CN111898235B - 磁控形状记忆合金执行器的Duhem模型参数辨识方法 - Google Patents

Abstract

一种磁控形状记忆合金执行器的Duhem模型参数辨识方法，属于控制工程技术领域。本发明的目的是建立能够精确描述磁控形状记忆合金执行器的带有频率相关、强非对称和饱和特性的迟滞非线性的Duhem模型。本发明步骤是：将Duhem模型的微分方程离散化，得到离散Duhem模型；用T‑S模糊神经网络辨识离散Duhem模型的参数向量；对T‑S模糊神经网络进行不断训练来更新神经网络参数，从而得到参数最佳时的T‑S模糊神经网络；用步骤3中训练好的T‑S模糊神经网络，得到用T‑S模糊神经网络辨识的磁控形状记忆合金执行器的Duhem模型。本发明和现有的Duhem模型相比，可以得到更高精度的建模效果，为磁控形状记忆合金执行器在超高精密定位控制中的应用奠定了基础。

Description

磁控形状记忆合金执行器的Duhem模型参数辨识方法

技术领域

本发明属于控制工程技术领域。

背景技术

磁控形状记忆合金执行器由于具有行程大和位移分辨率高等优点，被视为实现微纳米高精度定位要求的首选微执行器类型之一。然而，磁控形状记忆合金执行器自身具有的频率相关、强非对称性和饱和特性的复杂迟滞非线性严重影响了其定位精度。为了降低迟滞非线性对磁控形状记忆合金执行器的高精密定位带来的不良影响，国内外研究学者都对磁控形状记忆合金执行器的迟滞建模和辨识开展了大量的研究工作，从而可以更加精确地描述迟滞非线性，以利于磁控形状记忆合金执行器的定位控制的应用。

目前描述磁控形状记忆合金执行器的建模方法主要有Prandtl-Ishlinskii(PI)模型、Krasnosel’skii-Pokrovskii(KP)模型、Duhem模型等。但PI模型和KP模型这类算子类模型的建模原理是通过带有权重的算子叠加得到的，由于其建模机理，导致这类模型的建模计算复杂且参数较多。而Duhem模型是微分方程类模型的一种，它具有数学表达式清晰且参数较少的特点，通过调整参数，可以描述各种迟滞环，适合于工程应用。

经典Duhem模型的参数辨识通常采用最小二乘法等经典辨识法或是蝙蝠算法等元启发式算法，采用这些辨识方法得到的Duhem模型只能描述频率无关且对称的迟滞环，在对磁控形状记忆合金执行器的带有频率相关、强非对称性和饱和特性的复杂迟滞非线性进行描述时，建立的模型对迟滞的描述明显是不符合建模精度要求的。因此，找到一种可以让Duhem模型具有精确描述复杂迟滞非线性的辨识方法，对磁控形状记忆合金执行器在微定位领域的广泛应用具有很大的价值。

发明内容

本发明的目的是建立能够精确描述磁控形状记忆合金执行器的带有频率相关、强非对称和饱和特性的迟滞非线性的磁控形状记忆合金执行器的Duhem模型参数辨识方法。

本发明步骤是：

步骤一：根据Duhem模型的微分方程，对其进行离散处理，从而推导得到离散化的Duhem参数模型；

Duhem模型的微分方程表达式为：

其中，y和v分别为Duhem模型的输出和输入；η是Duhem模型的权重系数；f(v)和g(v)分别为Duhem模型中描述迟滞非线性的分段连续函数；为了降低计算复杂度，f(v)和g(v)一般采用多项式来进行逼近，并且它们的表达式为：

其中，i＝0,1,...,p，j＝0,1,...,q，且p和q分别表示多项式f(v)和g(v)的阶次；f₀,...,f_p和g₀,...,g_q表示多项式系数；

将式(2)和(3)代入到(1)中，可得：

其中，η，f₀,...,f_p和g₀,...,g_q是Duhem模型中的待辨识参数；

为了便于将Duhem模型进行离散化处理，设：

V(k)＝|v(k)-v(k-1)| (5)

W(k)＝v(k)-v(k-1) (6)

Y(k)＝y(k)-y(k-1) (7)

将式(5)-(7)代入式(4)，从而得到离散Duhem参数模型表达式为：

其中，Ξ(k)表示离散Duhem模型的输入向量，Ω表示离散Duhem模型的待辨识参数向量

步骤二：根据离散化的Duhem模型，将其输入向量Ξ(k)作为T-S模糊神经网络的输入，用T-S模糊神经网络来在线对离散Duhem模型中的待辨识参数向量Ω进行自适应更新；

T-S模糊神经网络属于T-S模糊系统，并且它由一系列IF-THEN模糊规则所组成，即：

其中，R_b(b＝1,2,...,n)表示第b个模糊规则，n为模糊规则总数，z_a(a＝1,2,…,m)表示前件输入变量，m为输入变量总数，A_ab表示第b个前件模糊子集，并且通常选用高斯函数作为模糊子集的隶属度函数，即隶属度函数

可以描述为

其中，ζ和σ均为高斯函数系数，y_b表示后件变量，φ_ab为后件权重参数；

为了得到T-S模糊神经网络的输出，需要将前件模糊子集A_ab的隶属度函数μ_Aab进行结合从而得到χ_b，即：

最终得到T-S模糊神经网络的输出为：

其中，

φ_b＝(φ_0b,φ_1b,…,φ_mb)^T,

χ＝(χ₁,χ₂,…,χ_n),z＝(1,z₁,z₂,…,z_m)；

式(8)中的向量Ξ(k)作为T-S模糊神经网络的输入向量z，式(8)中的待辨识参数向量Ω用T-S模糊神经网络进行自适应的更新；

步骤三：对T-S模糊神经网络进行不断地训练，根据训练结果得到T-S模糊神经网络的参数矩阵W的最佳取值；

T-S模糊神经网络中采用梯度下降法作为学习算法来对神经网络参数进行不断地调整，根据训练结果得到T-S模糊神经网络的参数矩阵W的最佳取值；

T-S模糊神经网络在用梯度下降法进行参数学习时，误差函数为：

其中，y_T代表T-S模糊神经网络的输出，y_a代表磁控形状记忆合金执行器实际输出，

代表T-S模糊神经网络中需要训练的参数矩阵，ζ_b＝(ζ_1b,ζ_2b,...,ζ_mb)^T和σ_b＝(σ_1b,σ_2b,…,σ_mb)^T为高斯函数系数向量，φ_b＝(φ_0b,φ_1b,…,φ_mb)^T为后件权重参数向量，

T-S模糊神经网络的参数矩阵W用下式所示的梯度下降法进行更新：

其中，τ为梯度下降法中的学习参数；

根据式(12)的误差函数，用式(13)的梯度下降法不断训练T-S模糊神经网络，最终得到T-S模糊神经网络的参数矩阵W的最佳取值；

步骤四：在步骤三中训练好的T-S模糊神经网络的功能等价于离散Duhem模型中的待辨识参数向量Ω，即用已经训练好的T-S模糊神经网络代替待辨识参数向量Ω，从而完成Duhem模型的参数辨识，构建出用T-S模糊神经网络辨识的磁控形状记忆合金执行器的离散Duhem模型；

由于离散Duhem模型的输出为Y＝Ξ^TΩ，将离散Duhem模型中的输入向量Ξ作为T-S模糊神经网络y_T＝χΦz中的输入向量z，再结合步骤三中训练好的T-S模糊神经网络参数矩阵W，可以得到模糊神经网络的输出y_T，也就是用训练好的T-S模糊神经网络来代替离散Duhem模型中的待辨识参数向量Ω，从而完成离散Duhem模型的参数辨识，最终得到能够描述磁控形状记忆合金执行器的复杂迟滞非线性的离散Duhem模型。

本发明采用T-S模糊神经网络对离散Duhem模型的参数进行辨识，从而使得Duhem模型具有描述带有频率相关、强非对称和饱和特性的迟滞环的能力。克服了现有技术的缺陷，很大程度的提高了Duhem模型对于磁控形状记忆合金执行器具有的复杂迟滞非线性的建模精度，为磁控形状记忆合金执行器的精密定位控制应用奠定了基础，且易于工程实现。

附图说明

图1是本发明的基于T-S模糊神经网络的离散Duhem模型参数辨识示意图；

图2是本发明的磁控形状记忆合金执行器的实验装置图；

图3是本发明的磁控形状记忆合金执行器的实验装置原理示意图；

图4是本发明的输入正弦信号(频率为0.5Hz)且在空载情况时的模型输出曲线和实际执行器输出曲线对比图；

图5是本发明的输入正弦信号(频率为4Hz)且在空载情况时的模型输出曲线和实际执行器输出曲线对比图；

图6是本发明的输入混合信号(频率为0.8Hz和1Hz)且在空载情况时的模型输出曲线和实际执行器输出曲线对比图；

图7是本发明的输入正弦信号(频率为0.5Hz)且在空载情况时的模型输出和实际执行器输出的误差图；

图8是本发明的输入正弦信号(频率为4Hz)且在空载情况时的模型输出和实际执行器输出的误差图；

图9是本发明的输入混合信号(频率为0.8Hz和1Hz)且在空载情况时的模型输出和实际执行器输出的误差图；

图10是本发明的输入正弦信号(频率为0.5Hz)且在带载情况时的模型输出曲线和实际执行器输出曲线对比图；

图11是本发明的输入正弦信号(频率为4Hz)且在带载情况时的模型输出曲线和实际执行器输出曲线对比图；

图12是本发明的输入混合信号(频率为0.8Hz和1Hz)且在带载情况时的模型输出曲线和实际执行器输出曲线对比图；

图13是本发明的输入正弦信号(频率为0.5Hz)且在带载情况时的模型输出和实际执行器输出的误差图；

图14是本发明的输入正弦信号(频率为4Hz)且在带载情况时的模型输出和实际执行器输出的误差图；

图15是本发明的输入混合信号(频率为0.8Hz和1Hz)且在带载情况时的模型输出和实际执行器输出的误差图。

具体实施方式

本发明将离散化的Duhem模型的输入向量作为T-S模糊神经网络的输入向量，从而对T-S模糊神经网络进行训练，用训练所得的参数最佳的T-S模糊神经网络来代替离散Duhem模型中的待辨识参数向量，以构建出磁控形状记忆合金执行器的迟滞模型，如图1所示。

步骤1：根据Duhem模型的微分方程，对其进行离散处理，从而推导得到离散化的Duhem参数模型：

Duhem模型的微分方程表达式为：

其中，y和v分别为Duhem模型的输出和输入。η是Duhem模型的权重系数。f(v)和g(v)分别为Duhem模型中描述迟滞非线性的分段连续函数。

为了降低计算复杂度，f(v)和g(v)一般采用多项式来进行逼近，并且它们的表达式为：

其中，i＝0,1,…,p，j＝0,1,…,q，且p和q分别表示多项式f(v)和g(v)的阶次。f₀,…,f_p和g₀,…,g_q表示多项式系数。

将式(2)和(3)代入到(1)中，可得：

其中，η，f₀,…,f_p和g₀,…,g_q是Duhem模型中的待辨识参数。

为了便于对Duhem模型进行离散化处理，设：

V(k)＝|v(k)-v(k-1)| (5)

W(k)＝v(k)-v(k-1) (6)

Y(k)＝y(k)-y(k-1) (7)

将式(5)-(7)代入式(4)，从而得到离散Duhem参数模型表达式为：

其中，Ξ(k)表示离散Duhem模型的输入向量，Ω表示离散Duhem模型的待辨识参数向量。

步骤2：根据离散化的Duhem模型，将其输入向量Ξ(k)作为T-S模糊神经网络的输入，用T-S模糊神经网络来在线对离散Duhem模型中的待辨识参数向量Ω进行自适应更新：T-S模糊神经网络属于T-S模糊系统，并且它由一系列IF-THEN模糊规则所组成，即：

其中，R_b(b＝1,2,…,n)表示第b个模糊规则，n为模糊规则总数。z_a(a＝1,2,…,m)表示前件输入变量，m为输入变量总数。A_ab表示第b个前件模糊子集，并且通常选用高斯函数作为模糊子集的隶属度函数，即隶属度函数

可以描述为：

其中，ζ和σ均为高斯函数系数，并记ζ_b＝(ζ_1b,ζ_2b,...,ζ_mb)^T和σ_b＝(σ_1b,σ_2b,...,σ_mb)^T为高斯函数系数向量。

式(9)中的y_b表示后件变量，在T-S模糊神经网络中，F_b通常定义为：

y_b＝F_b＝φ_0b+φ_1bz₁+…+φ_abz_a (11)

其中，φ_ab为后件权重参数。

为了得到T-S模糊神经网络的输出，需要将前件模糊子集A_ab的隶属度函数

进行结合从而得到χ_b，即：

最终得到T-S模糊神经网络的输出为：

其中，

φ_b＝(φ_0b,φ_1b,…,φ_mb)^T,

χ＝(χ₁,χ₂,…,χ_n),z＝(1,z₁,z₂,…,z_m)。

式(8)中的向量Ξ(k)作为T-S模糊神经网络的输入向量z，式(8)中的待辨识参数向量Ω用T-S模糊神经网络进行自适应的更新。

步骤3：对T-S模糊神经网络进行不断地训练，根据训练结果得到T-S模糊神经网络的参数矩阵W的最佳取值：

T-S模糊神经网络中采用梯度下降法作为学习算法来对神经网络参数进行不断地调整，根据训练结果得到T-S模糊神经网络的参数矩阵W的最佳取值。

T-S模糊神经网络在用梯度下降法进行参数学习时，误差函数为：

其中，y_T代表T-S模糊神经网络的输出，y_a代表磁控形状记忆合金执行器实际输出。

代表T-S模糊神经网络中需要训练的参数矩阵。

T-S模糊神经网络的参数矩阵W用梯度下降法进行更新，如下式所示：

其中，τ为梯度下降法中的学习参数。

根据式(14)的误差函数，用式(15)的梯度下降法不断训练T-S模糊神经网络，最终得到T-S模糊神经网络的参数矩阵W的最佳取值。

步骤4：用步骤3中训练好的T-S模糊神经网络，构建出基于T-S模糊神经网络辨识的磁控形状记忆合金执行器的离散Duhem模型：

由于离散Duhem模型的输出为Y＝Ξ^TΩ，将离散Duhem模型中的输入向量Ξ作为T-S模糊神经网络y_T＝χΦz中的输入向量z，再结合步骤3中训练好的T-S模糊神经网络参数矩阵W，可以得到模糊神经网络的输出y_T，也就是用训练好的T-S模糊神经网络来代替离散Duhem模型中的待辨识参数向量Ω，从而完成离散Duhem模型的参数辨识，最终得到能够描述磁控形状记忆合金执行器的复杂迟滞非线性的离散Duhem模型。

用以下两个具体实施例来对本发明的有益效果进行验证。

实施例1：磁控形状记忆合金执行器工作在空载情况时(即负载＝0kg)，用基于T-S模糊神经网络辨识的离散Duhem模型为磁控形状记忆合金执行器进行建模，来验证此建模方法的有效性。

①实验平台：用图2所示的实验平台来验证建模方法的有效性。实验平台的工作原理如图3所示。实验平台的硬件设施包括计算机、数据采集卡、可编程直流电源、磁控形状记忆合金执行器和差动变压位移传感器。

计算机中安装有MATLAB/Simulink软件，在软件中编写用于建模的驱动信号，此信号经过数据采集卡的D/A转换功能，将计算机中的数字驱动信号转换为模拟信号，再经过可编程直流电源从而输入到磁控形状记忆合金执行器中。磁控形状记忆合金执行器受到驱动信号作用之后，会相应的产生位移。位移用差动变压位移传感器进行测量，并将测量得到的模拟信号经过数据采集卡的D/A转换，再送回到计算机中，进行相应数据处理和分析。

②设置驱动的输入信号：选择频率不同幅值相同的正弦信号(频率分别为0.5Hz和4Hz)和混合信号(频率为0.8Hz和1Hz)这两种信号作为驱动磁控形状记忆合金执行器的信号。并设置采样时间为0.001s。

③设置参数：设离散Duhem模型中的p＝q＝3。设T-S模糊神经网络中的输入变量个数m＝9，模糊规则数n＝6。设梯度下降法中的学习参数τ＝0.1。

④建模性能评价指标：用均方根误差(RMSE)和最大误差(ME)来评价模型的建模效果。RMSE和ME的计算公式为：

其中，k为第k个采样时间，K为总采样时间。Y(k)为本发明所述的Duhem模型的输出，y_a(k)为磁控形状记忆合金执行器的实际输出。即在计算机上的MATLAB/Simulink中编写好基于T-S模糊神经网络辨识的离散Duhem模型的程序，在驱动信号的作用下，磁控形状记忆合金执行器产生的实际位移y_a(k)和编写好的模型程序得到的位移Y(k)进行RMSE和ME的计算。

通过实验得到的本发明所述的Duhem模型的建模结果如图4-图9所示。由图4-图6可知，在不同的驱动信号作用下本发明所述的Duhem模型的输出可以很好的拟合执行器实际的输出，且分别对图4-图6的模型输出和实际输出进行相减，得到对应的图7-图9的误差曲线图。而且可以得到图4-图6对应的RMSE和ME，如表1所示。由表1和图7-图9的误差曲线图可知，在不同驱动信号作用下，本发明所述的Duhem模型的最大RMSE为0.3082μm，最大ME为0.40％，表明本发明所述的Duhem模型具有很好的建模效果。

表1空载情况时用本发明所述的Duhem模型对磁控形状记忆合金执行器建模得到的RMSE和ME

驱动信号	RMSE(μm)	ME(％)
			频率为0.5Hz的正弦信号	0.1065	0.09
频率为4Hz的正弦信号	0.2757	0.25
			频率为0.8Hz和1Hz的混合信号	0.3082	0.40

实施例2：磁控形状记忆合金执行器工作在带载情况时(即负载＝0.2kg)，用基于T-S模糊神经网络辨识的离散Duhem模型为磁控形状记忆合金执行器进行建模，来验证此建模方法的有效性。

其它设置同实施例1。

通过实验得到的本发明所述的Duhem模型的建模结果如图10-图15所示。由图10-图12可知，在带载情况下，当用不同的驱动信号输入到磁控形状记忆合金执行器时，本发明所述的Duhem模型的输出仍然可以很好的描述执行器实际的输出，且分别对图10-图12的模型输出和实际输出进行相减，得到对应的图13-图15的误差曲线图。同时可以得到对应的RMSE和ME，如表2所示。由表2和图13-图15的误差曲线图可知，在不同驱动信号作用下，本发明所述的Duhem模型的最大RMSE为0.2609μm，最大ME为0.71％，表明本发明所述的Duhem模型的建模精度较高，具有更好的描述磁控形状记忆合金执行器的带有频率相关、强非对称和饱和特性的迟滞非线性的能力。

表2带载情况时用本发明所述的Duhem模型对磁控形状记忆合金执行器建模得到的的RMSE和ME

驱动信号	RMSE(μm)	ME(％)
			频率为0.5Hz的正弦信号	0.1190	0.13
频率为4Hz的正弦信号	0.2609	0.26
			频率为0.8Hz和1Hz的混合信号	0.2608	0.71

Claims (1)

1.一种磁控形状记忆合金执行器的Duhem模型参数辨识方法，其特征在于：其步骤是：

步骤一：根据Duhem模型的微分方程，对其进行离散处理，从而推导得到离散化的Duhem参数模型；

Duhem模型的微分方程表达式为：

其中，y和v分别为Duhem模型的输出和输入；η是Duhem模型的权重系数；f(v)和g(v)分别为Duhem模型中描述迟滞非线性的分段连续函数；为了降低计算复杂度，f(v)和g(v)采用多项式来进行逼近，并且它们的表达式为：

其中，i＝0,1,...,p，j＝0,1,...,q，且p和q分别表示多项式f(v)和g(v)的阶次；f₀,...,f_p和g₀,...,g_q表示多项式系数；

将式(2)和(3)代入到(1)中，可得：

其中，η，f₀,...,f_p和g₀,...,g_q是Duhem模型中的待辨识参数；

为了便于将Duhem模型进行离散化处理，设：

V(k)＝|v(k)-v(k-1)| (5)

W(k)＝v(k)-v(k-1) (6)

Y(k)＝y(k)-y(k-1) (7)

将式(5)-(7)代入式(4)，从而得到离散Duhem参数模型表达式为：

其中，Ξ(k)表示离散Duhem模型的输入向量，Ω表示离散Duhem模型的待辨识参数向量步骤二：根据离散化的Duhem模型，将其输入向量Ξ(k)作为T-S模糊神经网络的输入，用T-S模糊神经网络来在线对离散Duhem模型中的待辨识参数向量Ω进行自适应更新；

T-S模糊神经网络属于T-S模糊系统，并且它由一系列IF-THEN模糊规则所组成，即：

其中，R_b,其中b＝1,2,...,n，表示第b个模糊规则，n为模糊规则总数，z_a,其中，a＝1,2,...,m，表示前件输入变量，m为输入变量总数，A_ab表示第b个前件模糊子集，并且选用高斯函数作为模糊子集的隶属度函数，即隶属度函数

可以描述为

其中，ζ和σ均为高斯函数系数，y_b表示后件变量，φ_ab为后件权重参数；

为了得到T-S模糊神经网络的输出，需要将前件模糊子集A_ab的隶属度函数

进行结合从而得到χ_b，即：

最终得到T-S模糊神经网络的输出为：

其中，

φ_b＝(φ_0b,φ_1b,…,φ_mb)^T,

χ＝(χ₁,χ₂,…,χ_n),z＝(1,z₁,z₂,…,z_m)；

式(8)中的向量Ξ(k)作为T-S模糊神经网络的输入向量z，式(8)中的待辨识参数向量Ω用T-S模糊神经网络进行自适应的更新；

步骤三：对T-S模糊神经网络进行不断地训练，根据训练结果得到T-S模糊神经网络的参数矩阵W的最佳取值；

T-S模糊神经网络中采用梯度下降法作为学习算法来对神经网络参数进行不断地调整，根据训练结果得到T-S模糊神经网络的参数矩阵W的最佳取值；

T-S模糊神经网络在用梯度下降法进行参数学习时，误差函数为：

其中，y_T代表T-S模糊神经网络的输出，y_a代表磁控形状记忆合金执行器实际输出，

代表T-S模糊神经网络中需要训练的参数矩阵，ζ_b＝(ζ_1b,ζ_2b,...,ζ_mb)^T和σ_b＝(σ_1b,σ_2b,...,σ_mb)^T为高斯函数系数向量，φ_b＝(φ_0b,φ_1b,…,φ_mb)^T为后件权重参数向量，

T-S模糊神经网络的参数矩阵W用下式所示的梯度下降法进行更新：

其中，τ为梯度下降法中的学习参数；

根据式(12)的误差函数，用式(13)的梯度下降法不断训练T-S模糊神经网络，最终得到T-S模糊神经网络的参数矩阵W的最佳取值；

步骤四：在步骤三中训练好的T-S模糊神经网络的功能等价于离散Duhem模型中的待辨识参数向量Ω，即用已经训练好的T-S模糊神经网络代替待辨识参数向量Ω，从而完成Duhem模型的参数辨识，构建出用T-S模糊神经网络辨识的磁控形状记忆合金执行器的离散Duhem模型；

由于离散Duhem模型的输出为Y＝Ξ^TΩ，将离散Duhem模型中的输入向量Ξ作为T-S模糊神经网络y_T＝χΦz中的输入向量z，再结合步骤三中训练好的T-S模糊神经网络参数矩阵W，可以得到模糊神经网络的输出y_T，也就是用训练好的T-S模糊神经网络来代替离散Duhem模型中的待辨识参数向量Ω，从而完成离散Duhem模型的参数辨识，最终得到能够描述磁控形状记忆合金执行器的复杂迟滞非线性的离散Duhem模型。

Images