CN111882156B - 面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化方法 - Google Patents

面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化方法：S1、在列车时刻表鲁棒优化模型中引入有效服务决策变量、列车在首站的发车时间决策变量以及各站间运行曲线选择决策变量；S2、构建列车时刻表与列车的发车时间决策变量和各站间运行曲线选择决策变量之间的线性关联约束；S3、构建列车时刻表与有效服务决策变量之间的非线性关联约束；构建列车运行安全时间间隔约束和列车承载能力约束；S4、结合步骤S1‑S3，构建面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化模型；S5、对鲁棒优化模型进行求解，得到最优列车时刻表。本发明可以高效求解不确定客流条件下的地铁列车时刻表优化问题，提高了解的鲁棒性。

Description

面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化方法
技术领域
本发明属于城市轨道交通运输组织技术领域，涉及一种面向随机动态客流和节能运行的地铁列车时刻表鲁棒优化方法，尤其涉及不确定客流条件下地铁列车时刻表鲁棒优化方法。
背景技术
大城市内的多种交通方式各有特点，缺一不可，轨道交通作为公共交通的主力与骨干，是破解交通拥堵、环境污染、资源浪费等难题的治本之策。城市轨道交通依靠其便捷、准时、大运量、低排放和高可靠性等特点，承担了规模巨大的出行需求。城市轨道交通需求具有复杂多样性和时空集散性等基本特征，在日常运营过程中呈现出高度不确定性，城市轨道交通的发展又将受到列车运行速度、客流量等因素的制约。因而，从系统优化层面编制适应不确定客流需求的地铁列车鲁棒时刻表，以合理分配运力、提高运营效率，是城市轨道交通运输组织中亟待解决的问题。
列车时刻表在整个城市轨道交通运输系统中占据极其重要的地位。其一方面是保证列车安全、正点运行的基础文件，同时又是为社会提供服务的一种有效表现形式。作为列车开行计划编制中的重要环节以及地铁公司组织列车运营的基础，列车时刻表优化设计问题通常是，在既定线路基础上，列车编组数量确定后，根据客流需求和车底数量确定发车密度、运行时间以及停站时间，确定各列车在各车站的到达和离开时刻。目前，针对既定列车数量、调整停站时间、运行时间等技术手段以及考虑确定性客流需求进行时刻表优化的研究已有一定的积累。然而，在基于随机动态客流需求，同时考虑运营公司、乘客和社会利益(即运营成本、出行时间和节能运行)的列车时刻表优化设计方面的研究则相对较少。
目前，虽然诸多学者对列车时刻表的优化方法进行了研究，但大部分是在给定列车数量以及列车在站间运行时间的基础上进行的。从系统优化的角度来看，这种分层决策方法通常只能得到两个子问题的局部最优解，无法从根本上满足以较低的成本为乘客提供较高服务水平的目标。例如，在高峰时段，客流量较大，1小时内以5分钟为时间间隔需开行12辆列车；在平峰时段，客流量较小，以6分钟为时间间隔则只需开行10辆列车；而在夜间，客流量更小，以10分钟为间隔只需开行6辆列车。因此，在客流量较大的情况下，前者虽需更高的运行成本，但能够有效降低乘客等待时间以提高服务水平；而在客流量较小的情况下，在保证乘客等待时间的前提下，降低运营成本、提高经济效益将成为运营公司的主要目标。此外，列车在站间的运行时间与列车在该站间运行时的总质量对列车牵引能耗和辅助能耗的大小也具有直接的影响。因此，在客流量不确定条件下，需要提供一种面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化方法，从系统优化的层面同时优化开行列车数量以及相应的列车时刻表，以期得到一个系统最优的轨道交通运输组织方案，为城市轨道交通实现精细化运营提供决策支持。
发明内容
本发明的目的在于提供一种面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化方法，以期改善现有方法仅考虑确定性客流条件下分步独立优化列车开行数量、站间运行曲线与列车时刻表产生局部最优解的问题，以及按时段多次求解平峰和高峰时刻表的繁琐问题，从而提高地铁列车时刻表的系统优化质量，避免列车运力过剩、牵引能耗过高以及乘客等待时间过长等重要问题。
为达到以上目的，本发明通过将规划时间区间离散化为若干个时间段，采用基于场景的时间相关OD客流矩阵，建立地铁列车时刻表鲁棒优化模型，优化各列车在首站发车间隔及各站间运行曲线，提高解的鲁棒性。最后，分别采用优化软件(CPLEX)和变邻域搜索(VNS)算法对模型进行有效求解。具体技术方案如下：
一种面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化方法，包括如下步骤：
S1、记路线中线路的车站集合为其中，车站1为始发站，车站N为终点站；记可用物理列车集合为/>共有K个列车可投入服务；记客流场景集合为/>记离散时间段集合/>其中t表示第t个时间段；
在列车时刻表鲁棒优化模型中引入有效服务决策变量yk、列车在首站的发车时间决策变量d1,k以及各站间运行曲线选择决策变量其中k表示列车k，/>
S2、分析列车时刻表与列车在首站的发车时间决策变量和各站间运行曲线选择决策变量之间的关系，构建列车时刻表与列车的发车时间决策变量di,k和各站间运行曲线选择决策变量之间的线性关联约束；
S3、构建列车时刻表与有效服务决策变量yk之间的非线性关联约束；构建列车运行安全时间间隔约束和列车承载能力约束；
S4、结合步骤S1-S3，构建以列车固定成本、乘客的总等待时间和列车总能耗为目标的面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化模型，所述鲁棒优化模型的决策变量包括有效服务决策变量、列车的发车时间在首站出发时间决策变量、列车在各站间运行曲线选择决策变量；
S5、对所述鲁棒优化模型进行求解，得到全局最优解，作为最优列车时刻表。
步骤S1中，有效服务决策变量yk＝1表示列车k执行有效服务，yk＝0表示列车k执行无效服务；
列车在首站的发车时间决策变量d1,k表示列车k离开车站1的时刻；
站间运行曲线选择决策变量表示列车k在区间[i,i+1]运行时选择曲线f。
步骤S2的具体步骤为：引入二元辅助变量zi,k(t)，zi,k(t)＝1表示t时刻列车k已到达或已经过车站i，zi,k(t)＝0表示t时刻列车k未到达且未经过车站i，该变量满足非增约束，如(2)式所示；列车k在车站i的出发时刻di,k表示为(3)式：
其中，为路线中的车站集合，/>为可用物理列车集合，/>为离散时间段集合；di,k为列车的发车时间决策变量，表示列车k在di,k时刻从车站i出发，ai+1,k表示在ai+1,k时刻到达后续车站i+1，区间[i,i+1]上的运行时间ri,k由列车k在该区间上运行时所选运行曲线决定；此时，有如下的列车时刻表与列车的发车时间决策变量和站间运行曲线选择决策变量之间的线性关联约束：
其中，为路线中的车站集合，/>为可用物理列车集合，ai,k为列车k到达车站i的时刻，di,k为列车k离开车站i的时刻，si,k为列车k在车站i的停站时间，ri,k为列车k在区间[i,i+1]的运行时间，/>为区间[i,i+1]上所有备选运行曲线集合，/>为区段[i,i+1]内的运行曲线f对应的运行时间；式(4)和式(5)为列车出发、到达时间约束，式(6)为站间运行时间与站间运行曲线选择决策变量的关联约束，式(7)为列车k在区间[i,i+1]上运行时所选运行曲线的唯一性约束。
步骤S3中构建列车时刻表与有效服务决策变量yk之间的非线性关联约束的步骤为：为有效服务决策变量yk建立非减约束，如式(8)所示：
为使执行有效服务的列车能够在规划时间区间内完成服务，则有效末班车在各站的发车时间应晚于该站乘客到达时间边界，且有效次末班车在各站的发车时间应严格早于该站乘客到达时间边界；若列车执行有效服务，记yk＝1，并采用yk-yk+1＝1表示列车k为有效末班车，yk+1-yk+2＝1表示列车k为有效次末班车；则有效末班车在各站的发车时间约束和有效次末班车在各站的发车时间约束分别如式(9)和式(10)所示：
其中，为车站i的乘客到达时间边界；式(9)和式(10)为非线性约束。
步骤S3中构建列车运行安全时间间隔约束的步骤为：记列车k与其前车k-1在车站i的发车时间间隔为hi,k，hi,k＝di,k-di,k-1,列车安全时间间隔约束构建如下：
其中，H和分别为相邻两列车离开或到达车站的最小和最大间隔时间。
步骤S3中构建列车承载能力约束的步骤为：通过步骤S2中表示列车状态的二元辅助变量zi,k(t)，构建表示当前第t个时间段车站i的乘客能够搭乘车次k的二元辅助变量Li,k(t)，Li,k(t)＝1表示第t个时间段到达车站i的乘客能够搭乘车次k；Li,k(t)＝0，表示第t个时间段到达车站i的乘客不能搭乘车次k；具体表示为式(16)：
因此，ω场景下列车k在车站i的上下车人数、车厢内乘客数量以及列车承载能力约束构建如下：
其中，Pi,j,ω(t)为ω场景下第t个时间段到达车站i并前往车站j的乘客数量，Pi′,i,ω(t)为ω场景下第t个时间段到达车站i′并前往车站i的乘客数量；公式(17)中的为ω场景下列车k在车站i的上车人数，公式(18)中的/>为ω场景下列车k在车站i的下车人数，Ci,k,ω为ω场景下列车k离开车站i时车厢内的乘客总数量，Cmax为列车的最大承载能力；公式(19)描述了ω场景下列车k在车站i车厢内乘客数量的动态变化过程，该过程必须满足列车最大承载能力约束(20)以保证当前列车时刻表的可行性。
步骤S4的具体步骤为：(1)规划时间区间内运行的有效车次总数为根据有效服务单位固定成本Q0，建立表示总运营成本的目标函数，如式(21)所示，列车的总固定成本为：
(2)乘客进入站台后，在候车区等候进站列车，第t个时间段到达车站i并乘坐车次k离开的乘客等待时间为di,k-t，根据二元辅助变量Li,k(t)的定义，乘客总等待时间的期望值通过以下公式计算：
其中，TWω为ω场景下乘客的总等待时间，αω为场景ω的概率。
(3)列车总能耗包括：与列车总质量相关的牵引能耗和与在车人数和站间运行时间相关的辅助能耗；记列车空车状态下的质量为M0，乘客平均质量为Mp；列车空车状态下运行时单位牵引能耗为ui,k，具体表示为(26)式；当且仅当列车执行有效服务时才会产生牵引能耗，因而，ω场景下列车k在区间[i,i+1]上运行时的牵引能耗表示为(27)式：
其中，μ1,μ2,μ3为由实际运行数据计算得出的常参数；
记Pac为车厢内单位时间人均耗电量，Plc为车厢内辅助设备单位时间耗电量；同样，当且仅当列车执行有效服务时才会产生辅助能耗，因而，ω场景下列车k在区间[i,i+1]上运行时的辅助能耗表示为(28)式：
则，ω场景下列车运行所消耗的总能耗由(29)式计算得出：
因此，基于场景的列车总能耗的期望值为：
本发明构建的面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化模型为：
其中，J为规划时间区间内运营者及乘客的总成本；FC为列车的总固定成本；TWω为场景ω下乘客的总等待时间；Eω为场景ω下列车总能耗；αω为场景概率；βc，βt，βe分别为固定成本、乘客等待时间成本和列车能耗成本的权重系数。
步骤S5中，采用变邻域搜索算法对鲁棒优化模型进行求解，具体步骤为：设置抖动算子即随机生成新的可行解，其中，/>为决策变量yk的向量形式，/>为决策变量d1,k的向量形式；定义邻域结构/>即交换车次k1与其前车k1-1和车次k2与其前车k2-1的发车间隔，其中k1,k2为随机选取的有效服务车次编号；定义邻域结构/>即改变各车次的站间运行曲线，其中，/>为决策变量/>的向量形式；定义邻域结构/>根据当前解中的有效服务车次数量Kp，重新生成可行的出发时间序列/>并为各列车选择可行的运行曲线；因此，所构建鲁棒优化模型的解的形式可表示为/>记找不到更优解的搜索次数count＝0，终止条件为count≥MAXiteration；
Step 1:产生初始可行解为S0，并令全局最优解S＝S0；
Step 2:根据抖动算子M，对全局最优解S进行扰动，产生初始局部最优解S′＝M(S)；
Step 3:使用邻域结构N1对解S′进行邻域搜索，若找到邻居解S″＝N1(S′)，满足f(S″)<f(S′)，则更新局部最优解：S′＝S″，并重复Step 3；否则转Step 4；
Step 4:使用邻域结构N2对解S′进行邻域搜索，若找到邻居解S″＝N2(S′)，满足s(S″)<f(S′)，则更新局部最优解：S′＝S″，并重复Step3；否则转Step 5；
Step 5:使用邻域结构N3对解S′进行邻域搜索，若找到邻居解S″＝N3(S′)，满足f(S″)<f(S′)，则更新局部最优解：S′＝S″，并重复Step3；否则转Step 6；
Step 6:比较局部最优解S′与全局最优解S，若f(S′)<f(S)，则更新全局最优解：S＝S′，并令count＝0，转Step 2；否则，令count＝count+1，转Step 7；
Step 7:若不满足终止条件count≥MAXiteration，转Step 2；否则，算法终止，输出全局最优解S。
本发明的有益效果：
本发明所述技术方案实现了列车时刻表和列车运行曲线的系统优化，并具有如下优点：(1)同时优化列车开行数量、站间运行时间以及相应的列车时刻表，明显提高了地铁列车时刻表的系统优化质量；(2)利用基于场景的随机动态客流数据，有效提高了列车时刻表的鲁棒性；(3)所有约束条件均可转化为线性形式，利用通用的商业优化软件即可进行求解，降低了模型的复杂程度；(4)所设计的变邻域搜索算法能够在保证解质量的前提下，大幅度缩短求解时间，有效提高了求解效率；(5)该方法所构建模型精确、形式简单，具有较好的扩展空间，以满足一些较为复杂的实际应用。
附图说明
本发明有如下附图：
图1示出变邻域搜索算法的算法流程图。
图2示出单线地铁线路图。
图3示出乘客到达率随时间的分布图。
图4示出高峰时段列车运行图。
图5示出平峰时段列车运行图。
图6示出夜间时段列车运行图。
图7示出不同时段列车从首站出发时间间隔。
具体实施方式
为了更清楚地说明本发明，下面结合优选实施例和附图对本发明做进一步的说明。本领域技术人员应当理解，下面所具体描述的内容是说明性的而非限制性的，不应以此限制本发明的保护范围。
一般来说，在列车时刻表优化问题中，决策变量通常采用表示列车k到达和离开车站i的时刻ai,k和di,k来表示，规划时间范围内所需列车数量一般通过对有效服务决策变量yk求和来计算，列车在各站间运行时间及能耗通过运行曲线选择决策变量来计算。上述决策变量之间存在如下联系：若列车k为有效服务，即yk＝1，则有效末班车在各站的发车时间应晚于乘客到达时间边界，且有效次末班车在各站的发车时间应严格早于乘客到达时间边界，有效服务将对应于固定运营成本和有效牵引及辅助能耗。此外，有效服务和列车时刻表优化的目标是用较低的成本为乘客提供高效和高质量的服务。因此，优化目标的一致性以及决策变量之间的关联性确保了构建面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化方法的可行性。
基于上述分析，本发明公开的面向随机动态客流和节能运行的地铁列车时刻表鲁棒优化方法包括如下步骤：
记路线中线路的车站集合为其中，车站1为始发站，车站N为终点站。记可用物理列车集合为/>即共有K个列车可投入服务。记规划时间区间为[Ts,Te]，若列车k能够在规划时间区间内完成从始发站到终点站的乘客输送服务，则称之为有效服务。记客流场景集合为/>首先用长度为δ的时间粒度将规划时间区间[Ts,Te]划分为T个离散时间段，记离散时间段集合/>其中t表示第t个时间段。采用时间相关的OD矩阵Pω(t)表示场景/>下第t个时间段到达的乘客出行需求，具体如式(1)所示，
其中，Pi,j,ω(t)表示场景ω下第t个时间段内从车站i出发前往车站j的乘客数量。借助该方法，可以动态的表示规划时间区间内乘客的出行需求。
S1、在列车时刻表优化模型中引入有效服务决策变量、列车的发车时间决策变量以及运行曲线选择决策变量。因此，列车时刻表优化模型的决策变量包括：
有效服务决策变量yk，yk＝1表示列车执行有效服务，yk＝0表示列车/>执行无效服务；
列车在首站的发车时间决策变量d1,k，d1,k表示列车k离开车站1的时刻；
站间运行曲线选择决策变量表示列车k在区间[i,i+1]运行时选择曲线f。
S2、分析列车时刻表与列车在首站的发车时间决策变量和各站间运行曲线选择决策变量之间的关系，构建列车时刻表与列车的发车时间决策变量di,k和站间运行曲线选择决策变量之间的线性关联约束，具体过程为：
为建立方便求解的线性规划模型，引入二元辅助变量zi,k(t)，Zi,k(t)＝1表示t时刻列车k已到达或已经过车站i，Zi,k(t)＝0表示t时刻列车k未到达且未经过车站i，该变量满足非增约束，如(2)式所示。列车k在车站i的出发时刻di,k可表示为(3)式：
其中，为路线中的车站集合，/>为可用物理列车集合，/>为离散时间段集合。di,k为列车的发车时间决策变量，表示列车k在di,k时刻从车站i出发，在ai+1,k时刻到达后续车站i+1，区间[i,i+1]上的运行时间ri,k由列车k在该区间上运行时所选运行曲线决定。此时，有如下的列车时刻表与列车的发车时间决策变量和站间运行曲线选择决策变量之间的线性关联约束：
其中，为路线中的车站集合，/>为可用物理列车集合，ai,k为列车k到达车站i的时刻，di,k为列车k离开车站i的时刻，si,k为列车k在车站i的停站时间，ri,k为列车k在区间[i,i+1]的运行时间，/>为区间[i,i+1]上所有备选运行曲线集合，/>为区段[i,i+1]内的运行曲线f对应的运行时间。式(4)和式(5)为列车到发时间约束，式(6)为站间运行时间与站间运行曲线选择决策变量的关联约束，式(7)为列车k在区间[i,i+1]上运行时所选运行曲线的唯一性约束。
S3、分析列车时刻表与有效服务决策变量之间的关系，构建列车时刻表与有效服务决策变量间的非线性关联约束，具体过程为：
为有效服务决策变量yk建立非减约束，如式(8)所示。
为使执行有效服务的列车能够在规划时间区间内完成服务，则有效末班车在各站的发车时间应晚于该站乘客到达时间边界，且有效次末班车在各站的发车时间应严格早于该站乘客到达时间边界。若列车执行有效服务，记yk＝1，并采用yk-yk+1＝1表示列车k为有效末班车，yk+1-yk+2＝1表示列车k为有效次末班车。则有效末班车在各站的发车时间约束和有效次末班车在各站的发车时间约束分别如式(9)和式(10)所示：
其中，为车站i的乘客到达时间边界。由于di,k与yk均为决策变量，导致以上式(9)和式(10)为非线性约束，为方便求解，可通过以下方法将其转化为线性约束：
记则/>表示列车k为有效末班车；记有效末班车在各站的发车时间为/>并表示为/>其中，由于/>由决策变量表示，因此，/>为非线性约束，可通过引入足够大的正整数U将其转化为以下线性形式，如式(11)所示：
因而，非线性约束式(9)可转化为以下线性形式，如式(12)所示：
类似地，记则/>表示列车k为有效次末班车；记有效次末班车在各站的发车时间为/>并表示为/>其中，由于/>由决策变量表示，因此/>为非线性约束，可引入足够大的正整数U将其转化为以下线性形式，如式(13)所示：
因而，非线性约束式(10)可转化为以下线性形式，如式(14)所示：
除上述列车时刻表与列车的发车时间决策变量和站间运行曲线选择决策变量之间的线性关联约束、列车时刻表与有效服务决策变量之间的非线性关联约束外，还应构建列车运行安全时间间隔约束和列车承载能力约束，具体如下：
(1)安全时间间隔约束：
城市轨道交通系统中，为了保证列车运行过程中的安全性以及避免乘客等待时间过长，相邻两列车间必须保持一定的时间间距。记列车k与其前车k-1在车站i的发车时间间隔为hi,k，即hi,k＝di,k-di,k-1,因此，列车安全时间间隔约束可构建如下：
其中，H和分别为相邻两列车离开或到达车站的最小和最大间隔时间。
(2)列车承载能力约束：
在客流动态加载过程中，列车在每个车站的承载能力是一个重要指标，其随着乘客在每个车站的上下车过程而不断变化，为使每一列车的总载客数量在任意时间段内不会超过列车的最大承载能力，通过步骤S2中表示列车状态的二元辅助变量zi,k(t)，构建表示当前第t个时间段车站i的乘客能够搭乘车次k的二元辅助变量Li,k(t)，Li,k(t)＝1表示第t个时间段到达车站i的乘客能够搭乘车次k；Li,k(t)＝0，表示第t个时间段到达车站i的乘客不能搭乘车次k。具体表示为式(16)：
因此，ω场景下列车k在车站i的上下车人数、车厢内乘客数量以及列车承载能力约束构建如下：
其中，Pi,j,ω(t)为ω场景下第t个时间段到达车站i并前往车站j的乘客数量，Pi′,i,ω(t)为ω场景下第t个时间段到达车站i′并前往车站i的乘客数量。公式(17)中的为ω场景下列车k在车站i的上车人数，公式(18)中的/>为ω场景下列车k在车站i的下车人数，Ci,k,ω为ω场景下列车k离开车站i时车厢内的乘客总数量，Cmax为列车的最大承载能力。公式(19)描述了ω场景下列车k在车站i车厢内乘客数量的动态变化过程，该过程必须满足列车最大承载能力约束(20)以保证当前列车时刻表的可行性。
S4、结合步骤S1-S3，构建以列车固定成本、列车总能耗和乘客的总等待时间为优化目标的面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化模型，其中鲁棒优化模型的决策变量包括有效服务决策变量、列车的发车时间决策变量以及站间运行曲线选择决策变量，具体过程为：
城市轨道交通运输组织优化的主要目的是利用最低的成本为乘客提供高质量的服务，其利益相关者主要有乘客和地铁运营公司。乘客期望地铁运营公司可以提供高质量的、便捷、快速的运输服务，而地铁公司则期望用较低的成本来提供这些必要的服务。因此，乘客总等待时间、总旅行时间、舒适度以及列车总运营费用、总能源消耗等经常被用来作为评价地铁运输组织方案质量的重要指标。本发明构建的面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化模型的步骤为：
(1)由决策变量的定义可知，规划时间区间内运行的有效车次总数为根据有效服务单位固定成本Q0，建立表示总运营成本的目标函数，如式(21)所示，即列车的总固定成本(是执行有效服务的所有列车的固定成本)为：
(2)乘客进入站台后，在候车区等候进站列车，因此乘客等待时间和列车运行图以及乘客量紧密相关。第t个时间段到达车站i并乘坐车次k离开的乘客等待时间为(di,k-t)，根据二元辅助变量Li,k(t)的定义，乘客总等待时间的期望值可通过以下公式计算：
其中，TWω为ω场景下乘客的总等待时间，αω为场景ω的概率。由于式(23)中的Li,k(t)和di,k均包含决策变量，因此式(23)具有非线性性质。为方便求解，可通过以下方法将其转化为线性式子：
记 表示ω场景下在第t个时间段从车站i出发的乘客等待列车k的总时间，同样具有非线性性质，可将其转化为以下线性公式：
因而，式(23)可转化为：
(3)在日常运营过程中，列车总能耗通常由两部分组成：与列车总质量相关的牵引能耗和与在车人数和站间运行时间相关的辅助能耗。记列车空车状态下的质量为M0，乘客平均质量为Mp。列车空车状态下运行时单位牵引能耗为ui,k，具体表示为(26)式。当且仅当列车执行有效服务时才会产生牵引能耗，因而，ω场景下列车k在区间[i,i+1]上运行时的牵引能耗可表示为(27)式：
/>
其中，μ1,μ2,μ3为由实际运行数据计算得出的常参数。
记Pac为车厢内单位时间人均耗电量，Plc为车厢内辅助设备单位时间耗电量。同样，当且仅当列车执行有效服务时才会产生辅助能耗，因而，ω场景下列车k在区间[i,i+1]上运行时的辅助能耗可表示为(28)式：
则，ω场景下列车运行所消耗的总能耗可由(29)式计算得出：
因此，基于场景的列车总能耗的期望值为：
由于公式(27)中的Ci,k,ω和ui,k分别是由决策变量di,k和计算得出，且(27)式含有决策变量yk，因此具有非线性性质。记/>表示列车k执行有效服务，且在区间[i,i+1]运行时选择曲线f。yk和/>均为0-1变量，因此/>满足以下约束：
记为列车k在区间[i,i+1]运行且选择曲线/>时的牵引能耗，可由以下线性关系式计算得出：
其中，U为足够大的正整数。因而，式(27)可表示为：
类似的，记为列车k在区间[i,i+1]运行且选择曲线/>时的能耗，公式(28)可转化为式(35)的线性形式：
/>
本发明构建的面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化非线性规划模型为：
其中，J为规划时间区间内运营者及乘客的总成本；FC为列车的总固定成本；TWω为场景ω下乘客的总等待时间；Eω为场景ω下列车总能耗；αω为场景概率；βc，βt，βe分别为固定成本、乘客等待时间成本和列车能耗成本的权重系数。
为便于用商业软件CPLEX等进行求解，非线性规划模型(36)式可转化为以下面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化线性规划模型：
S5、采用变邻域搜索算法对鲁棒优化模型进行有效求解。变邻域搜索算法主要思想是：对初始可行解设置多个不同邻域进行系统搜索。首先采用最小的邻域搜索。当无法改进当前解时，则切换到稍大一点的邻域继续搜索；若能够改进当前解，则退回到最小的邻域，否则继续切换到更大的邻域。使用变邻域搜索算法求解上述面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化问题的步骤可描述如下：
设置抖动算子即随机生成新的可行解，其中，/>为决策变量yk的向量形式，/>为决策变量d1k的向量形式；定义邻域结构/>即交换车次k1与其前车k1-1和车次k2与其前车k2-1的发车间隔，其中k1,k2为随机选取的有效服务车次编号；定义邻域结构/>即改变各车次的站间运行曲线，其中，/>为决策变量/>的向量形式；定义邻域结构/> 根据当前解中的有效服务车次数量Kp，重新生成可行的出发时间序列/>并为各列车选择可行的运行曲线。因此，所构建鲁棒优化模型的解的形式可表示为/>记找不到更优解的搜索次数count＝0，终止条件为count≥MAXiteration。
Step 1:产生初始可行解为S0，并令全局最优解S＝S0；
Step 2:根据抖动算子M，对全局最优解S进行扰动，产生初始局部最优解S′＝M(S)；
Step 3:使用邻域结构N1对解S′进行邻域搜索，若找到邻居解S″＝N1(S′)，满足f(S″)<f(S′)，则更新局部最优解：S′＝S″，并重复Step 3。否则转Step 4；
Step 4:使用邻域结构N2对解S′进行邻域搜索，若找到邻居解S″＝N2(S′)，满足f(S″)<f(S′)，则更新局部最优解：S′＝S″，并重复Step3。否则转Step 5；
Step 5:使用邻域结构N3对解S′进行邻域搜索，若找到邻居解S″＝N3(S′)，满足f(S″)<f(S′)，则更新局部最优解：S′＝S″，并重复Step3。否则转Step 6；
Step 6:比较局部最优解S′与全局最优解S，若f(S′)<f(S)，则更新全局最优解：S＝S′，并令count＝0，转Step 2。否则，令count＝count+1，转Step 7。
Step 7:若不满足终止条件count≥MAXiteration，转Step 2。否则，算法终止，输出全局最优解S。
变邻域搜索算法流程图，如图1所示。
实例分析
本发明构建的面向随机动态客流和节能运行的地铁列车时刻表鲁棒优化模型从决策变量的类型来看，主要包含二元变量yk,和非负整数变量d1,k这两类决策变量，模型的复杂程度主要取决于列车、车站以及站间备选运行曲线的数量。另外，所构建的约束条件均可转化为线性约束，故可利用常用的商业优化软件(如CPLEX，GUROBI等)来对一般规模的模型进行求解，从而获得系统较优的列车时刻表。但当线路中车站数量较多或优化时间段较长时，问题规模将大大增加，并难以使用优化软件进行求解，此时，变邻域搜索算法将能够在有限时间内大幅度提升求解效率，取得近似最优解。
以下将以如图2所示的单线地铁线路图为例，对本发明公开的面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化方法做进一步地说明。
首先，预先确定以下必要的参数和数据：
(1)路线中的车站集合以及站间区段集合/>可用物理列车集合/>列车在区段[i,i+1]内的运行曲线集合/>离散时间集合/>场景集合/>分别选取不同时间段(高峰以及平峰时段)动态客流数据作为输入，其表示形式为如公式(1)所示的OD矩阵，其中乘客到达率随时间的分布如图3所示；
(2)相邻两列车到达或离开同一车站的最小和最大时间间隔阈值H和列车最大承载能力Cmax，列车停站时间si,k；
(3)列车质量M0，平均乘客质量Mp，车厢内人均能耗Pac，车厢内辅助设备(空调、照明等)能耗Plc；
(4)列车每执行一次有效服务的单位固定成本(职工工资、设备损耗等)Q0；
(5)区段[i,i+1]内的运行曲线fi对应的运行时间及单位系统能耗/>
(6)场景概率αω，固定成本、乘客等待时间成本以及列车能耗成本的权重系数βc，βt，βe.
其次，在以上条件给定的情况下，编写代码，构建本方法所提出的模型框架，分别在MATLAB中调用优化软件CPLEX进行求解以及设计变邻域搜索算法进行求解，获得相应的列车时刻表，并对结果进行分析与比较。
具体的过程为：
根据如图2所示的单线地铁线路图，给定如下已知参数和数据：
(1)该线路共包含4个车站，3个站间区段，每个区段有3条已优化的备选运行曲线；分别截取福州地铁一天中高峰、平峰和夜间时段的35分钟客流数据作为客流需求，以15s为一个时间间隔将其划分为160个时间节点；乘客在三个车站S1、S2、S3的到达时间边界分别为第35分钟，第37分钟和第40分钟，即超出对应边界后各站乘客到达量为零；考虑备用物理列车10辆；考虑5个不同场景的随机动态客流数据。
(2)相邻两列车到达或离开同一车站的最小安全时间间隔H为3分30秒，为避免等待时间过长，最大时间间隔为10分钟，列车最大承载能力Cmax为1500，列车在每个车站的停站时间均为30秒；
(3)列车质量M0＝2.28×105KG，平均乘客质量Mp＝60KG，车厢内人均能耗Pac＝110W/passenger·s，车厢内辅助设备(空调、照明等)能耗Plc＝50KW/train。
(4)列车每执行一次有效服务的固定成本(职工工资、设备损耗等)Q0＝2×104RMB/train
(5)各站间运行曲线所对应的运行时间(s)及单位能耗(m2/s2)如表1所示：
表1线路基本参数
(6)场景概率αω＝0.2；根据城市商业用电峰谷分时电价标准，即高峰电价:平峰电价:夜间电价＝2:3:2，设置不同时段的三组权重系数：高峰时段：βc＝1×104，βt＝3×104，βe＝2；平峰时段：βc＝1×104，βt＝3×104，βe＝3；夜间时段：βc＝1×104，βt＝2×104，βe＝2；
基于上面给定的参数和数据条件，在MATLAB中，编写代码，构建本方法所提出的模型框架，并调用优化软件CPLEX进行求解，获得相应的列车时刻表；同时使用C++编程实现变邻域搜索算法求解该时刻表问题，经过208秒、70秒和17秒的计算分别得到了如图4、图5、图6所示高峰、平峰和夜间时段的列车运行图，其中矩形高度表示该时刻到达的乘客在站台等待当前列车的等待时间。对于不同时段的列车时刻表鲁棒优化问题，以上两种方法的计算结果及求解效率对比如表2所示。
表2计算结果对比
/>
结果分析：
由以上结果可知，高峰时段乘客需求较大，运营公司的首要目标为有效降低乘客等待时间，因此应增加有效服务数量，增开服务车次；而平峰时段地铁运营公司将减少提供有效服务数量以降低运营成本及能耗成本。三个不同时段中，列车在首站出发时间间隔对比如图7所示，其中，高峰时段相邻列车间时间间隔较小，夜间时段由于客流量小，相邻列车间时间间隔最大。
综上所述，本发明公开的面向随机动态客流和节能运行的地铁列车时刻表鲁棒优化方法，建立了有效服务数量、速度曲线选择决策变量与列车时刻表决策变量之间的关联约束，构建了三者之间的一体化数学优化模型，增强了求解列车时刻表问题数学模型的鲁棒性，改善了现有方法分步独立优化高峰、平峰及夜间等不同时段时刻表的问题。同时考虑了不同场景下列车总质量的差异，通过引入速度曲线选择决策变量对列车在各站间的运行时间进行了优化，以降低能耗成本。
显然，本发明的上述实例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动，这里无法对所有的实施方式予以穷举，凡是属于本发明的技术方案所引伸出的显而易见的变化或变动仍处于本发明的保护范围之列。
本说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (3)

1.一种面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1、记路线中线路的车站集合为其中，车站1为始发站，车站N为终点站；记可用物理列车集合为/>共有K个列车可投入服务；记客流场景集合为/>记离散时间段集合/>其中t表示第t个时间段；
在列车时刻表鲁棒优化模型中引入有效服务决策变量yk、列车在首站的发车时间决策变量d1，k以及各站间运行曲线选择决策变量其中k表示列车k，/>
S2、分析列车时刻表与列车在首站的发车时间决策变量和各站间运行曲线选择决策变量之间的关系，构建列车时刻表与列车的发车时间决策变量di，k和各站间运行曲线选择决策变量之间的线性关联约束；
S3、构建列车时刻表与有效服务决策变量yk之间的非线性关联约束；构建列车运行安全时间间隔约束和列车承载能力约束；
S4、结合步骤S1-S3，构建以列车固定成本、乘客的总等待时间和列车总能耗为目标的面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化模型，所述鲁棒优化模型的决策变量包括有效服务决策变量、列车的发车时间在首站出发时间决策变量、列车在各站间运行曲线选择决策变量；
S5、对所述鲁棒优化模型进行求解，得到全局最优解，作为最优列车时刻表；
步骤S2的具体步骤为：引入二元辅助变量zi，k(t)，zi，k(t)＝1表示t时刻列车k已到达或已经过车站i，zi，k(t)＝0表示t时刻列车k未到达且未经过车站i，该变量满足非增约束，如(2)式所示；列车k在车站i的出发时刻di，k表示为(3)式：
其中，为路线中的车站集合，/>为可用物理列车集合，/>为离散时间段集合；di，k为列车的发车时间决策变量，表示列车k在di，k时刻从车站i出发，ai+1，k表示在ai+1，k时刻到达后续车站i+1，区间[i，i+1]上的运行时间ri，k由列车k在该区间上运行时所选运行曲线决定；此时，有如下的列车时刻表与列车的发车时间决策变量和站间运行曲线选择决策变量之间的线性关联约束：
其中，为路线中的车站集合，/>为可用物理列车集合，ai，k为列车k到达车站i的时刻，di，k为列车k离开车站i的时刻，si，k为列车k在车站i的停站时间，ri，k为列车k在区间[i，i+1]的运行时间，/>为区间[i，i+1]上所有备选运行曲线集合，/>为区段[i，i+1]内的运行曲线f对应的运行时间；式(4)和式(5)为列车出发、到达时间约束，式(6)为站间运行时间与站间运行曲线选择决策变量的关联约束，式(7)为列车k在区间[i，i+1]上运行时所选运行曲线的唯一性约束；
步骤S3中构建列车时刻表与有效服务决策变量yk之间的非线性关联约束的步骤为：为有效服务决策变量yk建立非减约束，如式(8)所示：
为使执行有效服务的列车能够在规划时间区间内完成服务，则有效末班车在各站的发车时间应晚于该站乘客到达时间边界，且有效次末班车在各站的发车时间应严格早于该站乘客到达时间边界；若列车执行有效服务，记yk＝1，并采用yk-yk+1＝1表示列车k为有效末班车，yk+1-yk+2＝1表示列车k为有效次末班车；则有效末班车在各站的发车时间约束和有效次末班车在各站的发车时间约束分别如式(9)和式(10)所示：
其中，为车站i的乘客到达时间边界；式(9)和式(10)为非线性约束；
步骤S3中构建列车运行安全时间间隔约束的步骤为：记列车k与其前车k-1在车站i的发车时间间隔为hi，k，hi，k＝di，k-di，k-1，列车安全时间间隔约束构建如下：
其中，H和分别为相邻两列车离开或到达车站的最小和最大间隔时间；
步骤S3中构建列车承载能力约束的步骤为：通过步骤S2中表示列车状态的二元辅助变量zi，k(t)，构建表示当前第t个时间段车站i的乘客能够搭乘车次k的二元辅助变量Li，k(t)，Li，k(t)＝1表示第t个时间段到达车站i的乘客能够搭乘车次k；Li，k(t)＝0，表示第t个时间段到达车站i的乘客不能搭乘车次k；具体表示为式(16)：
因此，ω场景下列车k在车站i的上下车人数、车厢内乘客数量以及列车承载能力约束构建如下：
其中，Pi，j，ω(t)为ω场景下第t个时间段到达车站i并前往车站j的乘客数量，Pi′，i，ω(t)为ω场景下第t个时间段到达车站i′并前往车站i的乘客数量；公式(17)中的为ω场景下列车k在车站i的上车人数，公式(18)中的/>为ω场景下列车k在车站i的下车人数，Ci，k，ω为ω场景下列车k离开车站i时车厢内的乘客总数量，Cmax为列车的最大承载能力；公式(19)描述了ω场景下列车k在车站i车厢内乘客数量的动态变化过程，该过程必须满足列车最大承载能力约束(20)以保证当前列车时刻表的可行性；
步骤S4的具体步骤为：
1)规划时间区间内运行的有效车次总数为根据有效服务单位固定成本Q0，建立表示总运营成本的目标函数，如式(21)所示，列车的总固定成本为：
2)乘客进入站台后，在候车区等候进站列车，第t个时间段到达车站i并乘坐车次k离开的乘客等待时间为di，k-t，根据二元辅助变量Li，k(t)的定义，乘客总等待时间的期望值通过以下公式计算：
其中，TWω为ω场景下乘客的总等待时间，αω为场景ω的概率；
3)列车总能耗包括：与列车总质量相关的牵引能耗和与在车人数和站间运行时间相关的辅助能耗；记列车空车状态下的质量为M0，乘客平均质量为Mp；列车空车状态下运行时单位牵引能耗为ui，k，具体表示为(26)式；当且仅当列车执行有效服务时才会产生牵引能耗，因而，ω场景下列车k在区间[i，i+1]上运行时的牵引能耗表示为(27)式：
其中，μ1，μ2，μ3为由实际运行数据计算得出的常参数；
记Pac为车厢内单位时间人均耗电量，Plc为车厢内辅助设备单位时间耗电量；同样，当且仅当列车执行有效服务时才会产生辅助能耗，因而，ω场景下列车k在区间[i，i+1]上运行时的辅助能耗表示为(28)式：
则，ω场景下列车运行所消耗的总能耗由(29)式计算得出：
因此，基于场景的列车总能耗的期望值为：
构建的面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化模型为：
其中，J为规划时间区间内运营者及乘客的总成本；FC为列车的总固定成本；TWω为场景ω下乘客的总等待时间；Eω为场景ω下列车总能耗；αω为场景概率；βc，βt，βe分别为固定成本、乘客等待时间成本和列车能耗成本的权重系数。
2.如权利要求1所述的面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化方法，其特征在于：
步骤S1中，有效服务决策变量yk＝1表示列车k执行有效服务，yk＝0表示列车k执行无效服务；
列车在首站的发车时间决策变量d1，k表示列车k离开车站1的时刻；
站间运行曲线选择决策变量表示列车k在区间[i，i+1]运行时选择曲线f。
3.如权利要求1所述的面向随机动态客流和节能运行的列车时刻表鲁棒优化方法，其特征在于：
步骤S5中，采用变邻域搜索算法对鲁棒优化模型进行求解，具体步骤为：设置抖动算子即随机生成新的可行解，其中，/>为决策变量yk的向量形式，/>为决策变量d1，k的向量形式；定义邻域结构/>即交换车次k1与其前车k1-1和车次k2与其前车k2-1的发车间隔，其中k1，k2为随机选取的有效服务车次编号；定义邻域结构/>即改变各车次的站间运行曲线，其中，/>为决策变量/>的向量形式；定义邻域结构/> 根据当前解中的有效服务车次数量Kp，重新生成可行的出发时间序列/>并为各列车选择可行的运行曲线；因此，所构建鲁棒优化模型的解的形式可表示为/>记找不到更优解的搜索次数count＝0，终止条件为count≥MAXiteration；
Step 1：产生初始可行解为S0，并令全局最优解S＝S0；
Step 2：根据抖动算子M，对全局最优解S进行扰动，产生初始局部最优解S′＝M(S)；
Step 3：使用邻域结构N1对解S′进行邻域搜索，若找到邻居解S″＝N1(S′)，满足f(S″)＜f(S′)，则更新局部最优解：S′＝S″，并重复Step3；否则转Step 4；
Step 4：使用邻域结构N2对解S′进行邻域搜索，若找到邻居解S″＝N2(S′)，满足f(S″)＜f(S′)，则更新局部最优解：S′＝S″，并重复Step3；否则转Step 5；
Step 5：使用邻域结构N3对解S′进行邻域搜索，若找到邻居解S″＝N3(S′)，满足f(S′′)＜f(S′)，则更新局部最优解：S′＝S″，并重复Step3；否则转Step 6；
Step 6：比较局部最优解S′与全局最优解S，若f(S′)＜f(S)，则更新全局最优解：S＝S′，并令count＝0，转Step 2；否则，令count＝count+1，转Step 7；
Step 7：若不满足终止条件count≥MAXiteration，转Step 2；否则，算法终止，输出全局最优解S。
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