CN111915685B - 一种变焦摄像机标定方法 - Google Patents

Abstract

一种变焦摄像机标定方法，属于机器视觉中摄像机标定领域。本发明对变焦摄像机成像过程及相关参数进行了建模，并提出了变焦过程中摄像机主点位置不变的约束条件。利用这一约束条件，提出了基于变焦图像序列的标定方法以获得摄像机主点的准确位置。针对变焦摄像机焦距标定问题，提出含附加约束条件的自标定法。仿真试验和实际标定试验结果表明，本发明提出的方法具有较高的精度，可以在实际标定任务中加以使用。

Description

一种变焦摄像机标定方法

技术领域

本发明属于机器视觉中摄像机标定领域，涉及一种变焦摄像机标定方法。

背景技术

在航空航天等领域中，新的机型和系统的研发通过需要通过对空中目标的三维姿态进行测量以获得滚转角、俯仰角和偏航角以及飞行距离等指标参数。这些参数对于分析评价飞行器的运动特性和对系统性能进行进一步的改进具有重大意义。一般情况下，飞行器的三维姿态可通过高精度陀螺仪，加速度表等构成的惯性测量平台或者GPS等装置获取。但是部分情况下这些仪器仪表不能够安装在被测物体上，或者可能失效，此时一种可行的方法是使用高速摄像机等设备对物体进行跟踪拍摄，通过视觉测量的方法获取物体的姿态、距离信息。

为保证测量和跟踪的精度，需要使被测物体在所拍摄的图像中占据足够大的面积。为实现这一目标，拍摄设备通常使用变焦摄像机，拍摄过程中通过计算机控制摄像机焦距及对准方向，保持被测物体位于图像中间位置，并具有足够的大小和清晰度。

摄像机标定是视觉测量过程中必须进行的基础步骤。摄像机内部参数即主点在像面中的位置，摄像机的等效焦距，摄像机的畸变系数等均可通过标定获得。标定结果的准确度将直接影响姿态测量的精度。相对于定焦摄像机，变焦摄像机内部参数可根据拍摄需要改变，其中光学焦距逐渐发生变化，同时带来主点位置和成像畸变的变化。由于变焦摄像机在实际使用存在视场、拍摄距离变化范围大等特点，许多定焦摄像机中的标定方法在变焦摄像机的标定中难以使用。因此有必要为变焦摄像机研究出更合适的标定方法。

发明内容

鉴于此，针对变焦摄像机的标定问题，本发明对变焦摄像机成像过程及相关参数进行了建模，并提出了变焦过程中摄像机主点位置不变的约束条件。利用这一约束条件，提出了基于变焦图像序列的标定方法以获得摄像机主点的准确位置。针对变焦摄像机焦距标定问题，提出含附加约束条件的自标定法。仿真试验和实际标定试验结果表明，本发明提出的方法具有较高的精度，可以在实际标定任务中加以使用。

一种变焦摄像机标定方法，步骤如下：

步骤一、建立变焦摄像机成像模型

首先考虑一般定焦摄像机模型：

考虑从空间一点到某一平面的中心投影。令投影中心为摄像机坐标系的原点，考虑摄像机坐标系中z＝f平面，该平面被称为像平面或焦平面。在针孔摄像机模型下，空间一在摄像机坐标系下坐标为X＝(X,Y,Z)^T的物点被映射到连接该物点与摄像机中心的直线与像平面的交点上。如图1所示：

图1中，C是摄像机中心，像平面被置于摄像机中心前方，p是摄像机的主轴和摄像机像平面的交点，被称为主点。摄像机中心位于世界坐标系的中心。此时根据图像中的相似变换关系可得出由三维坐标系中的点到二维图像点的映射关系为：

其中(p_x,p_y)^T为主点在摄像机像平面坐标系下的坐标。将三维点坐标及二维点坐标改用齐次坐标表示，此时，摄像机成像模型可简化表示为：

x＝K[I|0]X (2)

其中：

被称为标定矩阵，该矩阵仅与摄像机自身的参数有关，而和摄像机在三维空间中的具体位置、朝向无关。因此K也被称为摄像机内部参数矩阵。当采取三维空间中摄像机坐标系意外的坐标系为世界坐标系时，世界坐标系和摄像机坐标系之间存在着平移和旋转的关系如图2所示。假设是世界坐标系中一点的非齐次坐标表示，/>是该点在摄像机坐标系下的非齐次坐标表示，那么这两坐标之间物点坐标的转换关系如下：

结合摄像机坐标系下的目标成像模型，最终定焦摄像机的成像模型可表示为

其中，是摄像机坐标系的原点。中X是世界坐标系中物点坐标。该式是针孔摄像机模型下，物点坐标到图像坐标的一般表示。令/>则矩阵P共有9个自由度。摄像机标定矩阵K有3个，旋转矩阵R有3个，摄像机坐标系原点在世界坐标系中的坐标/>有3个。K中的3个参数被称为摄像机内部参数。R和/>表示了摄像机在世界坐标系下的朝向和位置，被称为摄像机外部参数。

进一步的，对于变焦摄像机

在摄像机变焦过程中，认为其空间位置及方向不变，仅内部参数变化。摄像机变焦过程中，所有内部参数均可表示为变焦参数z，对焦参数F和光圈参数A的函数。即：

变焦参数z可表示镜头变焦过程中镜组的位置等可采用传感器直接获取的相关参数。摄像机径向畸变系数可表示为r₁＝r₁(z,F,A),r₂＝r₂(z,F,A)。不考虑摄像机畸变的情况下，变焦摄像机成像模型可表示为下式：

其中K(z,F,A)为摄像机内部参数矩阵。R为旋转矩阵，为摄像机中心在世界坐标系中的位置。X为物点在世界坐标系中的坐标。

可见，变焦摄像机模型与一般摄像机的成像模型基本一致。仅摄像机内部参数及畸变参数随着摄像机变焦对焦和调整光圈发生变化。

变焦摄像机的标定过程旨在对其成像模型公式中的畸变参数s(z,F,A),等效焦距f_x(z,F,A),f_y(z,F,A)以及主点坐标u_x(z,F,A),v_y(z,F,A)进行标定。不同于定焦摄像机，这些参数均为变焦参数z的函数，而非固定值。

变焦摄像机主点位置的标定

在(7)所表示的变焦摄像机成像模型中，主点位置(u₀,v₀)根据日常使用场景中的变化程度可视其为为常量，不会随摄像机焦距的改变而变化。在此假设下，可以使用一种基于变焦图像序列的主点位置标定方法。标定过程中，直接固定摄像机位置，通过调整摄像机焦距获得若干幅图像，提取出每一幅图像中的特征点，则图像中同一特征点坐标的轨迹应为一直线，采用最小二乘法用直线拟合各特征点的轨迹。此时摄像机缩放中心即为特征点轨迹的交点。由于测量误差的存在，直线未交与一点时，可使用距各直线距离平方和最小的点作为直线交点。

直接采用图像缩放中心的方法简单直观，但是其物理意义不明确。同时，图像的缩放序列中还包含有拍摄各幅图像时摄像机焦距的比例参数，因此可采用光束平差法对各项参数进行优化求解。具体如下：

摄像机变焦过程中其位置和方向并未改变，因此可直接认为世界坐标系与摄像机坐标系重合。摄像机成像模型简化为：

此处X_j可直接理解为物点与摄像机中心的连线在摄像机坐标系下的方向向量。K(z_i)为对应于第i幅图像的摄像机内部参数矩阵。为物点X_j在第i幅图像中重投影点的齐次坐标。则只需用光束平差法求解下式：

式中，(u₀,v₀)可使用图像的缩放中心坐标作为初值。为实际测量的第j个特征点在第i幅图像中的位置。此法仅能求得各图像对应的摄像机焦距的相对值而非绝对值，因此可直接假设f_x＝f_y并且选择出现在所有图像中的两个特征点，以两特征点的图像距离为焦距初值。X_j可取任意图像上的像点，根据初始化的主点坐标和摄像机焦距，通过式(9)计算出初值。

该法不仅能够获得变焦摄像机的主点坐标，同时获得了图像序列对应的摄像机焦距的相对值。此时，若能通过其它方法获得任意图像焦距的实际值，那么图像序列对应的所有摄像机焦距便可依次求出。

变焦摄像机等效焦距标定

本发明采用一种含附加约束条件的自标定法对摄像机焦距进行标定。

自标定法在标定过程中不需要任何外部测量结果的辅助，仅依靠摄像机拍摄的图像中特征点的对应依赖关系即可求解出摄像机的内部参数矩阵。其基本原理如下：

首先假设摄像机拍摄图像的过程中，摄像机中心的位置不变。当被拍摄景物距离摄像机足够远时摄像机中心的较小位移可以忽略不计。因此摄像机中心的位置不变的条件很容易得到满足。此时，根据式(7)，可得到：

则对于两幅图像(如i＝1和i＝2)上共同的物点，有如下关系：

即两幅图像中对应特征点可由以单应性矩阵H＝KR₁₂K^-1联系起来。该矩阵可以通过在两幅图像中提取至少4对特征点进行求解。式中R₁₂为两摄像机坐标系之间的旋转矩阵。利用R₁₂是酉矩阵的性质，可以得到如下方程：

(KK^T)H^-T＝H(KK^T) (12)

为解出矩阵KK^T，至少需要2个单应性矩阵H，因此至少需要拍摄三幅图像。求解出矩阵KK^T后，即可通过cholesky分解求得内部参数矩阵K。同样，此时求得的值仅为接下来的光束平差法提供优化的初值。

此方法的一个基本假设是拍摄各图像的过程中，摄像机中心位置不变。因此可直接令世界坐标系的原点位于摄像机中心，则摄像机成像模型可简化为下式：

其中K为摄像机内部参数矩阵，R_i为拍摄第i幅图像时摄像机的旋转矩阵。与标定主点的过程相似，分别为从摄像机中心指向第j个特征点的方向向量以及该点在第i幅图像中的重投影图像位置。使用光束平差法求解下式即可得到摄像机内外参数的最优估计值：

式中{R_i}包含三个自由度，其初始值可通过在图像之间仅发生纯旋转的前提下进行线性求解。此时不可避免的会引入优化误差。本发明将相机固定在两轴伺服转台上，通过读取拍摄各图像时的转台的方位、俯仰角度直接求解{R_i}，具体方法如下：

首先对固定在转台上摄像机的运动过程进行建模如下：

1)摄像机首先绕y轴旋转，然后绕新的x轴旋转，使z轴指向目标方向。此步骤对应转台的方位、俯仰轴的调节。

2)摄像机绕新的z轴旋转，使x,y轴方向与目标方向重合。(可选)

通过第1)步的旋转可以使摄像机的z轴指向空间的任意方向。设摄像机绕y,x,z轴旋转的角度为(α,β,γ)且α∈[-π,π],β∈[-π/2,π/2]。则对应此旋转过程的旋转矩阵为：

当摄像机z轴的空间指向已知时，(α,β)可由z轴在空间指向的方向向量唯一确定，设d＝(d₁,d₂,d₃)^T为世界坐标系中表示z轴指向的单位方向向量。则α,β的求解方法如下：

以下直接表示为：α＝M_α(d),β＝M_β(d)。

设经纬仪等测量设备的坐标系与世界坐标系之间的转换矩阵为R_co。测得拍摄各幅图像时摄像机z轴指向在测量设备坐标系中表示为单位向量d_zi，则世界坐标系下方向向量为d_i＝R_cod_zi。

进一步，考虑第2)步的旋转，摄像机成像模型中的旋转矩阵可表示为以下形式：

R＝R(α,β,γ)＝R(M_α(d),M_β(d),γ) (17)

摄像机成像模型为：

x＝KR(M_α(d),M_β(d),γ)X (18)

综合以上讨论，含有附加约束的摄像机自标定方法可表示为如下形式：

其中R_co为测量设备坐标系和世界坐标系之间的旋转矩阵。d_i为由测量设备获得的测量设备坐标系下拍摄第i幅图像时摄像机z轴的单位方向向量。γ_i为拍摄第i幅图像时，摄像机绕其z轴转动的角度，K为内部参数矩阵，X_j为物点在世界坐标系中的方向向量。为第j个特征点在第i幅图像中的图像坐标。

由于摄像机被固定在两轴伺服转台上，其沿自身z轴的旋转角度始终为零，因此该项可忽略。d_i可根据拍摄第i幅图像时转台的方位俯仰直接计算可得。

此时(14)中的{R_i}已全部求得，光束平差法优化过程中不必对其进行调整，可大大提升算法的精度。

本发明的有益效果：本发明对变焦摄像机成像过程及相关参数进行了建模，并提出了变焦过程中摄像机主点位置不变的约束条件。利用这一约束条件，提出了基于变焦图像序列的标定方法以获得摄像机主点的准确位置。针对变焦摄像机焦距标定问题，提出含附加约束条件的自标定法。仿真试验和实际标定试验结果表明，本发明提出的方法具有较高的精度，可以在实际标定任务中加以使用。

附图说明

图1摄像机模型及坐标系示意图。

图2世界坐标系与摄像机坐标系间的变换。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。

本发明采用摄像机主点位置及焦距分离标定的方案。首先对摄像机主点位置进行标定，而后以此为基础，在不同的摄像机镜组位置对变焦摄像机的焦距进行标定。

变焦摄像机主点位置标定：

1、变焦摄像机主点位置的标定步骤如下：

1)固定摄像机位置，仅调整摄像机焦距，并始终保持摄像机对焦至无穷远，拍摄若干幅标定图像。

2)使用Sift特征提取算法对各幅图像进行特征点提取与初步匹配。

3)使用随机抽样一致性算法获得准确匹配。其具体步骤如下：

3.1)指定获取正确匹配的概率p。通过下式求解必要的抽样次数：设ε为抽样中抽取到离群点的概率。则对应以概论p获得正确模型的抽样次数为：

N＝log(1-p)/log(1-(1-ε)^k) (20)

式(20)中k为估计模型所至少需要的点数。

3.2)从观测数据集中随机选取k个点，计算出相应的模型，并将其余点代入模型验证，若误差在设定的允许范围内，则认为该点符合模型。计算出在该模型下符合模型的点的数目。

3.3)重复步骤3.2)N次，N由式(20)确定。选取符合模型的点数最多的一次，并且使用所有符合模型的数据再次估计模型，作为算法估计的最终输出，若此时有新的符合模型的点加入，则使用更新的符合模型的点的集合再次计算模型。直至没有新的符合模型的点加入。

4)选取多个各幅图像上共同的特征点，将每一特征点的轨迹拟合成为一条直线，并求出其交点，该点为图像的缩放中心，即变焦摄像机主点位置的初步估计值。

5)使用光束平差法求解式(9)，即最小化重投影点和图像特征点的距离平方和。具体步骤为：

5.1)确定参数初始值。其中主点初值由3)给出。相应的焦距参数使用同一对特征点在各幅图像上的距离作为初值。

5.2)迭代优化求解，使用高斯-牛顿法对(9)进行最小化，优化完毕即可获得变焦摄像机主点位置的最优估计以及拍摄各幅图像时摄像机焦距的比值。

基于角度距离约束的标定法的基本实现步骤如下：

1)将摄像机固定在两轴伺服转台上，保证在转台运动过程中摄像机不会沿自身z轴发生旋转。

2)拍摄含有足够多的控制点的图像。

3)使用harris角点检测方法提取控制点位置，并且表示为齐次坐标形式。具体步骤为：

3.1)设为以(x₀,y₀)为中心的窗口函数，I(x,y)为图像在(x,y)处的灰度值，计算在(x₀,y₀)处将图像窗口平移(u,v)之后产生的灰度变化：

3.2)将其在(0,0)处进行二元泰勒展开，得到：

其中，

3.2)对M(x₀,y₀)特征值进行求解及比较。此时较大特征值对应的特征向量方向为灰度变化最快的方向。较小特征值对应的特征向量为灰度变化最慢的方向。此时若两特征值大小相近，且均较大，则此处为一个角点，其余情况下此处可能为平坦区域或直线，不在本实现的应用范围内。

4)驱动两轴伺服转台，使图像中心对准3)中提取出的harris角点。测量控制点的方向，记录此时转台的方位角及俯仰角。

5)根据式(15)将控制点的水平角，竖直角参数转换为测量设备坐标系下的方向向量。

6)以控制点图像坐标与其方向向量的对应关系根据(11)(12)，求解单应性矩阵。

对单应性矩阵进行RQ分解。获得内部参数矩阵K以及从测量设备坐标系向摄像机坐标系进行坐标转换的旋转矩阵R。

7)以6)中获得的内部参数矩阵K和旋转矩阵R为初值，并以事先标定的摄像机主点坐标为约束，采用光束平差法对(19)进行求解。获得摄像机内部参数和旋转矩阵的最优估计。

8)调整变焦参数z，重复步骤1)-8)直至覆盖z的全部范围

9)根据标定出的等效焦距f及对应变焦参数，使用二次曲线进行拟合，获取f相对z的连续函数。完成标定过程。

Claims (1)

1.一种变焦摄像机标定方法，其特征在于，步骤如下：

步骤一、建立变焦摄像机成像模型

对于定焦摄像机模型：

令从空间一点到某一平面的中心投影为摄像机坐标系的原点，考虑摄像机坐标系中z＝f平面，该平面被称为像平面或焦平面；在摄像机模型下，空间一在摄像机坐标系下坐标为X＝(X,Y,Z)^T的物点被映射到连接该物点与摄像机中心的直线与像平面的交点上；

设C是摄像机中心，像平面被置于摄像机中心前方，p是摄像机的主轴和摄像机像平面的交点，被称为主点；摄像机中心位于世界坐标系的中心；此时根据图像中的相似变换关系得出由三维坐标系中的点到二维图像点的映射关系为：

其中(p_x,p_y)^T为主点在摄像机像平面坐标系下的坐标；将三维点坐标及二维点坐标改用齐次坐标表示，此时，摄像机成像模型简化表示为：

x＝K[I|0]X (2)

其中：

K被称为标定矩阵，该矩阵仅与摄像机自身的参数有关，而和摄像机在三维空间中的具体位置、朝向无关；因此K也被称为摄像机内部参数矩阵；当采取三维空间中摄像机坐标系以外的坐标系为世界坐标系时，世界坐标系和摄像机坐标系之间存在着平移和旋转的关系；设是世界坐标系中一点的非齐次坐标表示，/>是该点在摄像机坐标系下的非齐次坐标表示，那么这两坐标之间物点坐标的转换关系如下：

结合摄像机坐标系下的目标成像模型，最终定焦摄像机的成像模型表示为

其中，是摄像机坐标系的原点；中X是世界坐标系中物点坐标；式(5)是针孔摄像机模型下，物点坐标到图像坐标的表示；令/>则矩阵P共有9个自由度；摄像机标定矩阵K有3个，旋转矩阵R有3个，摄像机坐标系原点在世界坐标系中的坐标/>有3个；K中的3个参数被称为摄像机内部参数；R和/>表示了摄像机在世界坐标系下的朝向和位置，被称为摄像机外部参数；

对于变焦摄像机：

在摄像机变焦过程中，其空间位置及方向不变，仅内部参数变化；摄像机变焦过程中，所有内部参数均表示为变焦参数z，对焦参数F和光圈参数A的函数；即：

其中，f_x(z,F,A)、f_y(z,F,A)均表示等效焦距，s(z,F,A)表示畸变参数，u₀(z,F,A)、v₀(z,F,A)均表示主点坐标，变焦参数z表示镜头变焦过程中采用传感器直接获取的相关参数；摄像机径向畸变系数表示为r₁＝r₁(z,F,A),r₂＝r₂(z,F,A)；不考虑摄像机畸变的情况下，变焦摄像机成像模型表示为下式：

其中K(z,F,A)为摄像机内部参数矩阵；R为旋转矩阵，I为单位矩阵，为摄像机中心在世界坐标系中的位置；X＝(X,Y,Z)^T为物点在世界坐标系中的坐标；

变焦摄像机模型与一般摄像机的成像模型相比；仅摄像机内部参数及畸变参数随着摄像机变焦对焦和调整光圈发生变化；

变焦摄像机的标定过程包括对成像模型公式中的畸变参数s(z,F,A),等效焦距f_x(z,F,A),f_y(z,F,A)以及主点坐标u_x(z,F,A),v_y(z,F,A)进行标定；变焦摄像机的标定过程不同于定焦摄像机，这些参数均为变焦参数z的函数，而非固定值；

步骤二、变焦摄像机主点位置的标定

在式(7)所表示的变焦摄像机成像模型中，主点位置(u₀,v₀)根据日常使用场景中的变化程度视其为常量，不会随摄像机焦距的改变而变化；主点位置标定过程中，直接固定摄像机位置，通过调整摄像机焦距获得若干幅图像，提取出每一幅图像中的特征点，则图像中同一特征点坐标的轨迹应为一直线，采用最小二乘法用直线拟合各特征点的轨迹；此时摄像机缩放中心即为特征点轨迹的交点；

采用光束平差法对各项参数进行优化求解，具体如下：

摄像机变焦过程中其位置和方向并未改变，因此认为世界坐标系与摄像机坐标系重合；摄像机成像模型简化为：

此处X_j为物点与摄像机中心的连线在摄像机坐标系下的方向向量；K(z_i)为对应于第i幅图像的摄像机内部参数矩阵；为物点X_j在第i幅图像中重投影点的齐次坐标；则只需用光束平差法求解下式：

式中，(u₀,v₀)使用图像的缩放中心坐标作为初值；为实际测量的第j个特征点在第i幅图像中的位置；设f_x＝f_y并且选择出现在所有图像中的两个特征点，以两特征点的图像距离为焦距初值；X_j取任意图像上的像点，根据初始化的主点坐标和摄像机焦距，通过式(9)计算出初值；

步骤三、变焦摄像机等效焦距标定

采用一种含附加约束条件的自标定法对摄像机焦距进行标定，具体如下：

设摄像机拍摄图像的过程中，摄像机中心的位置不变；当被拍摄景物距离摄像机足够远时摄像机中心的位移忽略不计；因此摄像机中心的位置不变的条件很容易得到满足；此时，根据式(7)，得到：

则对于两幅图像上共同的物点，有如下关系：

即两幅图像中对应特征点由以单应性矩阵H＝KR₁₂K^-1联系起来；该矩阵通过在两幅图像中提取至少4对特征点进行求解；式中R₁₂为两摄像机坐标系之间的旋转矩阵；利用R₁₂是酉矩阵的性质，能够得到如下方程：

(KK^T)H^-T＝H(KK^T) (12)

为解出矩阵KK^T，至少需要2个单应性矩阵H，因此至少需要拍摄三幅图像；求解出矩阵KK^T后，即能通过cholesky分解求得内部参数矩阵K；同样，此时求得的值仅为接下来的光束平差法提供优化的初值；

由于设拍摄各图像的过程中，摄像机中心位置不变；因此直接令世界坐标系的原点位于摄像机中心，则摄像机成像模型简化为下式：

其中K为摄像机内部参数矩阵，R_i为拍摄第i幅图像时摄像机的旋转矩阵；与标定主点的过程相同，分别为从摄像机中心指向第j个特征点的方向向量以及该点在第i幅图像中的重投影图像位置；使用光束平差法求解下式即得到摄像机内外参数的最优估计值：

式中{R_i}包含三个自由度，其初始值通过在图像之间仅发生纯旋转的前提下进行线性求解；将相机固定在两轴伺服转台上，通过读取拍摄各图像时的转台的方位、俯仰角度直接求解{R_i}，具体方法如下：

首先对固定在转台上摄像机的运动过程进行建模如下：

1)摄像机首先绕y轴旋转，然后绕新的x轴旋转，使z轴指向目标方向；此步骤对应转台的方位、俯仰轴的调节；

2)摄像机绕新的z轴旋转，使x,y轴方向与目标方向重合；

通过第1)步的旋转使摄像机的z轴指向空间的任意方向；设摄像机绕y,x,z轴旋转的角度为(α,β,γ)且α∈[-π,π],β∈[-π/2,π/2]；则对应此旋转过程的旋转矩阵为：

当摄像机z轴的空间指向已知时，(α,β)由z轴在空间指向的方向向量唯一确定，设d＝(d₁,d₂,d₃)^T为世界坐标系中表示z轴指向的单位方向向量；则α,β的求解方法如下：

以下直接表示为：α＝M_α(d),β＝M_β(d)；

设测量设备的坐标系与世界坐标系之间的转换矩阵为R_co；测得拍摄各幅图像时摄像机z轴指向在测量设备坐标系中表示为单位向量d_zi，则世界坐标系下方向向量为d_i＝R_cod_zi；

考虑第2)步的旋转，摄像机成像模型中的旋转矩阵表示为以下形式：

R＝R(α,β,γ)＝R(M_α(d),M_β(d),γ) (17)

摄像机成像模型为：

x＝KR(M_α(d),M_β(d),γ)X (18)

含有附加约束的摄像机自标定方法表示为如下形式：

其中R_co为测量设备坐标系和世界坐标系之间的旋转矩阵；d_i为由测量设备获得的测量设备坐标系下拍摄第i幅图像时摄像机z轴的单位方向向量；γ_i为拍摄第i幅图像时，摄像机绕其z轴转动的角度，K为内部参数矩阵，X_j为物点在世界坐标系中的方向向量；为第j个特征点在第i幅图像中的图像坐标；

由于摄像机被固定在两轴伺服转台上，其沿自身z轴的旋转角度始终为零，因此该旋转角度忽略；d_i根据拍摄第i幅图像时转台的方位俯仰直接计算获得；

此时(14)中的{R_i}已全部求得。