高频地震动的求解。
附图说明
图1是本发明的工作流程图。
图2是采用本发明的方法仿真三层半无限介质中点位错源地震图。
图3是采用Haskell矩阵方法仿真三层半无限介质中点位错源地震图。
具体实施方式
为能进一步了解本发明的发明内容、特点及功效，兹列举以下实施例，并配合附图详细说明如下：
文中英文等中文释义如下：
Fourier中文释义为傅立叶。
Hankel中文释义为汉克尔。
Fourier-Hankel中文释义为傅里叶-汉克尔。
Bessel中文释义为贝塞尔。
请参见图1至图3，一种用于地震预测的点震源地震反应的刚度矩阵计算方法，假设在分层介质内部存在一位错点源，将位错点源所在层定义为点源位错层；设点源位错层固定，求得位错源层内的动力响应及固定端面反力；将固定端面反力反加于层状半空间得到固定端面的动力响应；将位错源层内的动力响应和固定端面的动力响应叠加，得到总的动力响应；将总的动力响应与震源时间函数相结合，再经由Fourier-Hankel逆变换，从而得到时间空间域内三分量地震图。
三分量地震图用于同时表征纵波、横波、转换波的波形数据。常用的三分量波形数据坐标系有RTZ坐标系、LQT坐标系、NEZ坐标系等。
采用RTZ坐标系的三分量地震图又称R、T、Z三分量地震图。
R:R方向定义为从震中位置沿着大圆路径指向台站的方向。
T:T方向垂直于R和Z方向所构成的平面，且选取的T轴正方向使得RTZ构成了左手坐标系。
Z:垂直向上为正方向。
NEZ是最简单也是最常见的坐标系。
N:正北方向为正方向。
E:正东方向为正方向。
Z:垂直向上为正方向。
可以利用后方位角把原始的ZNE三分量地震记录旋转到RTZ(径向、切向、垂向,)坐标系,后方位角根据震中和台站的位置由理论计算得到。
LQT坐标系的定义如下：
L:P波偏振方向。
Q:SV波偏振方向。
T:SH波偏振方向，与RTZ坐标系中T的定义相同。
可以先将NEZ坐标系转换为RTZ坐标系，再根据P波入射角将RZ两个方向旋转到LQ方向即可。当然也可以直接通过三维旋转将NEZ旋转到LQT坐标系。
相对于地层的空间尺度可以把震源作为一个点源，将地震波考虑为点源的形式，而点源引起的响应本质上也就是位错形式，假设在分层介质内部存在一位错点源，将位错点源所在层定义为点源位错层。
优选地，该方法可包括如下步骤：
步骤一，采用位移和应力间断来表征震源作用；将空间域内表示的震源作用经由周向Fourier展开以及径向Hankel变换展开到波数域内，再结合震源处上下界面的位移和应力连续条件，得到上下行P、SV和SH波的幅值系数；
步骤二，由位移和应力幅值与波幅值系数间关系，由上下行P、SV和SH幅值系数，得到由层内全空间中的位错源产生的位移和应力幅值的解，定义此解为特解，特解包括固定端面反力；反向施加特解的位移幅值于位错源层，由位错源层动力刚度矩阵，求得反向施加特解的位移所产生的动力响应的解，定义此解为齐解，齐解包括固定端面反力；
步骤三，反向施加总的固定端面反力于整个层状半空间，其中总的固定端面反力为特解中的固定端面反力与齐解中的固定端面反力之和；将层刚度矩阵和半空间刚度矩阵集成求得总的动力刚度矩阵，由总的动力刚度矩阵求得反向施加固定端面反力产生的动力响应的解，定义反向施加固定端面反力产生的动力响应的解为固定端面反力解；
步骤四，将固定端面反力解与位错源层内解叠加，求得频率-波数域内的总响应；
步骤五，将求得的频率-波数域内的总响应与震源时间函数结合，并经由Fourier-Hankel逆变换，从而得到时间空间域内R、T、Z三分量地震图。
优选地，步骤五中，可只对齐解和固定端面反力解实施Hankel积分逆变换。
优选地，步骤五中，可建立RTZ柱坐标系，可设RTZ柱坐标系的三个坐标向量为r,θ,z，可设R、T、Z对应为时间空间域的RTZ坐标系的r、θ、z三个坐标方向的位移；可设U、V、W对应为频率波数域的三维直角坐标系的X、Y、Z三个坐标方向的位移；则可由下式得到时间空间域内R、T、Z三分量地震图：
Figure BDA0002582381100000051
式中，r、θ、z对应为RTZ柱坐标系的三个坐标方向向量，t为时间，ω为圆频率，Jm(kr)为第m阶Bessel函数，m为Bessel函数阶数，i为虚数单位，k为波数。
圆柱坐标系是一种三维坐标系统。它是二维极坐标系往z轴的延伸。添加的第三个坐标专门用来表示坐标系上某点P点离xy平面的高低。圆柱坐标系有三个向量，分别是径向距离、方位角、高度，分别对应标记为r，θ，z。
柱坐标系为(r,θ,z)，坐标原点为O，r表示坐标系上某点P与z轴的垂直距离，相当于二维极坐标中的半径r，θ是线OP在xy面的投影线与正x轴之间的夹角，z与直角坐标的z等值，即P点距xy平面的距离。柱坐标系为(r,θ,z)和三维直角坐标系(x,y,z)的对应关系为：x＝rcosθ，y＝r sinθ，z＝z。
下面结合本发明的一个优选实施例来进一步说明本发明的工作流程及工作原理：
一种用于地震预测的点震源地震反应的刚度矩阵计算方法，整体分为两个部分，第一部分计算震源在自由表面上产生的频率-波数域解；第二部分进行波数积分和逆Fourier变换合成时空域的R、T、Z三分向地震图。基于精确动力刚度矩阵的点震源格林函数求解方法主要针对第一部分中频率-波数域解的求解，相对其他方法具有精度更高、积分求解更为准确高效的特点。
第一部分，震源在自由表面上产生的频率-波数域解。
实质上点震源可视为广义上的荷载，因而问题本质即为层状半空间荷载动力格林函数的求解，求解过程如图1所示。
图1中：建立柱坐标系，柱坐标系为(r,θ,z)，r、θ、z对应为柱坐标系中的三个单位向量。层状半空间由N个介质层组成，假设在分层介质内部z＝zs出存在一点源，即位错源，假定位错源z＝zs位于第i层，将其所在层定义为点源位错层其厚度为di。固定端面反力包括上界面对应三个坐标方向(r,θ,z)的外力P1、Q1、R1,以及下界面对应三个坐标方向的外力P2、Q2、R2。
采用刚度矩阵方法求解的方法为：首先将点源位错层固定求得层内解和固定端面反力，然后将固定端面反力反加于层状半空间求得其动力响应，最后叠加固定层内解和固定端面反力解得到总的动力响应，也即层状半空间点震源地震反应，具体包括如下步骤：
步骤一，位错源等效集中力表示及震源条件确定。
基于任一走向的平面位错源均可用一组等效力代替而产生相同波场，同时一个等效力可用水平面的位移和应力间断代替而产生相同波场，因此可用位移和应力间断来表征震源作用；进而将空间域内表示的震源作用经由周向Fourier展开以及径向Hankel变换展开到波数域内，再结合震源处上下界面的位移和应力连续条件，可确定出上下行P、SV和SH波的幅值系数。
步骤二，将位错源层固定及求解位错源层层内解。由位移和应力幅值与波幅值系数间关系，结合步骤一确定的由震源作用所产生的上下行P、SV和SH幅值系数，可求得层内由全空间中的位错源产生的位移和应力幅值的解，定义此解为特解，特解包括固定端面反力；为使位错源层固定，需反向施加特解的位移幅值于位错源层，反加特解位移产生的动力响应的解，可由固定的位错源层的精确动力刚度矩阵求得，定义此解为齐解。
步骤三，位错源层放松及反力解求解。反向施加总的固定端面反力于整个层状半空间，其中总的固定端面反力为特解中的固定端面反力与齐解中的固定端面反力之和；将层刚度矩阵和半空间刚度矩阵集成求得总的动力刚度矩阵，由总的精确动力刚度矩阵求得反向施加固定端面反力产生的动力响应的解，定义此解为固定端面反力解；
步骤四，位错层内解叠加反力解求得总响应。将固定端面反力解与位错源层内解叠加，即可求得波数域内的总响应，特别指出的是，对于点源作用层而言，同时存在特解、齐次解和反力解；而对于非点源作用层而言，仅存在反力解。
第二部分，合成时空域的R、T、Z三分向地震图。
由求得的频率-波数域内的总响应，结合震源时间函数，并经由Fourier-Hankel逆变换，从而得到时间空间域内R、T、Z三分量地震图。在具体实施Hankel积分逆变换的时候，由于特解即为全空间解，无需积分，因而实质上积分变换只需对齐解和固端反力解实施。最终得到柱坐标系下时空域地表的响应。
可建立RTZ柱坐标系，设RTZ柱坐标系的三个坐标向量为r,θ,z，设R、T、Z对应为时间空间域的RTZ坐标系的r、θ、z三个坐标方向的位移；设U、V、W对应为频率波数域的三维直角坐标系的X、Y、Z三个坐标方向的位移；则由下式得到时间空间域内R、T、Z三分量地震图：
Figure BDA0002582381100000071
式中，r、θ、z对应为RTZ柱坐标系的三个坐标方向向量，t为时间，ω为圆频率，Jm(kr)为第m阶Bessel函数，m为Bessel函数阶数，i为虚数单位，k为波数。
我们将本发明方法应用于一个三层半无限介质中点位错源地震图的计算。模型参数如下：(1)震源参数。震源深度为10km，双力偶源参数：strike＝150°，dip＝40°，rake＝-27°；时间函数为梯形函数，上升时间为0.25s，下降时间为0.25s，总持续时间为1.0s；时间采样间隔为0.125s，频率上限为1.0Hz。(2)介质模型和接收站点。介质速度结构模型如表1所示，震中距为50km，接收点方位角为45°。请参见图2和图3，比较本发明的方法和Haskell矩阵方法计算所得结果，两种方法有非常好的一致性，从而验证了本发明方法的可靠性。
表1介质速度结构模型
Figure BDA0002582381100000081
以上所述的实施例仅用于说明本发明的技术思想及特点，其目的在于使本领域内的技术人员能够理解本发明的内容并据以实施，不能仅以本实施例来限定本发明的专利范围，即凡本发明所揭示的精神所作的同等变化或修饰，仍落在本发明的专利范围内。

Claims (4)

1.一种用于地震预测的点震源地震反应的刚度矩阵计算方法，其特征在于，假设在分层介质内部存在一位错点源，将位错点源所在层定义为点源位错层；设点源位错层固定，求得位错源层内的动力响应及固定端面反力；将固定端面反力反加于层状半空间得到固定端面的动力响应；将位错源层内的动力响应和固定端面的动力响应叠加，得到总的动力响应；将总的动力响应与震源时间函数相结合，再经由Fourier-Hankel逆变换，从而得到时间空间域内三分量地震图。
2.根据权利要求1所述的用于地震预测的点震源地震反应的刚度矩阵计算方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：
步骤一，采用位移和应力间断来表征震源作用；将空间域内表示的震源作用经由周向Fourier展开以及径向Hankel变换展开到波数域内，再结合震源处上下界面的位移和应力连续条件，得到上下行P、SV和SH波的幅值系数；
步骤二，由位移和应力幅值与波幅值系数间关系，由上下行P、SV和SH幅值系数，得到由层内全空间中的位错源产生的位移和应力幅值的解，定义此解为特解，特解包括固定端面反力；反向施加特解的位移幅值于位错源层，由位错源层动力刚度矩阵，求得反向施加特解的位移所产生的动力响应的解，定义此解为齐解，齐解包括固定端面反力；
步骤三，反向施加总的固定端面反力于整个层状半空间，其中总的固定端面反力为特解中的固定端面反力与齐解中的固定端面反力之和；将层刚度矩阵和半空间刚度矩阵集成求得总的动力刚度矩阵，由总的动力刚度矩阵求得反向施加固定端面反力产生的动力响应的解，定义反向施加固定端面反力产生的动力响应的解为固定端面反力解；
步骤四，将固定端面反力解与位错源层内解叠加，求得频率波数域内的总响应；
步骤五，将求得的频率波数域内的总响应与震源时间函数结合，并经由Fourier-Hankel逆变换，从而得到时间空间域内R、T、Z三分量地震图。
3.根据权利要求2所述的用于地震预测的点震源地震反应的刚度矩阵计算方法，其特征在于，步骤五中，只对齐解和固定端面反力解实施Hankel积分逆变换。
4.根据权利要求2所述的用于地震预测的点震源地震反应的刚度矩阵计算方法，其特征在于，步骤五中，建立RTZ柱坐标系，设RTZ柱坐标系的三个坐标向量为r,θ,z，设R、T、Z对应为时间空间域的RTZ坐标系的r、θ、z三个坐标方向的位移；设U、V、W对应为频率波数域的三维直角坐标系的X、Y、Z三个坐标方向的位移；则由下式得到时间空间域内R、T、Z三分量地震图：
Figure FDA0002582381090000021
式中，r、θ、z对应为RTZ柱坐标系的三个坐标方向向量，t为时间，ω为圆频率，Jm(kr)为第m阶Bessel函数，m为Bessel函数阶数，i为虚数单位，k为波数。
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