CN111736612A - 一种基于多项式模糊模型的usv航迹跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于多项式模糊模型的USV航迹跟踪控制方法，包括以下步骤：将USV水平面运动模型中的非多项式转化为多项式，得到与所述USV水平面运动模型等效的多项式T‑S模糊模型；以所述多项式T‑S模糊模型为基础，设计一种多项式模糊动态输出反馈控制器来实现对USV速度和位置的控制；判断结合所述多项式模糊动态输出反馈控制器后的所述多项式T‑S模糊模型的稳定性。本发明不依赖于USV模型的先验知识，引入多项式T‑S模糊模型对非线性不确定USV系统等效建模，并在此基础上设计了多项式模糊动态输出反馈控制器，并给出了多项式模糊动态输出反馈控制器的渐近稳定性条件。

Description

一种基于多项式模糊模型的USV航迹跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及无人艇控制领域，尤其涉及一种基于多项式模糊模型的USV 航迹跟踪控制方法。

背景技术

无人艇(Unmanned surface vehicle,以下简称无人艇或USV)作为一个可以 在海洋环境中安全自主航行，完成各种任务的无人水面智能运动平台，具有 体型小、隐身性好、操纵灵活、活动范围广、运行成本低、无人员伤亡等优 点，在民用和军事领域具有广泛的应用前景，能够执行诸如海洋环境监测、 海洋资源探测与开发、跟踪侦查、海岸防御、搜救和战区反潜等任务，因此， 无人艇航迹跟踪控制是完成各项任务的基本前提；

由于无人艇缺少横向驱动力，不受Brockett定理条件的约束，具有欠驱 动性、高度非线性、强耦合，易受内部参数不确定性影响，难以获得精确的 无人艇数学模型，所以传统基于精确数学模型的控制方法及常规非完整系统 的一些非线性控制方法均不能直接应用于无人艇航迹跟踪控制问题。因此， 系统内部参数不确定下USV航迹跟踪控制问题极具挑战性。

发明内容

本发明提供一种基于多项式模糊模型的USV航迹跟踪控制方法，以克服 上述技术问题。

本发明提供一种基于多项式模糊模型的USV航迹跟踪控制方法，包括以 下步骤：

将USV水平面运动模型中的非多项式转化为多项式，得到与所述USV 水平面运动模型等效的多项式T-S模糊模型；

以所述多项式T-S模糊模型为基础，得到多项式模糊动态输出反馈控制 器，实现对USV速度和位置的控制；

判断结合所述多项式模糊动态输出反馈控制器后的所述多项式T-S模糊 模型的稳定性。

进一步地，所述USV水平面运动模型如下：

其中，x为USV在水平面的北向位置，y为USV在水平面的东向位置， ψ为USV的艏向角，u为USV的纵向速度，v为USV的横向速度，r为USV 的艏摇角速度，τ_u为USV的纵向力矩，τ_r为USV的转艏力矩，m₁₁为纵向 自由度上的系统惯量,m₂₂为横向自由度上的系统惯量，m₃₃为艏摇自由度上的 系统惯量，d₁₁为纵向自由度上的系统阻尼系数，d₂₂为横向自由度上的系统阻 尼系数，d₃₃为艏摇自由度上的系统阻尼系数；

所述多项式T-S模糊模型如下：

其中，n＝[n₁,n₂]^T，n₁＝sinψ，n₂＝cosψ，X＝[u,v,r,x,y,ψ]^T，τ＝[τ_u,τ_r]^T，

A₁(X)，A₂(X)，A₃(X)， A₄(X)，B(X)，C(X)表达式如下：

进一步地，所述多项式模糊动态输出反馈控制器如下：

其中，n为n₁和n₂的向量化，S表示多项式模糊动态输出反馈控制器的 动态特性，A_Si(Y,S)，B_Si(Y,S)，C_Si(Y,S)，D_Si(Y,S)为该输出反馈控制器的增益矩 阵。

进一步地，通过李雅普诺夫函数判断结合所述多项式模糊动态输出反馈 控制器后的所述多项式T-S模糊模型的稳定性。

本发明不依赖于USV模型的先验知识，引入多项式T-S模糊模型对非线 性不确定USV系统等效建模，并在此基础上设计了多项式模糊动态输出反馈 控制器，并给出了多项式模糊动态输出反馈控制器的渐近稳定性条件。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实 施例或现有技术描述中所需要使用的附图做一简单地介绍，显而易见地，下 面描述中的附图是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在 不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明USV水平面运动模型图；

图2为本发明USV水平面运动模型图；

图3为本发明多项式T-S模糊模型在多项式模糊动态输出反馈控制器的 作用下的控制示意图；

图4为本发明多项式模糊动态输出反馈控制器的设计流程图；

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发 明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述， 显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于 本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获 得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明针对系统内部参数不确定下USV航迹跟踪控制问题，提出了一种 基于多项式模糊模型的USV航迹跟踪控制方法。首先，在USV水平面运动 模型下推导出与其等效的多项式T-S模糊模型；然后，设计具有平方和 (Sum-of-squares,SOS)分解形式的多项式模糊动态输出反馈控制器；最后， 给出了多项式模糊动态输出反馈控制器的渐近稳定性条件。

如图1所示，具体包括以下步骤：

S1：将USV水平面运动模型中的非多项式转化为多项式，得到与所述 USV水平面运动模型等效的多项式T-S模糊模型；

S2：以所述多项式T-S模糊模型为基础，设计一种多项式模糊动态输出 反馈控制器来实现对USV速度和位置的控制；

S3：判断结合所述多项式模糊动态输出反馈控制器后的所述多项式T-S 模糊模型的稳定性并对USV进行控制调节。

具体而言，如图2所示，所述USV水平面运动模型如下：

其中，x为USV在水平面的北向位置；y为USV在水平面的东向位置； ψ为USV的艏向角；u为USV的纵向速度；v为USV的横向速度；r为USV 的艏摇角速度；τ_u为USV的纵向力矩；τ_r为USV的转艏力矩；m₁₁为纵向自 由度上的系统惯量，

m表示无人艇质量，

表示纵向加速度产生的 纵向附加质量系数；m₂₂为横向自由度上的系统惯量，

表示横向 加速度产生的横向附加质量系数；m₃₃为艏摇自由度上的系统惯量，m₃₃＝J_z-N_r，

表示角加速度产生的艏向附加转动惯量系数，J_z表示无人艇艏摇自由度上的 刚体系统转动惯量；d₁₁为纵向自由度上的系统阻尼系数，d₁₁＝-X_u-X_u|u||u|，X_u表示纵向速度产生的纵向线性水阻尼系数，

表示纵向速度产生的二阶纵向非 线性水阻尼系数；d₂₂为横向自由度上的系统阻尼系数，d₂₂＝-Y_v-Y_v|v||v|，Y_v表示 横向速度产生的横向线性水阻尼系数，Y_v|v|表示横向速度产生的二阶横向非线性 水阻尼系数；d₃₃为艏摇自由度上的系统阻尼系数，d₃₃＝-N_r-N_v|r||r|，N_r表示艏 向角速度产生的艏向线性水阻尼系数，N_v|r|表示横向和艏向速度产生的二阶耦合 艏向非线性水阻尼系数；

所述USV水平面运动模型即公式中包含7个非线性项： vr,ur,uv,u cosψ,v sinψ,u sinψ,v cosψ，其中sinψ和cosψ是非多项式，其余非线性 项均为多项式。由于sinψ，cosψ是全局有界的，可以采用多项式模糊模型准 确地描述。为了后续描述的方便，先分别定义n₁＝sinψ和n₂＝cosψ，然后将n₁和 n₂通过扇形非线性建模方法可表示如下：

通过求解式(2)可得

的表达式如下(ω_IJ的是和n₁，n₂有关的变量， 为了进一步描述n₁和n₂引入的，其本身没有特殊含义)：

将式(3)带入式(1)，推导得出多项式T-S模糊模型如下：(n是n₁和 n₂表示的，就是把这两个标量向量化了，同理h是ω_IJ表示的，其本身没有什 么特殊含义)

其中n＝[n₁,n₂]^T，X＝[u,v,r,x,y,ψ]^T，τ＝[τ_u,τ_r]^T，

A₁(X)，A₂(X)，A₃(X)，A₄(X)，B(X)，C(X)表达式如下：

如图4所示，利用SOS分解技术得出多项式模糊动态输出反馈控制器设 计条件的具体过程为：

SOS技术是基于实代数几何中的中心结果Positivstellensatz(正点)定理 的一个普遍而强大的放松技术，能够为许多优化问题提供松弛处理。

对于一个多项式

若存在一组多项式f₁(X),…,f_m(X)使得下 式成立

则p(X)为SOS多项式。

令p(X)是一个关于状态X∈R^N的次数为2d的N×N阶对称多项式矩阵， Z(X)表示一个列向量且其元素是关于X的次数不超过d的单项式，则有以下 条件被满足：

a)对于所有的

p(X)≥0；

b)存在一个半正定矩阵Q，使得p(X)＝Z^T(X)QZ(X)是一个SOS多项式。

对于非线性USV水平面运动模型等效的多项式T-S模糊模型，采用如下 多项式模糊动态输出反馈控制器：

其中，S表示所述多项式模糊动态输出反馈控制器的动态特性， A_Si(Y,S)，B_Si(Y,S)，C_Si(Y,S)，D_Si(Y,S)为该多项式模糊动态输出反馈控制器的 增益矩阵。

公式(6-1)结合公式(4)对所述多项式T-S模糊模型进行等效变换， 令

有：

其中，

是对上述多项式模糊动态输出反馈控制器增益矩阵A_Si(Y,S)，B_Si(Y,S)，C_Si(Y,S)，D_Si(Y,S)的整合，

为了验证式(7)的系统稳定性，选取如下多项式即李雅普诺夫函数，李雅 普诺夫函数导数小于零，闭环系统是渐近稳定的；导数大于零，闭环系统不稳定：

其中，

是一个多项式矩阵，

对公式(8)求导，并将式(7)带入公式(8)的求导项中可知：

由于上式(9)中存在两个未知的多项式矩阵

和

相乘，使得

的证明较为困难，为了解决这个问题，式(9)可以用二次形式(矩 阵展开的形式)重新表示为：

为了便于分析，定义行数集合Φ＝{k₁,…,k_q}，将

展开为

使得下式成立：

其中

表示多项式矩阵

的第k行。

由于式(11)中存在零对角元素，因此不能保证其负定性。为了解决这个问 题，引入芬斯勒引理(Finsler)，如下式：

利用公式(12)的零值关系增加项，增加零值项，于整体来说是等价的， 将公式(12)带入公式(11)可知：

其中，I表示单位矩阵，X_1j(Y,S)和X_2j(Y,S)表示具有任意维数的多项式松 弛矩阵。进一步采用SOS分解技术，定义：

其中，β是任意标量，X(Y,S)是一个包含系统输出和多项式模糊动态输出反馈控制器状态向量的对称矩阵。

将公式(14)带入公式(13)进一步得到下式：

其中，

并已知h_i(z)≥0，最终可得

如图3所示，由于式(8)大于0，通过设计多项式模糊动态输出反馈控制 器，在该多项式模糊动态输出反馈控制器的作用下，可以使得式(15)小于0， 根据李雅普诺夫稳定理论可以得出系统(7)是渐进稳定的。则系统的状态(包 含USV的位置和速度信息)都会趋向于稳定状态，从而实现USV的跟踪控制任 务。

本发明不依赖于USV模型的先验知识，引入多项式T-S模糊模型对非线 性不确定USV系统等效建模，并在此基础上设计了多项式模糊动态输出反馈 控制器，并给出了多项式模糊动态输出反馈控制器的渐近稳定性条件。

多项式模糊动态输出反馈控制器具有逼近复杂非线性动力系统的能力， 其将线性系统理论与模糊理论结合起来解决非线性系统控制问题，建模过程 简单、可以在线性系统理论基础上进行分析、能够从任意方向以任意精度逼 近不确定非线性系统，多项式T-S模糊模型可以更普遍、更有效的描述双线 性和非线性控制系统，并且平方和(Sum-of-squares,SOS)形式表示的稳定条 件也优于线性矩阵不等式(Linear-matrix-inequality,LMI)形式，研究系统内 部参数不确定性下无人艇航迹跟踪模糊控制更具有实际意义。

最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对 其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通 技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改， 或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并 不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。

Claims (4)

1.一种基于多项式模糊模型的USV航迹跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

将USV水平面运动模型中的非多项式转化为多项式，得到与所述USV水平面运动模型等效的多项式T-S模糊模型；

以所述多项式T-S模糊模型为基础，得到多项式模糊动态输出反馈控制器，实现对USV速度和位置的控制；

判断结合所述多项式模糊动态输出反馈控制器后的所述多项式T-S模糊模型的稳定性并对USV进行控制调节。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述USV水平面运动模型如下：

其中，x为USV在水平面的北向位置，y为USV在水平面的东向位置，ψ为USV的艏向角，u为USV的纵向速度，v为USV的横向速度，r为USV的艏摇角速度，τ_u为USV的纵向力矩，τ_r为USV的转艏力矩，m₁₁为纵向自由度上的系统惯量,m₂₂为横向自由度上的系统惯量，m₃₃为艏摇自由度上的系统惯量，d₁₁为纵向自由度上的系统阻尼系数，d₂₂为横向自由度上的系统阻尼系数，d₃₃为艏摇自由度上的系统阻尼系数；

所述多项式T-S模糊模型如下：

其中，n＝[n₁,n₂]^T，n₁＝sinψ，n₂＝cosψ，X＝[u,v,r,x,y,ψ]^T，τ＝[τ_u,τ_r]^T，

A₁(X)，A₂(X)，A₃(X)，A₄(X)，B(X)，C(X)表达式如下；

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述多项式模糊动态输出反馈控制器如下：

其中，n为n₁和n₂的向量化，S表示多项式模糊动态输出反馈控制器的动态特性，A_Si(Y,S)，B_Si(Y,S)，C_Si(Y,S)，D_Si(Y,S)为该输出反馈控制器的增益矩阵。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，通过李雅普诺夫函数判断结合所述多项式模糊动态输出反馈控制器后的所述多项式T-S模糊模型的稳定性。

Images