CN111641468A - 一种适应于硬件损伤下大规模mimo系统能效的优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种适应于硬件损伤下大规模MIMO系统能效优化方法，包括：建立理想状态下上下行链路的系统模型；建立中继设备和用户天线在硬件损伤下的上下行链路模型；建立一种大规模MIMO系统中以发射功耗为主的功耗模型；根据得到的的链路模型和功耗模型，求得上下行链路的系统和速率，建立大规模MIMO系统能效函数模型；在限制条件下，大规模MIMO系统中表示能效的函数形式为非线性，利用分数规划性质，将非线性的系统能效函数模型转化为线性函数进行求解并得到系统能效最优值。本发明考虑了大规模MIMO系统中中继设备和用户天线存在硬件损伤的非理想情况，对信道进行了非理想估计，合理地对大规模MIMO系统的能效问题建模，并求得大规模MIMO系统的能效最优值。

Description

一种适应于硬件损伤下大规模MIMO系统能效的优化方法

技术领域

本发明涉及无线通信技术领域，特别是涉及一种适应于硬件损伤下大规模MIMO系统能效的优化方法。

背景技术

随着移动互联网业务种类的日渐丰富，智能终端的数量呈持续爆炸式地增长，人们对移动通信数据传输速率和服务质量的需求越来越高。图片、视频和互联网接入等智能终端功能实现通常需要较高的数据速率，因此传统的MIMO技术已经无法满足人们的需求。用户对数据业务速率的要求不断增长以及蜂窝通信网络能源消耗比例的不断增长等因素，使得如何降低移动通信系统的能源消耗成为当前移动通信技术的研究热点之一。

大规模MIMO技术是未来移动通信技术极具潜力的技术之一，也符合未来移动通信技术以能量为导向的发展方向。在传统的无线通信系统中，小区中基站配置的天线数目较少，在系统功耗模型中，发送端的发送功率占据功耗的主导地位，对于发送和接收天线的电路元器件的功耗相对较少从而可以忽略不计，基站处天线的硬件损伤也不明显，但是，在成百上千根天线的大规模MIMO系统中，基站侧配置大规模天线阵列虽然可以大幅度提高系统容量和能量效率，但是电路功率消耗随基站配置的天线的数目的增加而增加，因此系统总的功率消耗也会成比例增加，天线本身的硬件损伤影响尤为突出。

在大规模MIMO系统中，有一个M根天线的中继位于小区中间，小区中有K个用户对且均匀分散在小区内部。在已有的研究中，多是基于理想条件下的大规模MIMO系统能效分析。也有一部分专家学者开始研究硬件损伤对系统能效的影响，比如万晓榆等建立了上行链路大规模MIMO系统，并提出了均时最小QoS保证算法、吞吐量资源分配算法，提高了系统能效；刘紫燕等研究了关于多用户大规模MIMO系统的下行链路，主要说明了关于发射功率和天线数对系统能效的影响，并提出了一种低复杂度的天线选择算法，提高系统能效。

考虑到大规模MIMO技术是未来移动通信技术中极具潜力的技术之一，也符合未来移动通信技术以能量为导向的发展方向，而当前的研究多偏向于理想硬件下的系统，实际应用中多存在硬件损伤的情况，然而现有的研究或者只研究不考虑硬件损伤的理想情况，或者只对上行链路建立模型，再或者只对下行链路建立模型，故而当前的研究存在片面性，不能够从整体上对系统进行分析，因此迫切需要一种当中继设备和用户的天线处于非完全工作状态，即非理想状态下对大规模MIMO系统上下行链路进行整体分析的模型。

发明内容

本发明的目的是提供一种适应于硬件损伤下大规模MIMO系统能效的优化方法，以解决上述现有技术存在的问题，能够在存在硬件损伤的非理想状态下对大规模MIMO系统上下行链路进行整体分析并给出整体系统存在最优值的结论。

为实现上述目的，本发明提供了如下方案：本发明提供一种适应于硬件损伤下大规模MIMO系统能效的优化方法，内容如下：

S1.在硬件理想状态下，对系统从信源用户到中继设备的上行链路阶段、从中继设备到目的用户的下行链路阶段分别建立模型；

S2.对系统内的信源用户和中继设备中的天线进行硬件损伤分析，再次得到所述上行链路阶段和所述下行链路阶段的模型；

S3.建立整体系统以发射功耗为主的功耗模型；

S4.求得上行链路和下行链路的系统和速率，并建立非线性的大规模MIMO系统能效模型；

S5.利用分数规划性质，将步骤S4建立的非线性的大规模MIMO系统能效模型转化为线性函数模型并求解，得到系统能效最优值。

优选地,步骤S1的具体内容如下：

系统中中继设备的天线数目为M、用户对数为K；

上行链路阶段，信源用户发送信号到中继设备，硬件理想状态下,

其中，x表示所有信源用户发射原始信号的矩阵，x＝[x₁,x₂,...,x_K]^T，且x满足

I_K表示K阶单位矩阵；x_i表示第i个用户发射的原始信号,i＝1,2,…,K；ρ₁表示信源用户中的每个用户的平均发射功率；H表示K×M阶的所有信源用户到中继设备之间的信道系数矩阵，H＝[h₁,h₂,...,h_K]^T，h_i为信源用户i到中继设备之间的信道系数，i＝1,2,…,K；v表示中继设备的复加性高斯白噪声向量且

是噪声功率,I_M是M阶单位矩阵，0_M×1是M×1阶零矩阵；

下行链路阶段，需要线性预编码的信号t被中继设备接收并经过预处理后得到转发信号s，s＝Ut，其中

U表示线性预编码矩阵，并且U满足中继设备的平均总发射功率约束ρ₂，即满足如下公式约束：

经过预处理后，中继设备将转发信号s通过下行链路信道发送至所有目的用户，目的用户接收到的信号向量

其中G^H表示中继设备到所有目的用户的信道系数矩阵，

n为目的用户的复加性高斯白噪声向量，n＝[n₁,n₂,…,n_K]^T，

是噪声功率。

优选地,步骤S2的具体内容如下：

在上行链路阶段，中继设备介绍到的信号向量为r，

其中x₀＝x+η_1i，η_1i表示信源用户的圆对称复高斯噪声向量，且

ω表示信源用户的硬件损伤水平且ω≥0，P_Kx1表示上行链路阶段信源用户的发射功率矩阵；对于任意用户i,

中继设备经过线性检测技术对来自信源用户发过来的信号进行干扰消除，F为检测矩阵，最终中继设备接收到的信号为

在下行链路阶段，目的用户接收到的信号如下式所示：

其中，s₀＝s+η_2j，η_2j表示中继设备天线的圆对称复高斯噪声向量且

P_Mx1为下行链路阶段中继设备发射天线的发送功率矩阵；对于任意中继天线M，

其中

θ表示中继设备天线的硬件损伤水平，当θ＝0时，系统为理想状态。

优选地,步骤S3的具体内容如下：

系统中功率放大器消耗为P_A，不同元器件和数字信号处理所消耗的功率之和为P_C；系统总功率的消耗为P_A与P_C之和；其中

β为功率放大器效率，

P_t是中继设备收发功率的总和；P_C＝P_FIX+P_TC+P_CE+P_CID+P_BH+P_LP，P_FIX表示由系统中冷却系统、信号控制和基带处理所消耗的固定功率；P_TC表示下行链路传输过程中的功率消耗；P_CE表示系统在信道估计时的功率消耗；P_CID表示系统中信道编码和信道解码的功率消耗；P_BH表示系统中数据传输回程中的功率消耗；P_LP表示系统中线性信号处理过程中的功率消耗。

优选地,步骤S4的具体内容如下：

将中继设备处的预编码矩阵U表示为下式：

其中κ表示功率归一化因子；

在系统内的信源用户和中继设备存在的天线存在硬件损伤的非理想状态下，上行链路阶段系统中每个用户的速率如下式所示：

下行链路阶段系统中每个用户的速率如下式所示：

系统中用户的总速率为R_T且

其中R_K＝R_uplink+R_downlink；

系统的能效EE为系统的总平均和速率与系统总平均消耗功率之比,

优选地,步骤S5的具体内容如下：

考虑中继设备天线数目M、系统内的用户对数K对系统能效的影响，以系统能效最优值为优化目标并进行求解，建立下述系统能效函数：

s.t.C1:P_A+P_C≤P_max

C2:R_K≥R_min

其中，约束条件C1中P_max是对系统总发射功率的最大上限值，约束条件C2中R_min为K对用户在进行数据传输过程中的最小数据速率要求。

优选地,以系统能效最优值为优化目标并对建立的能效函数进行求解的具体步骤为：将优化问题转换为如下式所示的减法形式求解：

s.t.C1:P_A+P_C≤P_max

C2:R_K≥R_min

再利用公式F(α^*)＝maxR_T-α^*(P_A+P_C)＝0求得系统能效最优解α^*。

本发明公开了以下技术效果：本发明考虑了大规模MIMO系统中，系统内信源用户和中继设备的天线都存在硬件损伤的实际情况，对信道进行了非理想估计，对上下行链路分别建立模型后对系统能效建立了整体模型，补充了当前研究只针对上行链路或下行链路的空白，更加贴近于工程实际,比理想模型更加实用。同时，本发明利用分数规划性质，将有着限制条件的系统能效非线性问题合理地转为线性问题，并给出系统能效存在最优值的结论。本发明实用性强，实现简单,可将建立的天线存在硬件损伤的模型应用到其他大规模MIMO系统问题的研究中。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明大规模MIMO系统理想模型；

图2为本发明大规模MIMO系统硬件损伤模型；

图3为本发明适用于硬件损伤下大规模MIMO系统能效方法流程图；

图4为本发明系统遍历容量和SNR的关系图；

图5为本发明系统能效和系统吞吐量的关系图。

其中，图1中υ表示信源用户到中继设备的信道噪声，n表示中继设备到目的设备的信道噪声，H表示K×M阶的所有信源用户到中继设备之间的信道系数矩阵，G^H表示中继设备到所有目的用户的信道系数矩阵，r表示中继设备介绍到的信号向量，r＝[r₁，r₂，...，r_M]^T，x表示所有信源用户发射原始信号的矩阵，x＝[x₁,x₂,...,x_K]^T，y表示目的用户接收到的信号的矩阵，y＝[y₁，y₂，...，y_K]^T，s表示需要线性预编码的信号被中继设备接收并经过预处理后得到转发信号，s＝[s₁，s₂，...，s_M]^T。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

本发明提供一种适应于硬件损伤下大规模MIMO系统能效优化方法，具体内容如下：

本实例中的大规模MIMO系统理想模型如图1所示，大规模MIMO系统硬件损伤模型如图2所示。本发明主要研究存在硬件损伤下的系统能效模型，如图2所示，系统中包括一个有M根天线的中继设备，单天线用户共有K对，用户均匀分散在小区内部，且M＞＞K。上行链路阶段中，信源用户发送信号至中继设备，所发送的信号为x，信源用户的硬件损伤为η_1i，即η_1i代表信源用户的圆对称复高斯噪声向量；信道噪声为υ，中继设备接收到的信号为r。下行链路阶段中，中继设备发送信号至目的用户，所发送的信号为s，中继设备处天线的硬件损伤为η_2i，即η_2i表示中继设备天线的圆对称复高斯噪声向量；信道噪声为n，目的用户接收到的信号为y。系统的带宽为B，信道相干带宽为B₀，相干时间为T₀，每一帧内的符号数为Q＝B₀T₀，具体步骤如下：

S1.在硬件理想状态下，对系统从信源用户到中继设备的上行链路阶段、从中继设备到目的用户的下行链路阶段分别建立模型。

系统中中继设备的天线数目为M、用户对数为K；

上行链路阶段，信源用户发送信号到中继设备，硬件理想状态下,

其中，x表示所有信源用户发射原始信号的矩阵，x＝[x₁,x₂,...,x_K]^T，且x满足

I_K表示K阶单位矩阵；x_i表示第i个用户发射的原始信号,i＝1,2,…,K；ρ₁表示信源用户中的每个用户的平均发射功率；H表示K×M阶的所有信源用户到中继设备之间的信道系数矩阵，H＝[h₁,h₂,...,h_K]^T，h_i为信源用户i到中继设备之间的信道系数，i＝1,2,…,K；v表示中继设备的复加性高斯白噪声向量且

是噪声功率,I_M是M阶单位矩阵，0_M×1是M×1阶零矩阵；

下行链路阶段，需要线性预编码的信号t被中继设备接收并经过预处理后得到转发信号s，s＝Ut，其中

U表示线性预编码矩阵，并且U满足中继设备的平均总发射功率约束ρ₂，即满足如下公式约束：

经过预处理后，中继设备将转发信号s通过下行链路信道发送至所有目的用户，目的用户接收到的信号向量

其中G^H表示中继设备到所有目的用户的信道系数矩阵，

n为目的用户的复加性高斯白噪声向量，n＝[n₁,n₂,…,n_K]^T，

是噪声功率。

S2.对系统内的信源用户和中继设备中的天线进行硬件损伤分析，再次得到所述上行链路阶段和所述下行链路阶段的模型。

在上行链路阶段，中继设备介绍到的信号向量为r，

其中x₀＝x+η_1i，η_1i表示信源用户的圆对称复高斯噪声向量，且

ω表示信源用户的硬件损伤水平且ω≥0，P_Kx1表示上行链路阶段信源用户的发射功率矩阵；对于任意用户i,

中继设备经过线性检测技术对来自信源用户发过来的信号进行干扰消除，F为检测矩阵，最终中继设备接收到的信号为

在下行链路阶段，目的用户接收到的信号如下式所示：

其中，s₀＝s+η_2j，η_2j表示中继设备天线的圆对称复高斯噪声向量且

P_Mx1为下行链路阶段中继设备发射天线的发送功率矩阵；对于任意中继天线M，

其中

θ表示中继设备天线的硬件损伤水平，当θ＝0时，系统为理想状态。

S3.建立整体系统以发射功耗为主的功耗模型。

系统中功率放大器消耗为P_A，不同元器件和数字信号处理所消耗的功率之和为P_C；系统总功率的消耗为P_A与P_C之和；其中

β为功率放大器效率，

P_t是中继设备收发功率的总和；P_C＝P_FIX+P_TC+P_CE+P_CID+P_BH+P_LP，P_FIX表示由系统中冷却系统、信号控制和基带处理所消耗的固定功率；P_TC表示下行链路传输过程中的功率消耗；P_CE表示系统在信道估计时的功率消耗；P_CID表示系统中信道编码和信道解码的功率消耗；P_BH表示系统中数据传输回程中的功率消耗；P_LP表示系统中线性信号处理过程中的功率消耗。

S4.求得上行链路和下行链路的系统和速率，并建立非线性的大规模MIMO系统能效模型。

将中继设备处的预编码矩阵U表示为下式：

其中κ表示功率归一化因子；

在系统内的信源用户和中继设备存在的天线存在硬件损伤的非理想状态下，上行链路阶段系统中每个用户的速率如下式所示：

下行链路阶段系统中每个用户的速率如下式所示：

系统中用户的总速率为R_T且

其中R_K＝R_uplink+R_downlink；

系统的能效EE为系统的总平均和速率与系统总平均消耗功率之比,

S5.利用分数规划性质，将步骤S4建立的非线性的大规模MIMO系统能效模型转化为线性函数模型并求解，得到系统能效最优值。

考虑中继设备天线数目M、系统内的用户对数K对系统能效的影响，以系统能效最优值为优化目标并进行求解，建立下述系统能效函数：

s.t.C1:P_A+P_C≤P_max

C2:R_K≥R_min

其中，约束条件C1中P_max是对系统总发射功率的最大上限值，约束条件C2中R_min为K对用户在进行数据传输过程中的最小数据速率要求。

以系统能效最优值为优化目标并对建立的能效函数进行求解的具体步骤为：将优化问题转换为如下式所示的减法形式求解：

s.t.C1:P_A+P_C≤P_max

C2:R_K≥R_min

再利用公式F(α^*)＝maxR_T-α^*(P_A+P_C)＝0求得系统能效最优解α^*。

图3为本发明适用于硬件损伤下大规模MIMO系统能效方法流程图，具体的内容如下：

经过上述上述考虑硬件损伤下大规模MIMO系统能效模型的建立及求解，可以得到图4和图5所示的结果示意图。其中，图4为本发明系统遍历容量和SNR的关系图，图5为本发明系统能效和系统吞吐量的关系图。

由图4可以看出在相同的信噪比下，硬件损伤对系统的遍历容量的影响是十分明显的；在任意硬件损伤下，系统的遍历容量先增加后趋于平缓。在硬件损伤相同的大信噪比下，系统的遍历容量受到的影响趋于一个较为固定的值。相对于理想状态，本发明中提到的硬件损伤天线模型更加具有实用价值。

由图5可以看出，系统的吞吐量是由中继设备天线数和小区内的用户对数等因素共同决定的。可以看出系统的能效并没有随着系统的吞吐量稳步提升，而是先逐渐增加，达到最大值后又逐渐下降。本发明对实际生活中小区布置基站时，可以提供一个参考。对系统内未来可能经常活动的用户数进行统计，然后合理地配置基站中继设备的天线数目。这样可以在一定程度上通过天数数目的增加来减少天线的发射功率，从而减少电力等资源的浪费，有利于绿色通信的发展。

本发明考虑了大规模MIMO系统中，系统内信源用户和中继设备的天线都存在硬件损伤的实际情况，对信道进行了非理想估计，对上下行链路分别建立模型后对系统能效建立了整体模型，补充了当前研究只针对上行链路或下行链路的空白，比理想模型更加实用。同时，本发明利用分数规划性质，将有着限制条件的系统能效非线性问题合理地转为线性问题，并给出系统能效存在最优值的结论。本发明实用性强，可将建立的天线存在硬件损伤的模型应用到其他大规模MIMO系统问题的研究中。

在本发明的描述中，需要理解的是，术语“纵向”、“横向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”、“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。

以上所述的实施例仅是对本发明的优选方式进行描述，并非对本发明的范围进行限定，在不脱离本发明设计精神的前提下，本领域普通技术人员对本发明的技术方案做出的各种变形和改进，均应落入本发明权利要求书确定的保护范围内。

Claims (7)

1.一种适应于硬件损伤下大规模MIMO系统能效优化方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1.在硬件理想状态下，对系统从信源用户到中继设备的上行链路阶段、从中继设备到目的用户的下行链路阶段分别建立模型；

S2.对系统内的信源用户和中继设备中的天线进行硬件损伤分析，再次得到所述上行链路阶段和所述下行链路阶段的模型；

S3.建立整体系统以发射功耗为主的功耗模型；

S4.求得上行链路和下行链路的系统和速率，并建立非线性的大规模MIMO系统能效模型；

S5.利用分数规划性质，将步骤S4建立的非线性的大规模MIMO系统能效模型转化为线性函数模型并求解，得到系统能效最优值。

2.根据权利要求1所述的适应于硬件损伤下大规模MIMO系统能效优化方法，其特征在于，步骤S1的具体内容如下：

系统中中继设备的天线数目为M、用户对数为K；

上行链路阶段，信源用户发送信号到中继设备，硬件理想状态下,

其中，x表示所有信源用户发射原始信号的矩阵，x＝[x₁,x₂,...,x_K]^T，且x满足

I_K表示K阶单位矩阵；x_i表示第i个用户发射的原始信号,i＝1,2,…,K；ρ₁表示信源用户中的每个用户的平均发射功率；H表示K×M阶的所有信源用户到中继设备之间的信道系数矩阵，H＝[h₁,h₂,...,h_K]^T，h_i为信源用户i到中继设备之间的信道系数，i＝1,2,…,K；v表示中继设备的复加性高斯白噪声向量且

是噪声功率,I_M是M阶单位矩阵，0_M×1是M×1阶零矩阵；

下行链路阶段，需要线性预编码的信号t被中继设备接收并经过预处理后得到转发信号s，s＝Ut，其中

U表示线性预编码矩阵，并且U满足中继设备的平均总发射功率约束ρ₂，即满足如下公式约束：

经过预处理后，中继设备将转发信号s通过下行链路信道发送至所有目的用户，目的用户接收到的信号向量

其中G^H表示中继设备到所有目的用户的信道系数矩阵，

n为目的用户的复加性高斯白噪声向量，n＝[n₁,n₂,…,n_K]^T，

是噪声功率。

3.根据权利要求2所述的适应于硬件损伤下大规模MIMO系统能效优化方法，其特征在于，步骤S2的具体内容如下：

在上行链路阶段，中继设备介绍到的信号向量为r，

其中x₀＝x+η_1i，η_1i表示信源用户的圆对称复高斯噪声向量，且

ω表示信源用户的硬件损伤水平且ω≥0，P_Kx1表示上行链路阶段信源用户的发射功率矩阵；对于任意用户i,

P＝E{|x|²}；中继设备经过线性检测技术对来自信源用户发过来的信号进行干扰消除，F为检测矩阵，最终中继设备接收到的信号为

在下行链路阶段，目的用户接收到的信号如下式所示：

其中，s₀＝s+η_2j，η_2j表示中继设备天线的圆对称复高斯噪声向量且

P_M×1为下行链路阶段中继设备发射天线的发送功率矩阵；对于任意中继天线M，

其中

θ表示中继设备天线的硬件损伤水平，当θ＝0时，系统为理想状态。

4.根据权利要求3所述的适应于硬件损伤下大规模MIMO系统能效优化方法，其特征在于，步骤S3的具体内容如下：

系统中功率放大器消耗为P_A，不同元器件和数字信号处理所消耗的功率之和为P_C；系统总功率的消耗为P_A与P_C之和；其中

β为功率放大器效率，

P_t是中继设备收发功率的总和；P_C＝P_FIX+P_TC+P_CE+P_CID+P_BH+P_LP，P_FIX表示由系统中冷却系统、信号控制和基带处理所消耗的固定功率；P_TC表示下行链路传输过程中的功率消耗；P_CE表示系统在信道估计时的功率消耗；P_CID表示系统中信道编码和信道解码的功率消耗；P_BH表示系统中数据传输回程中的功率消耗；P_LP表示系统中线性信号处理过程中的功率消耗。

5.根据权利要求4所述的适应于硬件损伤下大规模MIMO系统能效优化方法，其特征在于，步骤S4的具体内容如下：

将中继设备处的预编码矩阵U表示为下式：

其中κ表示功率归一化因子；

在系统内的信源用户和中继设备存在的天线存在硬件损伤的非理想状态下，上行链路阶段系统中每个用户的速率如下式所示：

下行链路阶段系统中每个用户的速率如下式所示：

系统中用户的总速率为R_T且

其中R_K＝R_uplink+R_downlink；

系统的能效EE为系统的总平均和速率与系统总平均消耗功率之比,

6.根据权利要求5所述的适应于硬件损伤下大规模MIMO系统能效优化方法，其特征在于，步骤S5的具体内容如下：

考虑中继设备天线数目M、系统内的用户对数K对系统能效的影响，以系统能效最优值为优化目标并进行求解，建立下述系统能效函数：

s.t.C1:P_A+P_C≤P_max

C2:R_K≥R_min

其中，约束条件C1中P_max是对系统总发射功率的最大上限值，约束条件C2中R_min为K对用户在进行数据传输过程中的最小数据速率要求。

7.根据权利要求6所述的适应于硬件损伤下大规模MIMO系统能效优化方法，其特征在于，以系统能效最优值为优化目标并对建立的能效函数进行求解的具体步骤为：将优化问题转换为如下式所示的减法形式求解：

s.t.C1:P_A+P_C≤P_max

C2:R_K≥R_min

再利用公式F(α^*)＝max R_T-α^*(P_A+P_C)＝0求得系统能效最优解α^*。

Images