CN111726855B - 一种面向通信系统的功率控制优化方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种面向通信系统的功率控制优化系统和优化方法，包括：基站和智能终端。基站由可再生能源和电网同时提供能量。从外部环境中获取的可再生能源在使用前先存储在容量受限的电池中，而其能量供应的波动性由电网补偿。首先建立动态能量到达模型、电价模型、数据传输模型和功耗模型；其次，建立问题模型；最后，提出资源分配联合在线优化算法。本发明优点在于：不需要预先知道未来信道状态信息、能量到达和电价的情况下，可以动态调整电网用电量，降低能量成本，进而实现长期能量经济效率的最大化。
Description
技术领域
本发明涉及通信功率控制技术领域，特别涉及一种面向智能电网大规模多天线通信系统的功率控制优化方法。
背景技术
智能电网依靠先进的通信技术来提高传统电网的效率、可靠性和经济性。为了实现能量生产、传输、转换、分配和存储的智能化管理，必须实时传输大量数据。随着5G蜂窝技术的发展，具有数百根天线的大规模多天线通信系统已成为一种关键的技术解决方案。利用天线增益，可以有效地提高智能电网数据传输的可靠性和吞吐量。但是大量的天线和射频链也带来了高复杂度、高能耗、高功耗和高成本等一系列挑战。对于每根天线，都需要一个单独的射频链进行信号处理，这通常比天线本身更加昂贵和耗能。在智能电网中，可以从两个领域降低能量消耗的成本，即能量领域和通信领域。在能量领域，智能电网能够利用能量收集技术将可再生能源集成到需求侧，从而减少电网的能量消耗。在通信领域，可以通过天线选择来减少活跃天线和相应射频链的数量以降低能量消耗。因为在实际的通信信道中，不同天线的贡献是不相等的，仅利用贡献最大的天线而关闭其它天线可以有效降低能量消耗。
然而，现阶段针对智能电网中大规模多天线通信系统的研究尚在起步阶段，有几个关键挑战尚未解决：
1.首先，能量资源分配和通信资源分配相互耦合，需要联合优化，一般是NP难问题，无法在多项式时间复杂度下获得最优解。
2.其次，仅依靠具有间歇性和波动性的可再生能源以及容量受限的储能设备无法保证服务质量的可靠性，需要综合利用可再生能源和电网能源。然而多种能源共存会进一步使资源分配问题复杂化。
3.最后，长期的系统性能依赖于对未来电价、能量到达和信道状态信息的精确了解，而这些信息通常无法准确获得。
发明内容
本发明针对现有技术的缺陷，提供了一种面向通信系统的功率控制优化方法，解决了现有技术中存在的缺陷。
为了实现以上发明目的，本发明采取的技术方案如下：
一种面向通信系统的功率控制优化方法，包括：动态能量到达模型、电价模型、数据传输模型和功耗模型；
所述动态能量到达模型用于表示在每个能量从外部获取并存储到电池中的可再生能源，构建能量队列；
所述电价模型用于表征可再生能源的价格和电网电价，一般设置可再生能源价格小于电网电价，鼓励可再生能源的消费；另外，电价模型用于构建数据传输的能量成本；
所述数据传输模型中对下行链路频谱效率进行构建，进而计算吞吐量；并构建能量经济效率性能指标；
所述功耗模型中分别表述了电网和电池的瞬时电路功率、传输功率和单射频链电路功率，计算电网和电池的总功耗，进而构建数据传输的能量成本；
所述功率控制优化方法包括以下步骤：
S1：建立动态能量到达模型和电价模型；
将时间维度划分为连续、等长的能量时隙，表示为te＝1,2,...∞，时隙长度为T0秒。还考虑了能量到达、信道状态信息变化和电价变化之间的时间尺度差异。假设信道状态信息比能量到达变化快，电价比能量到达变化慢，即假设电价在连续的多个能量时隙内为恒定值。因此，每个能量时隙均由T0/Tc个信道时隙组成，其中Tc是信道时隙长度，每个电价时隙tω＝1,2,...∞由Te个能量时隙组成，长度为TeT0秒。
令Ein(te)∈[0,Emax]表示在第te个时隙从外部获取并存储在电池中的可再生能源的能量。令
和
分别表示在第tω个时隙可再生能源的价格和电网的电价。设置0＜ωE＜ωG来鼓励可再生能源的消费。
令B(te)表示电池状态，
表示在第te个时隙可再生能源的功耗。由于每个时隙消耗的能量不能超过电池中存储的能量，因此得到以下能量因果关系约束：
然后，将电池状态建模为动态能量队列，其中能量到达和能量消耗分别代表队列的输入和输出。能量队列更新如下：
其中Bmax表示电池容量。
S2：建立数据传输模型；
假设基站总共配备了N根天线(N>>1)，而由于空间和成本的限制，每个智能终端配备单个天线。终端侧接收到的下行信号为：
y＝HHWx+n0 (3)
其中x为K×1的传输符号向量，W为N×K的预编码矩阵，采用迫零预编码方案，即W＝H(HHH)-1。H＝[h1,h2,...hK]是N×K的信道增益矩阵，元素hk＝[hk,1,hk,2,...hk,N]T表示基站和第k个智能终端之间信道增益的N维向量。n0是遵循正态分布N(0,σ2Ik)的加性高斯白噪声，其中Ik是N×K的单位矩阵。
在第te个能量时隙，基站通过天线选择从N根天线中选择信道增益最大的M(te)根天线用于数据传输，即
te个能量时隙的下行链路频谱效率为：
其中PTx(te)表示第te个能量时隙的传输功率。
S3：建立功耗模型；
令Ptotal(te)表示第te个时隙基站的总功耗，计算为：
Ptotal(te)＝PC(te)+PTx(te)+PRF(te)M(te) (6)
其中PC(te),PTx(te),PRF(te)分别表示第te个时隙的瞬时电路功率、传输功率和单射频链电路功率。PC,PTx,PRF定义为：
所以在第te个时隙电网和可再生能源的总功耗分别为：
S4：建立问题模型；
考虑在电价时隙Tw上的优化，即总共TeTw个能量时隙，将天线选择和功率控制策略定义为
和
其中
第te个时隙单位带宽的期望吞吐量(bits/Hz)为：
其中E{·}为期望算子。
第te个时隙的能量成本(cents)为：
令
和
分别表示在TeTw个时隙内单位带宽的时间平均吞吐量和时间平均能量成本：
令
表示能量经济效率(bits/Hz/cent)，其定义为每单位带宽的时间平均吞吐量与时间平均能量成本之比。
因此，天线选择和功率控制联合优化下的能量经济效率最大化问题表述为：
其中C1是能量因果约束；C2和C3规定了保证基站和单射频链可靠运行所需的功率；C4和C5是瞬时最大传输功率和电网功率约束；C6是服务质量需求；C7是传输功率的长期约束；C8和C9规定了优化变量的边界。
S5：资源分配联合在线优化算法；
S51：基于非线性分式规划的问题转换；
令q*表示P1的最优目标值：
其中
和
分别表示最优天线选择策略和最优功率控制策略，基于非线性分式规划可以得到：
定理2：当且仅当
时，可以得到最优目标值q*。
根据定理2，存在另一个等价于P1的减法形式问题。因此，P1可以转化为：
然而，P2中q*的具体值仍然未知。因此:使用一个替代变量q(te)来代替q*，其定义为：
所以P2可以转化为：
S52：基于李雅普诺夫优化的问题转换；
基于虚拟队列的概念，长期时间平均约束C7可以转化为队列稳定性约束。因此，与C7对应的虚拟队列Z(te)表示为：
Z(te+1)＝max[Z(te)-PTx,mean,0]+PTx(te) (21)
定理3：如果Z(te)是平均速率稳定的，那么约束C7自动满足。
基于定理3，P3可以转化为：
然后，李雅普诺夫函数L(Z(te))表示为：
引入李雅普诺夫漂移的概念使李雅普诺夫函数维持在一个较低的拥塞状态，并保持虚拟队列的稳定。李雅普诺夫漂移表示李雅普诺夫函数在一个时隙的期望变化，假设在第te个时隙虚拟队列的状态是Z(te)，则单个时隙的条件李雅普诺夫漂移可定义为：
为了在队列Z稳定的约束下最大化
定义漂移减奖励函数为：
其中V是一个非负参数，它控制漂移Δ(Z(te))对于奖励
的相对重要性，即队列稳定性与奖励最大化之间的权衡。
定理4：漂移减奖励函数，即
的上界为：
其中C为一个有限的正常数，满足：
根据李雅普诺夫优化的原理，P4可转化为在每个时隙内满足C1～C6，C8和C9约束的条件下，最小化漂移减奖励函数的上界，即：
S53：天线选择和功率控制联合优化算法
S531：天线选择：算法1是基于二分法的天线选择算法。令
表示不大于x的最大整数，
表示不小于x的最小整数。在第te个时隙，首先确定包含最优天线数目M*(te)的区间[Mlow(te),Mhigh(te)]。在每次迭代中，计算Mmid(te)和Mmid(te)-1并通过算法2获得相应的最优功率控制策略
和
定义
为：
然后，将
与
进行比较，以确定M*(te)位于区间[Mlow(te),Mmid(te)]还是区间[Mmid(te),Mhigh(te)]，并重置迭代区间端点如下：
如果
则M*(te)位于区间[Mmid(te),Mhigh(te)]并且Mlow(te)＝Mmid(te)。否则M*(te)位于区间[Mlow(te),Mmid(te)]，Mhigh(te)＝Mmid(te)。算法1天线选择算法的流程如下：
1：Mlow(te)←1，Mhigh(te)←N,
2：循环：当Mhigh(te)-Mlow(te)＞1时，执行
3：计算
4：给出Mmid(te)和Mmid(te)-1，通过算法2获得
和
5：判断1：如果
则
6：Mlow(te)＝Mmid(te)
7：如果
则
8：Mhigh(te)＝Mmid(te)
9：否则
10：中断判断(break)；
11：结束判断1
12：结束循环
13：判断2：如果：Mhigh(te)-Mlow(te)＝1，则
14：
15：否则
16：M*(te)＝Mmid(te)；
17：结束判断2
18：输出M*(te)。
S532：功率控制：算法2是功率控制算法。Lmax是总迭代次数，n是迭代索引，Δ是容忍阈值。在第n次迭代中，通过利用从第(n-1)次迭代中获得的q(te,n)解决以下功率控制问题，获得与天线数量M(te)对应的功率控制策略
公式(31)是具有可微目标函数和约束的凹函数。相应的增广拉格朗日函数为：
其中
和θte分别为与约束C1～C6相关的拉格朗日乘数。等价的拉格朗日对偶问题为：
令
表示与q(te,n)相关的最优功率控制策略。
可以通过使用Karush-Kuhn-Tucker条件获得。然后，基于次梯度法对拉格朗日乘数进行更新。接下来利用M(te)和
计算下一次迭代的q(te,n+1)。算法2功率控制算法的流程如下：
1：初始化：q(1,1)＝0,Z(1)＝0,Lmax,Δ,M(te)(由算法1获得)
2：循环：当n＜Lmax时，
3：对于给定的q(te,n)和M(te)，通过解决(33)获得
4：判断：如果
则
5：
6：否则
7：
并且
8：结束判断
9：更新：n→n+1
10：结束循环
11：输出：q*(te)。
12：通过求解式(21)计算下一时隙的Z(te)。
与现有技术相比，本发明的优点在于：
在不需要预先知道未来信道状态信息、能量到达和电价的情况下，可以动态调整电网用电量，降低能量成本，进而实现长期能量经济效率的最大化。
附图说明
图1是本发明实施例功率控制优化系统的结构示意图；
图2是本发明实施例能量经济效率与电池容量的关系图；
图3是本发明实施例电池状态示意图；
图4是本发明实施例能量经济效率示意图；
图5是本发明实施例能量经济效率与天线数目的关系图；
图6是本发明实施例电网电价与电网能耗的关系图。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下根据附图并列举实施例，对本发明做进一步详细说明。
1.构建系统模型
如图1所示，本发明考虑了智能电网中典型大规模多天线通信系统的下行链路，包括一个基站(Base Station,BS)和K个智能终端(Smart Terminals,STs)。基站由可再生能源和电网同时提供能量。从外部环境中获取的可再生能源在使用前先存储在容量受限的电池中，而其能量供应的波动性由电网补偿。下面详细介绍了能量到达模型、电价模型、数据传输模型和功耗模型。
(1)动态能量到达和电价模型
可再生能源到达和实时电价在连续时间轴上的动态过程如图1所示。具体来说，本发明将时间维度划分为连续、等长的能量时隙，表示为te＝1,2,...∞，时隙长度为T0秒。本发明还考虑了能量到达、信道状态信息变化和电价变化之间的时间尺度差异。假设信道状态信息比能量到达变化快，电价比能量到达变化慢，即可以假设电价在连续的多个能量时隙内为恒定值。因此，每个能量时隙均由T0/Tc个信道时隙组成，其中Tc是信道时隙长度，每个电价时隙tω＝1,2,...∞由Te个能量时隙组成，长度为TeT0秒。
在智能电网中，能量到达和电价都是时空变化的。令Ein(te)∈[0,Emax]表示在第te个时隙从外部获取并存储在电池中的可再生能源的能量。令
和
分别表示在第tω个时隙可再生能源的价格和电网的电价。本发明设置0＜ωE＜ωG来鼓励可再生能源的消费。
令B(te)表示电池状态，
表示在第te个时隙可再生能源的功耗。由于每个时隙消耗的能量不能超过电池中存储的能量，因此得到以下能量因果关系约束：
然后，将电池状态建模为动态能量队列，其中能量到达和能量消耗分别代表队列的输入和输出。能量队列更新如下：
其中Bmax表示电池容量。
(2)数据传输模型
假设基站总共配备了N根天线(N>>1)，而由于空间和成本的限制，每个智能终端配备单个天线。终端侧接收到的下行信号为：
y＝HHWx+n0 (3)
其中x为K×1的传输符号向量，W为N×K的预编码矩阵。由于其在N>>K时优越的性能和低复杂度，本发明采用迫零预编码方案，即W＝H(HHH)-1。
H＝[h1,h2,...hK]是N×K的信道增益矩阵，元素hk＝[hk,1,hk,2,...hk,N]T表示基站和第k个智能终端之间信道增益的N维向量。n0是遵循正态分布N(0,σ2Ik)的加性高斯白噪声，其中Ik是N×K的单位矩阵。
在第te个能量时隙，基站通过天线选择从N根天线中选择信道增益最大的M(te)根天线(即
)用于数据传输。第te个能量时隙的下行链路频谱效率(bits/s/Hz)为：
其中PTx(te)表示第te个能量时隙的传输功率。
(3)功耗模型
令Ptotal(te)表示第te个时隙基站的总功耗，计算为：
Ptotal(te)＝PC(te)+PTx(te)+PRF(te)M(te) (6)
其中PC(te),PTx(te),PRF(te)分别表示第te个时隙的瞬时电路功率、传输功率和单射频链电路功率。PC,PTx,PRF定义为：
所以在第te个时隙电网和可再生能源的总功耗分别为：
2.问题建模
本发明考虑在电价时隙Tw上的优化，即总共TeTw个能量时隙。本发明将天线选择和功率控制策略定义为
和
其中
第te个时隙单位带宽的期望吞吐量(bits/Hz)为：
其中E{·}为期望算子。
第te个时隙的能量成本(cents)为：
令
和
分别表示在TeTw个时隙内单位带宽的时间平均吞吐量和时间平均能量成本：
令
表示能量经济效率(bits/Hz/cent)，其定义为每单位带宽的时间平均吞吐量与时间平均能量成本之比。
因此，天线选择和功率控制联合优化下的能量经济效率最大化问题表述为：
其中C1是能量因果约束；C2和C3规定了保证基站和单射频链可靠运行所需的功率；C4和C5是瞬时最大传输功率和电网功率约束；C6是服务质量需求；C7是传输功率的长期约束；C8和C9规定了优化变量的边界。
3.资源分配联合在线优化算法
(1)基于非线性分式规划的问题转换
令q*表示P1的最优目标值：
其中
和
分别表示最优天线选择策略和最优功率控制策略。基于非线性分式规划可以得到：
定理2：当且仅当
时，可以得到最优目标值q*。
根据定理2，存在另一个等价于P1的减法形式问题。因此，P1可以转化为：
然而，P2中q*的具体值仍然未知。因此，本发明使用一个替代变量q(te)来代替q*，其定义为：
所以P2可以转化为：
P3是一个混合整数非线性规划问题，需要联合优化整数变量与连续变量。此外，它还涉及长期优化目标函数和约束。因此，P3是NP难问题并且q(te)不能通过传统的Dinkelbach方法直接获得。
(2)基于李雅普诺夫优化的问题转换
基于虚拟队列的概念，长期时间平均约束C7可以转化为队列稳定性约束。因此，与C7对应的虚拟队列Z(te)表示为：
Z(te+1)＝max[Z(te)-PTx,mean,0]+PTx(te) (21)
定理3：如果Z(te)是平均速率稳定的，那么约束C7自动满足。
基于定理3，P3可以转化为：
然后，李雅普诺夫函数L(Z(te))可以表示为：
本发明引入李雅普诺夫漂移的概念使李雅普诺夫函数维持在一个较低的拥塞状态，并保持虚拟队列的稳定。李雅普诺夫漂移表示李雅普诺夫函数在一个时隙的期望变化，假设在第te个时隙虚拟队列的状态是Z(te)，则单个时隙的条件李雅普诺夫漂移可定义为：
为了在队列Z稳定的约束下最大化
定义漂移减奖励函数为：
其中V是一个非负参数，它控制漂移Δ(Z(te))对于奖励
的相对重要性，即队列稳定性与奖励最大化之间的权衡。
定理4：漂移减奖励函数，即
的上界为：
其中C为一个有限的正常数，满足：
根据李雅普诺夫优化的原理，P4可转化为在每个时隙内满足C1～C6，C8和C9约束的条件下，最小化漂移减奖励函数的上界，即：
(3)天线选择和功率控制联合优化算法
1)天线选择：算法1是基于二分法的天线选择算法。令
表示不大于x的最大整数，
表示不小于x的最小整数。在第te个时隙，首先确定包含最优天线数目M*(te)的区间[Mlow(te),Mhigh(te)]。在每次迭代中，计算Mmid(te)和Mmid(te)-1并通过算法2获得相应的最优功率控制策略
和
值得注意的是，P5中仅最后两项涉及天线选择变量。因此，定义
为：
然后，将
与
进行比较，以确定M*(te)位于区间[Mlow(te),Mmid(te)]还是区间[Mmid(te),Mhigh(te)]，并重置迭代区间端点如下：
如果
则M*(te)位于区间[Mmid(te),Mhigh(te)]并且Mlow(te)＝Mmid(te)。否则M*(te)位于区间[Mlow(te),Mmid(te)]，Mhigh(te)＝Mmid(te)。算法1的第5～11行给出了详细的过程。
2)功率控制：算法2是功率控制算法。Lmax是总迭代次数，n是迭代索引，Δ是容忍阈值。在第n次迭代中，通过利用从第(n-1)次迭代中获得的q(te,n)解决以下功率控制问题，获得与天线数量M(te)对应的功率控制策略
公式(31)是具有可微目标函数和约束的凹函数。相应的增广拉格朗日函数为：
其中
和
分别为与约束C1～C6相关的拉格朗日乘数。等价的拉格朗日对偶问题为：
令
表示与q(te,n)相关的最优功率控制策略。
可以通过使用Karush-Kuhn-Tucker条件获得。然后，基于次梯度法对拉格朗日乘数进行更新。接下来利用M(te)和
计算下一次迭代的q(te,n+1)。算法2的第4至9行提供了详细过程。
本发明对上述提出的天线选择和功率控制联合在线优化算法进行了仿真实验，并设置了两个基线算法进行对比验证，基线算法1为不考虑天线选择，仅考虑功率控制的在线优化算法；基线算法2基于快照优化算法，在不考虑长期优化目标和约束的条件下，最大化瞬时能量经济效率。仿真参数设置如下：
图2展示了能量经济效率与电池容量的关系。设置Tw＝20，Te＝5，即总共100个能量时隙，能量时隙的长度设置为T0＝3s，参数V的值为10，能量到达Ein(te)服从在区间[0,500]J内的均匀分布。由图2可以得知，当电池容量相同时，本发明提出的算法可以实现更高的能量经济效率。由于没有考虑长期优化目标和约束，基线算法2的性能最差。
图3和图4分别展示了电池状态和能量经济效率随能量时隙的变化情况。设置Tw＝2，Te＝5，即总共10个能量时隙，能量时隙长度设置为T0＝1s，参数V的值为10，电池容量设置为Bmax＝700J，电池能量的初始值为500J，并且仅在te＝4,8时有500J的能量到达。由仿真结果可知，由于只考虑了当前时隙的性能优化，没有考虑长期的优化目标和约束，所以基线算法2会更积极的消耗能量，导致在能量再次到达之前将电池中的能量耗尽，而被迫使用昂贵的电网能量，进而导致能量经济效率下降。
图5展示了在一个能量时隙内，能量经济效率与天线数目的关系。可再生能源的价格和电网电价分别设置为ωE＝0.3cents/kWh和ωG＝3cents/kWh，电池容量设置为Bmax＝1000J，能量到达设置为Ein(te)＝700J。仿真结果表明在理想情况下，即单射频链电路功率PRF＝0mW时，能量经济效率是所选天线数目的单调递增函数。在非理想情况下，即PRF＝160mW和PRF＝450mW时，能量经济效率首先随所选天线数目增大而增大，随后减小，即对于每一个单射频链电路功率，都存在一个最优天线数目与之对应，且最优天线数目随着单射频链电路功率的增大而减小。
图6展示了电网价格与电网能耗之间的关系。设置Tw＝20，Te＝5，即总共100个能量时隙，参数V设置为10，Ein(te)在te＝[1,50]内服从在区间[0,700]J上的均匀分布；在te＝[51,100]内服从在区间[0,400]J内的均匀分布，可再生能源的价格设置为ωE＝1cent/kWh。由上图可知，本发明提出的算法能够根据时变的电价动态调整电网能耗。
本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的实施方法，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。
Claims (1)
1.一种面向通信系统的功率控制优化方法，其特征在于，包括：动态能量到达模型、电价模型、数据传输模型和功耗模型；
所述动态能量到达模型用于表示在每个能量从外部获取并存储到电池中的可再生能源，构建能量队列；
所述电价模型用于表征可再生能源的价格和电网电价，设置可再生能源价格小于电网电价，鼓励可再生能源的消费；另外，电价模型用于构建数据传输的能量成本；
所述数据传输模型中对下行链路频谱效率进行构建，进而计算吞吐量；并构建能量经济效率性能指标；
所述功耗模型中分别表述了电网和电池的瞬时电路功率、传输功率和单射频链电路功率，计算电网和电池的总功耗，进而构建数据传输的能量成本；
所述功率控制优化方法包括以下步骤：
S1：建立动态能量到达模型和电价模型；
将时间维度划分为连续、等长的能量时隙，表示为te＝1,2,...∞，时隙长度为T0秒；还考虑了能量到达、信道状态信息变化和电价变化之间的时间尺度差异；假设信道状态信息比能量到达变化快，电价比能量到达变化慢，即假设电价在连续的多个能量时隙内为恒定值；因此，每个能量时隙均由T0/Tc个信道时隙组成，其中Tc是信道时隙长度，每个电价时隙tω＝1,2,...∞由Te个能量时隙组成，长度为TeT0秒；
令Ein(te)∈[0,Emax]表示在第te个时隙从外部获取并存储在电池中的可再生能源的能量；令
和
分别表示在第tω个时隙可再生能源的价格和电网的电价；设置0＜ωE＜ωG来鼓励可再生能源的消费；
令B(te)表示电池状态，
表示在第te个时隙可再生能源的功耗；由于每个时隙消耗的能量不能超过电池中存储的能量，因此得到以下能量因果关系约束：
然后，将电池状态建模为动态能量队列，其中能量到达和能量消耗分别代表队列的输入和输出；能量队列更新如下：
其中Bmax表示电池容量；
S2：建立数据传输模型；
假设基站总共配备了N根天线(N>>1)，而由于空间和成本的限制，每个智能终端配备单个天线；终端侧接收到的下行信号为：
y＝HHWx+n0 (3)
其中x为K×1的传输符号向量，W为N×K的预编码矩阵，采用迫零预编码方案，即W＝H(HHH)-1；H＝[h1,h2,...hK]是N×K的信道增益矩阵，元素hk＝[hk,1,hk,2,...hk,N]T表示基站和第k个智能终端之间信道增益的N维向量；n0是遵循正态分布N(0,σ2Ik)的加性高斯白噪声，其中Ik是N×K的单位矩阵；
在第te个能量时隙，基站通过天线选择从N根天线中选择信道增益最大的M(te)根天线用于数据传输，即
te个能量时隙的下行链路频谱效率为：
其中PTx(te)表示第te个能量时隙的传输功率；
S3：建立功耗模型；
令Ptotal(te)表示第te个时隙基站的总功耗，计算为：
Ptotal(te)＝PC(te)+PTx(te)+PRF(te)M(te) (6)
其中PC(te),PTx(te),PRF(te)分别表示第te个时隙的瞬时电路功率、传输功率和单射频链电路功率；PC,PTx,PRF定义为：
所以在第te个时隙电网和可再生能源的总功耗分别为：
S4：建立问题模型；
考虑在电价时隙Tw上的优化，即总共TeTw个能量时隙，将天线选择和功率控制策略定义为
和
其中
第te个时隙单位带宽的期望吞吐量(bits/Hz)为：
其中E{·}为期望算子；
第te个时隙的能量成本cents为：
令
和
分别表示在TeTw个时隙内单位带宽的时间平均吞吐量和时间平均能量成本：
令
表示能量经济效率bits/Hz/cent，其定义为每单位带宽的时间平均吞吐量与时间平均能量成本之比；
因此，天线选择和功率控制联合优化下的能量经济效率最大化问题表述为：
其中C1是能量因果约束；C2和C3规定了保证基站和单射频链可靠运行所需的功率；C4和C5是瞬时最大传输功率和电网功率约束；C6是服务质量需求；C7是传输功率的长期约束；C8和C9规定了优化变量的边界；
S5：资源分配联合在线优化算法；
S51：基于非线性分式规划的问题转换；
令q*表示P1的最优目标值：
其中
和
分别表示最优天线选择策略和最优功率控制策略，基于非线性分式规划可以得到：
定理2：当且仅当
时，可以得到最优目标值q*；
根据定理2，存在另一个等价于P1的减法形式问题；因此，P1可以转化为：
然而，P2中q*的具体值仍然未知；因此:使用一个替代变量q(te)来代替q*，其定义为：
所以P2可以转化为：
S52：基于李雅普诺夫优化的问题转换；
基于虚拟队列的概念，长期时间平均约束C7可以转化为队列稳定性约束；因此，与C7对应的虚拟队列Z(te)表示为：
Z(te+1)＝max[Z(te)-PTx,mean,0]+PTx(te) (21)
定理3：如果Z(te)是平均速率稳定的，那么约束C7自动满足；
基于定理3，P3可以转化为：
s.t.C1～C6,C8,C9, (22)
C10:队列Z是平均速率稳定的.
然后，李雅普诺夫函数L(Z(te))表示为：
引入李雅普诺夫漂移的概念使李雅普诺夫函数维持在一个较低的拥塞状态，并保持虚拟队列的稳定；李雅普诺夫漂移表示李雅普诺夫函数在一个时隙的期望变化，假设在第te个时隙虚拟队列的状态是Z(te)，则单个时隙的条件李雅普诺夫漂移可定义为：
为了在队列Z稳定的约束下最大化
定义漂移减奖励函数为：
其中V是一个非负参数，它控制漂移Δ(Z(te))对于奖励
的相对重要性，即队列稳定性与奖励最大化之间的权衡；
定理4：漂移减奖励函数，即
的上界为：
其中C为一个有限的正常数，满足：
根据李雅普诺夫优化的原理，P4可转化为在每个时隙内满足C1～C6，C8和C9约束的条件下，最小化漂移减奖励函数的上界，即：
S53：天线选择和功率控制联合优化算法
S531：天线选择：算法1是基于二分法的天线选择算法；令
表示不大于x的最大整数，
表示不小于x的最小整数；在第te个时隙，首先确定包含最优天线数目M*(te)的区间[Mlow(te),Mhigh(te)]；在每次迭代中，计算Mmid(te)和Mmid(te)-1并通过算法2获得相应的最优功率控制策略
和
定义
为：
然后，将
与
进行比较，以确定M*(te)位于区间[Mlow(te),Mmid(te)]还是区间[Mmid(te),Mhigh(te)]，并重置迭代区间端点如下：
如果
则M*(te)位于区间[Mmid(te),Mhigh(te)]并且Mlow(te)＝Mmid(te)；否则M*(te)位于区间[Mlow(te),Mmid(te)]，Mhigh(te)＝Mmid(te)；算法1天线选择算法的流程如下：
1：Mlow(te)←1，Mhigh(te)←N,
2：循环：当Mhigh(te)-Mlow(te)＞1时，执行
3：计算
4：给出Mmid(te)和Mmid(te)-1，通过算法2获得
和
5：判断1：如果
则
6：Mlow(te)＝Mmid(te)
7：如果
则
8：Mhigh(te)＝Mmid(te)
9：否则
10：中断判断(break)；
11：结束判断1
12：结束循环
13：判断2：如果：Mhigh(te)-Mlow(te)＝1，则
14：
15：否则
16：M*(te)＝Mmid(te)；
17：结束判断2
18：输出M*(te)；
S532：功率控制：算法2是功率控制算法；Lmax是总迭代次数，n是迭代索引，Δ是容忍阈值；在第n次迭代中，通过利用从第(n-1)次迭代中获得的q(te,n)解决以下功率控制问题，获得与天线数量M(te)对应的功率控制策略
公式(31)是具有可微目标函数和约束的凹函数；相应的增广拉格朗日函数为：
其中
和
分别为与约束C1～C6相关的拉格朗日乘数；等价的拉格朗日对偶问题为：
令
表示与q(te,n)相关的最优功率控制策略；
可以通过使用Karush-Kuhn-Tucker条件获得；然后，基于次梯度法对拉格朗日乘数进行更新；接下来利用M(te)和
计算下一次迭代的q(te,n+1)；算法2功率控制算法的流程如下：
1：初始化：q(1,1)＝0,Z(1)＝0,Lmax,Δ,M(te)，M(te)由算法1获得，
2：循环：当n＜Lmax时，
3：对于给定的q(te,n)和M(te)，通过解决(33)获得
4：判断：如果
则
5：
6：否则
7：
并且
8：结束判断
9：更新：n→n+1
10：结束循环
11：输出：q*(te)；
12：通过求解式(21)计算下一时隙的Z(te)。
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