CN111428404A - 基于序列规划采样点技术的随机噪声分析方法及其系统 - Google Patents

基于序列规划采样点技术的随机噪声分析方法及其系统 Download PDF

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CN111428404A
CN111428404A CN202010201320.9A CN202010201320A CN111428404A CN 111428404 A CN111428404 A CN 111428404A CN 202010201320 A CN202010201320 A CN 202010201320A CN 111428404 A CN111428404 A CN 111428404A
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尹盛文
王中钢
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Abstract

本发明公开了一种基于序列规划采样点技术的随机噪声分析法及其系统，其步骤为：建立结构‑声腔耦合系统的随机有限元模型；建立随机有限元模型的噪声响应的任意多项式混沌展开；产生与多项式基对应的高斯积分点，将其作为候选样本点；基于序列规划采样点技术对候选样本点进行稀疏采样，得到稀疏采样点；利用稀疏采样点计算任意多项式混沌响应面的待定系数；求解系统噪声响应的概率统计特征。本发明能有效预测随机结构‑声腔耦合系统的噪声响应，为后续结构‑声腔耦合系统的可靠性分析和优化设计提供理论指导。

Description

基于序列规划采样点技术的随机噪声分析方法及其系统
技术领域
本发明涉及噪声分析领域，尤其涉及一种基于序列规划采样点技术的随机噪声分析方法及其系统。
背景技术
由结构和声腔耦合而成的结构-声腔耦合系统广泛存在于高速列车、飞机等运载装备。在外界激励作用下，结构-声腔耦合系统会产生噪声，而噪声又会影响乘客的舒适性，甚至危害乘客身体健康。为了对产品噪声进行有效控制，需要采用合适的噪声分析方法。传统噪声分析方法往往是基于确定性的数值分析模型，其本质是不考虑结构和声腔系统参数的不确定性。实际工程中，随机不确定性普遍存在于产品全寿命周期的各个阶段。如果不考虑不确定性，则噪声响应预测结果与实际结果会产生较大偏差，从而导致优化后的产品噪声水平无法满足客户要求。随机噪声分析方法能有效量化不确定性对系统噪声响应的影响。目前常用的随机噪声分析方法包括：Monte Carlo法、摄动法和混沌展开法。MonteCarlo法需要对系统噪声进行大量的重分析，其计算效率极低。摄动随机有限元法具有较高的计算效率，但其仅适合处理不确定度较小的随机噪声问题。相比摄动随机有限元法，混沌展开法能有效克服摄动法精度过低的缺陷。相比Monte Carlo，混沌展开法能有效提高计算效率。因此，混沌展开法是应用最为广泛的随机噪声分析方法。
在噪声分析领域，混沌展开法大都是基于高斯积分法求解展开系数。基于高斯积分的混沌展开法的主要缺陷是，其计算量随不确定参数的增加呈指数增长。因此，对于不确定参数较多的随机噪声分析问题，基于高斯积分的混沌展开法仍然存在计算效率较低的缺陷。因此，有必要研究新的多项式混沌展开系数求解方法，以提高混沌展开法在求解不确定参数较多的随机噪声分析问题时的计算效率，进而缩短产品设计周期。
发明内容
本发明所解决的技术问题在于提供一种基于序列规划采样点技术的随机噪声分析方法及其系统，以解决上述背景技术中的缺点。
本发明采用的技术方案为基于序列规划采样点技术的随机噪声分析法，该方法应用于结构-声腔耦合系统的随机噪声分析，其实现步骤如下：
建立结构-声腔耦合系统的随机有限元模型；
建立随机有限元模型的系统噪声响应的任意多项式混沌展开；
获取多项式混沌展开得到的多项式基，产生与多项式基对应的高斯积分点，将其作为候选样本点；
基于序列规划采样点技术对候选样本点进行稀疏采样，得到稀疏采样点；
利用稀疏采样点计算任意多项式混沌响应面的待定系数；
根据待定系数求解系统噪声响应的概率统计特征以分析随机噪声。
优选地，对随机有限元模型的系统噪声响应进行任意多项式混沌展开的具体表达式如下：
基于任意多项式混沌理论，将系统噪声响应展开为
Figure BDA0002419486850000021
其中，gi为未知的展开系数；N表示展开阶数；
Figure BDA0002419486850000022
为随机变量多项式基，
Figure BDA0002419486850000023
与随机变量关于概率密度函数加权正交；
计算随机变量的多项式基：对于任一随机变量α，
Figure BDA0002419486850000024
满足以下递推关系：
Figure BDA0002419486850000025
式中，αk和bk均为未知系数，由以下表达式确定：
Figure BDA0002419486850000026
式中，rij(i＝1，2，…；j＝1，2，…)表示矩阵R第i行第j列的元素，并定义r0，0＝1和r0，1＝0，矩阵R满足M＝RTR，矩阵M由随机变量的高阶矩确定，具体表达式为：
Figure BDA0002419486850000027
优选地，将与多项基对应的高斯积分点作为候选样本点，具体步骤包括：
通过对以下Jacobi矩阵Jn进行特征值分解可以获得与任意权函数w(x)对应的高斯积分节点和高斯积分权值：
Figure BDA0002419486850000031
式中，ai和bi指式(6)中任意正交多项式基的递推公式系数；
对Jn进行如下特征值分解：
VTJnV＝diag(γ1，γ2，…γn) (6)
使得VTV＝I，其中I为n×n单元矩阵，基于上述特征值分解即可获得关于w(x)加权积分的高斯积分节点和高斯积分权值，其具体表达式为：
Figure BDA0002419486850000032
式中，vi，1是指矩阵v第i列的第一个元素。
优选地，基于序列规划采样点技术对候选样本点进行稀疏采样，得到稀疏采样点，具体步骤包括：
引入坐标向量βj(j＝1，2，…)，矩阵βj第j个元素值为xj(j＝1，2，…)第j个元素的积分点序号；
产生初始样本点：第一个样本点的第一个元素为1，其他元素可任意取；
产生第一轮稀疏样本点：样本点数量为m×n-1，其中n表示变量个数，m表示每个变量的积分点数量，对于前m-1个样本点，其第一个元素的值分别定为2，3，…，m，其他元素值通过最小化
Figure BDA0002419486850000033
直确定，
Figure BDA0002419486850000034
的具体表达式为：
Figure BDA0002419486850000035
其中，
Figure BDA0002419486850000036
在上述表达式中，s0表示已选样本点的数量；
Figure BDA0002419486850000037
表示第j个候选点，假定j＝r时，
Figure BDA0002419486850000038
取最小值，则
Figure BDA0002419486850000039
作为新的样本点；对于第mi至第m(i+1)个样本点，其第i个元素的值分别为1，2，…，m；当
Figure BDA00024194868500000310
取最小值时，
Figure BDA00024194868500000311
作为新的样本点；
产生第二轮样本点：第二轮抽样不限定样本点某个元素的值，而是在所有剩余候选点中选取具有最小
Figure BDA0002419486850000041
的候选点作为新的样本点，当样本点数量大于未知系数个数时，第二轮抽样结束；
根据坐标向量
Figure BDA0002419486850000042
和高斯积分点向量，获得所有稀疏样本点，记为
Figure BDA0002419486850000043
ns表示稀疏样本点数量。
依托于上述方法，本发明还提供了一种基于序列规划采样点技术的随机噪声分析系统，包括：
第一模块：用于建立结构-声腔耦合系统的随机有限元模型；
第二模块：用于建立随机有限元模型的系统噪声响应的任意多项式混沌展开；
第三模块：用于获取多项式混沌展开得到的多项式基，以及用于产生与多项式基对应的高斯积分点，将其作为候选样本点；
第四模块，用于基于序列规划采样点技术对候选样本点进行稀疏采样，得到稀疏采样点；
第五模块：用于利用稀疏采样点计算任意多项式混沌响应面的待定系数；
第六模块：用于根据待定系数求解系统噪声响应的概率统计特征以分析随机噪声。
优选地，第二模块对随机有限元模型的系统噪声响应进行任意多项式混沌展开的具体表达式如下：
基于任意多项式混沌理论，将系统噪声响应展开为
Figure BDA0002419486850000044
其中，gi为未知的展开系数；N表示展开阶数；
Figure BDA0002419486850000045
为随机变量多项式基，
Figure BDA0002419486850000046
与随机变量关于概率密度函数加权正交；
计算随机变量的多项式基：对于任一随机变量α，
Figure BDA0002419486850000047
满足以下递推关系：
Figure BDA0002419486850000048
式中，αk和bk均为未知系数，由以下表达式确定：
Figure BDA0002419486850000049
式中，rij(i＝1，2，…；j＝1，2，…)表示矩阵R第i行第j列的元素，并定义r0，0＝1和r0，1＝0，矩阵R满足M＝RTR，矩阵M由随机变量的高阶矩确定，具体表达式为：
Figure BDA0002419486850000051
优选地，第三模块将与多项基对应的高斯积分点作为候选样本点，具体步骤包括：
通过对以下Jacobi矩阵Jn进行特征值分解可以获得与任意权函数w(x)对应的高斯积分节点和高斯积分权值：
Figure BDA0002419486850000052
式中，ai和bi指式(6)中任意正交多项式基的递推公式系数；
对Jn进行如下特征值分解：
VTJnV＝diag(γ1，γ2，…γn) (6)
使得VTV＝I，其中I为n×n单元矩阵，基于上述特征值分解即可获得关于w(x)加权积分的高斯积分节点和高斯积分权值，其具体表达式为：
Figure BDA0002419486850000053
式中，vi，1是指矩阵v第i列的第一个元素。
优选地，第四模块中基于序列规划采样点技术对候选样本点进行稀疏采样，得到稀疏采样点，具体步骤包括：
引入坐标向量βj(j＝1，2，…)，矩阵βj第j个元素值为xj(j＝1，2，…)第j个元素的积分点序号；
产生初始样本点：第一个样本点的第一个元素为1，其他元素可任意取；
产生第一轮稀疏样本点：样本点数量为m×n-1，其中n表示变量个数，m表示每个变量的积分点数量，对于前m-1个样本点，其第一个元素的值分别定为2，3，…，m，其他元素值通过最小化
Figure BDA0002419486850000054
值确定，
Figure BDA0002419486850000055
的具体表达式为：
Figure BDA0002419486850000056
其中，
Figure BDA0002419486850000061
在上述表达式中，s0表示已选样本点的数量；
Figure BDA0002419486850000062
表示第j个候选点，假定j＝r时，
Figure BDA0002419486850000063
取最小值，则
Figure BDA0002419486850000064
作为新的样本点；对于第mi至第m(i+1)个样本点，其第i个元素的值分别为1，2，…，m；当
Figure BDA0002419486850000065
取最小值时，
Figure BDA0002419486850000066
作为新的样本点；
产生第二轮样本点：第二轮抽样不限定样本点某个元素的值，而是在所有剩余候选点中选取具有最小
Figure BDA0002419486850000067
的候选点作为新的样本点，当样本点数量大于未知系数个数时，第二轮抽样结束；
根据坐标向量
Figure BDA0002419486850000068
和高斯积分点向量，获得所有稀疏样本点，记为
Figure BDA0002419486850000069
ns表示稀疏样本点数量。
有益效果：
(1)本发明考虑了结构-声腔耦合参数不确定性，与实际情况相符，为后续噪声优化的可靠性优化提供了理论基础；
(2)传统基于高斯积分的任意多项式混沌展开法存在计算效率较低的缺陷，本发明采用系数配点法求解任意多项式混沌展开系数，有效提高了计算效率，从而大幅降低产品设计的周期；
(3)本发明提出的基于稀疏采样点的谱随机有限元法适用于任意结构-声腔耦合系统的噪声响应分析，对结构没有特殊要求，适用范围广。
附图说明
图1为本发明实施例提供的基于序列规划采样点技术的随机噪声分析法的流程图；
图2为本发明实施例提供的一种简单结构-声腔耦合系统示意图；
图3为本发明实施例提供的一组随机变量的统计数据示意图；
图4为本发明实施例提供的本发明方法和对比方法的计算结果对比示意图。
具体实施方式
实施例1
为了使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体图示，进一步阐述本发明。
图1示出了基于序列规划采样点技术的随机噪声分析法的流程。
如图1所示，本发明提供了一种基于序列规划采样点技术的随机噪声分析法，包括如下具体步骤：
步骤(一)建立图2所示结构-声腔耦合系统的随机有限元模型：
(1)建立结构-声腔耦合系统的有限元模型，具体表达式为ZU＝F (1)
式中，Z表示结构-声腔耦合系统的动刚度矩阵；U和F分别表示响应向量和激励向量。Z、U和F可分别表示为：
Figure BDA0002419486850000071
(2)分析结构-声腔耦合系统中存在的不确定性参数，所有的不确定参数构成向量α＝[α1，α1，…，αn]，例如，板结构的材料参数，声场空气密度、声速等都可以视为随机参数；
(3)获得随机变量的概率统计数据，如图3所示；
(4)将随机参数引入结构-声腔耦合系统有限元模型，具体表达式为：
Z(α)U(α)＝F(α) (3)
步骤(二)建立随机有限元模型的噪声响应的任意多项式混沌展开；
(1)基于任意多项式混沌理论，将系统噪声响应展开为
Figure BDA0002419486850000072
其中，gi为未知的展开系数；N表示展开阶数；
Figure BDA0002419486850000073
为随机变量多项式基，
Figure BDA0002419486850000074
与随机变量关于概率密度函数加权正交。
(2)计算随机变量多项式基。对于任一随机变量α，
Figure BDA0002419486850000075
满足以下递推关系：
Figure BDA0002419486850000076
式中，αk和bk均为未知系数，由以下表达式确定：
Figure BDA0002419486850000077
式中，rij(i＝1，2，…；j＝1，2，…)表示矩阵R第i行第j列的元素，并定义r0，0＝1和r0，1＝0，矩阵R满足M＝RTR，矩阵M由随机变量的高阶矩确定，具体表达式为：
Figure BDA0002419486850000081
步骤(三)产生与多项式基对应的高斯积分点，将其作为候选样本点：
(1)通过对以下Jacobi矩阵Jn进行特征值分解可以获得与任意权函数w(x)对应的高斯积分节点和高斯积分权值：
Figure BDA0002419486850000082
式中，ai和bi是指式(6)中任意正交多项式基的递推公式系数。
(2)对Jn进行如下特征值分解：
VTJnV＝diag(γ1，γ2，…γn) (9)
使得VTV＝I，其中I为n×n单元矩阵，基于上述特征值分解即可获得关于w(x)加权积分的高斯积分节点和高斯积分权值，其具体表达式为：
Figure BDA0002419486850000083
式中，vi，1是指矩阵v第i列的第一个元素。
(3)每个变量的所有高斯积分点的笛卡尔积构成候选点xj(j＝1，2，…)。
步骤(四)基于序列规划采样点技术对候选样本点进行稀疏采样，得到稀疏采样点：
(1)引入坐标向量βj(j＝1，2，…)，矩阵βj第j个元素值为xj(j＝1，2，…)第j个元素的积分点序号。
(2)产生初始样本点。第一个样本点的第一个元素为1，其他元素可任意取。
(3)产生第一轮稀疏样本点：样本点数量为m×n-1，其中n表示变量个数，m表示每个变量的积分点数量，对于前m-1个样本点，其第一个元素的值分别定为2，3，…，m，其他元素值通过最小化
Figure BDA0002419486850000084
值确定，
Figure BDA0002419486850000085
的具体表达式为：
Figure BDA0002419486850000091
其中，
Figure BDA0002419486850000092
在上述表达式中，s0表示已选样本点的数量；
Figure BDA0002419486850000093
表示第j个候选点，假定j＝r时，
Figure BDA0002419486850000094
取最小值，则
Figure BDA0002419486850000095
作为新的样本点；对于第mi至第m(i+1)个样本点，其第i个元素的值分别为1，2，…，m；当
Figure BDA0002419486850000096
取最小值时，
Figure BDA0002419486850000097
作为新的样本点。
(4)产生第二轮样本点：第二轮抽样不限定样本点某个元素的值，而是在所有剩余候选点中选取具有最小
Figure BDA0002419486850000098
的候选点作为新的样本点，当样本点数量大于未知系数个数时，第二轮抽样结束。
(5)根据坐标向量
Figure BDA0002419486850000099
和高斯积分点向量，获得所有稀疏样本点，记为
Figure BDA00024194868500000910
ns表示稀疏样本点数量。
步骤(五)利用稀疏采样点计算任意多项式混沌响应面的待定系数；
(1)利用样本点构造系数矩阵，具体表达式为：
Figure BDA00024194868500000911
(2)计算展开系数g＝(g1，g2，…gN)，具体表达式为：
g＝(ATA)-1ATU (14)
(3)根据第二轮抽样的步骤，增加样本点数量，并重新计算展开系数。当展开系数的变化量小于1％时，计算结束，此时获得展开系数即为混沌响应面的展开系数。
步骤(六)求解系统噪声响应的概率统计特征。
求解系统响应平均值μ和方差σ2，具体表达式为：
Figure BDA00024194868500000912
对比例1：
为了验证本发明方法的有效性，本算例采用基于高斯积分的任意多项式混沌展开法计算结构-声腔耦合系统的噪声，与本发明方法的计算结果进行对比分析。基于高斯积分的任意多项式混沌展开法的主要步骤为：
(1)建立结构-声腔耦合系统的随机有限元模型；
(2)对系统响应进行任意多项式混沌展开；
(3)采用高斯积分点计算任意多项式混沌展开的展开系数；
(4)基于任意多项式混沌展开近似求解系统响应的均值和方差。
本发明方法和基于高斯积分的任意多项式混沌展开法的计算结果如图4所示。在图4中，本发明方法是指基于序列规划采样点技术的随机噪声分析法；对比方法是指基于高斯积分的任意多项式混沌展开法；参考解是指Monte Carlo法。
从图4可以看出，本发明方法和对比方法的计算结果均与参考解重合，这说明本发明方法和基于高斯积分的任意多项式混沌展开法都能达到较高的计算精度。
本发明方法的计算时间为85分钟，而基于高斯积分的任意多项式混沌展开法的计算长达332分钟。这说明，相比基于高斯积分的任意多项式混沌展开法，本发明的基于序列规划采样点技术的随机噪声分析法能有效提高计算效率。
通过实施例1和对比例1可以看出，本发明是一个有机整体，当其中任意一个或几个关键步骤及参数不在本发明保护范围内时，其效果显著下降。
以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；凡采用等同变换而形成的技术方案都在本发明权利保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于序列规划采样点技术的随机噪声分析方法，其特征在于，包括如下步骤：
建立结构-声腔耦合系统的随机有限元模型；
建立所述随机有限元模型的系统噪声响应的任意多项式混沌展开；
获取所述多项式混沌展开得到的多项式基，产生与所述多项式基对应的高斯积分点，将其作为候选样本点；
基于序列规划采样点技术对所述候选样本点进行稀疏采样，得到稀疏采样点；
利用所述稀疏采样点计算任意多项式混沌响应面的待定系数；
根据所述待定系数求解所述系统噪声响应的概率统计特征以分析随机噪声。
2.根据权利要求1所述的基于序列规划采样点技术的随机噪声分析方法，其特征在于，对所述随机有限元模型的所述系统噪声响应进行任意所述多项式混沌展开的具体表达式如下：
基于任意多项式混沌理论，将所述系统噪声响应展开为
Figure FDA0002419486840000011
其中，gi为未知的展开系数；N表示展开阶数；
Figure FDA0002419486840000012
为随机变量多项式基，
Figure FDA0002419486840000013
与随机变量关于概率密度函数加权正交；
计算随机变量的所述多项式基：对于任一随机变量α，
Figure FDA0002419486840000014
满足以下递推关系：
Figure FDA0002419486840000015
式中，αk和bk均为未知系数，由以下表达式确定：
Figure FDA0002419486840000016
式中，rij表示矩阵R第i行第j列的元素，并定义r0，0＝1和r0，1＝0,其中，i＝1，2，…；j＝1，2，…，矩阵R满足M＝RTR，矩阵M由随机变量的高阶矩确定，具体表达式为：
Figure FDA0002419486840000017
3.根据权利要求1所述的基于序列规划采样点技术的随机噪声分析方法，其特征在于，将与所述多项基对应的所述高斯积分点作为所述候选样本点，具体步骤包括：
通过对以下Jacobi矩阵Jn进行特征值分解可以获得与任意权函数w(x)对应的高斯积分节点和高斯积分权值：
Figure FDA0002419486840000021
式中，ai和bi指式(6)中任意正交多项式基的递推公式系数；
对Jn进行如下特征值分解：
VTJnV＝diag(γ1，γ2，…γn) (9)
使得VTV＝I，其中I为n×n单元矩阵,基于上述特征值分解即可获得关于w(x)加权积分的高斯积分节点和高斯积分权值，其具体表达式为：
Figure FDA0002419486840000022
式中，vi，1是指矩阵v第i列的第一个元素。
4.根据权利要求1所述的基于序列规划采样点技术的随机噪声分析方法，其特征在于，基于序列规划采样点技术对所述候选样本点进行稀疏采样，得到所述稀疏采样点，具体步骤包括：
引入坐标向量βj，矩阵βj第j个元素值为xj第j个元素的积分点序号；
产生初始样本点：第一个样本点的第一个元素为1，其他元素可任意取；
产生第一轮稀疏样本点：样本点数量为m×n-1，其中n表示变量个数,m表示每个变量的积分点数量，对于前m-1个样本点，其第一个元素的值分别定为2，3，…，m,其他元素值通过最小化
Figure FDA0002419486840000023
值确定，
Figure FDA0002419486840000024
的具体表达式为：
Figure FDA0002419486840000025
其中，
Figure FDA0002419486840000026
在上述表达式中，s0表示已选样本点的数量；
Figure FDA0002419486840000027
表示第j个候选点,假定j＝r时，
Figure FDA0002419486840000028
取最小值，则
Figure FDA0002419486840000029
作为新的样本点；对于第mi至第m(i+1)个样本点，其第i个元素的值分别为1，2，…，m；当
Figure FDA00024194868400000210
取最小值时，
Figure FDA00024194868400000211
作为新的样本点；
产生第二轮样本点：第二轮抽样不限定样本点某个元素的值，而是在所有剩余候选点中选取具有最小
Figure FDA0002419486840000031
的候选点作为新的样本点，当样本点数量大于未知系数个数时，第二轮抽样结束；
根据坐标向量
Figure FDA0002419486840000032
和高斯积分点向量，获得所有稀疏样本点，记为
Figure FDA0002419486840000033
其中，j＝1，2，…，ns，ns表示稀疏样本点数量。
5.一种基于序列规划采样点技术的随机噪声分析系统，其特征在于，包括：
第一模块：用于建立结构-声腔耦合系统的随机有限元模型；
第二模块：用于建立所述随机有限元模型的系统噪声响应的任意多项式混沌展开；
第三模块：用于获取所述多项式混沌展开得到的多项式基，以及用于产生与所述多项式基对应的高斯积分点，将其作为候选样本点；
第四模块，用于基于序列规划采样点技术对所述候选样本点进行稀疏采样，得到稀疏采样点；
第五模块：用于利用所述稀疏采样点计算任意多项式混沌响应面的待定系数；
第六模块：用于根据所述待定系数求解所述系统噪声响应的概率统计特征以分析随机噪声。
6.根据权利要求5所述的基于序列规划采样点技术的随机噪声分析系统，其特征在于，所述第二模块对所述随机有限元模型的所述系统噪声响应进行任意所述多项式混沌展开的具体表达式如下：
基于任意多项式混沌理论，将所述系统噪声响应展开为
Figure FDA0002419486840000034
其中，gi为未知的展开系数；N表示展开阶数；
Figure FDA0002419486840000035
为随机变量多项式基，
Figure FDA0002419486840000036
与随机变量关于概率密度函数加权正交；
计算随机变量的所述多项式基：对于任一随机变量α，
Figure FDA0002419486840000037
满足以下递推关系：
Figure FDA0002419486840000038
式中，αk和bk均为未知系数，由以下表达式确定：
Figure FDA0002419486840000039
式中，rij表示矩阵R第i行第j列的元素，并定义r0，0＝1和r0，1＝0,其中，i＝1，2，…；j1，2，…，矩阵R满足M＝RTR，矩阵M由随机变量的高阶矩确定，具体表达式为：
Figure FDA0002419486840000041
7.根据权利要求5所述的基于序列规划采样点技术的随机噪声分析系统，其特征在于，所述第三模块将与所述多项基对应的所述高斯积分点作为所述候选样本点，具体步骤包括：
通过对以下Jacobi矩阵Jn进行特征值分解可以获得与任意权函数w(x)对应的高斯积分节点和高斯积分权值：
Figure FDA0002419486840000042
式中，ai和bi指式(6)中任意正交多项式基的递推公式系数；
对Jn进行如下特征值分解：
VTJnV＝diag(γ1，γ2，…γn) (6)
使得VTV＝I，其中I为n×n单元矩阵,基于上述特征值分解即可获得关于w(x)加权积分的高斯积分节点和高斯积分权值，其具体表达式为：
Figure FDA0002419486840000043
式中，vi，1是指矩阵V第i列的第一个元素。
8.根据权利要求5所述的基于序列规划采样点技术的随机噪声分析系统，其特征在于，第四模块中基于序列规划采样点技术对所述候选样本点进行稀疏采样，得到所述稀疏采样点，具体步骤包括：
引入坐标向量βj，矩阵βj第j个元素值为xj(j＝1，2，…)第j个元素的积分点序号；
产生初始样本点：第一个样本点的第一个元素为1，其他元素可任意取；
产生第一轮稀疏样本点：样本点数量为m×n-1，其中n表示变量个数,m表示每个变量的积分点数量，对于前m-1个样本点，其第一个元素的值分别定为2，3，…，m,其他元素值通过最小化
Figure FDA0002419486840000044
值确定，
Figure FDA0002419486840000045
的具体表达式为：
Figure FDA0002419486840000046
其中，
Figure FDA0002419486840000051
在上述表达式中，s0表示已选样本点的数量；
Figure FDA0002419486840000052
表示第h个候选点,假定j＝r时，
Figure FDA0002419486840000053
取最小值，则
Figure FDA0002419486840000054
作为新的样本点；对于第mi至第m(i+1)个样本点，其第i个元素的值分别为1，2，…，m；当
Figure FDA0002419486840000055
取最小值时，
Figure FDA0002419486840000056
作为新的样本点；
产生第二轮样本点：第二轮抽样不限定样本点某个元素的值，而是在所有剩余候选点中选取具有最小
Figure FDA0002419486840000057
的候选点作为新的样本点，当样本点数量大于未知系数个数时，第二轮抽样结束；
根据坐标向量
Figure FDA0002419486840000058
和高斯积分点向量，获得所有稀疏样本点，记为
Figure FDA0002419486840000059
其中，j＝1，2，…，ns，ns表示稀疏样本点数量。
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