CN110596754A - 一种三维TTI介质qP波与qSV波波场模拟方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了一种三维TTI介质qP波与qSV波波场模拟方法，该方法包括：根据地震波传播方向与TTI介质对称轴方向的关系，建立三维TTI介质中qP波与qSV波近似相速度公式，利用平面波的相角关系计算qP波和qSV波的频散关系，进而构建解耦的qP波波动方程与qSV波波动方程；将空间域qP波和qSV波波场变换至波数域，在波数域计算拟微分算子，把波数域计算结果变换回空间域，在空间域上加载介质模型各向异性参数，应用时域有限差分法，进行波场模拟计算。本发明实现了qP波与qSV波的波场分离，解决了现有qP波波场模拟中出现的伪横波噪声干扰与复杂介质模型中出现的数值计算不稳定问题。
Description
技术领域
本发明涉及TTI介质中qP波与qSV波的波场数值模拟技术领域，为研究各向异性介质中地震波传播规律、辅助地震数据处理解释而服务。
背景技术
波动方程同时包括了波场的运动学特征和动力学特征，准确、全面地描述了各类地震波型在地层中的传播情况。数值求解波动方程解的过程就是数值模拟地震波传播的过程。研究结果表明，介质的各向异性性质广泛存在，沉积岩多数为TI介质。随着地震数据处理解释技术的发展，研究地下介质的波动各向异性显得尤为重要。对于TI介质，如果仍然采用基于各向同性介质假设的正演和偏移成像算法，则会导致成像精度下降以及偏移归位不准确等问题。复杂TTI介质qP波波动方程数值模拟和偏移成像是研究的热点。
TI介质有5个独立的弹性系数，弹性波动方程复杂，纵横波耦合，波场分离困难，采用近似公式来简化TI介质波动方程是应用较多的一种方法。Alkhalifah(2000)通过将对称轴方向的横波速度设置为零，导出了VTI介质声学波动方程。声学近似方程可以较准确地描述纵波运动学特征，避免了复杂的横波波动方程，也减少了弹性波动方程数值模拟所需的计算资源。Zhang等(2003,2005)把声学波动方程扩展到TTI介质，实现了TTI介质声波方程有限差分数值模拟和逆时偏移成像。然而，基于声学近似波动方程模拟的波场中存在qSV噪声干扰，且在TTI介质对称轴方向变化剧烈的区域存在数值不稳定性现象。Fletcher(2009)等通过把对称轴方向的横波设置为有限的速度，解决了复杂TTI介质模型中的数值不稳定性问题，但并未真正消除qSV波的影响。张岩等(2013)通过滤波的方法来消除次生的菱形qSV波干扰。与qSV波解耦的纯qP波波动方程可以同时避免qSV波干扰和数值不稳定性问题。Pestana等(2010,2011)基于快速展开法(REM，Rapid Expansion Method)，实现了VTI介质时间-波数域纯qP波逆时偏移成像。Chu等(2011)利用泰勒展开公式，推导了TTI介质解耦纯qP波波动方程。Zhan等(2012)利用基于REM的有限差分与伪谱法混合的方法实现了TTI介质纯qP波逆时偏移。Barrera等(2013)利用一阶泰勒和帕德近似导出了纯qP波动方程。黄建平等(2016)基于伪谱法实现了TTI介质一阶qP波方程正演模拟。综上所述，推导互相解耦的qP波与qSV波波动方程可以从根本上解决TTI介质qP波数值模拟过程中遇到的qSV波干扰和数值不稳定性问题。
发明内容
本发明提供了一种三维TTI介质中qP波与qSV波波场模拟方法，实现了qP波与qSV波波场的分离，以解决TTI介质qP波数值模拟和偏移成像过程中遇到的的qSV波噪声干扰与数值计算不稳定性问题。
本发明为解决上述技术问题提供了一种纯qP波与纯qSV波波场模拟的方法，该方法主要技术方案如下：
基于VTI介质中qP波与纯qSV波的精确相速度公式，利用波的传播矢量与三维TTI介质对称轴方向矢量的夹角表达三维TTI介质的qP波与qSV波精确相速度公式，其中波的传播矢量与三维TTI介质对称轴方向矢量为通过极化角和方位角表示的单位向量；
计算波的传播矢量与三维TTI介质对称轴方向矢量的数量积和向量积，得到三维TTI介质的qP波与纯qSV波精确相速度；
根据泰勒展开公式，展开三维TTI介质qP波与qSV波精确相速度公式中的根式，舍弃Thomsen各向异性参数ε和δ的二次及更高次项，得到三维TTI介质qP波与qSV波近似的相速度公式；
基于近似相速度公式，利用三维空间中qP波和qSV波的相速度、波数、角频率以及传播矢量之间的关系，计算qP波和qSV波的近似频散关系式；
对时间-空间域的qP波波场UP(t,x,y,z)以及qSV波波场US(t,x,y,z)进行三维空间傅里叶变换，得到时间-波数域的qP波波场与qSV波波场x、y、z代表空间位置，kx、ky、kz表示波数；
分别在qP波和qSV波频散方程两边乘以对应的时间-波数域的波场，在频域内对频散方程进行傅里叶逆变换，得到ATI介质时间-波数域qP波和qSV波解耦的波动方程；
在波数域内对波数项与波场的乘积进行傅里叶逆变换，得到时间-空间域的解耦的纯qP波和纯qSV波波动方程；
时间-空间域的三维TTI介质qP波波动方程表达式为
Vpz为TTI介质的对称轴方向qP波的波速度，代表傅里叶逆变换。
时间-空间域的三维TTI介质qSV波波动方程表达式为
公式中
θ0为对称轴的极化角(倾角)，为对称轴的方位角，Vsz为TTI介质的对称轴方向qSV波的相速度。
本发明的有益技术效果是：
本发明具有以下优点：基于三维TTI介质近似相速度导出解耦的qP波与qSV波波动方程，实现了qP波与qSV波的波场分离，qP波波场中完全消除了qSV波干扰，提高了复杂TTI介质模型中qP波波场模拟计算的稳定性，提高了基于qP波波场数值模拟的逆时偏移成像精度；本发明适用于具有任意空间取向对称轴的TI介质，有助于全面研究TI介质中地震波场的传播规律及特征，可以直接用于TTI介质的方位各向异性研究及AVO特征分析研究。
附图说明
图1为本发明的技术流程图。
图2为三维空间中平面波传播方向。
图3a为VTI介质时x-z平面内qP波相速度。
图3b为TTI介质对称轴方向为时x-z平面内qP波相速度。
图3c为TTI介质对称轴方向为时x-z平面内qP波相速度。
图4a为VTI介质时x-z平面内极坐标下的qP波相速度。
图4b为TTI介质对称轴方向为时x-z平面内极坐标下的qP波相速度。
图4c为TTI介质对称轴方向为时x-z平面内极坐标下的qP波相速度。
图5a为VTI介质时x-z平面内qSV波相速度。
图5b为TTI介质对称轴方向为时x-z平面内qSV波相速度。
图5c为TTI介质对称轴方向为时x-z平面内qSV波相速度。
图6a为VTI介质时x-z平面内极坐标下的qSV波相速度。
图6b为TTI介质对称轴方向为时x-z平面内极坐标下的qSV波相速度。
图6c为TTI介质对称轴方向为时x-z平面内极坐标下的qSV波相速度。
图7a为VTI介质时x-z平面内qP波近似相速度的相对误差。
图7b为VTI介质时x-z平面内qSV波近似相速度的相对误差。
图8a为TTI介质对称轴方向为时x-z平面内qP波近似相速度的相对误差。
图8b为TTI介质对称轴方向为时x-z平面内qSV波近似相速度的相对误差。
图9a为TTI介质对称轴方向为时x-z平面内qP波近似相速度的相对误差。
图9b为TTI介质对称轴方向为时x-z平面内qSV波近似相速度的相对误差。
图10为三维TTI介质qP波波场快照，10a为立体图，10b为y＝0m处的xz垂直切片，10c为x＝0m处的垂直yz切片，10d为z＝0m处的水平xy切片。
图11为三维TTI介质qSV波波场快照，11a为立体图，11b为y＝0m处的xz垂直切片，11c为x＝0m处的垂直yz切片，11d为z＝0m处的水平xy切片。
具体实施方式
下面通过实施例并结合附图，对本发明的技术方案与实施步骤作进一步具体的说明:
本发明提出了一种三维TTI介质qP波与qSV波波场模拟方法，本发明方案的具体推导过程如下。
用刚度矩阵弹性系数表示的VTI介质相速度为
根号前面的加号和减号分别对应qP和qSV波相速度。θ是传播方向与TI介质对称轴的夹角，表示平面波的相角。式(1)中的弹性系数无法直接对应物理量，用两个弹性系数Vpz、Vsz和三个各向异性参数ε、δ、γ代替5个弹性系数(Thomsen,1986)来表示TI介质中波的传播速度。其中
Vpz、Vsz分别是沿对称轴方向(垂直于各向同性面)的纵、横波相速度；ε和δ表征qP和qSV波的各向异性强弱，取值越大代表各向异性越强；γ是横波的各向异性参数，也是横波分裂强度的度量(王璐琛，2016)。
Tsvankin(1996)利用式(2)，把式(1)改写为
式中
为了获得声学近似波动方程，Alkhalifah(2000)令对称轴方向的横波速度为0，Vsz＝0，即f＝1，则声波方程的相速度为
把式(4)中的根号移到等号一边取平方运算，便可得到Alkhalifah(2000)推导的VTI介质声学近似频散关系。对方程两边取平方运算会给式(4)中的相速度引入新解，这是Alkhalifah等推导的声波方程除了qP波解以外还有其他干扰解的原因。
如图2所示，设θ是平面波的极化角，是平面波传播方位角，θ0是TTI介质对称轴的极化角，是对称轴方位角，则向量是TTI介质中平面波传播方向的单位向量，是TTI介质对称轴方向的单位向量。
设为平面波传播方向与TTI介质对称轴的夹角，则有
利用向量r和s的数量积和向量积便可表达二者之间的夹角。
利用公式(5)，VTI介质精确相速度公式可以扩展到三维TTI介质，即
公式(6)与公式(1)在形式上完全一样。
Tsvankin(1996)根据Thomsen(1986)弱各向异性假设，使用泰勒公式，展开了式(1)中的根号项，舍弃ε和δ的二次及多次项，得到VTI介质qP波近似相速度，类似地，我们可以展开公式(6)中的根号，得到三维TTI介质中qP波和qSV波近似相速度公式
式(7)、(8)表明三维TTI介质中的体波速度特征只依赖于传播矢量与对称轴的夹角
在三维观测坐标系内传播的平面波有下列相角关系：
ω表示角频率。
把公式(5)代入式(7)、(8)，利用上面的平面波相角关系，得到qP波和qSV波的频散关系式
频散方程两边乘以时间-波数域波场U(t,kx,ky,kz)，同时在频域应用傅里叶逆变换，得到三维TTI介质时间-波数域qP波和qSV波解耦的波动方程，对波数域波场进行傅里叶逆变换得到时间-空间域qP波和qSV波解耦的波动方程
波动方程(11)、(12)中的系数为
式(11)、(12)中UP、US分别表示空间域的qP波与qSV波波场；分别表示波数域的qP波与qSV波波场；代表傅里叶逆变换，波数域波场与空间域波场的关系为：
利用波动方程(11)、(12)可实现三维TTI介质qP波与qSV波波场。
基于上述原理，本发明提出了一种三维TTI介质qP波与qSV波波场模拟方法，图1是本发明的流程图。具体步骤如下：
基于VTI介质精确相速度公式，利用波的传播矢量与三维TTI介质对称轴方向矢量，获得TTI介质的精确相速度公式；
根据Thomsen弱各向异性假设，利用泰勒展开公式，得到三维TTI介质中qP波与qSV波的近似相速度公式；
利用三维空间中平面波的相角关系，由qP波与qSV波的近似相速度得到三维TTI介质qP波与qSV波的频散关系与波动方程；
利用傅里叶变换，空间域的qP波、qSV波波场以及拟微分算子变换成波数域的波场与波数项；
计算波数项，并与波数域的波场相乘，然后对波数项与波场的乘积进行傅里叶逆变换，结果转换回空间域；
将三维TTI介质模型参数加载到波数项的系数上，系数项分别与上一步的变换结果相乘计算；
应用时域有限差分法，设定计算时长，递推计算时间-空间域的qP波、qSV波波场，完成波场模拟。
实施例一
设置了一组TTI介质各向异性参数，比较本发明提出的波场模拟方法的精度。Thomsen各向异性参数ε＝0.25，δ＝0.1，qP波沿介质对称轴方向的速度为Vpz＝3000m/s，qSV波沿介质对称轴方向的速度为Vsz＝1500m/s，介质对称轴的方向分别为(45°，0°)、(45°，90°)；
图3是三维TTI介质qP波精确相速度公式(6式根号前面取正号时)和近似公式(7)计算的x-z垂直面内的相速度对比图，子图的Thomsen各向异性参数相同，只是介质对称轴方向不同。图3a的对称轴方向为对应VTI介质；图3b的对称轴方向为图3c的对称轴方向为对应TTI介质。图4是极坐标下的qP波相速度，图4a参数对应图3a，图4b参数对应图3b，图4c参数对应图3c。
图5是三维TTI介质qSV波精确相速度公式(6式根号前面取负号时)和近似公式(8)计算的x-z垂直面内的相速度对比图，子图的Thomsen各向异性参数相同，只是介质对称轴方向不同。图5a的对称轴方向为对应VTI介质；图5b的对称轴方向为图5c的对称轴方向为对应TTI介质。图6是极坐标下的qP波相速度，图6a参数对应图5a，图6b参数对应图5b，图6c参数对应图5c。
从图3到图6可以看出，qP波和qSV波的相速度变化曲线呈现周期性规律，明显地，公式(6)、(7)、(8)是夹角的周期函数。在各向异性参数确定的条件下，相速度仅依赖于地震波传播方向和TI介质对称轴的夹角
对比图3a与3b、4a与4b、5a与5b、6a与6b，可以看到，TTI介质由VTI介质旋转某一角度得到，则TTI介质的相速度相当于VTI介质相速度延后了该旋转的角度，即TTI介质相速度曲线的相位发生了右移延迟。由图3c、4c、5c、6c可以看出，当三维TTI介质对称轴方向旋转到x-z垂直平面外时，该平面内(x-z垂直平面)的地震波任意传播方向都不会平行于TTI介质对称轴，即或180°，qP波近似公式(7)中的项无法取到零值，故图3c、4c中的qP波最小相速度要大于图3a、3b、4a、4b的最小相速度值。qSV近似公式(8)中没有项，所以TTI介质对称轴的方向与qSV波相速度的最小值无关。
图7至图9为qP波和qSV波近似相速度的相对误差，子图a对应qP波，子图b对应qSV波。综合图7、8、9，qP波近似相速度的最大相对误差不超过0.8％，qSV波近似相速度的最大相对误差不超过3.5％，说明qP波波动方程(11)与qSV波波动方程(12)的精度较高。实施例一表明本发明提出的模拟方法合理、有效、精度较高。
实施例二本发明设置一个均匀三维TTI介质模型，介质对称轴方向为Thomsen各向异性参数ε＝0.25，δ＝0.1。模型网格数200×200×200，网格尺寸5m。震源函数采用雷克子波，主频为50Hz，位于模型正中心，时间采样间隔为0.2ms，采样总时长为130ms。
图10是本发明计算的的qP波波场快照，该波场为纯qP波波场，未出现干扰的qSV波；图11是本发明计算的纯qSV波波场快照。综上所述，本发明提出了一种三维TTI介质qP波与qSV波波场模拟方法，该方法实现了qP波与qSV波的波场分离，解决了传统方法中qP波波场中含有qSV波噪声干扰的问题。
Claims (6)
1.一种三维TTI介质qP波与qSV波波场模拟方法，其特征在于，该方法的步骤如下：
a.基于VTI介质精确相速度公式，获得TTI介质的精确相速度公式，根据弱各向异性假设，得到三维TTI介质中qP波与qSV波的近似相速度公式；
b.利用三维空间中平面波的相角关系，由qP波与qSV波的近似相速度得到三维TTI介质qP波与qSV波的频散关系与波动方程；
c.将空间域的qP波与qSV波波场变换至波数域；
d.将空间域的拟微分算子变换成波数域的波数项；
e.在波数域内计算qP波及qSV波波场与波数项的乘积，并变换回空间域；
f.在空间域内加载介质各向异性参数；
g.采用时域有限差分法进行波场递推计算。
2.根据权利要求1所述的三维TTI介质qP波与qSV波波场模拟方法，其特征在于，所述的VTI介质精确相速度用传播极化角和Thomsen各向异性参数ε和δ表示，三维TTI介质精确相速度公式用传播方向与介质对称轴的夹角以及Thomsen各向异性参数ε和δ表示；传播方向与对称轴方向的夹角通过传播矢量与对称轴方向矢量的数量积和矢量积来表示。
3.根据权利要求1所述的三维TTI介质qP波与qSV波波场模拟方法，其特征在于，所述的三维TTI介质中qP波与qSV波的近似相速度公式是利用泰勒展开公式得到的近似解，展开方式是Thomsen各向异性参数的一阶近似。
4.根据权利要求1所述的三维TTI介质qP波与qSV波波场模拟方法，其特征在于，所述的qP波波动方程为
其中Vpz为TTI介质的对称轴方向qP波的波速度，kx、ky、kz表示波数，UP为时间-空间域的qP波波场，为时间-波数域波场，代表傅里叶变换，代表傅里叶逆变换，时间-空间域波场与时间-波数域波场的关系为 qP波波动方程中的系数为
式中的θ0为三维TTI介质对称轴的极化角，为对称轴的方位角，ε和δ为介质的Thomsen各向异性参数。
5.根据权利要求1所述的三维TTI介质qP波与qSV波波场模拟方法，其特征在于，所述的qSV波波动方程为
其中Vsz为TTI介质的对称轴方向qSV波的波速度，US为时间-空间域的qSV波波场，为时间-波数域波场，其中qSV波波动方程中的系数为
6.根据权利要求1所述的三维TTI介质qP波与qSV波波场模拟方法，其特征在于，对于qP波与qSV波波动方程在时间域上的递推计算采用有限差分法，即波动方程中的波场时间偏导数近似为 Δt为数值模拟计算过程中的时间步长。
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