CN111859652B - 一种分析输流管-非线性能量阱系统全局稳定性的方法 - Google Patents

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CN111859652B CN202010668712.6A CN202010668712A CN111859652B CN 111859652 B CN111859652 B CN 111859652B CN 202010668712 A CN202010668712 A CN 202010668712A CN 111859652 B CN111859652 B CN 111859652B
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Abstract

本发明提供了一种分析输流管‑非线性能量阱系统全局稳定性的方法，属于控制系统中的系统稳定性证明与分析技术领域。该方法基于目标能量传递理论建立的输流管‑非线性能量阱系统的高阶偏微分模型，通过Galerkin逼近方法将其离散为二阶非线性常微分形式，并首次进一步转换为包含梯度信息的二次型模型；进而通过能量扰动技术得到系统的全局稳定性判据，最后通过数值方法对理论结果验证。本发明首次解决了非线性能量阱在输流管振动控制方面有效性的理论证明问题，并给出了其全局稳定性是指数稳定的严格分析过程。

Description

一种分析输流管-非线性能量阱系统全局稳定性的方法
技术领域
本发明属于控制系统中的系统稳定性证明与分析技术领域，涉及到高阶偏微分方程模型的常微分化以及能量扰动技术，特别涉及一种基于李雅普诺夫稳定性理论的指数稳定分析方法。
背景技术
输流管在工业领域有着重要的应用价值和广泛的使用范围，比如热交换、燃油输送、液压等领域皆以管道输送流速变化范围很大的流体，流体流速的变化会诱导管道产生过量振动，进而使机械发生诸如噪声、材料疲劳以及漏液等故障，致使设备达不到要求的性能指标。对于输流管的振动控制方面，由于安装空间限制小，不需要能量输入，经济性好以及高可靠性等优势，被动振动控制器受到了越来越多的关注，其中一种基于非线性能量阱的被动振动控制器取得了广泛的关注及研究，并取得了一定的控制效果。作为一个强非线性附件，非线性能量阱的引入必然会对系统的稳定性产生影响，但缺乏输流管-非线性能量阱系统稳定性方面的研究。而本发明基于对输流管-非线性能量阱系统模型的理解，利用其凸特性与梯度特性建立系统的能量泛函和扰动泛函，然后利用能量扰动技术建立了系统的Lyapunov函数，并在Lyapunov稳定性理论框架下分析了系统是全局指数稳定的，最后利用数值方法对理论证明结果进行了验证。目前为止，没有专利公开基于Lyapunov稳定性理论和能量扰动技术的输流管-非线性能量阱系统的全局稳定性分析方法。
发明内容
为了说明非线性能量阱的引入对系统的影响，需要输流管-非线性能量阱系统的全局稳定性进行研究，本发明提出了一种输流管-非线性能量阱系统的全局稳定性分析方法。
本发明通过对输流管-非线性能量阱模型的理解和分析，将原系统模型转换为含有凸函数梯度信息形式的系统模型，基于此模型精心构建了系统的能量泛函与扰动泛函，然后利用能量扰动技术得到了系统的Lyapunov函数，并在Lyapunov稳定性理论框架下得到了输流管-非线性能量阱系统是全局指数稳定的判据，最后利用数值仿真验证了理论证明的结果。
本发明的技术方案为：
一种分析输流管-非线性能量阱全局稳定性的方法，包括以下步骤：
步骤1：输流管-非线性能量阱系统的建模及预处理
所述输流管的安装方式为两端简支，非线性能量阱与输流管管道相连；并且在不考虑重力、内部阻尼、外部张力以及增压效果的情况下，输流管-非线性能量阱(nonlinearenergy sink,NES)系统的数学模型可写成如下形式：
Figure BDA0002581497300000021
其中，Y(X,T)表示输流管的截面位移函数；EI表示输流管的弯曲刚度；λ表示输流管的黏弹性系数；Mf表示输流管内流体的质量；mp表示输流管本身的质量；V表示输流管内流体的流速；T是时间变量；
Figure BDA0002581497300000022
表示NES的位移函数；mNES表示NES的结构质量；K表示NES的非线性(立方非线性)刚度；C表示NES的阻尼；D表示NES的安装位置；δ(X-D)是狄拉克δ函数。
步骤2：模型离散化
由于原输流管-非线性能量阱系统模型为高阶偏微分方程(partialdifferential equation简写PDE)形式，不便于后续的全局稳定性分析，故需要通过Galerkin近似方法将其转换为常微分方程(ordinary differential equation简写ODE)形式。通过利用标准Galerkin型，可以将输流管-NES系统转换为一个更加容易处理的有限维的动力学系统；具体过程如下：
输流管-非线性能量阱系统位移的标准Galerkin型为：
Figure BDA0002581497300000023
其中，φr(x)是输流管在无阻尼自由振动情况时的第r个特征函数；qr(t)是离散系统的广义坐标；n是Galerkin离散项数。
利用式(2)所表示的标准Galerkin型将式(1)所示的高阶PDE系统模型转化为式(3)所示的二阶非线性ODE形式：
Figure BDA0002581497300000024
其中
Figure BDA0002581497300000025
式(4)中，
Figure BDA0002581497300000031
表示NES的位移，Rn+1表示n+1维空间，ε表示NES的结构质量与管本身和管内液体质量之和的比值，σ表示NES的无量纲阻尼，k表示NES的无量纲刚度，t表示无量纲时间变量，α为输流管本身的无量纲黏弹性系数，β表示管内液体的质量与管本身和管内液体质量之和的比值，υ表示管内液体的无量纲流速；λr＝rπ，r＝1，…，n；φr、φrd为式(2)中特征函数组成的向量；q为式(2)中广义坐标组成的向量；δr、br、cr分别是φr与φr、φr与φ′r、φr与φ″r的Kronecker积，具体形式为：
Figure BDA0002581497300000032
步骤3：模型的二次型化
基于式(3)所示的输流管-非线性能量阱系统模型的特性，建立输流管-非线性能量阱系统的势能函数Φ(Z)如下：
Figure BDA0002581497300000033
其中，<KZ，Z>表示向量KZ与Z的欧式内积；根据式(6)易得Φ(Z)是一个凸函数，式(3)所示的系统模型可以写成如下形式：
Figure BDA0002581497300000034
其中，
Figure BDA0002581497300000035
表示凸函数Φ(Z)的梯度。
步骤4：全局稳定性分析
基于式(7)，定义式(3)所示系统模型的能量泛函E(t)和扰动泛函W(t)如下：
Figure BDA0002581497300000041
Figure BDA0002581497300000042
基于定义的能量泛函和扰动泛函，定义如下Lyapunov函数：
Figure BDA0002581497300000043
其中，G表示扰动泛函对Lyapunov函数的影响系数，且
Figure BDA0002581497300000044
m1为矩阵M的最大特征值，λ0为矩阵C的最小特征值，
Figure BDA0002581497300000045
是矩阵M和矩阵C的逆矩阵的乘积的最大特征值。
进而，利用泛函分析得到Lyapunov函数VL(t)满足如下指数稳定性判定条件：
Figure BDA0002581497300000046
其中，a0＝VL(0)。
考虑到
Figure BDA0002581497300000047
则
Figure BDA0002581497300000048
结合式(11)得到能量泛函E(t)满足如下关系：
Figure BDA0002581497300000049
其中，
Figure BDA00025814973000000410
至此，得到E(t)的指数稳定判定条件；
结合式(14)、(5)和(4)，得到式(3)所示的输流管-非线性能量阱系统的全局稳定性为指数稳定。
本发明的有益效果：
1)基于Galerkin方法，本发明首次建立输流管-NES系统的包含凸函数梯度信息的二次型模型，其中该凸函数是在系统特性的基础上首次被提出和证明的；
2)基于二次型模型，分析证明该输流管-NES系统是指数稳定的，并给出了其严格的分析过程；
3)本发明从稳定性的角度更为全面地说明了NES对于管道振动控制的有效性，而不再仅仅局限于一般的通过管道截面上响应的对比。
附图说明
图1是输流管-非线性能量阱系统结构简图。
图2是不同流速下输流管-非线性能量阱系统的能量函数、Lyapunov函数及相应的指数函数；(a)至(c)依次对应的输流管内无量纲液体流速v为1.0、2.0、3.0。其中输流管-非线性能量阱系统参数为α＝0.001，β＝0.8，ε＝0.1，σ＝0.1，k＝8000，d＝0.5，X＝0.3。
图3是不同流速下，在无控制和非线性能量阱作为控制器时输流管上若干截面(即x分别为0.2、0.5、0.8)的响应对比结果，(a)至(c)依次对应的输流管内无量纲液体流速υ为1.0、2.0、3.0。其中，图3中虚线表示无控制时输流管的响应；实线为NES作为控制器时输流管的位移响应，振动控制器参数设置为α＝0.001，β＝0.8，ε＝0.1，σ＝0.1，k＝8000，X＝0.3。
具体实施方式
以下结合附图和全局稳定性的证明推导过程，详细说明本发明的具体实施方式。
本实施例的具体过程是针对图1所示输流管-非线性能量阱系统的稳定性分析及仿真验证过程中进行的，详细设计步骤如下：
步骤1：建立输流管-非线性能量阱的数学模型，其物理结构如图1所示，两端简支的输流管长度为L，输流管的抗弯刚度为EI，质量为mp，黏弹性系数为λ。作为振动控制器的非线性能量阱安装在距离输流管左端点距离为D的位置，非线性能量阱用来吸收由于流体进入管道时产生的振动能量，其结构由阻尼、非线性弹簧及质量块组成。在不考虑重力、内部阻尼、外部施加张力以及增压效果的情况下，则输流管-非线性能量阱系统的运动方程为如下形式：
Figure BDA0002581497300000051
其中，Y(X，T)是输流管的纵向位移，相应地，
Figure BDA0002581497300000052
是非线性能量阱的纵向位移，Mf是输流管内流体的质量，mNES表示NES的结构质量。V表示管内流体的流速。D表示的是平行非线性能量阱系统的安装位置。而K表示NES的非线性(立方非线性)刚度；C表示非线性能量阱的阻尼。
在方程组(1)的第一个方程中，其第一项表示弯曲恢复力；第二项表示输流管的黏弹性；第三项表示由液体流动产生的离心力；第四项表示Coriolis效应；第五项表示当液体充满管道时，管道和液体的惯性力；剩下的两项表示输流管和振动控制器之间的耦合。
需要指出的是，与充满液体的输流管系统的质量相比，非线性能量阱是一个轻质量的系统，如下所示：
Figure BDA0002581497300000061
其中，ε为远小于1的参数。
为了使输流管-非线性能量阱系统的全局稳定性分析及后面的数值验证具有较好的一般性，式(1)所示的系统需要转换成无量纲形式，无量纲化过程如下：
Figure BDA0002581497300000062
式(3)中，L表示输流管的长度，x表示输流管的长度自变量X的无量纲形式，y是输流管纵向位移Y(X，T)的无量纲形式，
Figure BDA0002581497300000063
是非线性能量阱纵向位移
Figure BDA0002581497300000064
的无量纲形式，d表示无量纲化的非线性能量阱的安装位置，k为非线性能量阱的无量纲非线性刚度，υ表示输流管内液体的无量纲流速，t表示无量纲时间变量，α表示输流管的无量纲黏弹性系数，β表示输流管管内液体质量与输流管质量和液体质量之和的比值，σ表示非线性能量阱的无量纲阻尼。
将式(3)代入方程组(1)，得到方程组(1)的无量纲形式：
Figure BDA0002581497300000065
步骤2：通过利用标准Galerkin型项，将式(4)所表示的输流管-振动控制器系统的高阶PDE模型近似的转换为一个更加容易处理的有限维的动力学系统。因此，系统的位移可以被扩展成如下形式：
Figure BDA0002581497300000066
其中，φr(t)是输流管在无阻尼自由振动情况下的特征函数，qr(t)是离散系统的广义坐标，n是Galerkin离散项数。考虑到输流管是两端简支结构，因此选择特征函数
φr(x)＝sin(λrx)，λr＝rπ，r＝1，…，n (6)
即
Figure BDA0002581497300000071
将方程(5)代入方程组(4)中，得到如下形式方程组：
Figure BDA0002581497300000072
为了简化和方便后续推导过程，定义如下向量：
φr＝[φ1(x)…φn(x)]T，φrd＝[φ1(d)…φn(d)]T，q＝[q1(t)…qn(t)]T (8)
则方程组(7)可以写成如下向量形式：
Figure BDA0002581497300000073
联合方程组(9)中的相似项，可以得到如下形式
Figure BDA0002581497300000074
方程组(10)中的第一个方程乘以φr并在[0，1]内积分，可得如下方程
Figure BDA0002581497300000075
其中δr、br、cr分别是φr与φr、φr与φ′r、φr与φ″r的Kronecker积，其具体形式如下
Figure BDA0002581497300000081
I是单位阵，基于式(6)可以推导出Kronecker积δr的具体形式为：
Figure BDA0002581497300000082
因此可得
Figure BDA0002581497300000083
同样地，可以推导出Kronecker积br的具体形式为：
Figure BDA0002581497300000084
其中μ∈(1，2，…，r)，因此可以得到是一个反对称矩阵。相似地，可以得到Kronecker积cr为对角阵，其形式为
Figure BDA0002581497300000085
方程组(11)可以进一步地合并为向量积的形式
Figure BDA0002581497300000086
至此，将式(4)表示的输流管-NES的四阶偏微分转化为如下二阶非线性常微分形式
Figure BDA0002581497300000087
其中
Figure BDA0002581497300000091
步骤3：模型的二次型化
定义输流管-非线性能量阱系统的势能函数Φ(Z)如下：
Figure BDA0002581497300000092
其中<KZ，Z>表示向量KZ和Z的欧式内积。
根据式(16)容易推导出Φ(Z)的梯度
Figure BDA0002581497300000093
为
Figure BDA0002581497300000094
那么Φ(Z)的海森矩阵
Figure BDA0002581497300000095
如下
Figure BDA0002581497300000096
其中k＞0是非线性能量阱的无量纲刚度。由式(15)可知K是一个半正定矩阵；由式(6)可知φr(d)＝sin(rπd)，容易得到式(18)中矩阵
Figure BDA0002581497300000097
的所有特征值都大于等于0，即
Figure BDA0002581497300000098
也是一个半正定矩阵。因此海森矩阵
Figure BDA0002581497300000099
是一个半正定矩阵，这说明了Φ(Z)是一个凸函数。
接下来，基于凸函数Φ(Z)及其梯度特性，式(14)可进一步转化为包含凸函数梯度信息的形式，即
Figure BDA00025814973000000910
步骤4：全局稳定性分析
基于式(19)，定义输流管-NES系统的能量泛函E(t)及扰动泛函W(t)如下：
Figure BDA0002581497300000101
Figure BDA0002581497300000102
由式(15)可知，M是一个正定矩阵，K是一个半正定矩阵。需要注意的是，矩阵C并不是完全对称的，它是由矩阵C0、
Figure BDA0002581497300000103
以及常数σ增广而来，其中
Figure BDA0002581497300000104
为对称阵。由式(15)可知，C0是矩阵δr和br的线性组合。回顾式(12)，δr是一个对角阵，br是一个反对称阵。由于反对称阵的二次型为0，所以不等式
Figure BDA0002581497300000105
立，说明可以认为矩阵C是一个对称矩阵。
接下来需要对扰动泛函W(t)进行必要的处理。根据式(21)，得到如下关系
Figure BDA0002581497300000106
其中λ0是矩阵C的最小特征值。
应用Young不等式
Figure BDA0002581497300000107
其中θ＝λ0。则不等式(22)可以转换成如下形式：
Figure BDA0002581497300000108
m1为式(15)中给出的矩阵M的最大特征值，因此式(23)的最后一项成立。
基于凸函数Φ(Z)与能量泛函E(t)的定义，容易得到Φ(Z)≥0，这意味着
Figure BDA0002581497300000109
结合不等式(23)则可以得到
Figure BDA00025814973000001010
对于式(20)所示的系统的能量函数，可以推导出如下形式：
Figure BDA00025814973000001011
那么对于(21)所示的系统的扰动函数，也可以得到其导数如下：
Figure BDA0002581497300000111
将式(19)代入式(26)，得
Figure BDA0002581497300000112
考虑到Φ(Z)是一个凸函数，对于Z∈Rn+1，得到如下不等式
Figure BDA0002581497300000113
因此，结合式(27)和式(28)，得到如下不等式
Figure BDA0002581497300000114
将不等式(29)加到式(20)，得如下关系
Figure BDA0002581497300000115
其中C-1为矩阵C的逆矩阵。令
Figure BDA0002581497300000116
并且将式(24)代入(29)可得
Figure BDA0002581497300000117
即
Figure BDA0002581497300000118
对于任意θ＞0，存在Young不等式
Figure BDA0002581497300000119
那么式(21)满足如下不等式关系
Figure BDA00025814973000001110
其中
Figure BDA00025814973000001111
是矩阵C的最大特征值。考虑到二次型的性质，不等式(34)可以被推导为如下形式
Figure BDA0002581497300000121
其中，
Figure BDA0002581497300000122
为矩阵M的最大特征值。
从凸函数Φ(Z)的定义，易得Φ(Z)的最后一项大于等于0，即
Figure BDA0002581497300000123
那么容易得到
Figure BDA0002581497300000124
其中
Figure BDA0002581497300000125
是式(14)所表示系统的刚度矩阵K的最小特征值。因此，系统的能量泛函满足如下不等式
Figure BDA0002581497300000126
上式两边同乘以一个正实数P后依然成立
Figure BDA0002581497300000127
则存在正实数P可以使如下不等式成立
Figure BDA0002581497300000128
那么，结合不等式(35)、(39)和(40)可以得到
W(t)≤PE(t) (41)
不等式(32)的第一项可以进一步地被分解为如下形式
Figure BDA0002581497300000129
其中s∈[0，1]。将不等式(41)代入不等式(42)可得
Figure BDA00025814973000001210
其可以进一步地被因式分解为如下形式
Figure BDA0002581497300000131
如果s足够小，那么不等式(44)的第一项的系数大于0，即
Figure BDA0002581497300000132
从式(20)表示的能量泛函的定义可知E(t)≥0。因此不等式(44)可进一步被转换为如下形式
Figure BDA0002581497300000133
定义Lyapunov函数：
Figure BDA0002581497300000134
并将其代入不等式(45)，可得
Figure BDA0002581497300000135
其中a0＝VL(0)。利用不等式(24)可以得到Lyapunov函数VL(t)满足
Figure BDA0002581497300000136
注意到
Figure BDA0002581497300000137
可以得到
Figure BDA0002581497300000138
并且从式(20)表示的能量泛函和扰动泛函的定义容易得到E(t)≥0。因此易得不等式(47)满足如下关系
Figure BDA0002581497300000139
结合不等式(46)和(48)，可以获得Lyapunov稳定性理论框架下的指数稳定判据
Figure BDA00025814973000001310
从上式可以得到系统(14)的能量E(t)满足如下关系
Figure BDA00025814973000001311
其中
Figure BDA00025814973000001312
上述不等式(50)即为式(14)所示系统的振动能量E(t)在Lyapunov稳定性理论下的指数稳定判定条件。
Galerkin方法表明，对于方程(5)，可以通过增加逼近项和合适的特征函数可以获得足够精确的解。那么，式(14)表示的系统的振动能量E(t)等于式(4)表示的原系统的振动能量，所以振动能量同样满足指数稳定判定条件(50)，即可以认为式(4)表示的原系统为指数稳定。
步骤5：仿真验证
在这一步里，以图1所示输流管-非线性能量阱系统为例来验证步骤4的理论结果。并通过对比有无非线性能量阱时输流管的位移响应情况，来对非线性能量阱的振动控制效果进行说明。基于式(4)，将图1所标示的输流管-非线性能量阱系统的参数设置如下为α＝0.001，β＝0.8，ε＝0.1，σ＝0.1，d＝0.5，
k＝8000，并且输流管两端简支表明其边界条件如下：
Figure BDA0002581497300000141
然后通过仿真不同无量纲流速υ情况下，输流管-非线性能量阱系统的能量量函数E(t)，Lyapunov函数VL(t)以及输流管的位移响应y(x，t)来验证步骤4的理论结果并说明非线性能量阱的振动控制效果。
然而，由于式(4)所表示的系统是一个高阶偏微分动力学系统，其瞬态动力学的解析解是非常难以求解的，只能通过数值方法来近似求解。为了获得高精度的近似解，式(4)所表示的系统的Galerkin过程中必须以至少两阶近似项来对输流管的位移函数y(x，t)截断。为了获得更好的数值收敛性，以及降低仿真过程的难度和减少仿真过程所用时间，选取并确定n＝2。为了激活振荡，系统的初始条件设置为
Figure BDA0002581497300000142
其中X为常数。
图2中(a)为无量纲流速v＝0.1，仿真激励X＝0.3的情况下，输流管-非线性能量阱系统的能量函数E(t)及Lyapunov函数VL(t)的仿真结果，图中能量函数E(t)用实线表示，Lyapunov函数VL(t)用点划线表示。则根据上述结果，很容易确认一个指数函数0.025e-0.4t，使v＝1.0时式(49)成立(如图2中(a)的虚线、点划线及实线的关系)。图2中(b)是无量纲流速v＝2.0时，能量函数E(t)及Lyapunov函数VL(t)的仿真结果，则易确定一个指数函数0.025e-0.35t，使得不等式0≤E(t)≤VL(t)≤0.025e-0.35t成立(如图2中(b)的虚线、点划线及实线的关系)，即式(49)成立。当无量纲流速v＝3.0时，仿真结果如图2中(c)所示，根据图2中(c)虚线、点划线及实线的关系，可以确定一个指数函数0.025e-0.11t使得能量函数E(t)和Lyapunov函数VL(t)满足式(49)所示关系。上述结果验证了步骤4给出的结果，也就是式(14)所表示的系统是指数稳定的。进一步地考虑到Galerkin方法的逼近特性，能够推断出式(4)所表示的原系统同样是指数稳定。进而验证了本发明所设计的全局稳定性分析方法的有效性与可行性。
为了进一步说明非线性能量阱的振动控制效果以及引入后对输流管的影响，对不同条件下输流管的位移响应进行了仿真和分析，结果如图3所示。图3中(a)～(c)分别是不同的无量纲流速下(依次对应于υ＝1.0，2.0，3.0)，仿真激励X＝0.3时，输流管上三个截面x＝0.2，0.5，0.8(对应于图中长度轴)处的位移响应情况，即y(0.2，t)，y(0.5，t)，y(0.8，t)。其中虚线表示的无控制时输流管各截面的位移响应，实线表示非线性能量阱作为振动控制器时输流管的位移响应情况。对比图3中实线与虚线的变化情况，可以很容易的看出非线性能量阱能够很好地抑制输流管的振动，使其位移响应很快地降低到很小的范围内。
以上所述实施例仅表达本发明的实施方式，但并不能因此而理解为对本发明专利的范围的限制，应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些均属于本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种分析输流管-非线性能量阱系统全局稳定性的方法，其特征在于，该方法通过建立一个势能函数，将输流管-非线性能量阱系统模型转换为一个包含梯度项的二次型模型，并基于此构建输流管-非线性能量阱系统的能量泛函和扰动泛函，进而通过能量扰动技术和泛函分析得到Lyapunov稳定性理论框架下输流管-非线性能量阱系统的全局稳定性判据；该方法具体包括以下步骤：
步骤1：输流管-非线性能量阱系统的建模及预处理
所述输流管的安装方式为两端简支，非线性能量阱与输流管管道相连；在不考虑重力、内部阻尼、外部张力以及增压效果的情况下，输流管-非线性能量阱系统的数学模型为：
Figure FDA0002581497290000011
其中，Y(X,T)表示输流管的截面位移函数；EI表示输流管的弯曲刚度；λ表示输流管的黏弹性系数；Mf表示输流管内流体的质量；mp表示输流管本身的质量；V表示输流管内流体的流速；T是时间变量；
Figure FDA0002581497290000012
表示非线性能量阱的位移函数；mNES表示非线性能量阱的结构质量；K表示非线性能量阱的非线性刚度；C表示非线性能量阱的阻尼；D表示非线性能量阱的安装位置；δ(X-D)是狄拉克δ函数；
将输流管-非线性能量阱系统数学模型的参数进行如下无量纲化过程：
Figure FDA0002581497290000013
式(2)中，L表示输流管的长度，x表示输流管的长度自变量X的无量纲形式，y是输流管纵向位移Y(X，T)的无量纲形式，
Figure FDA0002581497290000014
是非线性能量阱纵向位移
Figure FDA0002581497290000015
的无量纲形式，d表示无量纲化的非线性能量阱的安装位置，k为非线性能量阱的无量纲非线性刚度，v表示输流管内液体的无量纲流速，t表示无量纲时间变量，α表示输流管的无量纲黏弹性系数，β表示输流管内液体质量与输流管质量和液体质量之和的比值，ε表示非线性能量阱的结构质量与输流管本身和输流管内液体质量之和的比值，σ表示非线性能量阱的无量纲阻尼；
将式(2)代入方程组(1)中，得到输流管-非线性能量阱系统的无量纲化数学模型：
Figure FDA0002581497290000021
步骤2：模型离散化
输流管-非线性能量阱系统的位移函数的标准Galerkin型为：
Figure FDA0002581497290000022
其中，φr(x)是输流管在无阻尼自由振动情况时的第r个特征函数；qr(t)是离散系统的广义坐标；n是Galerkin离散项数；
将式(4)代入式(3)中，得到式(5)所示的二阶非线性常微分方程形式：
Figure FDA0002581497290000023
其中，
Figure FDA0002581497290000024
式(6)中，Rn+1表示n+1维空间；λr＝rπ，r＝1，…，n；φr、φrd为式(4)中特征函数组成的向量；q为式(4)中广义坐标组成的向量；δr、br、cr分别是φr与φr、φr与φ′r、φr与φ″r的Kronecker积；
步骤3：模型的二次型化
基于式(5)，建立输流管-非线性能量阱系统的势能函数Φ(Z)，且Φ(Z)为凸函数：
Figure FDA0002581497290000031
其中，<KZ，Z>表示向量KZ和Z的欧式内积；则将式(5)转化为：
Figure FDA0002581497290000032
其中，
Figure FDA0002581497290000033
表示凸函数Φ(Z)的梯度；
步骤4：全局稳定性分析
基于式(8)，定义输流管-非线性能量阱系统的能量泛函E(t)和扰动泛函W(t)：
Figure FDA0002581497290000034
Figure FDA0002581497290000035
基于上述能量泛函和扰动泛函，定义Lyapunov函数VL(t)如下：
Figure FDA0002581497290000036
其中，G表示扰动泛函对Lyapunov函数的影响系数，且
Figure FDA0002581497290000037
m1为矩阵M的最大特征值，λ0为矩阵C的最小特征值，
Figure FDA0002581497290000038
是矩阵M和矩阵C的逆矩阵C-1的乘积的最大特征值；
进而，利用泛函分析得到Lyapunov函数VL(t)满足如下指数稳定性判定条件：
Figure FDA0002581497290000039
其中，a0＝VL(0)，s和P为大于0的参数；
由于
Figure FDA00025814972900000310
则
Figure FDA00025814972900000311
同时结合式(12)得到能量泛函E(t)满足如下关系：
Figure FDA00025814972900000312
其中
Figure FDA00025814972900000313
至此，得到式(13)为E(t)的指数稳定判定条件；
结合式(13)、(5)和(4)，得到式(3)所示的输流管-非线性能量阱系统的全局稳定性为指数稳定。
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