CN111651914A - 一种无轴承磁通切换电机的磁场解析计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种无轴承磁通切换电机的磁场解析计算方法，首先，建立未考虑定转子开槽效应的无槽BFSPMM的解析模型，并且采用子域模型法计算无槽BFSPMM的磁场分布，从而得到未计及定转子开槽情况下BFSPMM的磁场分布；接着，建立定转子双边开槽结构，并结合子域模型法来获得到定转子双边开槽情况下的气隙复相对磁导函数；最后，将两者的结合起来计算便可得到实际BFSPMM的气隙磁场分布，并对电机的电磁转矩、悬浮力等性能参数进行快速计算。本发明相对于传统有限元分析方法，本发明方法计算速度快，大大的降低了计算时间，无需支付商用有限元分析软件授权所需的高昂授权费。

Description

一种无轴承磁通切换电机的磁场解析计算方法

技术领域

本发明涉及无轴承磁通切换电机设计领域，一种无轴承磁通切换电机的磁场解析计算方法。

背景技术

无轴承磁通切换电机(BFSPMM)永磁体嵌入定子铁心中，转子为无绕组的铁心结构，可以有效避免永磁体因温升导致的退磁风险，具有工作效率高、转子运行平稳、适宜高速运行等优点。由于无轴承磁通切换电机采用转子齿和槽结构对气隙磁场进行调制、定子铁心并非整体，电机非线性非常严重，目前还没有很好的建模分析方法。

有限元法有很高的精度，但是其需要大量的模型拓扑图绘制及设置诸如激励，边界等操作，前期工作繁琐且耗时长，后期有限元求解将需要大量计算力，需要花费大量的时间成本，并且有限元法无法明确地表示出电磁性能与电机尺寸间的关系，因此在需要大量重复设计的电机初期设计以及性能优化环节，有限元法具有较大的局限性。

等效磁路网络法是将电机的各个部分利用磁通管进行等效，从而将整个电机模型转化成磁路形式进行求解，通过迭代计算的方式可得到电机的磁场分布。虽然在模型建立过程中考虑了铁芯的饱和效应，但是磁路网络法存在建模过程复杂，迭代计算时间较长等问题。

相比于有限元法以及等效磁路法，电机的解析计算方法具有快速准确的优点。在多种解析法中，气隙相对磁导法具有建模简单，通用性高等优点，被广泛得应用于电机的磁场计算中。但是传统的气隙相对磁导法所采用的相对磁导是以无限深的单槽作为模型进行求解的，由于无法考虑到槽与槽之间的相互影响，并不适合于BFSPMM的磁场计算。为此，本发明提出一种无轴承磁通切换电机磁场的解析计算方法。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的是提供一种无轴承磁通切换电机磁场的解析计算方法，以解决无轴承磁通切换电机电磁性能的快速、精确计算和分析的需要。

本发明采用以下方案实现：一种无轴承磁通切换电机的磁场解析计算方法，包括以下步骤：

步骤S1：对BFSPMM槽空间位置进行定义；

步骤S2：建立未考虑定转子开槽效应的无槽BFSPMM的解析模型，并且采用子域模型法计算无槽BFSPMM的磁场分布，从而得到未计及定转子开槽情况下BFSPMM的磁场分布；

步骤S3：建立定转子双边开槽结构，并结合子域模型法来获得到定转子双边开槽情况下的气隙复相对磁导函数；

步骤S4：将无槽BFSPMM的磁场分布和气隙复相对磁导函数结合起来计算便可得到实际BFSPMM的气隙磁场分布，并对电机的气隙磁密、空载磁链、反电动势、电磁转矩、悬浮力性能参数进行快速计算。

进一步地，所述步骤S1的具体内容为：

在二维极坐标系中对所有槽的位置进行定义：

其中，θ_i为第i个转子槽中心线位置；θ_j为第j个定子槽中心线位置；θ_k是第k个永磁体槽的中心线位置；

进一步地，所述步骤S2的具体内容为：

根据子域模型法的理论，建立无槽电机的解析模型，并且由无槽电机的拓扑结构，解析模型的求解区域能够划分成4个子域，分别为：内部气隙子域、永磁体槽气隙子域、永磁体子域以及外部气隙子域，以矢量磁位A作为求解变量分别建立4个子域的麦克斯韦方程

其中，μ₀为真空磁导率；μ_r为相对磁导率；J为电流密度；M为剩余磁化强度矢量；

借助方程(2)，在二维极坐标系(r,θ)中，根据子域与铁芯间的边界条件，采用分离变量法分别得到无槽电机4个子域矢量磁位的通解表达式

其中，A₁为内部气隙子域的矢量磁位；A_2k为第k个永磁体槽气隙子域的矢量磁位；A_3k为第k个永磁体子域的矢量磁位；A₄为外部气隙子域的矢量磁位；A_1e和A_2e为内部气隙子域的待定系数；e为内部气隙子域中磁场的谐波次数；B_f10、B_f20、B_k1f和B_k2f为永磁体槽气隙子域的待定系数；f为永磁体槽气隙子域中磁场的谐波次数；C_k10、C_k20、C_k1h和C_k2h为永磁体子域的待定系数；h为永磁体子域中磁场的谐波次数；D_1l和D_2l为外部气隙子域的待定系数；l为外部气隙子域中磁场的谐波次数；R_2c为经过卡氏系数补偿后转子铁芯的外径；β_f为相邻两块U型铁芯间(永磁体槽)的开口宽度；β_pm为永磁体的切向宽度；R₃为定子槽内径；R₅为永磁体槽内径；R₆为永磁体槽外径；R₇代表外部气隙子域的半径；B_rem为永磁体的剩磁；

其中，子域与铁芯间的边界条件为：

其中，H_1θ为内部气隙子域磁场强度的切向分量；H_2kr表示永磁体槽气隙子域磁场强度的径向分量；H_3kr表示永磁体子域磁场强度的径向分量。

根据方程(3)-(6)以及相邻子域间满足的连续条件，便可建立起子域间的联系，即得到一个方程组

根据方程(11)-(22)，便可采用数值分析软件计算各个通解表达式中的待定系数，并且根据矢量磁位与磁密的关系，计算无槽电机内部气隙子域的径向以及切向磁密

其中，B_{r_slotless}(r,θ)和B_{θ_slotless}(r,θ)分别表示无槽电机气隙磁密的径向和切向分量。

进一步地，步骤S3中所述的得到定转子双边开槽情况下的气隙复

相对磁导函数的具体内容为：

采用子域模型法对气隙复相对磁导进行计算，将定转子双边开槽的结构划分成3个子域，分别为：转子槽子域、气隙子域以及定子槽子域，以标量磁位作为求解变量分别建立3个子域的麦克斯韦方程

在二维极坐标系(r,θ)中，根据方程(25)以及子域与铁芯间的边界条件，采用分离变量法分别得到3个子域标量磁位的通解表达式

其中，ψ_1i为第i个转子槽子域的标量磁位；ψ₂为气隙子域的标量磁位；ψ_3j为第j个定子槽子域的标量磁位；E_iu为转子槽子域的待定系数；u为转子槽子域中磁场的谐波次数；F₁₀、F₂₀、F_1v、F_2v、F_3v和F_4v为气隙子域的待定系数；v为气隙子域中磁场的谐波次数；G_jw为定子槽子域的待定系数；w为定子槽子域中磁场的谐波次数；β_s为定子槽开口宽度；R₁为转子槽内径；R₂转子槽外径；

其中，子域与铁芯间的边界条件为：

根据方程(29)-(32)以及相邻子域间满足的连续条件，便可得到一个方程组

根据方程(33)-(40)，便可采用数值分析软件计算各个通解表达式中的待定系数，并且根据标量磁位与磁场强度的关系，得到气隙子域的径向以及切向磁场强度的解析表达式：

其中，H_2r和H_2θ分别表示磁场强度的径向和切向分量；

根据方程(41)-(42)，并且根据复相对磁导与气隙子域磁场强度之间的关系，得到复相对磁导实部以及虚部分量的解析表达式：

其中，λ_r(r,θ,θ₀)和λ_θ(r,θ,θ₀)分别表示复相对磁导的实部和虚部分量；max(H_2r)为气隙子域磁场强度径向分量的最大值；k_cs代表定子的卡氏系数；k_cr代表转子的卡氏系数。

进一步地，所述步骤S4的具体内容为：

根据方程(23)、(24)、(43)和(44)，计算无轴承磁通切换电机的气隙磁密

B_{r_slotted}(r,θ,θ₀)＝B_{r_slotless}(r,θ)λ_r(r,θ,θ₀)+B_{θ_slotless}(r,θ)λ_θ(r,θ,θ₀) (45)

B_{θ_slotted}(r,θ,θ₀)＝B_{θ_slotless}(r,θ)λ_r(r,θ,θ₀)-B_{r_slotless}(r,θ)λ_θ(r,θ,θ₀) (46)

其中，B_{r_slotted}(r,θ,θ₀)和B_{θ_slotted}(r,θ,θ₀)分别为考虑定转子开槽效应下BFSPMM的气隙磁密的径向和切向分量；

根据方程(45)和(46)，计算电机的六相空载磁链、六相反电动势、转矩以及x和y方向上的悬浮力

其中，ψ_fA～ψ_fF为六相空载磁链；e_A～e_F为六相反电动势，T_e表示转矩，F_x表示x方向上的悬浮力，F_y表示y方向上的悬浮力，N_c为相绕组的匝数；R_ac为气隙中心圆周的半径；L_ef为转轴有效长度；ω_r为转子旋转的电角速度；θ_r为转子旋转的电角度。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

(1)相对于传统有限元分析方法，本发明方法计算速度快，大大的降低了计算时间，无需支付商用有限元分析软件授权所需的高昂授权费。

(2)相对于等效磁网络法，本发明方法无需复杂繁琐的、对电机结构参数敏感的模型构建及重构工作，且无需多次迭代，计算时间极大的缩短了。

(3)相对于一般的单槽相对磁导，本发明方法中的复相对磁导大大增加了电机磁场计算的准确性，更加适合于双边开槽电机的磁场计算。

附图说明

图1为本发明实施例的BFSPMM横截面图。

图2为本发明实施例的无槽BFSPMM解析模型图。

图3为本发明实施例的无槽BFSPMM子域划分图。

图4为本发明实施例的定转子双边开槽气隙结构图。

图5为本发明实施例的空载情况下BFSPMM的气隙磁密分布图，其中图5(a)为气隙磁密的径向分量图，图5(b)为气隙磁密的切向分量图。

图6为本发明实施例的负载情况下BFSPMM的气隙磁密分布图，其中图6(a)为气隙磁密的径向分量图，图6(b)为气隙磁密的切向分量图。

图7为本发明实施例的A相绕组空载磁链图。

图8为本发明实施例的A相绕组反电动势。

图9为本发明实施例的齿槽转矩图。

图10为本发明实施例的电磁转矩图。

图11为本发明实施例的永磁体励磁下单位A相悬浮电流产生的悬浮力图，其中，图11(a)为水平方向悬浮力图，图11(b)为竖直方向悬浮力。

图12为本发明实施例的永磁体励磁下单位B相悬浮电流产生的悬浮力图，其中图12(a)为水平方向悬浮力图，图12(b)为竖直方向悬浮力图。

图13为本发明实施例的永磁体励磁下单位C相悬浮电流产生的悬浮力图，其中图13(a)为水平方向悬浮力图，图13(b)为竖直方向悬浮力图。

图14为本发明实施例的永磁体励磁下单位D相悬浮电流产生的悬浮力图，其中图14(a)为水平方向悬浮力图，图14(b)为竖直方向悬浮力。

图15为本发明实施例的永磁体励磁下单位E相悬浮电流产生的悬浮力图，其中图15(a)为水平方向悬浮力图，图15(b)为竖直方向悬浮力图。

图16为本发明实施例的永磁体励磁下单位F相悬浮电流产生的悬浮力图，其中图16(a)为水平方向悬浮力图，图16(b)为竖直方向悬浮力图。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步说明。

应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本申请提供进一步的说明。除非另有指明，本文使用的所有技术和科学术语具有与本申请所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。

需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。

本实施例提供一种无轴承磁通切换电机的磁场解析计算方法，包括以下步骤：

步骤S1：对BFSPMM槽空间位置进行定义；

步骤S2：建立未考虑定转子开槽效应的无槽BFSPMM的解析模型，并且采用子域模型法计算无槽BFSPMM的磁场分布，从而得到未计及定转子开槽情况下BFSPMM的磁场分布；

步骤S3：建立定转子双边开槽结构，并结合子域模型法来获得到定转子双边开槽情况下的气隙复相对磁导函数；所述定转子双边开槽结构与开关磁阻电机类似，但是仅有定转子铁芯部分，不包含绕组，定转子上均开槽，并且开槽的大小、深度和位置与实际的无轴承磁通切换电机保持一致；

步骤S4：将无槽BFSPMM的磁场分布和气隙复相对磁导函数结合起来计算便可得到实际BFSPMM的气隙磁场分布，并对电机的气隙磁密、空载磁链、反电动势、电磁转矩、悬浮力性能参数进行快速计算。

在本实施例中，根据气隙复相对磁导法的理论，将无轴承磁通切换电机的磁场计算分成无槽电机的磁场计算以及气隙复相对磁导的计算两部分，并且对槽的空间位置进行定义：

所述步骤S1的具体内容为：

在二维极坐标系中对所有槽的位置进行定义：

其中，θ_i为第i个转子槽中心线位置；θ_j为第j个定子槽中心线位置；θ_k是第k个永磁体槽的中心线位置；

在本实施例中，所述步骤S2的具体内容为：

根据子域模型法的理论，建立无槽电机的解析模型，并且由无槽电机的拓扑结构，解析模型的求解区域能够划分成4个子域，分别为：内部气隙子域、永磁体槽气隙子域、永磁体子域以及外部气隙子域，以矢量磁位A作为求解变量分别建立4个子域的麦克斯韦方程

其中，μ₀为真空磁导率；μ_r为相对磁导率；J为电流密度；M为剩余磁化强度矢量；

借助方程(2)，在二维极坐标系(r,θ)中，根据子域与铁芯间的边界条件，采用分离变量法分别得到无槽电机4个子域矢量磁位的通解表达式

其中，A₁为内部气隙子域的矢量磁位；A_2k为第k个永磁体槽气隙子域的矢量磁位；A_3k为第k个永磁体子域的矢量磁位；A₄为外部气隙子域的矢量磁位；A_1e和A_2e为内部气隙子域的待定系数；e为内部气隙子域中磁场的谐波次数；B_f10、B_f20、B_k1f和B_k2f为永磁体槽气隙子域的待定系数；f为永磁体槽气隙子域中磁场的谐波次数；C_k10、C_k20、C_k1h和C_k2h为永磁体子域的待定系数；h为永磁体子域中磁场的谐波次数；D_1l和D_2l为外部气隙子域的待定系数；l为外部气隙子域中磁场的谐波次数；R_2c为经过卡氏系数补偿后转子铁芯的外径；β_f为相邻两块U型铁芯间(永磁体槽)的开口宽度；β_pm为永磁体的切向宽度；R₃为定子槽内径；R₅为永磁体槽内径；R₆为永磁体槽外径；R₇代表外部气隙子域的半径；B_rem为永磁体的剩磁；

其中，子域与铁芯间的边界条件为：

其中，H_1θ为内部气隙子域磁场强度的切向分量；H_2kr表示永磁体槽气隙子域磁场强度的径向分量；H_3kr表示永磁体子域磁场强度的径向分量。

根据方程(3)-(6)以及相邻子域间满足的连续条件，便可建立起子域间的联系，即得到一个方程组

根据方程(11)-(22)，便可采用数值分析软件计算各个通解表达式中的待定系数，并且根据矢量磁位与磁密的关系，计算无槽电机内部气隙子域的径向以及切向磁密

其中，B_{r_slotless}(r,θ)和B_{θ_slotless}(r,θ)分别表示无槽电机气隙磁密的径向和切向分量。

在本实施例中，步骤S3中所述的得到定转子双边开槽情况下的气

隙复相对磁导函数的具体内容为：

采用子域模型法对气隙复相对磁导进行计算，将定转子双边开槽的结构划分成3个子域，分别为：转子槽子域、气隙子域以及定子槽子域，以标量磁位作为求解变量分别建立3个子域的麦克斯韦方程

在二维极坐标系(r,θ)中，根据方程(25)以及子域与铁芯间的边界条件，采用分离变量法分别得到3个子域标量磁位的通解表达式

其中，ψ_1i为第i个转子槽子域的标量磁位；ψ₂为气隙子域的标量磁位；ψ_3j为第j个定子槽子域的标量磁位；E_iu为转子槽子域的待定系数；u为转子槽子域中磁场的谐波次数；F₁₀、F₂₀、F_1v、F_2v、F_3v和F_4v为气隙子域的待定系数；v为气隙子域中磁场的谐波次数；G_jw为定子槽子域的待定系数；w为定子槽子域中磁场的谐波次数；β_s为定子槽开口宽度；R₁为转子槽内径；R₂转子槽外径；

其中，子域与铁芯间的边界条件为：

根据方程(29)-(32)以及相邻子域间满足的连续条件，便可得到一个方程组

根据方程(33)-(40)，便可采用数值分析软件计算各个通解表达式中的待定系数，并且根据标量磁位与磁场强度的关系，得到气隙子域的径向以及切向磁场强度的解析表达式：

其中，H_2r和H_2θ分别表示磁场强度的径向和切向分量；

根据方程(41)-(42)，并且根据复相对磁导与气隙子域磁场强度之间的关系，得到复相对磁导实部以及虚部分量的解析表达式：

其中，λ_r(r,θ,θ₀)和λ_θ(r,θ,θ₀)分别表示复相对磁导的实部和虚部分量；max(H_2r)为气隙子域磁场强度径向分量的最大值；k_cs代表定子的卡氏系数；k_cr代表转子的卡氏系数。

在本实施例中，所述步骤S4的具体内容为：

根据方程(23)、(24)、(43)和(44)，计算无轴承磁通切换电机的气隙磁密

B_{r_slotted}(r,θ,θ₀)＝B_{r_slotless}(r,θ)λ_r(r,θ,θ₀)+B_{θ_slotless}(r,θ)λ_θ(r,θ,θ₀) (45)

B_{θ_slotted}(r,θ,θ₀)＝B_{θ_slotless}(r,θ)λ_r(r,θ,θ₀)-B_{r_slotless}(r,θ)λ_θ(r,θ,θ₀) (46)

其中，B_{r_slotted}(r,θ,θ₀)和B_{θ_slotted}(r,θ,θ₀)分别为考虑定转子开槽效应下BFSPMM的气隙磁密的径向和切向分量；

根据方程(45)和(46)，计算电机的六相空载磁链、六相反电动势、转矩以及x和y方向上的悬浮力

其中，ψ_fA～ψ_fF为六相空载磁链；e_A～e_F为六相反电动势，T_e表示转矩，F_x表示x方向上的悬浮力，F_y表示y方向上的悬浮力，N_c为相绕组的匝数；R_ac为气隙中心圆周的半径；L_ef为转轴有效长度；ω_r为转子旋转的电角速度；θ_r为转子旋转的电角度。

较佳的，本实施例所研究的BFSPMM为12/10极结构，其拓扑结构如图1所示。定子部分由12个U型铁芯组成，并且相邻的两个U型铁芯之间夹着一个沿切向交替充磁的永磁体；转子部分由硅钢片堆叠而成，共有10个齿。电机共有六相绕组，每相绕组分别由两个线圈组串联而成，例如A相绕组由A1和A2线圈组成。电机为单绕组结构，因此六相绕组中同时通入控制转子切向旋转的转矩电流分量i_AT～i_FT和控制转子径向悬浮的悬浮电流分量i_AS～i_FS。

定义x-y空间直角坐标系，x为水平轴线，与定子A1线圈轴线重合，y为垂直轴线，与A2线圈轴线重合。定义图1中θ₀为转子的位置角；β_r为转子槽开口宽度；β_s为定子槽开口宽度；β_f为相邻两块U型铁芯间(永磁体槽)的开口宽度；R₁为转子槽内径；R₂转子槽外径；R₃为定子槽内径；R₄为定子槽外径；R₅为永磁体槽内径；R₆为永磁体槽外径。所提出的子域模型分析法是在二维极坐标系(r,θ)下进行计算，其中r轴与x轴重合。

有限元法有很高的精度，但是传统有限元仿真一般需要构建如图1所示的电机模型，需要大量的模型拓扑图绘制及设置诸如激励，边界等操作，前期工作繁琐且耗时长，后期有限元求解将需要大量算力，耗费大量的计算时间。因此，在电机尺寸需要重复设计的电机初期设计和性能优化环节，有限元法具有较大的局限性。对于等效磁网络法而言，其前期需要耗费大量的时间进行模型构建，并且需要对磁路网络进行不断的迭代计算，但是有时无法保证迭代收敛，而且需要大量的迭代计算时间。

在多种解析法中，气隙相对磁导法具有建模简单，通用性高等优点，被广泛得应用于电机的磁场计算中。但是传统的气隙相对磁导法所采用的相对磁导是以无限深的单槽作为模型进行求解的，由于无法考虑到槽与槽之间的相互影响，当用于BFSPMM磁场计算时精度不高。因此，本发明基于子域模型法，提出了一种计算定转子双边开槽电机气隙复相对磁导的方法。

为了计算本实施例所研究电机各区域磁场的分布，根据气隙复相对磁导法将电机的磁场计算分成两部分进行。首先对未考虑定转子开槽效应的无槽BFSPMM的磁场分布进行计算；接着，根据域模型法来获得到定转子双边开槽情况下的气隙复相对磁导函数。通过两者的结合，便可对BFSPMM的磁场进行计算，并且可进一步地获取空载磁链、转矩以及悬浮力等电磁性能。

较佳的，本实施例的具体实施方式：

1.BFSPMM槽空间位置定义

在解析计算过程中，需要确定每一个槽的空间位置，因此在二维极坐标系中对所有槽的位置进行定义：

2.无槽电机解析模型

为了便于分析，做出以下假设：

1)定转子铁心的磁导率为无穷大，忽略饱和效应；

2)忽略涡流效应；

3)电机的轴向长度为无限长，不计端部效应；

4)定子槽内的电流密度只含有径向分量，且电流密度都是均匀分布；

5)电机各个边界均是沿着切向或者径向方向。

在未考虑定转子开槽情况下，利用卡氏系数对电机定转子的开槽效应进行补偿，同时将各相电枢电流等效成位于相应的电枢绕组的槽开口处的电流片，可得无槽BFSPMM的横截面如图2所示。

R_2c＝R₃-k_csk_crg (2)

对于BFSPMM，由于定子铁芯是不连续的，其永磁体与外部空气隙相接触，因此会有一部分永磁体或者相绕组电流产生的磁链与外部空气隙交链，形成外部漏磁链，因此进行磁场解析计算时，需要考虑外部气隙区域。根据无槽BFSPMM的拓扑结构，电机求解区域可划分成4个子域，分别为：内部气隙子域、永磁体槽气隙子域、永磁体子域以及外部气隙子域，如图3所示。

其中，1代表内部气隙子域；2k代表第k个永磁体槽气隙子域；3k代表第k个永磁体子域；4代表外部气隙子域。

3.无槽电机子域通解表达式

根据电磁场理论，电机的磁场可用矢量磁位进行表示：

根据式(3)，将矢量磁位作为求解变量，在无槽BFSPMM的4个子域中建立起相应的拉普拉斯或者泊松方程。并且在二维极坐标系下，矢量磁位仅含有z方向分量，因此可得：

其中，e_z为z方向单位矢量。

内部气隙子域满足的拉普拉斯方程为：

永磁体槽气隙子域满足的拉普拉斯方程为：

对于永磁体子域，其满足的泊松方程为：

在二维极坐标系下，剩余磁化强度矢量可表示为：

M＝M_re_r+M_θe_θ (8)

其中，e_r为径向单位矢量；e_θ为切向单位矢量。

在本文所研究的BFSPMM中，相邻的两个U型铁芯间夹着一个沿切向方向交替充磁的永磁体，因此每个永磁体剩余磁化强度矢量的切向以及径向分量可表示为：

外部气隙子域满足的拉普拉斯方程为：

由此便建立起了四个子域的麦克斯韦方程，并且为了获得4个子域矢量磁位的通解表达式，需要得到子域与相邻铁芯间的边界条件。因为假设定转子铁芯的磁导率为无穷大，因此磁力线均会垂直地穿过铁芯边界，则子域与定转子铁芯间的诺伊曼边界条件可表示为：

对于外部气隙子域，考虑到磁链总是闭合的并且外部漏磁链并不能延伸到无穷远处，因此根据电机磁链的实际分布情况，可得到外部气隙子域满足的狄利克雷边界条件为：

根据4个子域所满足的边界条件，采用分离变量法对子域所满足的麦克斯韦方程进行求解，可得内部气隙子域矢量磁位的通解表达式为：

永磁体槽气隙子域矢量磁位的通解表达式为：

永磁体子域矢量磁位的通解表达式为：

外部气隙子域矢量磁位的通解表达式为：

4.无槽电机待定系数求解

为了得到无槽BFSPMM的磁场分布，需要对4个矢量磁位表达式中的待定系数进行求解，因此需要按照相邻子域间交界面上的连续条件来建立起子域间的联系。在相邻子域间的交界面上，满足矢量磁位连续以及磁场强度的切向分量相等这两个边界条件，因此可得以下方程组：

综上所述，根据交界面上的连续条件，便可得到4个子域间的关系，即得到一个包含各个待定系数的方程组。求解方程组时，将内部气隙子域、永磁体槽气隙子域、永磁体子域以及外部气隙子域的磁场谐波次数设为有限次，并且将方程组转化成矩阵的形式，通过数值分析软件MATLAB进行求解，即可得到各个子域中的待定系数，从而可获得无槽BFSPMM的磁场分布。此外，电机磁密的径向以及切向分量与矢量磁位的关系可表示为：

可得到未考虑定转子开槽情况下BFSPMM的内部气隙子域磁密径向以及切向的解析表达式为：

5.定转子双边开槽结构解析模型

由于在计算无槽BFSPMM内部气隙磁场分布时已经将永磁体槽的影响包含在内，因此计算复相对磁导函数时只需要考虑转子槽和定子槽的开槽效应，可得定转子双边开槽结构的横截面示意图如图4所示，可将其划分成3个子域，分别为：转子槽子域、气隙子域以及定子槽子域。

其中，1i代表第i个转子槽子域；2代表气隙子域；3j代表第j个定子槽子域。

6.定转子双边开槽结构子域解析表达式

由于在计算定转子的开槽效应时，不需要考虑永磁体以及电流密度分布，因此根据电磁场理论，定转子双边开槽结构的磁场可用标量磁位ψ进行表示：

以标量磁位作为求解变量对3个子域求解拉普拉斯方程：

将转子铁芯与气隙交界面的标量磁位设为1，定子铁芯与气隙交界面的标量磁位设为0，可得到各个子域与铁芯间的边界条件为：

根据分离变量法，同时考虑上述的边界条件，可得转子槽子域标量磁位的通解表达式为：

气隙子域标量磁位的通解表达式为：

定子槽子域标量磁位的通解表达式为：

7.定转子双边开槽结构待定系数求解

同样地，根据各个子域间交界面的边界条件来建立起各个子域间的联系，从而确定通解表达式中的待定系数。在相邻子域间的交界面上满足标量磁位连续以及径向磁密相等这两个边界条件，因此可得如下方程：

同样地，将转子槽子域、气隙子域和定子槽子域的磁场谐波次数设为有限次，并且把上述的方程转化成矩阵的形式，通过数值分析软件MATLAB进行求解，便求得到各个子域中的待定系数，从而可得到各个子域标量磁位的分布。

由边界条件的设置可知，定转子双边开槽结构中的气隙磁场并不是由永磁体励磁或者相绕组电流励磁产生的，而是由定转子铁芯间标量磁位的差值得到。在定转子均未开槽的情况下，标量磁位沿着气隙中的任意一个圆周为恒值，但是由于定转子的开槽，导致圆周上相应处的标量磁位的值发生相应的变化，可见定转子双边开槽结构中气隙磁场的分布反应了定转子的开槽效应，因此定转子双边开槽情况下的气隙相对磁导函数可由气隙子域的磁场分布得到。此外，标量磁位与磁场强度的关系可表示为：

其中，H_r为磁场强度径向分量；H_θ为磁场强度的切向分量。

因此，气隙子域磁场强度的径向以及切向分量的解析表达式可表示为：

对于复相对磁导函数，它的实部分量λ_r表示定转子开槽对气隙磁场径向分量的影响，虚部分量λ_θ表示定转子开槽对气隙磁场切向分量的影响，因此λ_r和λ_θ分别与气隙子域磁场的径向和切向分量H_2r ⁽²⁾和H_2θ ⁽²⁾相对应。沿着气隙中心圆周对H_2r ⁽²⁾进行归一化处理，便可得到定转子开槽下的气隙复相对磁导函数实部分量，并且因为气隙子域磁场强度的径向以及切向分量是在完全一样的边界条件下进行求取的，因此复相对磁导函数实部分量λ_r和气隙子域磁场的径向分量H_2r ⁽²⁾的比例关系与复相对磁导函数虚部分量λ_θ和气隙子域磁场的切向分量H_2θ ⁽²⁾之间的比例关系是保持一致的。此外，在计算无槽BFSPMM的磁场分布时采用卡氏系数对定转子的开槽效应进行了补偿，通过增大气隙长度的方式来考虑定转子开槽的影响，这增大了气隙所对应的磁阻，导致气隙磁密矢量的幅值降低，所以需要将卡氏系数与复相对磁导函数结合对气隙磁密的幅值进行补偿。结合上述的分析，同时考虑到复相对磁导函数与气隙子域磁场之间的极性关系，便可得到复相对磁导函数实部以及虚部分量的解析表达式分别为：

其中，max(H_2r ⁽²⁾)为气隙子域磁场强度径向分量的最大值。

8.气隙磁密计算

对于BFSPMM，其气隙磁密分布可通过将无槽电机的磁密与复相对磁导函数相结合得到，即：

B_{r_slotted}(r,θ,θ₀)＝B_{r_slotless}(r,θ)λ_r(r,θ,θ₀)+B_{θ_slotless}(r,θ)λ_θ(r,θ,θ₀) (60)

B_{θ_slotted}(r,θ,θ₀)＝B_{θ_slotless}(r,θ)λ_r(r,θ,θ₀)-B_{r_slotless}(r,θ)λ_θ(r,θ,θ₀) (61)

9.电磁性能计算

根据气隙磁密的计算结果，得到电机的A相空载磁链、A相反电

动势、转矩以及x和y方向上的悬浮力：

有效性验证：

1.饱和气隙磁密分布

图5和图6分别为空载以及负载的气隙磁密分布。由图可以发现，由本发明提出的解析法所计算的磁密贴近与有限元的仿真结果。因此，由对比结果验证了本发明提出的磁场解析计算方法的正确性。

2.A相空载磁链与反电动势

对BFSPMM的A相空载磁链和反电动势进行解析计算，并将计算得到的结果与有限元仿真得到的结果进行比较，如图7和图8所示。由对比结果可以看出，计算得到的结果与有限元仿真得到的结果吻合得很好。因此，进一步验证了验证了本发明提出的磁场解析计算方法的正确性。

3.齿槽转矩和电磁转矩

对BFSPMM在一个电周期内的齿槽转矩进行解析计算，解析计算得到的结果与有限元仿真得到的结果进行比较，如图9所示。此外，还对电机的电磁转矩进行计算，并将计算得到的结果与有限元得到的结果进行比较，如图10所示。由比较结果可以发现，对于齿槽转矩，虽然解析计算的结果与有限元仿真得到的结果并没有贴合的很好，这是因为采用气隙复相对磁导法计算电机的磁场分布时，使用的电机模型与实际电机有一定的差别，解析模型电机的各个尺寸边界均沿着径向或者切向的方向，这与实际电机不同，但是整体上计算结果与仿真结果的波形变化趋势一致，并且两者齿槽转矩的幅值也是基本一致的，因此可将气隙复相对磁导法与麦克斯韦应力张量法相结合来求取齿槽转矩。另外，由气隙复相对磁导法计算得到的电磁转矩与有限元仿真得到的结果吻合地较好，解析计算得到的电磁转矩波形的变化趋势与有限元结果保持一致，并且从电磁转矩平均值的角度可以看出两者电磁转矩平均值基本相等。因此，采用气隙复相对磁导法计算得到的电磁转矩具有较高的准确度。

4.悬浮力

对永磁体单独励磁时六相绕组分别通入1A悬浮电流分量情况下电机在x和y方向产生的悬浮力进行解析计算，并且将计算结果与有限元仿真得到的结果进行比较，分布如图11～图16所示。由比较结果可以看出，计算得到的悬浮力计算结果与有限元仿真结果吻合地很好。因此，所提出的气隙复相对磁导法对于BFSPMM的悬浮力的计算精度较高。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，凡依本发明申请专利范围所做的均等变化与修饰，皆应属本发明的涵盖范围。

Claims (5)

1.一种无轴承磁通切换电机的磁场解析计算方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤S1：对BFSPMM槽空间位置进行定义；

步骤S2：建立未考虑定转子开槽效应的无槽BFSPMM的解析模型，并且采用子域模型法计算无槽BFSPMM的磁场分布，从而得到未计及定转子开槽情况下BFSPMM的磁场分布；

步骤S3：建立定转子双边开槽结构，并结合子域模型法来获得到定转子双边开槽情况下的气隙复相对磁导函数；

步骤S4：将无槽BFSPMM的磁场分布和气隙复相对磁导函数结合起来计算便可得到实际BFSPMM的气隙磁场分布，并对电机的气隙磁密、空载磁链、反电动势、电磁转矩、悬浮力性能参数进行快速计算。

2.根据权利要求1所述的一种无轴承磁通切换电机的磁场解析计算方法，其特征在于：所述步骤S1的具体内容为：

在二维极坐标系中对所有槽的位置进行定义：

其中，θ_i为第i个转子槽中心线位置；θ_j为第j个定子槽中心线位置；θ_k是第k个永磁体槽的中心线位置。

3.根据权利要求1所述的一种无轴承磁通切换电机的磁场解析计算方法，其特征在于：所述步骤S2的具体内容为：

根据子域模型法的理论，建立无槽电机的解析模型，并且由无槽电机的拓扑结构，解析模型的求解区域能够划分成4个子域，分别为：内部气隙子域、永磁体槽气隙子域、永磁体子域以及外部气隙子域，以矢量磁位A作为求解变量分别建立4个子域的麦克斯韦方程

▽²A＝-μ₀μ_rJ-μ₀▽×M (2)

其中，μ₀为真空磁导率；μ_r为相对磁导率；J为电流密度；M为剩余磁化强度矢量；

借助方程(2)，在二维极坐标系(r,θ)中，根据子域与铁芯间的边界条件，采用分离变量法分别得到无槽电机4个子域矢量磁位的通解表达式

其中，A₁为内部气隙子域的矢量磁位；A_2k为第k个永磁体槽气隙子域的矢量磁位；A_3k为第k个永磁体子域的矢量磁位；A₄为外部气隙子域的矢量磁位；A_1e和A_2e为内部气隙子域的待定系数；e为内部气隙子域中磁场的谐波次数；B_f10、B_f20、B_k1f和B_k2f为永磁体槽气隙子域的待定系数；f为永磁体槽气隙子域中磁场的谐波次数；C_k10、C_k20、C_k1h和C_k2h为永磁体子域的待定系数；h为永磁体子域中磁场的谐波次数；D_1l和D_2l为外部气隙子域的待定系数；l为外部气隙子域中磁场的谐波次数；R_2c为经过卡氏系数补偿后转子铁芯的外径；β_f为相邻两块U型铁芯间(永磁体槽)的开口宽度；β_pm为永磁体的切向宽度；R₃为定子槽内径；R₅为永磁体槽内径；R₆为永磁体槽外径；R₇代表外部气隙子域的半径；B_rem为永磁体的剩磁；

其中，子域与铁芯间的边界条件为：

其中，H_1θ为内部气隙子域磁场强度的切向分量；H_2kr表示永磁体槽气隙子域磁场强度的径向分量；H_3kr表示永磁体子域磁场强度的径向分量。

根据方程(3)-(6)以及相邻子域间满足的连续条件，便可建立起子域间的联系，即得到一个方程组

根据方程(11)-(22)，便可采用数值分析软件计算各个通解表达式中的待定系数，并且根据矢量磁位与磁密的关系，计算无槽电机内部气隙子域的径向以及切向磁密

其中，B_{r_slotless}(r,θ)和B_{θ_slotless}(r,θ)分别表示无槽电机气隙磁密的径向和切向分量。

4.根据权利要求1所述的一种无轴承磁通切换电机的磁场解析计算方法，其特征在于：步骤S3中所述的得到定转子双边开槽情况下的气隙复相对磁导函数的具体内容为：

采用子域模型法对气隙复相对磁导进行计算，将定转子双边开槽的结构划分成3个子域，分别为：转子槽子域、气隙子域以及定子槽子域，以标量磁位作为求解变量分别建立3个子域的麦克斯韦方程

▽²ψ＝0 (25)

在二维极坐标系(r,θ)中，根据方程(25)以及子域与铁芯间的边界条件，采用分离变量法分别得到3个子域标量磁位的通解表达式

其中，ψ_1i为第i个转子槽子域的标量磁位；ψ₂为气隙子域的标量磁位；ψ_3j为第j个定子槽子域的标量磁位；E_iu为转子槽子域的待定系数；u为转子槽子域中磁场的谐波次数；F₁₀、F₂₀、F_1v、F_2v、F_3v和F_4v为气隙子域的待定系数；v为气隙子域中磁场的谐波次数；G_jw为定子槽子域的待定系数；w为定子槽子域中磁场的谐波次数；β_s为定子槽开口宽度；R₁为转子槽内径；R₂转子槽外径；

其中，子域与铁芯间的边界条件为：

根据方程(29)-(32)以及相邻子域间满足的连续条件，便可得到一个方程组

根据方程(33)-(40)，便可采用数值分析软件计算各个通解表达式中的待定系数，并且根据标量磁位与磁场强度的关系，得到气隙子域的径向以及切向磁场强度的解析表达式：

其中，H_2r和H_2θ分别表示磁场强度的径向和切向分量；

根据方程(41)-(42)，并且根据复相对磁导与气隙子域磁场强度之间的关系，得到复相对磁导实部以及虚部分量的解析表达式：

其中，λ_r(r,θ,θ₀)和λ_θ(r,θ,θ₀)分别表示复相对磁导的实部和虚部分量；max(H_2r)为气隙子域磁场强度径向分量的最大值；k_cs代表定子的卡氏系数；k_cr代表转子的卡氏系数。

5.根据权利要求1所述的一种无轴承磁通切换电机的磁场解析计算方法，其特征在于：所述步骤S4的具体内容为：

根据方程(23)、(24)、(43)和(44)，计算无轴承磁通切换电机的气隙磁密

B_{r_slotted}(r,θ,θ₀)＝B_{r_slotless}(r,θ)λ_r(r,θ,θ₀)+B_{θ_slotless}(r,θ)λ_θ(r,θ,θ₀) (45)

B_{θ_slotted}(r,θ,θ₀)＝B_{θ_slotless}(r,θ)λ_r(r,θ,θ₀)-B_{r_slotless}(r,θ)λ_θ(r,θ,θ₀) (46)

其中，B_{r_slotted}(r,θ,θ₀)和B_{θ_slotted}(r,θ,θ₀)分别为考虑定转子开槽效应下BFSPMM的气隙磁密的径向和切向分量；

根据方程(45)和(46)，计算电机的六相空载磁链、六相反电动势、转矩以及x和y方向上的悬浮力

其中，ψ_fA～ψ_fF为六相空载磁链；e_A～e_F为六相反电动势，T_e表示转矩，F_x表示x方向上的悬浮力，F_y表示y方向上的悬浮力，N_c为相绕组的匝数；R_ac为气隙中心圆周的半径；L_ef为转轴有效长度；ω_r为转子旋转的电角速度；θ_r为转子旋转的电角度。

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