CN111984227A

CN111984227A - 一种针对复数平方根的近似计算装置及方法

Info

Publication number: CN111984227A
Application number: CN202010870048.3A
Authority: CN
Inventors: 潘红兵; 朱杰; 王宇宣
Original assignee: Nanjing University
Current assignee: Nanjing University
Priority date: 2020-08-26
Filing date: 2020-08-26
Publication date: 2020-11-24
Anticipated expiration: 2040-08-26
Also published as: CN111984227B

Abstract

本发明公开了一种针对复数平方根的近似计算装置及方法。该装置包括依次相连的预处理模块、CORDIC计算模块、基本计算模块、线性近似计算模块和输出处理模块；预处理模块用于复数的实部和虚部的预处理和迭代初始移位位数的计算；CORDIC计算模块用于计算输入复数的模长；基本计算模块用于对复数的模长、复数的实部进行加减法和移位操作；线性近似计算模块用于计算实数范围内的平方根运算；输出处理模块用于为输出复数的实部和虚部添加符号位，在串并转换后输出复数平方根的计算结果。本发明的近似计算装置及方法，在保持较高精度计算的前提下，能保持高的计算速度，并降低硬件的复杂度。

Description

一种针对复数平方根的近似计算装置及方法

技术领域

本发明涉及一种针对复数平方根的近似计算装置及方法，属于数字集成电路设计领域。

背景技术

复数自提出以来，在信号分析、电磁学、力学、系统论和控制论都有着广泛的应用。而涉及到复杂复数运算时，复数的平方根运算往往是绕不开的一个问题。

和实数范围内的平方根运算不同，复数的平方根计算需要考虑实部、虚部、幅角等多个方面，如果使用欧拉公式来计算r(cosθ+isinθ)的平方根，会得到平方根结果

虽然表达方便，但在实际数值计算过程中会涉及到多次直角坐标与极坐标的转换，不能够直接采用移位和通用的加减乘除算数逻辑单元进行计算，很难在硬件中实现的。因此，可以采用近似计算的方法来计算。

发明内容

本发明提供一种针对复数平方根的近似计算装置，旨在实现高精度计算时保持相对较小的硬件资源占用和高的运算速度。本发明还提供一种近似计算方法。

本发明装置采用的技术方案是：

一种针对复数平方根的近似计算装置，包括依次相连的预处理模块、CORDIC计算模块、基本计算模块、线性近似计算模块和输出处理模块，

所述预处理模块，用于调整输入复数的实部和虚部，并计算出用于CORDIC计算的起始移位位数；

所述CORDIC计算模块，用于基于圆周CORDIC算法旋转模式，计算输入复数的模长；

所述基本计算模块，用于对输入复数的模长以及实部进行加减法和移位操作；

所述线性近似计算模块，用于计算实数范围内的平方根运算；

所述输出处理模块，用于为开平方后复数的实部和虚部添加符号位并输出结果。

进一步地，所述CORDIC计算模块包括寄存器、数据选择器、算术逻辑单元ALU、乘法器、迭代计数器和查找表LUT。

进一步地，所述线性近似计算模块包括索引单元和乘加单元：所述索引单元包括加法单元、异或门和寄存器，该单元用于获取输入值x和分段端点值的大小关系，并拉高所在区间右端点连接导线的电平，使得寄存器单元中的斜率k和截距b有效输出；所述寄存器中存储的分段端点值、各分段的斜率k和截距b，为预先对函数

进行误差均衡的非均匀线性近似分段所得；所述乘加单元包括一个乘法器和一个加法器，该单元用于根据输入值x和斜率k、截距b，计算kx+b，得到线性近似计算单元的输出结果，即不包含符号的开平方根之后复数的实部和虚部。

本发明一种针对复数平方根的近似计算方法，具体步骤如下：

(1)在不改变输入复数模长的情况下，把输入复数的辐角调整到0到45度之间，并计算用于CORDIC计算的初始移位位数；

(2)利用步骤(1)得到的实部、虚部以及初始移位位数，采用圆周CORDIC算法的旋转模式计算输入复数的模长；

(3)通过将输入复数的实部和模长进行加减法和移位，计算得到输出复数实部和虚部的平方；

(4)对步骤(3)的结果进行实数范围内的平方根计算，在给计算结果增加符号位后，并行输出开平方根后复数的实部和虚部。

进一步地，所述步骤(1)中，通过取绝对值、比较大小和交换数值的方法，调整输入复数的实部和虚部，并根据实部绝对值与虚部绝对值的最高非零比特位的位置差值，得到用于CORDIC计算的初始移位位数。

进一步地，所述步骤(2)中，若要求计算精度为m位，则将终止移位位数设为m+1，且计算中不需要更新旋转角度，仅需在迭代结束后乘上总的微旋转模式补偿因子。

进一步地，所述步骤(4)中，采用误差均衡的非均匀分段线性近似算法实现实数范围内的平方根计算。

本发明相比现有技术，具有如下优点：

(1)对于复数的平方根运算不涉及辐角计算，硬件复杂度低，且计算精度高，功耗低，符合超大规模集成电路设计的发展趋势。

(2)通过对于输入复数的处理，设置迭代的起始移位位数，减少了CORDIC算法迭代运算的次数。

(3)通过使用误差均衡非均匀分段方法，减少存储数据量，且索引部分的延迟相较于查找表法延迟更低。

附图说明

图1是本发明装置的系统结构示意图；

图2是CORDIC计算模块的结构图；

图3是线性近似计算模块的结构图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明方案作进一步详细的说明。

假设输入的复数为z＝a+bi，取平方根后

为方便说明，假定输入的复数位于单位圆内，a、b、c、d均由补码形式的8位有符号二进制定点小数表示，其中小数位有7位。由(c+di)²＝a+bi计算可得，

基于这两个表达式，本发明装置将复数的平方根计算分为了三个步骤，首先基于圆周CORDIC算法旋转模式，求出

然后通过加法和移位，求出

最后基于误差均衡非均匀分段线性近似计算方法，实现实数范围内的平方根运算，补上c、d的符号位后，即可得出复数开平方根后的结果。

结合图1所示，本发明一种针对复数平方根计算的近似计算装置包括预处理模块、CORDIC计算模块、基本计算模块、线性近似计算模块和输出处理模块。其中，预处理模块负责把输入的复数转化为适合CORDIC计算的形式，先把输入的a、b转化为原码形式，将a、b原码的7位小数位相减结果的符号位作为多路数据选择器的判断信号，使得该模块的输出x和y满足x＝max{|a|,|b|},y＝min{|a|,|b|}，再计算a、b原码的7位小数位最高位非零比特位的位置差值n。CORDIC计算模块负责根据上个模块输入的x、y和n，基于圆周CORDIC算法旋转模式，计算z＝a+bi的模长，即

基本运算模块由加法器组成，依次计算z的模长加上a和z的模长加上a的相反数，并把加法结果右移一位，计算得到c和d表达式最外侧根号内的数值。线性近似计算模块负责实数范围内的平方根计算，得到|c|和|d|。输出处理模块负责根据b的符号位为|d|增加符号位，并转化补码形式，由于在实施实例中仅计算了

故c的符号位为0，在计算完c和d后，输出处理模块还会进行串并转换，让复数a+bi对应的c和d同时输出。

结合图2所示，CORDIC计算模块包含寄存器、数据选择器、算术逻辑单元ALU、乘法器、迭代计数器、查找表LUT等。寄存器、数据选择器、ALU构成了迭代计算部分，迭代计数器负责迭代过程的控制，LUT的查找结果以及x的迭代结果作为乘法器的乘数和被乘数，乘法器的计算结果即为输入复数的模长。

CORDIC模块满足CORDIC旋转模式的迭代计算公式，即

x_i+1＝k_i{x_i+d_i(2^-iy_i)}

y_i+1＝k_i{y_i-d_i(2^-ix_i)}

d_i＝sign(y_i)

k_i＝cosθ_i＝cos(arctan2^-i)

其中，i≥1，且是一个整数，k_i为微旋转模式补偿因子，d_i为判决算子，用于确定旋转的方向。因为模长的计算不需要涉及旋转角度的更新，故相较于基本的CORDIC计算公式省略了总旋转角度的计算。ALU会根据当前寄存器中保存的y_i的符号位d_i决定是做加法还是减法运算，当d_i为0时，x的迭代执行加法操作，y的迭代执行减法操作，当d_i为1时，x的迭代执行减法操作，y的迭代执行加法操作。迭代开始时，把初始的x和y保存到寄存器中，使得移位位数i等于n，每次迭代完成后，寄存器中保存更新后的x和y，并且i以1为差值递增。为提升CORDIC模块的计算精度，可以略微扩展寄存器和中间运算的小数位宽，输出时截取相应位宽输出。

假如要求CORDIC计算模块精确到小数点后m个比特位，那么就要让复数x_i+1+y_i+1i的辐角旋转到

之间，近似于

那么可以将迭代终止的条件设置为i＝m+1便可以满足条件。在实现迭代计算时，先忽略补偿因子k_i，仅进行加减和移位操作，待迭代完成后，再将迭代的最终结果乘上总的补偿因子，得到CORDIC计算模块的输出，即a+bi的模长。不同初始移位位数n对应的总补偿因子保存在查找表中，查找表中保存的数为

的值，迭代结束后，根据n索引出对应的总的补偿因子。

结合图3所示，线性近似计算单元包括加法器、寄存器、异或门和乘法器。n个加法器、异或门、寄存器依次相连，构成了索引部分；n个寄存器输出的按位或结果和输入x为乘法器的两个输入；1个乘法器与1个加法器相连，构成了该单元的计算部分。x_i、k_i和b_i为函数

一定区间内线性近似分段得到的端点值、斜率和截距。

索引部分通过输入和分段端点值减法运算后提取符号位，获取输入值和端点值的大小关系，并拉高所在区间右端点连接导线的电平，使得寄存器单元中的斜率k和截距b有效输出。寄存器中存储的分段端点值、各分段的斜率k和截距b，为预先对函数

进行误差均衡的非均匀线性近似分段所得。本发明采用了误差均衡非均匀分段方法，它有以下特点：(1)通过让误差的最大值的绝对值和最小值的绝对值相等来最小化最大绝对值误差；(2)在最大绝对值误差一定的情况下让分段宽度最大化，最小化分段数目，减少需要存储的数据量。就说明实例而言，最外侧根号内数的范围为[0,1)，分段结果如下表1所示，在最大绝对值误差设置为2^-8的情况下，分段数目仅为7。

表1分段结果

i	1	2	3	4	5	6	7
								x<sub>i</sub>	0.0078	0.0469	0.1328	0.2891	0.5547	0.9609	1.0000
k<sub>i</sub>	11.3137	2.9282	1.6714	1.0957	0.7754	0.5779	0.5040
								b<sub>i</sub>	0.0000	0.0823	0.1460	0.2245	0.3185	0.4287	0.4960

线性近似计算单元的具体计算流程如下：输入待开平方根的数后，n个减法器同时计算x-x_i,并输出每个减法结果的符号位S_i；定义S₀＝0，再依次对S_i和S_i-1取异或操作，若异或结果为1，则从对应的寄存器中取出相应的k_i和b_i；再经过乘加之后，即可计算出实数范围内平方根计算的近似结果。如果输入的值位于第一个分段内，即在0和x₁之间，那么信号S的每一位均为高位，只有第一个异或门输出高电平，则顺利取出第一个分段对应的k_i和b_i。

本实施例以科学计算为例，说明本发明提供的计算装置如何运用在实际应用中。在科学计算中，如电路分析、信号分析、电磁学、量子力学的公式计算中，常常涉及复数的平方根计算。通常会调用仿真平台自带的函数库计算，在实际仿真运行中，大量的复数平方根计算会大大延长仿真时间。可以根据本发明提供的计算方法编写对应平台的计算函数，在涉及复数平方根计算时调用，以很快的速度完成复数的平方根计算，并将计算结果输出。

Claims

1.一种针对复数平方根的近似计算装置，其特征在于，该装置包括依次相连的预处理模块、CORDIC计算模块、基本计算模块、线性近似计算模块和输出处理模块，

2.根据权利要求1所述的一种针对复数平方根的近似计算装置，其特征在于，所述CORDIC计算模块包括寄存器、数据选择器、算术逻辑单元ALU、乘法器、迭代计数器和查找表LUT。

3.根据权利要求1所述的一种针对复数平方根的近似计算装置，其特征在于，所述线性近似计算模块包括索引单元和乘加单元；

所述索引单元包括加法单元、异或门和寄存器，该单元用于获取输入值x和分段端点值的大小关系，并拉高所在区间右端点连接导线的电平，使得寄存器单元中的斜率k和截距b有效输出；所述寄存器中存储的分段端点值、各分段的斜率k和截距b，为预先对函数

进行误差均衡的非均匀线性近似分段所得；

所述乘加单元包括一个乘法器和一个加法器，该单元用于根据输入值x和斜率k、截距b，计算kx+b，得到线性近似计算单元的输出结果，即不包含符号的开平方根之后复数的实部和虚部。

4.一种针对复数平方根的近似计算方法，其特征在于，该方法具体步骤如下：

5.根据权利要求4所述的一种针对复数平方根的近似计算方法，其特征在于，所述步骤(1)中，通过取绝对值、比较大小和交换数值的方法，调整输入复数的实部和虚部，并根据实部绝对值与虚部绝对值的最高非零比特位的位置差值，得到用于CORDIC计算的初始移位位数。

6.根据权利要求4所述的一种针对复数平方根的近似计算方法，其特征在于，所述步骤(2)中，若要求计算精度为m位，则将终止移位位数设为m+1，且计算中不需要更新旋转角度，仅需在迭代结束后乘上总的微旋转模式补偿因子。

7.根据权利要求4所述的一种针对复数平方根的近似计算方法，其特征在于，所述步骤(4)中，采用误差均衡的非均匀分段线性近似算法实现实数范围内的平方根计算。