CN111582490A - 分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法，包括以下步骤：步骤一：确定分数阶Rucklidge系统的分数阶形式，将分数阶Rucklidge系统在其两个对称平衡点处线性化，以获得两个基本的分数阶线性系统；步骤二：构造一个异宿环，通过饱和函数切换控制来连接两个基本的分数阶线性系统的所有平衡点以实现网格多翼混沌吸引子生成器。本发明可以使三个不带乘法器的分数阶微分方程表示的构造系统捕获广义Lorenz吸引子的基本特性并产生“蝴蝶效应”，因此其硬件电路实现更为简单，并且具有潜在的工程应用。

Description

分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法

技术领域

本发明涉及混沌信号领域，特别涉及一种分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法。

背景技术

分数阶微积分是300多年来的经典数学概念。但是它在物理和工程应用中的应用只是最近受到关注的主题。最近，许多研究人员惊奇地发现，许多分数阶非线性微分系统也可以显示复杂的分叉和混沌现象。例如，分数阶蔡氏电路也有一个双涡卷混沌吸引子。艾哈迈德(Ahmad)引入了一种从分数阶系统创建n个混沌吸引子的阶跃函数方法，设计了一种基于分数阶微分系统通过切换控制的多方向多涡卷混沌吸引子。有人通过耦合两个分数阶洛伦兹系统获得的分数阶系统中产生四翼混沌吸引子。此外，还有人提出了通过分数阶线性差分系统生成多翼混沌吸引子的方法，该方法是通过配备对偶对称多段二次函数的非线性状态反馈控制器进行的。然而，分数阶系统中的网格多翼混沌吸引子的设计仍是一个非常具有挑战性的问题。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明提供一种算法简单的分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法。

本发明解决上述问题的技术方案是：一种分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法，包括以下步骤：

步骤一：确定分数阶Rucklidge系统的分数阶形式，将分数阶Rucklidge系统在其两个对称平衡点处线性化，以获得两个基本的分数阶线性系统；

步骤二：构造一个异宿环，通过饱和函数切换控制来连接两个基本的分数阶线性系统的所有平衡点以实现网格多翼混沌吸引子生成器。

上述分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法，所述步骤一中，确定分数阶Rucklidge系统的分数阶形式的过程为：

分数阶微分方程为：

其中，D_t表示对t求偏导数；x(t)、y(t)、z(t)均为状态变量；t为时间变量；f₁、f₂、f₃分别表示x(t)、y(t)、z(t)对t的偏导数函数；T为最大时间值；α_i为阶数；初始值x(0)＝x₀,y(0)＝y₀,z(0)＝z₀,α_i∈(0,1)(i＝1,2,3)，因此，式(1)等效于Volterra积分方程：

其中τ为积分变量；GammaΓ(α_i)函数定义为

设置

t_n＝nh，n＝0,1,2,KN，h为每一段时间间隔的长度；t_n为第n段时间间隔；N为时间间隔个数最大值；n为0—N之间的整数，则式(2)离散为：

其中，x_h(t_n+1)为状态变量在第n+1段时间间隔的离散值；

为状态变量在第n+1段时间间隔的预测值；α_i,k,n+1为第n+1段时间间隔的迭代系数；x(t_k)为在t_k时刻状态变量x的值；

α_i,k,n+1为：

当k超出范围时，α_i,k,n+1＝1；

预测值取决于：

其中b_1,k,n+1、b_2,k,n+1、b_3,k,n+1分别为α₁、α₂、α₃阶状态变量x的迭代系数；f₁(x_h(t_k))、f₂(x_h(t_k))、f₃(x_h(t_k))分别为f₁、f₂、f₃函数在自变量取t_k时刻状态变量x的离散值时所对应的函数值；

式(4)的估计误差为e＝max{max|x(t_k)-x_h(t_k)|,max|y(t_k)-y_h(t_k)|,max|z(t_k)-z_h(t_k)|}＝o(h^ρ)，o(h^ρ)表示h^ρ的高阶无穷小，ρ为中间变量，k＝(0,1,2,K,N),ρ＝min{1+α₁,1+α₂,1+α₃}；

确定分数阶系统的数值解，得到Rucklidge系统的分数阶形式为：

上述分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法，所述步骤一中，获得两个基本的分数阶线性系统的过程为：

针对分数阶α_i(i＝1,2,3)，满足0<α_i≤1，显然，系统(5)具有三个平衡点：第一平衡点E₀＝(0,0,0)，第二平衡点

第三平衡点

在E₁处线性化系统(5)，得到以下分数阶线性系统：

类似地，在E₂处的线性化系统(5)，得到以下分数阶线性系统：

J₁、X₁、J₂、X₂均为中间变量；

以下，将系统(6)和(7)称为基本分数阶线性系统；显然，O₀＝O₁＝(0,0,0)是系统(6)和(7)的唯一平衡点，并且对应的特征值是λ₁＝γ＝-3.5145和λ₂,₃＝σ±jω＝0.2577±j1.9353；λ₁、λ_2,3为系统(6)和(7)对应的三个特征值；γ、σ表示特征值的实部；ω表示特征值的虚部；因此，平衡点O₁,O₂都是指标2的鞍焦点，而且λ₁<0,R_e(λ_2,3)>0,R_e(λ_2,3)表示特征值λ_2,3的实部，|λ₁|>R_e(λ_2,3),满足Shil'nikov定理的条件；如果所有平衡点的雅可比矩阵特征值满足以下条件，则它们在局部渐近稳定：

|arg(eig(J_F))|>α_iπ/2 (8)

J_F为雅可比矩阵；

不等式(8)表明，分数阶微分方程组比其整数阶方程组更稳定；

更改α_i<1(i＝1,2,3)的值时，系统(6)和(7)并不总是保持混乱；从不等式(4)开始，系统(6)保持混沌的必要条件是，在不稳定区域的每个非原点的平衡点处保持雅可比矩阵的两个共轭特征值，这意味着对于i＝1,2,3,

此外，对应的特征向量如下所示：

η₁、μ₁、η₂、μ₂均表示特征向量，实数形式的用η表示，复数形式的用μ表示；通过计算，得出系统(6)的一维稳定本征线E^S(O₁)和二维不稳定本征面E^U(O₁)如下：

这里中间变量l₁＝-0.8381,m₁＝0.2384,n₁＝-0.4907,A₁＝-0.1911,B₁＝0.2895,C₁＝-0.1966；

同样，获得系统(7)的一维稳定本征线E^S(O₂)和二维不稳定本征面E^U(O₂)如下：

这里中间变量l₂＝-0.8381,m₂＝0.2384,n₂＝0.4907,A₂＝0.1911,B₂＝-0.2895,C₂＝-0.1966；显然，稳定的本征线E^S(O₁)、E^S(O₂)和不稳定的本征面E^U(O₁)、E^U(O₂)分别在一定程度上对称。

上述分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法，所述步骤二具体过程为：

基于基本分数阶线性系统(6)和(7)，扩展Shil'nikov定理，设计一种切换控制器来连接系统(6)和(7)的异宿轨道以形成异宿环，涉及过程为：设交换平面为S＝{(x,y,z)|y＝0}，切换控制器为w＝F(x,y,z)，从系统(6)和系统(7)，构造以下可切换系统：

其中，X：表示列矩阵

V泛指三维空间；V₁指三维空间中y>0的那部分子空间；V₂指三维空间中y<0的那部分子空间；

开关控制器w＝F(x,y,z)＝[f₁(x,y,z),f₂(x,y,z),f₃(x,y,z)]^T的详细数学表达式由系统(11)中的异宿回路的存在条件决定；显然，系统(11)的两个平衡点P₁(x₁,y₁,z₁)∈V₁和P₂(x₂,y₂,z₂)∈V₂分别位于开关平面S＝{(x,y,z)|y＝0}的两侧；其中E^S(P₁)和E^U(P₁)是系统(6)在P₁处的本征线和本征面，E^S(P₂)和E^U(P₂)是系统(7)在P₂处的本征线和本征面，表示为：

L₁＝E^U(P₁)∩S＝A₁(x-x₁)+B₁(0-y₁)+C₁(z-z₁)＝0,

L₂＝E^U(P₂)∩S＝A₂(x-x₂)+B₂(0-y₂)+C₂(z-z₂)＝0

其中，Q₁为本征线E^S(P₁)与平面S的相交点；Q₂为本征线E^S(P₂)与平面S的相交点；L₁为本征面E^U(P₁)与平面S的相交线；L₂为本征面E^U(P₂)与平面S的相交线；

如果Q₁位于L₂，则存在一个从P₂到P₁的异宿轨道H₁＝E^U(P₂)∪Q₁∪E^S(P₁)；同样，如果Q₂位于L₁，则存在一个从P₁到P₂的异宿轨道H₂＝E^U(P₁)∪Q₂∪E^S(P₂)；因此，如果Q₁位于L₂和Q₂位于L₁，则存在一个由两个异宿轨道组成并相互连接的异宿环H₁和H₂连接P₁和P₂，在这种情况下，根据Shil'nikov定理，系统(6)在Smale马蹄形意义上是混乱的；

从变换(x，y，z)→(-x，-y，z)的不变性，选择开关平面S＝{(x,y,z)|y＝0}，该平面满足P₁(x₁,y₁,z₁)∈V₁,P₂(x₂,y₂,z₂)∈V₂,x₁＝-x₂＝x₀,y₁＝-y₂＝y₀>0,z₁＝z₂＝z₀的，因此，得出Q₁∈L₂，Q₂∈L₁的必要条件是：

这表示x₀取决于y₀，并且z₀可以是任何值；在这种情况下，令y₀＝y₁＝-y₂＝1，z₁＝z₂＝z₀＝0,便得到x₀＝x₁＝-x₂＝0.0585,然后得到P₁(x₁,y₁,z₁)＝P₁(0.0585,1,0),P₂(x₂,y₂,z₂)＝P₂(-0.0585,-1,0)；因此，开关控制器F(x,y,z)＝(x₀s(y),y₀s(y),z₀s(z))^T的x₀＝0.0585,y₀＝1,z₀＝0,这里s(y)或s(z)是饱和函数，其描述如下：

α是饱和函数的斜率；

根据上述理论分析，设计开关控制器s₀＝s(y),w₀＝F(x,y,z)＝(x₀s(y),y₀s(y),z₀s(z))^T,x₀＝0.0585,y₀＝1,z₀＝0；从系统(11)中获得

同样，根据系统(6)和(11)，构建以下系统：

其中，参数切换控制器为，F(x,y,z)为平衡点切换控制器；在此，T(x,y,z)和F(x,y,z)是饱和函数系列，如下所示：

式中M为在x,y方向的控制器平衡点个数，决定z方向的涡卷数目；L为在z方向的控制器平衡点个数，决定z方向的涡卷数目；

表示M项累加；

应用预测器校正器算法求解分数阶微分系统(13)，当α_i>0.916,x₀＝0.0585,y₀＝1,z₀＝0,M＝5时，得到分数阶12翼混沌吸引子；当x₀＝0.0585,y₀＝1,z₀＝1.125,M＝2,L＝1时，获得6×4网格多翼混沌吸引子。

本发明的有益效果在于：本发明首先确定分数阶Rucklidge系统的分数阶形式；然后将分数阶Rucklidge系统在其两个对称平衡点处线性化，以获得两个基本的分数阶线性系统；接着构造一个异宿环，通过饱和函数切换控制来连接两个基本的分数阶线性系统的所有平衡点以实现网格多翼混沌吸引子生成器，可以捕获广义的Lorenz吸引子的基本特性并产生“蝴蝶效应”，由于其构造系统是三个不带乘法器的分数阶微分方程，因此其硬件电路实现更为简单，并且具有潜在的工程应用。

附图说明

图1为本发明的流程图。

图2为线性分数阶系统的稳定性区域示意图。

图3为α_i>0.916时系统的双翼混沌吸引子示意图。

图4为α_i＝0.92时系统(13)的12翼混沌吸引子示意图。

图5为α_i＝0.93时系统的6×4网格多翼混沌吸引子示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步的说明。

如图1所示，一种分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法，包括以下步骤：

步骤一：确定分数阶Rucklidge系统的分数阶形式，将分数阶Rucklidge系统在其两个对称平衡点处线性化，以获得两个基本的分数阶线性系统。

确定分数阶Rucklidge系统的分数阶形式的过程为：

分数阶微分方程为：

其中，D_t表示对t求偏导数；x(t)、y(t)、z(t)均为状态变量；t为时间变量；f₁、f₂、f₃分别表示x(t)、y(t)、z(t)对t的偏导数函数；T为最大时间值；α_i为阶数；初始值x(0)＝x₀,y(0)＝y₀,z(0)＝z₀,α_i∈(0,1)(i＝1,2,3)，因此，式(1)等效于Volterra积分方程：

其中τ为积分变量；GammaΓ(α_i)函数定义为

设置

t_n＝nh(n＝0,1,2,KN)，h为每一段时间间隔的长度；t_n为第n段时间间隔；N为时间间隔个数最大值；n为0—N之间的整数，则式(2)离散为：

其中，x_h(t_n+1)为状态变量在第n+1段时间间隔的离散值；

为状态变量在第n+1段时间间隔的预测值；α_i,k,n+1为第n+1段时间间隔的迭代系数；x(t_k)为在t_k时刻状态变量x的值；

α_i,k,n+1为：

当k超出范围时，α_i,k,n+1＝1。

预测值取决于：

其中b_1,k,n+1、b_2,k,n+1、b_3,k,n+1分别为α₁、α₂、α₃阶状态变量x的迭代系数；f₁(x_h(t_k))、f₂(x_h(t_k))、f₃(x_h(t_k))分别为f₁、f₂、f₃函数在自变量取t_k时刻状态变量x的离散值时所对应的函数值；

式(4)的估计误差为e＝max{max|x(t_k)-x_h(t_k)|,max|y(t_k)-y_h(t_k)|,max|z(t_k)-z_h(t_k)|}＝o(h^ρ)，o(h^ρ)表示h^ρ的高阶无穷小，ρ为中间变量，k＝(0,1,2,K,N),ρ＝min{1+α₁,1+α₂,1+α₃}；

确定分数阶系统的数值解，得到Rucklidge系统的分数阶形式为：

获得两个基本的分数阶线性系统的过程为：

针对分数阶α_i(i＝1,2,3)，满足0<α_i≤1，显然，系统(5)具有三个平衡点：第一平衡点E₀＝(0,0,0),第二平衡点

第三平衡点

在E₁处线性化系统(5)，得到以下分数阶线性系统：

类似地，在E₂处的线性化系统(5)达到以下分数阶线性系统：

J₁、X₁、J₂、X₂均为中间变量；以下，将系统(6)和(7)称为基本分数阶线性系统；显然，O₀＝O₁＝(0,0,0)是系统(6)和(7)的唯一平衡点，并且对应的特征值是λ₁＝γ＝-3.5145和λ_2,3＝σ±jω＝0.2577±j1.9353；λ₁、λ_2,3为系统(6)和(7)对应的三个特征值；γ、σ表示特征值的实部；ω表示特征值的虚部；因此，平衡点O₁,O₂都是指数为2的鞍焦点，而且λ₁<0,R_e(λ_2,3)>0and|λ₁|>R_e(λ_2,3)和满足Shil'nikov定理的条件，R_e(λ_2,3)表示特征值λ_2,3的实部；如果所有平衡点的雅可比矩阵特征值满足以下条件，则它们在局部渐近稳定：

|arg(eig(J_F))|>α_iπ/2 (8)

J_F为雅可比矩阵；

不等式(8)表明，分数阶微分方程组比其整数阶方程组更稳定，这是合理的，因为具有更多记忆的系统通常比没有记忆的系统更稳定。不稳定区域如图2所示，除了不稳定区域以外的区域是稳定区域。

更改α_i<1(i＝1,2,3)的值时，系统(6)和(7)并不总是保持混乱；从不等式(4)开始，系统(6)保持混沌的必要条件是，在不稳定区域的每个非原点的平衡点处保持雅可比矩阵的两个共轭特征值，这意味着对于i＝1,2,3,

此外，对应的特征向量如下所示：

η₁、μ₁、η₂、μ₂均表示特征向量，实数形式的用η表示，复数形式的用μ表示；通过计算，得出系统(6)的一维稳定本征线E^S(O₁)和二维不稳定本征面E^U(O₁)如下：

这里中间变量l₁＝-0.8381,m₁＝0.2384,n₁＝-0.4907,A₁＝-0.1911,B₁＝0.2895,C₁＝-0.1966；

同样，获得系统(7)的一维稳定本征线E^S(O₂)和二维不稳定本征面E^U(O₂)如下：

这里中间变量l₂＝-0.8381,m₂＝0.2384,n₂＝0.4907,A₂＝0.1911,B₂＝-0.2895,C₂＝-0.1966；显然，稳定的本征线E^S(O₁)、E^S(O₂)和不稳定的本征面E^U(O₁)、E^U(O₂)分别在一定程度上对称。基于这种对称性，可以构建一个异宿环，由下面的分数阶多段式Rucklidge系统生成异宿混沌。

步骤二：构造一个异宿环，通过饱和函数切换控制来连接两个基本的分数阶线性系统的所有平衡点以实现网格多翼混沌吸引子生成器。

具体过程为：

基于基本分数阶线性系统(6)和(7)，扩展Shil'nikov定理，设计一种切换控制器来连接系统(6)和(7)的异宿轨道以形成异宿环，涉及过程为：设交换平面为S＝{(x,y,z)|y＝0}，切换控制器为w＝F(x,y,z)，从系统(6)和系统(7)，构造以下可切换系统：

其中，X：表示列矩阵

V泛指三维空间；V₁指三维空间中y>0的那部分子空间；V₂指三维空间中y<0的那部分子空间；

开关控制器w＝F(x,y,z)＝[f₁(x,y,z),f₂(x,y,z),f₃(x,y,z)]^T的详细数学表达式由系统(11)中的异宿回路的存在条件决定；显然，系统(11)的两个平衡点P₁(x₁,y₁,z₁)∈V₁和P₂(x₂,y₂,z₂)∈V₂分别位于开关平面S＝{(x,y,z)|y＝0}的两侧；其中E^S(P₁)和E^U(P₁)是系统(6)在P₁处的本征线和本征面，E^S(P₂)和E^U(P₂)是系统(7)在P₂处的本征线和本征面，表示为：

L₁＝E^U(P₁)∩S＝A₁(x-x₁)+B₁(0-y₁)+C₁(z-z₁)＝0,

L₂＝E^U(P₂)∩S＝A₂(x-x₂)+B₂(0-y₂)+C₂(z-z₂)＝0

其中，Q₁为本征线E^S(P₁)与平面S的相交点；Q₂为本征线E^S(P₂)与平面S的相交点；L₁为本征面E^U(P₁)与平面S的相交线；L₂为本征面E^U(P₂)与平面S的相交线；

如果Q₁位于L₂，则存在一个从P₂到P₁的异宿轨道H₁＝E^U(P₂)∪Q₁∪E^S(P₁)；同样，如果Q₂位于L₁，则存在一个从P₁到P₂的异宿轨道H₂＝E^U(P₁)∪Q₂∪E^S(P₂)；因此，如果Q₁位于L₂和Q₂位于L₁，则存在一个由两个异宿轨道组成并相互连接的异宿环H₁和H₂连接P₁和P₂，在这种情况下，根据Shil'nikov定理，系统(6)在Smale马蹄形意义上是混乱的；

从变换(x，y，z)→(-x，-y，z)的不变性，选择开关平面S＝{(x,y,z)|y＝0}，该平面满足P₁(x₁,y₁,z₁)∈V₁,P₂(x₂,y₂,z₂)∈V₂,x₁＝-x₂＝x₀,y₁＝-y₂＝y₀>0,z₁＝z₂＝z₀的，因此，得出Q₁∈L₂，Q₂∈L₁的必要条件是：

这表示y₀取决于x₀，并且z₀可以是任何值；在这种情况下，令y₀＝y₁＝-y₂＝1，z₁＝z₂＝z₀＝0,便得到x₀＝x₁＝-x₂＝0.0585,然后得到P₁(x₁,y₁,z₁)＝P₁(0.0585,1,0),P₂(x₂,y₂,z₂)＝P₂(-0.0585,-1,0)；因此，开关控制器F(x,y,z)＝(x₀s(y),y₀s(y),z₀s(z))^T的x₀＝0.0585,y₀＝1,z₀＝0,这里s(y)或s(z)是饱和函数，其描述如下：

α是饱和函数的斜率。

根据上述理论分析，设计开关控制器s₀＝s(y),w₀＝F(x,y,z)＝(x₀s(y),y₀s(y),z₀s(z))^T,x₀＝0.0585,y₀＝1,z₀＝0；从系统(11)中获得

当α_i>0.916时可以得到各种分数阶双翼混沌吸引子的仿真，如图3所示。

同样，根据系统(6)和(11)，构建以下系统：

其中，参数切换控制器为，F(x,y,z)为平衡点切换控制器；在此，T(x,y,z)和F(x,y,z)是饱和函数系列，如下所示：

式中M为在x,y方向的控制器平衡点个数，决定z方向的涡卷数目；L为在z方向的控制器平衡点个数，决定z方向的涡卷数目；

表示M项累加；

应用预测器校正器算法求解分数阶微分系统(13)，当α_i>0.916,x₀＝0.0585,y₀＝1,z₀＝0,M＝5时，得到分数阶12翼混沌吸引子的仿真，如图4所示；当x₀＝0.0585,y₀＝1,z₀＝1.125,M＝2,L＝1时，如图5所示，获得6×4网格多翼混沌吸引子。

Claims (4)

1.一种分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法，包括以下步骤：

步骤一：确定分数阶Rucklidge系统的分数阶形式，将分数阶Rucklidge系统在其两个对称平衡点处线性化，以获得两个基本的分数阶线性系统；

步骤二：构造一个异宿环，通过饱和函数切换控制来连接两个基本的分数阶线性系统的所有平衡点以实现网格多翼混沌吸引子生成器。

2.根据权利要求1所述的分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法，其特征在于，所述步骤一中，确定分数阶Rucklidge系统的分数阶形式的过程为：

分数阶微分方程为：

其中，D_t表示对t求偏导数；x(t)、y(t)、z(t)均为状态变量；t为时间变量；f₁、f₂、f₃分别表示x(t)、y(t)、z(t)对t的偏导数函数；T为最大时间值；α_i为阶数；初始值x(0)＝x₀,y(0)＝y₀,z(0)＝z₀,α_i∈(0,1)(i＝1,2,3)，因此，式(1)等效于Volterra积分方程：

其中τ为积分变量；GammaΓ(α_i)函数定义为

设置

t_n＝nh，n＝0,1,2,KN，h为每一段时间间隔的长度；t_n为第n段时间间隔；N为时间间隔个数最大值；n为0—N之间的整数，则式(2)离散为：

其中，x_h(t_n+1)为状态变量在第n+1段时间间隔的离散值；

为状态变量在第n+1段时间间隔的预测值；α_i,k,n+1为第n+1段时间间隔的迭代系数；x(t_k)为在t_k时刻状态变量x的值；

α_i,k,n+1为：

当k超出范围时，α_i,k,n+1＝1；

预测值取决于：

其中b_1,k,n+1、b_2,k,n+1、b_3,k,n+1分别为α₁、α₂、α₃阶状态变量x的迭代系数；f₁(x_h(t_k))、f₂(x_h(t_k))、f₃(x_h(t_k))分别为f₁、f₂、f₃函数在自变量取t_k时刻状态变量x的离散值时所对应的函数值；

式(4)的估计误差为e＝max{max|x(t_k)-x_h(t_k)|,max|y(t_k)-y_h(t_k)|,max|z(t_k)-z_h(t_k)|}＝o(h^ρ)，o(h^ρ)表示h^ρ的高阶无穷小，ρ为中间变量，k＝(0,1,2,K,N),ρ＝min{1+α₁,1+α₂,1+α₃}；

确定分数阶系统的数值解，得到Rucklidge系统的分数阶形式为：

3.根据权利要求2所述的分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法，其特征在于，所述步骤一中，获得两个基本的分数阶线性系统的过程为：

针对分数阶α_i(i＝1,2,3)，满足0<α_i≤1，显然，系统(5)具有三个平衡点：第一平衡点E₀＝(0,0,0)，第二平衡点

第三平衡点

在E₁处线性化系统(5)，得到以下分数阶线性系统：

类似地，在E₂处的线性化系统(5)，得到以下分数阶线性系统：

J₁、X₁、J₂、X₂均为中间变量；

以下，将系统(6)和(7)称为基本分数阶线性系统；显然，O₀＝O₁＝(0,0,0)是系统(6)和(7)的唯一平衡点，并且对应的特征值是λ₁＝γ＝-3.5145和λ_2,3＝σ±jω＝0.2577±j1.9353；λ₁、λ_2,3为系统(6)和(7)对应的三个特征值；γ、σ表示特征值的实部；ω表示特征值的虚部；因此，平衡点O₁,O₂都是指标2的鞍焦点，而且λ₁<0,R_e(λ_2,3)>0,R_e(λ_2,3)表示特征值λ_2,3的实部，|λ₁|>R_e(λ_2,3),满足Shil'nikov定理的条件；如果所有平衡点的雅可比矩阵特征值满足以下条件，则它们在局部渐近稳定：

|arg(eig(J_F))|>α_iπ/2 (8)

J_F为雅可比矩阵；

不等式(8)表明，分数阶微分方程组比其整数阶方程组更稳定；

更改α_i<1(i＝1,2,3)的值时，系统(6)和(7)并不总是保持混乱；从不等式(4)开始，系统(6)保持混沌的必要条件是，在不稳定区域的每个非原点的平衡点处保持雅可比矩阵的两个共轭特征值，这意味着对于i＝1,2,3,

此外，对应的特征向量如下所示：

η₁、μ₁、η₂、μ₂均表示特征向量，实数形式的用η表示，复数形式的用μ表示；通过计算，得出系统(6)的一维稳定本征线E^S(O₁)和二维不稳定本征面E^U(O₁)如下：

这里中间变量l₁＝-0.8381,m₁＝0.2384,n₁＝-0.4907,A₁＝-0.1911,B₁＝0.2895,C₁＝-0.1966；

同样，获得系统(7)的一维稳定本征线E^S(O₂)和二维不稳定本征面E^U(O₂)如下：

这里中间变量l₂＝-0.8381,m₂＝0.2384,n₂＝0.4907,A₂＝0.1911,B₂＝-0.2895,C₂＝-0.1966；显然，稳定的本征线E^S(O₁)、E^S(O₂)和不稳定的本征面E^U(O₁)、E^U(O₂)分别在一定程度上对称。

4.根据权利要求3所述的分数阶微分系统构造网格多翼混沌吸引子生成器的方法，其特征在于，所述步骤二具体过程为：

基于基本分数阶线性系统(6)和(7)，扩展Shil'nikov定理，设计一种切换控制器来连接系统(6)和(7)的异宿轨道以形成异宿环，涉及过程为：设交换平面为S＝{(x,y,z)|y＝0}，切换控制器为w＝F(x,y,z)，从系统(6)和系统(7)，构造以下可切换系统：

其中，X：表示列矩阵

V泛指三维空间；V₁指三维空间中y>0的那部分子空间；V₂指三维空间中y<0的那部分子空间；

开关控制器w＝F(x,y,z)＝[f₁(x,y,z),f₂(x,y,z),f₃(x,y,z)]^T的详细数学表达式由系统(11)中的异宿回路的存在条件决定；显然，系统(11)的两个平衡点P₁(x₁,y₁,z₁)∈V₁和P₂(x₂,y₂,z₂)∈V₂分别位于开关平面S＝{(x,y,z)|y＝0}的两侧；其中E^S(P₁)和E^U(P₁)是系统(6)在P₁处的本征线和本征面，E^S(P₂)和E^U(P₂)是系统(7)在P₂处的本征线和本征面，表示为：

L₁＝E^U(P₁)∩S＝A₁(x-x₁)+B₁(0-y₁)+C₁(z-z₁)＝0,

L₂＝E^U(P₂)∩S＝A₂(x-x₂)+B₂(0-y₂)+C₂(z-z₂)＝0

其中，Q₁为本征线E^S(P₁)与平面S的相交点；Q₂为本征线E^S(P₂)与平面S的相交点；L₁为本征面E^U(P₁)与平面S的相交线；L₂为本征面E^U(P₂)与平面S的相交线；

如果Q₁位于L₂，则存在一个从P₂到P₁的异宿轨道H₁＝E^U(P₂)∪Q₁∪E^S(P₁)；同样，如果Q₂位于L₁，则存在一个从P₁到P₂的异宿轨道H₂＝E^U(P₁)∪Q₂∪E^S(P₂)；因此，如果Q₁位于L₂和Q₂位于L₁，则存在一个由两个异宿轨道组成并相互连接的异宿环H₁和H₂连接P₁和P₂，在这种情况下，根据Shil'nikov定理，系统(6)在Smale马蹄形意义上是混乱的；

从变换(x，y，z)→(-x，-y，z)的不变性，选择开关平面S＝{(x,y,z)|y＝0}，该平面满足P₁(x₁,y₁,z₁)∈V₁,P₂(x₂,y₂,z₂)∈V₂,x₁＝-x₂＝x₀,y₁＝-y₂＝y₀>0,z₁＝z₂＝z₀的，因此，得出Q₁∈L₂，Q₂∈L₁的必要条件是：

这表示x₀取决于y₀，并且z₀可以是任何值；在这种情况下，令y₀＝y₁＝-y₂＝1，z₁＝z₂＝z₀＝0,便得到x₀＝x₁＝-x₂＝0.0585,然后得到P₁(x₁,y₁,z₁)＝P₁(0.0585,1,0),P₂(x₂,y₂,z₂)＝P₂(-0.0585,-1,0)；因此，开关控制器F(x,y,z)＝(x₀s(y),y₀s(y),z₀s(z))^T的x₀＝0.0585,y₀＝1,z₀＝0,这里s(y)或s(z)是饱和函数，其描述如下：

α是饱和函数的斜率；

根据上述理论分析，设计开关控制器s₀＝s(y),w₀＝F(x,y,z)＝(x₀s(y),y₀s(y),z₀s(z))^T,x₀＝0.0585,y₀＝1,z₀＝0；从系统(11)中获得

同样，根据系统(6)和(11)，构建以下系统：

其中，参数切换控制器为，F(x,y,z)为平衡点切换控制器；在此，T(x,y,z)和F(x,y,z)是饱和函数系列，如下所示：

式中M为在x,y方向的控制器平衡点个数，决定z方向的涡卷数目；L为在z方向的控制器平衡点个数，决定z方向的涡卷数目；

表示M项累加；

应用预测器校正器算法求解分数阶微分系统(13)，当α_i>0.916,x₀＝0.0585,y₀＝1,z₀＝0,M＝5时，得到分数阶12翼混沌吸引子；当x₀＝0.0585,y₀＝1,z₀＝1.125,M＝2,L＝1时，获得6×4网格多翼混沌吸引子。

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