CN111368478A - 一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及机床整机动态特性分析的技术领域，公开了一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法及其验证方法与测试系统，模态参数识别方法包括：步骤1、构建模拟直线滚动导轨的计算模型，计算模型包括滑块部、导轨部和导轨与滑块之间的结合部,结合部为三维空间八节点六面体单元的有限元；步骤2、建立节点位移与节点受力之间的关系，构建力学模型；步骤3、利用MATLAB中的lsqnonlin对力学模型的结合部的动力学参数求解。对应该方法还有相应有效性的验证方法及测试系统。本发明提供了适用于导轨结合部的八节点六面体模型，该模型将每个节点沿着导轨运动方向的自由度释放，所建立的模型与导轨的实际运动及受力情况相吻合。

Description

一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法

技术领域

本发明属于机床整机动态特性分析的技术领域，尤其是一种基于滚动直线导 轨可动结合部的模态参数识别方法

背景技术

如中国专利公告号CN 103267621公开了一种基于滚动导轨系统虚拟材料层 参数的识别方法，它将滚动导轨结合部看做是一种虚拟材料层，并采用模态试验 和CAE建模分析实验相结合的方法，优化得到虚拟材料层的弹性模量、泊松比、 剪切模量、虚拟材料层厚度和面积等参数。其并未提出适用于虚拟材料层，即可 动结合部的力学模型，合适的力学模型使有限元分析更为准确。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别 方法。

为解决上述问题而采用的一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识 别方法，包括以下步骤：

步骤1、构建模拟直线滚动导轨的计算模型，计算模型包括滑块部、导轨部 和导轨与滑块之间的结合部，滑块部下面为结合部，结合部下面为导轨部，结合 部为三维空间八节点六面体单元的有限元，沿导轨方向视为约束，其中，每个节 点具有2个自由度，一个三维空间八节点六面体单元共计16个自由度；由有限 单元理论可知，三维实体单元，每节点只要三个自由度，则该有限单元模型，就 可完全反映所研究三维结构的所有运动形式(平动、扭转、弯曲)。因此用一个 仿照有限元“八节点六面体”的单元，来综合模拟直线滚动导轨可动结合部。

步骤2、建立节点位移与节点受力之间的关系，构建力学模型，力学模型采 用基于柔度影响系数的方法完成。这种建模方法将一维柔度影响系数推广到三维 柔度影响系数，不仅具有弹性-阻尼模型的优点而且还考虑了结合部单元各节点 之间的相互耦合，具有相对较好的精度。

步骤3、利用MATLAB中的lsqnonlin对力学模型的结合部的动力学参数求 解。

进一步地，步骤1中结合部为没有质量属性只有刚度和阻尼属性的单元。

进一步地，通过步骤1中节点的位移与其受力之间的关系，构建结合部的力 学模型，力学模型构建采用基于柔度影响系数的方法完成。

进一步地，节点的位移用八节点六面体单元上相应的两结点位移之差描述， 设各节点位移为x_ij，i＝1,2,…,7,8；j＝1,2，其中j＝1代表X方向的平动，j＝2 代表Z方向的平动。

进一步地，节点之间的受力用柔性弹簧简单描述，设各节点所受的力为f_ij。

进一步地，推导结合部有限单元的刚度矩阵参数

为刚度影响系数，表示在节点m与节点(m+4)的n方向产生单位相对位移， 所需要在i节点j方向施加的力，其中

表示节点号，

表示方向；

结合部的运动特性通过节点1与节点5、节点2与节点6、节点3与节点7、 节点4与节点8之间的相对运动表现出来，而这些节点之间的相对运动可表示为： x_1j-x_5j，x_2j-x_6j，x_3j-x_7j，x_4j-x_8j，j＝1，2；

平衡条件下相对应的两节点所受的力大小相等方向相反，因此f_1j＝-f_5j, f_2j＝-f_6j,f_3j＝-f_7j,f_4j＝-f_8j；

用矩阵描述节点力：{F}＝(f₁₁,f₁₂,f₂₁,f₂₂.....f₇₂,f₈₁,f₈₂)^T (1)

同样定义{X}＝(x₁₁,x₁₂,x₂₁,x₂₂.....x₇₂,x₈₁,x₈₂)^T，式(1)可描述为矩阵形式：

[K]×{X}＝{F} (2)

其中，[K]_16×16为结合部单元的刚度矩阵，并且具有以下两种性质：

①对称性；

②可分块性；

[k']为8×8矩阵；

[k']_8×8矩阵的具体表达式为：

确定[k']_8×8里面的45个独立变量的值，以确定结合部(III)单元的刚度矩 阵。在建立的滚动直线导轨副可动结合部单元的动力学模型中，结合部单元刚度 矩阵的参数

是未知的，需要寻求一种合适的且精度高的方法对其进行参数识 别。对

里面的参数进行研究发现里面共有45个独立变量需要识别，只要确 定了这45个值，就可以确定结合部的单元矩阵。

进一步地，确定[k']_8×8里面的45个独立变量的值的方法为非线性最小二乘的 迭代算法：

有阻尼多自由度线性振动系统的运动微分方程为：

其傅氏变换为：

-w²[M]{X(w)}+jw[C]{X(w)}+[K]{X(w)}＝{F(w)} (5)

为计算方便，定义[Z(w)]＝[K]+jw[C]-w²[M]，则式(5)可转换为：

[Z(w)]{X(w)}＝{F(w)} (6)

对于一个多自由度系统，在第j个自由度上进行激励，而在第i个自由度上 测量响应，便可得到频响函数H_ij(w)；

当i、j遍历1，2，……n时，共可得到n²个频响函数，他们构成一个n×n的 矩阵，即频响函数矩阵

对系统各个自由度上的激励谱和响应谱分别记为F_i(w)、X_i(w)，则它们分别 构成激励谱向量{F(w)}和响应谱向量{X(w)}，其中

那么系统的频响函数H(w)可以表示为

将(7)代入(6)得，

[Z(w)][H(w)]＝I (8)

固定激励点j，移动响应点i，采用单点激振、多点拾振(SIMO)方法进行锤 击实验测试时，可以测得各响应点i关于固定激励点j，即j固定，i＝1，2，…… n时的频响函数H_ij(w)，即为得到频响函数矩阵的第j列；

定义列矩阵

则式(8)又可写为：

[Z(w)][H_j(w)]＝I_j (9)

其中，I_j为单位矩阵的第j列，

j恒定展开得到

通过锤击实验，以外界激励频率w为参变量获得频响函数列向量，进而求出 整个系统m,c,k中的未知参数。从各矩阵的表达式可以看出，矩阵[Z(w)]与m,c,k有 关，因此频响函数[H(w)]也与m,c,k相关。频响函数是反映系统固有特性的量， 是以外界激励频率w为参变量的非参数模型，可以借助锤击实验获得，这是锤击 法进行模态实验的理论依据。

进一步地，整个系统包括结合部的模拟单元，进一步得到含有可动结合部的 整个系统的机械位移阻抗；

整个系统包括模型滑块，模型结合部，模型导轨，模型滑块与模型导轨之间 为模型结合部；

设模型滑块和模型导轨子结构的动力学方程为：

包含未知动力学参数的模型结合部的动力学方程为：

其中，[M_s],[C_s],[K_s]分别为两个子结构模型滑块、模型导轨的整体质量、阻 尼、刚度矩阵；[M_j],[C_j],[K_j]分别为反映模型结合部动力学特性的质量、阻尼、 刚度矩阵的未知量，[C_j]按粘性比例阻尼处理，[C_j]＝α[M_j]+β[K_j]；

通过有限元理论整体刚度矩阵的集成规则，可对(11)和(12)两个方程进 行组装，得到整体结构的动力学方程：

子结构模型滑块和模型导轨本身的阻尼相对于模型结合部的阻尼可以忽略 不计，即C_s＜＜C_j，并且模型结合面(2)质量亦可忽略，则[C_j]＝β[K_j]，式(13) 可以进一步简化为：

式(14)进行傅氏变换：

-w²[M_s]{X(w)}+jwβ[K_j]{X(w)}+[K_s+K_j]{X(w)}＝{F(w)} (15)

引入频响函数，进一步得到：

(-w²[M_s]+jwβ[K_j]+[K_s+K_j]){H(w)}＝[I] (16)

其中，机械结构的质量矩阵[M_S]和刚度矩阵[K_S]都可通过有限元模态分析获 得，求出模型结合部单元的刚度矩阵[K_j]。

进一步地，通过有限元理论整体刚度矩阵的集成规则进行矩阵组装及参数求 解的方法为：

将结合部的八结点六面体模拟单元的八个结点的编号放在整个有限元模型 的最前面，即Node 1～Node 8；

这八个结点每个结点只有两个自由度，而机械结构的每一个结点都有三个自 由度，先把16×16的矩阵，扩充为24×24的矩阵，其中被约束方向的自由度用 0表示，然后再把此24×24的矩阵扩充为与子结构刚度矩阵[K_S]同型，进行整 个结构矩阵的组装；

结合部矩阵扩充为矩阵K_J：

即：

其中，n＝24为整个结构自由度总数，K_J为结合面刚度刚度矩阵K_j扩充后的 矩阵；

当采用单点激振，多点拾振方法时，由式(16)可知

(-w²[M_s]+jwβ[K_j]+[K_s+K_j]){H_j(w)}＝[I_j] (17)

其中，{H_j(w)}、[I_j]分别为{H(w)}、[I]的第j列；

展开、整理得到：

式(18)中，左侧为未知量，右侧为常数列向量，定义

因结合面刚度矩阵的对称性原理

其中K₁为8×8的对称矩 阵；

取式(19)的第一行进行分析，并转为标准形式：

此方程中共有9个未知参数，包括一个比例阻尼系数β和8个刚度参数，求 解出这9个参数的值。

进一步地，求解式(20)中的9个未知参数值的方法为：

取不同的w值，得到不同的频响函数矩阵，从而得到不同的方程，可以表示 为：

其中p为w取值的个数，也是方程的个数；

得到了p个方程之后，其中p≥9，就可以求解出结合部(II)单元刚度矩阵 的第一行的8个参数；

然后再取出式(19)的第二行，按照第一行参数相同的求解方法进行求解， 只是由于刚度矩阵是对称阵，第二行的未知参数就只有7个，以此类推就可以求 出刚度矩阵中的所有未知参数，从而得到结合部的刚度矩阵。

进一步地，对结合部的刚度矩阵中的所求解的未知参数进行优化的方法为：

根据(20)式，定义方程f_p(k)：

由于阻尼系数β的存在，使得f_p(k)为非线性函数，采用非线性最小二乘法(lsqnonlin)对参数进行优化，进而求解最优动力学参数；

进一步地，求解最优动力学参数的方法为：

通过迭代算法，即从被估计参数的某一初值开始，产生一系列的参数估计值， 如果这个估计参数序列使目标函数收敛到极小，则认为寻找到最优解。

进一步地，寻找最优解的具体方法为：

通过MATLAB Optimization Toolbox中的非线性最小二乘法来进行参数的优 化估计；

由于模态试验得到的频率响应函数是复数，所以在参数求解时非线性函数 f_p(k)取模(abs)，目标函数为：

f(k)＝[abs(f₁(k)) abs(f₂(k)) abs(f₃(k)) … abs(f_p(k))]^T (23)

在MATLAB软件中使用最小二乘法求解f(k)时，目标函数表达为：

其中k为未知列向量，f(k)为函数列向量；

利用MATLAB中的lsqnonlin对结合部动力学参数求解；

进一步地，利用MATLAB中的lsqnonlin对结合部动力学参数求解的流程步 骤为：

步骤1：提取滚动导轨可动结合部的频率响应函数的列矩阵；

步骤2：选择属于可动结合部的多个列向量以及提取轨道和滑块的质量矩阵 和刚度矩阵和计算出可动结合部刚度矩阵初值导入算式；

步骤3：利用常数矩阵，系数矩阵，目标函数表达式，刚度矩阵的边界条件 得到参数；

步骤4：确定参数值；

步骤5：将参数值插入有限元模型；

步骤6：进行有限元模型的模态试验；

步骤7：得到限元模型的分析结果。

关于用于验证基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法有效性的 方法，包括以下步骤：

步骤1、采用单点激励多点响应的模态试验方法来获取其整体结构的频率响 应函数矩阵中的列向量。

步骤2、提取整体结构，即包含结合部的可靠、高精度的频响函数矩阵，采 集结合部单元刚度矩阵的动力学参数的原始数据。

步骤3、得到反映结合部特性的整体结构的前几阶固有频率和相应的模态振 型，进行参数识别结果的有限元仿真比较验证。

进一步地，用于步骤1中的滚动直线导轨副的模态试验所使用的导轨副试件 包括试件配重、导轨副滑块、导轨副的结合部，导轨副导轨和试件底座，试件配 重置于导轨副滑块上，导轨副滑块置于导轨副导轨之上，导轨副滑块与导轨副导 轨之间有一导轨副的结合部，导轨副滑块与导轨副导轨滑动连接，导轨副导轨下 面连接试件底座，试件底座的大小、材料都与试件配重一样。样的结构不仅能充 分的反映结合部的特征，而且试件结构简单，便于试验。

进一步地，导轨副试件被悬挂放置，导轨副的两边不与导轨副试件接触，以 模拟导轨副试件的自由几何边界条件。

进一步地，导轨副试件被钢丝绳悬挂，一般钢丝绳在滚动直线导轨副试件上 悬挂的位置选择在振幅较小的位置，最佳悬挂点应该是某阶振型的节点处。

进一步地，用于步骤1中模态试验方法的测试模型包括多个测试点，测试点 的多少与分布应该根据实体模型和试验需求决定。

进一步地，测试点的布置方法为：

把测试点在试件上按照一定程度地均匀分布，同时可以在关键区域布置更多 的测试点，测试点不靠近节点。试验模型测点越多，越能充分表征结构的固有模 态属性。不过试验测点的过度增多对表征结构的固有模态属性并没有太大的改善， 反而增加了测试的困难和任务量，同时测试点不应该靠近节点，这样的测试点得 到的信息才会有更高的信噪比。

进一步地，用于步骤1中模态试验方法的激励点选择为正好落在某阶模态的 反节点或者附近。

进一步地，步骤1中模态试验的具体方法为：试验采用铝制锤头，灵敏度设 置为0.25mV/N；带宽f_max取2048Hz，采样频率即为f_s＝2f_max取4096Hz，谱线数 L取2048，此时频率分辨率Δf＝f_max/L为05.Hz；

试验采取在锤击点的两个方向进行激振，即-Z和-X方向。

用力锤锤击试验试件获取激励，通过传感器连接试验试件将激励信息传导进 入LMS系统，再将LMS系统接入试验电脑，通过试验电脑处理并导出数据信息。

关于基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法有效性的验证方法 的模态测试系统，包括激振系统、拾振系统、数据采集与处理系统，三者电性连 接，数据采集与处理系统可以接收并处理激振系统和拾振系统传递的信息，数据 采集与处理系统使用的是LMS Test.Lab模态试验测试与分析系统，激振系统为 力锤激振系统，力锤激振系统使用的是脉冲力锤，拾振系统使用的是ICP三向加 速度传感器。

进一步地，力锤激振系统包括力锤传感器和第一电荷放大器，拾振系统包括 加速度传感器和第二电荷放大器，第一电荷放大器电性连接在力锤传感器和频谱 分析仪之间，第二电荷放大器电性连接在加速度传感器和频谱分析仪之间，频谱 分析仪与数据采集和数据处理系统电性连接。

本发明提供了适用于导轨结合部的八节点六面体模型，该模型在充分考虑结 合部各个节点之间的耦合关系的同时，将每个节点沿着导轨运动方向的自由度释 放，所建立的模型与导轨的实际运动及受力情况相吻合。并根据所建立的模型， 提出了相应的参数识别方法。通过搭建导轨结合部的实验平台，进行参数识别并 验证了模型的有效性。最后，采用所提出的方法，可以建立不同型号的滚动导轨 结合部动力学模型参数库，为滚动导轨结合部动力学模型在机床动力学建模中的 应用奠定基础。

附图说明

图1为导轨副可能的受力状态示意图。

图2为八节点六面体结合部单元示意图。

图3为结合部单元的等效动力学模型示意图。

图4为导轨可动结合部示意图。

图5为参数识别流程图。

图6为模态试验测试系统试验图。

图7为滚动直线导轨副模态试验试件截面图。

图8为LMS模态测试模型。

图9为实验模态与计算模态的比较示意图表。

附图标记:1I、滑块部；1II、导轨部；1III、结合部；1、模型滑块；2、模 型结合部；3、模型导轨；1a、试件配重；2a、导轨副滑块；3a、导轨副的结合 部；4a、导轨副导轨；5a、试件底座。

具体实施方式

一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法，如图1所示，零部 件在空间的六种受力状态分别是沿X、Y、Z轴线方向的力以及绕三个轴线方向的 力矩。由于滑块在沿导轨方向是工作方向，因此在受力分析时不在此方向上加力， 视为在此方向上固定约束。所以滚动直线导轨副可以有五种受力状态。

在这五种受力状态下滚动直线导轨副会产生相应的形变运动，分别为俯仰运 动、侧翻运动、偏航运动、上下运动和左右运动。当然其可动结合部也跟着整个 导轨副产生相应的变形运动，而且变形量更大，因为可动结合滚珠与沟槽接触处 为点接触，其刚度远小于导轨和滑块材料自身的刚度。由有限单元理论可知，三 维实体单元，每节点只要三个自由度，则该有限单元模型，就可完全反映所研究 三维结构的所有运动形式(平动、扭转、弯曲)。因此用一个仿照有限元“八节 点六面体”的单元，来综合模拟直线滚动导轨可动结合部。

如图2所示，滑块1I在导轨1II的上面，导轨1II与滑块1I之间为结合部 1III单元，而且这种结合部1III单元没有质量属性只有刚度和阻尼属性。每一 个结合部1III单元有8个节点，每个节点具有2个自由度(因为在沿导轨方向 视为约束)，因此一个单元共计16个自由度。结合部单元属性可以通过节点1 与5、节点2与6、节点3与7、节点4与8之间的相对运动表现出来。因此只 要能准确建立这些节点位移与节点受力之间的关系，就等于建立了其力学模型。

结合部结点位移可用两结合部单元上相应的结点位移之差描述，其模型构建 采用基于柔度影响系数的方法完成。这种建模方法将一维柔度影响系数推广到三 维柔度影响系数，不仅具有弹性-阻尼模型的优点而且还考虑了结合部单元各节 点之间的相互耦合，具有相对较好的精度。

如图3所示，该建模方法在在滚动直线导轨可动结合部上的应用，以及各节 点之间的受力用柔性弹簧简单描述，结合部单元1III只有刚度和阻尼属性无质 量属性。设各节点位移为x_ij，各节点所受的力为f_ij，i＝1,2,…,7,8；j＝1,2， 其中j＝1代表X方向的平动，j＝2代表Z方向的平动。

首先推导结合部有限单元的刚度矩阵。如前所述，结合部的运动特性通过节 点1与节点5、节点2与节点6、节点3与节点7、节点4与节点8之间的相对 运动表现出来，而这些节点之间的相对运动可表示为：x_1j-x_5j，x_2j-x_6j，x_3j-x_7j， x_4j-x_8j，j＝1，2。依据刚度影响系数法的物理意义，则有：

其中，

为刚度影响系数，其中

表示节点号，

表示方向。

的物理意义：仅在节点m与节点(m+4)的n方向产生单位相对位移， 而需要在i节点j方向所需施加的力。f_ij表示节点力,平衡条件下相对应的两节 点所受的力大小相等方向相反，因此f_1j＝-f_5j,f_2j＝-f_6j,f_3j＝-f_7j,f_4j＝-f_8j，用矩 阵描述节点力：{F}＝(f₁₁,f₁₂,f₂₁,f₂₂.....f₇₂,f₈₁,f₈₂)^T (1)

同样定义：{X}＝(x₁₁,x₁₂,x₂₁,x₂₂.....x₇₂,x₈₁,x₈₂)^T，式(1)可描述为矩阵形式：

[K]×{X}＝{F} (2)

其中[K]_16×16为结合部单元的刚度矩阵，并且具有以下两种性质：

①对称性。

②可分块性，

[k']为8×8矩阵。

因此只需要得到[k']_8×8的矩阵就能得到刚度矩阵[K]_16×16，而[k']_8×8矩阵的具体表达式为：

在建立的滚动直线导轨副可动结合部单元的动力学模型中，结合部单元刚度 矩阵的参数

是未知的，需要寻求一种合适的且精度高的方法对其进行参数识 别。对

里面的参数进行研究发现里面共有45个独立变量需要识别，只要确 定了这45个值，就可以确定结合部的单元矩阵。

有关固定机械结合部动力学参数识别的方法有很多，其中一种基于系统动力 学矩阵和频率响应函数的参数识别方法，它综合考虑了结合部的多种特性，能够 准确的反映结合部的相关特性，并且该方法已经在机床螺栓固定结合部的参数识 别中取得了很好的识别效果，基于上述基础，本发明结合实验模态分析所得的实 验值(频响函数列)与有限元分析的理论值(实体子结构的质量、刚度矩阵)， 以未知的结合面参数(结合面刚度矩阵、阻尼矩阵)为设计变量，以位移阻抗矩 阵和位移频响函数之积与单位矩阵之差最小为优化设计目标，通过非线性最小二 乘的迭代算法求解结合面动力学参数。

有阻尼多自由度线性振动系统的运动微分方程为：

其傅氏变换为：

-w²[M]{X(w)}+jw[C]{X(w)}+[K]{X(w)}＝{F(w)} (5)

为计算方便，定义[Z(w)]＝[K]+jw[C]-w²[M]，则式(5)可转换为：

[Z(w)]{X(w)}＝{F(w)} (6)

对于一个多自由度系统，仅在第j个自由度上进行激励，而在第i个自由度上测 量响应，便可得到频响函数H_ij(w)；当i、j遍历1，2，……n时，共可得到n²个 频响函数，他们构成一个n×n的矩阵，即频响函数矩阵

如果对系统各个自由度上的激励谱和响应谱分别记为F_i(w)、X_i(w)，则它们分 别构成激励谱向量{F(w)}和响应谱向量{X(w)}，其中

那么系统的频响函数H(w)可以表示为

将(7)代入(6)得，

[Z(w)][H(w)]＝I (8)

根据上述频响函数的物理定义可知：当我们固定激励点j，移动响应点i，采用 单点激振、多点拾振(SIMO)方法进行锤击实验测试时，可以测得各响应点i关 于固定激励点j的频响函数H_ij(w)(j固定，i＝1，2，……n)，也即可以得到频 响函数矩阵的第j列。不妨定义列矩阵

则式(8)又可写为：

[Z(w)][H_j(w)]＝I_j (9)

其中，I_j为单位矩阵的第j列，

j恒定展开得到

从各矩阵的表达式可以看出，矩阵[Z(w)]与m,c,k有关，因此频响函数[H(w)] 也与m,c,k相关。频响函数是反映系统固有特性的量，是以外界激励频率w为参 变量的非参数模型，可以借助锤击实验获得，这是锤击法进行模态实验的理论依 据。

根据上一节的参数识别方法推导可知，通过锤击试验得到整个结构系统的频 响函数列向量，进而求出整个系统m,c,k中的一些未知参数。而整个系统也包括 了结合部的模拟单元，因此需要先做的是要得到含有可动结合部的整个系统的机 械位移阻抗，如图4所示，模型滑块1与模型导轨3之间为可动模型结合部2。

设模型滑块1和模型导轨3子结构的动力学方程为：

包含未知动力学参数的结合部2的动力学方程为：

其中，[M_s],[C_s],[K_s]分别为两个子结构模型滑块1和模型导轨3的整体质量、 阻尼、刚度矩阵；[M_j],[C_j],[K_j]分别为反映结合面动力学特性的质量、阻尼、刚 度矩阵(未知量)，[C_j]按粘性比例阻尼处理，[C_j]＝α[M_j]+β[K_j]。

按照有限元理论整体刚度矩阵的集成规则，可对(11)和(12)两个方程进 行组装，得到整体结构的动力学方程：

子结构模型滑块1、模型导轨3本身的阻尼相对于模型结合部2的阻尼可以 忽略不计，即C_s＜＜C_j，并且模型结合部2质量亦可忽略，则[C_j]＝β[K_j]，式(13) 可以进一步简化为：

式(14)进行傅氏变换：

-w²[M_s]{X(w)}+jwβ[K_j]{X(w)}+[K_s+K_j]{X(w)}＝{F(w)} (15)

引入频响函数，进一步得到：

(-w²[M_s]+jwβ[K_j]+[K_s+K_j]){H(w)}＝[I] (16)

其中机械结构的质量矩阵[M_S]和刚度矩阵[K_S]都可通过有限元模态分析获 得，未知动力学参数只有结合部(1III)单元的刚度矩阵[K_j]，这就是我们所需 要求的动力学参数。为了方便与机械结构的矩阵组装及参数求解，本发明把结合 部的八结点六面体模拟单元的八个结点的编号放在整个有限元模型的最前面即 Node 1～Node 8。同时因为这八个结点每个结点只有两个自由度，而机械结构的 每一个结点都有三个自由度，为了矩阵的组装方便，先把16×16的矩阵，扩充 为24×24的矩阵，其中被约束方向的自由度用0表示，然后再把此24×24的矩 阵扩充为与子结构刚度矩阵[K_S]同型，方便整个结构矩阵的组装。结合部矩阵扩 充为矩阵K_J：

即：

其中，n＝24为整个结构自由度总数，K_J为结合面刚度刚度矩阵K_j扩充后的 矩阵。

当采用单点激振，多点拾振方法时，由式(16)可知

(-w²[M_s]+jwβ[K_j]+[K_s+K_j]){H_j(w)}＝[I_j] (17)

其中，{H_j(w)}、[I_j]分别为{H(w)}、[I]的第j列。

展开、整理得到：

式18中，左侧为未知量，右侧为常数列向量，定义

因结合面刚度矩阵的对称性原理，

其中K₁为8×8的对称 矩阵。取式(19)的第一行进行分析，并转为标准形式：

此方程中共有9个未知参数，包括一个比例阻尼系数β和8个刚度参数。如 果能求解出这9个参数的值，就至少需要9个等式方程。所以我们取不同的w 值，得到不同的频响函数矩阵，从而得到不同的方程。可以表示为：

其中p为w取值的个数，也是方程的个数。得到了p(p≥9)个方程之后， 就可以求解出结合部单元刚度矩阵的第一行的8个参数。然后再取出式(19)的 第二行，按照第一行参数相同的求解方法进行求解，只是由于刚度矩阵是对称阵， 第二行的未知参数就只有7个，以此类推就可以求出刚度矩阵中的所有未知参数， 从而得到结合部1III的刚度矩阵。

建立好方程等式之后对参数的识别过程就是被估参数的优化过程。根据(20) 式，定义方程f_p(k)：

由于阻尼系数β的存在，使得f_p(k)为非线性函数，采用非线性最小二乘法(lsqnonlin)对参数进行优化，进而求解最优动力学参数。非线性最小二乘法 是以误差的平方和最小为准则来优化非线性模型参数的一种参数估计方法。由于 非线性所以不能像线性最小二乘法用偏导数的方法求参数估计值，因此本发明采 用的是迭代算法，即从被估计参数的某一初值开始，产生一系列的参数估计值， 如果这个估计参数序列使目标函数收敛到极小，则认为寻找到最优解。

基于上述理论分析，本发明在参数求解时选择MATLAB Optimization Toolbox中的非线性最小二乘法(lsqnonlin)来进行参数的优化估计。由于模 态试验得到的频率响应函数是复数，所以在参数求解时非线性函数f_p(k)取模 (abs)，目标函数为：

f(k)＝[abs(f₁(k)) abs(f₂(k)) abs(f₃(k)) … abs(f_p(k))]^T (23)

在MATLAB软件中使用最小二乘法求解f(k)时，目标函数表达为：

其中k为未知列向量，f(k)为函数列向量。

利用MATLAB中的lsqnonlin对结合部动力学参数求解的流程图如图5所示， 其步骤为：

步骤1：提取滚动导轨可动结合部的频率响应函数的列矩阵；

步骤2：选择属于可动结合部的多个列向量以及提取轨道和滑块的质量矩阵 和刚度矩阵和计算出可动结合部刚度矩阵初值导入算式；

步骤3：利用常数矩阵，系数矩阵，目标函数表达式，刚度矩阵的边界条件 得到参数；

步骤4：确定参数值；

步骤5：将参数值插入有限元模型；

步骤6：进行有限元模型的模态试验；

步骤7：得到限元模型的分析结果。

基于滚动直线导轨副的模态试验还使用了参数识别验证有效性的方法：

上述对滚动直线导轨副的可动结合部参数识别的方法中，为了求解出结合部1III单元刚度矩阵的未知参数，我们需要得到其整体结构的频率响应函数矩阵 中的列向量，因此我们采用单点激励多点响应的(SIMO)模态试验方法来获取。

本发明对滚动直线导轨副进行模态试验的目的概括为两个方面：其一为提取 整体结构(包含结合部)的可靠、高精度的频响函数矩阵，为结合部单元刚度矩 阵的动力学参数识别提供原始数据。其二为得到反映结合部特性的整体结构的前 几阶固有频率和相应的模态振型，为基于参数识别结果的有限元仿真验证提供比 较基准。如图6所示，模态试验测试系统由3部分组成，即激振系统、拾振系统、 数据采集与处理系统。

实验过程中，数据采集与处理系统使用的是比利时的LMS Test.Lab模态试 验测试与分析系统，力锤激振系统使用的是美国PCB公司生产的086C04型脉冲 力锤，拾振系统使用的是美国PCB公司生产的356A16型ICP三向加速度传感器。 滚动直线导轨副的模态试验为了尽量减少其它因素的影响都是直接在导轨副的 滑块上进行测试，但是由于滚动直线导轨副滑块上的面积有限，测点比较少而且 不便于试验，难以充分的表征试件结构的固有模态属性，特别是结合部的变形形 态。本实验为加大滑块及导轨的面积，在滑块及导轨上连接相应配重，其试件设 计如图7所示，试件配重1a通过4个螺栓与滚动直线导轨副滑块2a紧密相连， 导轨副结合部3a位于导轨副导轨4a与导轨副滑块2a之间，导轨副导轨4a安装在试件底座5a上面，试件底座5a的大小、材料都与试件配重1a一样，通过螺 栓与导轨副导轨4a紧密相连。这样的结构不仅能充分的反映结合部的特征，而 且试件结构简单，便于试验。

在试验时为了更好的排除外界因素对滚动直线导轨副试件模态测试的干扰， 采取把导轨副试件用钢丝绳悬挂起来(导轨副的两边不与导轨副试件接触)，来 模拟导轨副试件的自由几何边界条件。一般钢丝绳在滚动直线导轨副试件上悬挂 的位置选择在振幅较小的位置，最佳悬挂点应该是某阶振型的节点处。

基于上述验证方法的LMS Test.Lab模态试验测试与分析系统，在进行模态 分析试验时，首先需要建立测试模型。测试模型由许多个测试点构成，测试点的 多少与分布应该根据实体模型和试验需求决定。一般情况下，比较好的方法是把 测试点在试件上按照某种程度地均匀分布，同时可以在关键区域更多的布置测试 点。试验模型测点越多，越能充分表征结构的固有模态属性。不过试验测点的过 度增多对表征结构的固有模态属性并没有太大的改善，反而增加了测试的困难和 任务量，同时测试点不应该靠近节点，这样的测试点得到的信息才会有更高的信 噪比。本文在进行测试时，导轨及其底座总共布置了56个测试点，滑块及其配 重总共布置了52个测试点，整个滚动直线导轨副试件布置了108个测试点，但 是由于滑块及其配重组件的最下面的4个点无法测量，所以总共测试的点数为104个，其LMS模态测试模型如图8所示。

建立好模态试验的测试模型后，下一步是进行试验的参数设置和激励点的选 择。激励点选择的原则是以能有效激起各阶模态，若激振点正好落在某阶模态的 反节点或者附近，则激励力就能有效地激起该阶的模态。试验采用铝制锤头，灵 敏度设置为0.25mV/N；带宽f_max取2048Hz，采样频率即为f_s＝2f_max取4096Hz， 谱线数L取2048，此时频率分辨率Δf＝f_max/L为05.Hz。为了能激发出滚动直线 导轨副更多的模态，试验采取在锤击点的两个方向进行激振，-Z和-X方向。

完成整个滚动直线导轨副试验104个点的锤击模态测试之后，用LMS软件包 自带的数据处理分析系统Modal Analysis进行模态分析，以LGS20H为例，其试 验模态分析结果如图9所示。

通过对滚动直线导轨副的锤击模态试验得到了四阶模态，分别为第一阶侧翻 运动模态，固有频率为225.989Hz；第二阶偏航运动模态，固有频率为：468.007Hz； 第三阶俯仰运动模态，固有频率为：616.490Hz；第四阶上下运动模态，固有频 率为：1392.187Hz。模态测试完成后，提取相应的频响函数列进行可动结合部单 元刚度矩阵的识别，按照图5所示的参数识别流程图进行可动结合部单元刚度矩 阵的识别，其识别结果为：

由于Y方向为滚动直线导轨副的工作运动方向，在分析时视为固定约束，所 以在刚度矩阵中其值为0。

表1 16组导轨副的试验和计算结果

其他类型的滚动直线导轨副按照上述处理方法，分别得到了模态试验的结果 和参数识别有限元计算的结果，如表1所示。根据上面的试验结果和计算结果可 以看出，平均误差在10％左右，计算结果和试验结果比较吻合。但少数试验误差 相对较大，如LG25H的第一阶侧翻模态、LG30的第三阶俯仰模态、LG35的第三 阶俯仰模态等。分析其原因主要是可能是其一为试件中除了有滚动导轨副的可动 结合部之外，导轨与底座、滑块与配重之间两个固定结合部的存在对其影响较大， 同时由于导轨底面和滑块顶面的都有凹槽，使得和底座和配置并不能完全的接触， 其影响就更大了。其二是由于直线滚动导轨副的高度较小(底座和配重之间的距 离)，使得在测试可动结合部的点的时候，传感器不能贴到与模型相应的准确位 置，只能在测试点的附近位置，从而产生了测试误差，从而对结果产生了影响。其三是由于滑块几何尺寸太小(无法贴传感器)，因而无法得到该部分的频响函 数，所以本文在测试模型和有限元模型中都忽略了这部分，而实测信号包含了整 个滚动直线导轨副试件，从而对识别结果产生了影响。

以上对本发明的具体实施实例进行了详细的阐述，但本发明并不限制与以上 描述的具体实施例，其只作为范例。任何等同修改和替代也都在本发明的范畴之 中。因此，在不脱离本发明的精神和范围下所作出的均等变换和修改，都应涵盖 在本发明的范围内。

本发明提供了适用于导轨结合部的八节点六面体模型，该模型在充分考虑结合部各个节点之间的耦合关系的同时，将每个节点沿着导轨运动方向的自由度释放， 所建立的模型与导轨的实际运动及受力情况相吻合。并根据所建立的模型，提出 了相应的参数识别方法。通过搭建导轨结合部的实验平台，进行参数识别并验证 了模型的有效性。最后，采用所提出的方法，可以建立不同型号的滚动导轨结合 部动力学模型参数库，为滚动导轨结合部动力学模型在机床动力学建模中的应用 奠定基础。

Claims (10)

1.一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法，包括以下步骤：

步骤1、构建模拟直线滚动导轨的计算模型，所述计算模型包括滑块部(1I)、导轨部(1II)和导轨与滑块之间的结合部(1III)，所述滑块部(1I)下面为结合部(1III)，所述结合部(1III)下面为导轨部(1II),所述结合部(1III)为三维空间八节点六面体单元的有限元，所述结合部(1III)为没有质量属性只有刚度和阻尼属性的单元,沿导轨方向视为约束，其中，每个节点具有2个自由度，一个三维空间八节点六面体单元共计16个自由度；

步骤2、建立节点位移与节点受力之间的关系，构建力学模型，所述力学模型采用基于柔度影响系数的方法完成，所述节点的位移用所述八节点六面体单元上相应的两结点位移之差描述，设各节点位移为x_ij，i＝1,2,…,7,8；j＝1,2，其中j＝1代表X方向的平动，j＝2代表Z方向的平动，所述节点之间的受力用柔性弹簧简单描述，设各节点所受的力为f_ij；

步骤3、利用MATLAB中的lsqnonlin对所述力学模型的结合部(1II)的动力学参数求解。

2.如权利要求1所述的一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法，其特征在于，推导所述结合部(1III)有限单元的刚度矩阵参数

为刚度影响系数，表示在节点m与节点(m+4)的n方向产生单位相对位移，所需要在i节点j方向施加的力，其中

表示节点号，

表示方向；

结合部(1III)的运动特性通过节点1与节点5、节点2与节点6、节点3与节点7、节点4与节点8之间的相对运动表现出来，而这些节点之间的相对运动可表示为：x_1j-x_5j，x_2j-x_6j，x_3j-x_7j，x_4j-x_8j，j＝1，2；

平衡条件下相对应的两节点所受的力大小相等方向相反，因此f_1j＝-f_5j,f_2j＝-f_6j,f_3j＝-f_7j,f_4j＝-f_8j；

用矩阵描述节点力：{F}＝(f₁₁,f₁₂,f₂₁,f₂₂.....f₇₂,f₈₁,f₈₂)^T (1)

同样定义{X}＝(x₁₁,x₁₂,x₂₁,x₂₂.....x₇₂,x₈₁,x₈₂)^T，式(1)可描述为矩阵形式：

[K]×{X}＝{F} (2)

其中，[K]_16×16为结合部(1III)单元的刚度矩阵；

[k']为8×8矩阵；

[k']_8×8矩阵的具体表达式为：

确定[k']_8×8里面的多个独立变量的值，以确定结合部(III)单元的刚度矩阵。

3.如权利要求2所述的一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法，其特征在于，确定所述[k']_8×8里面的45个独立变量的值的方法为非线性最小二乘的迭代算法：

有阻尼多自由度线性振动系统的运动微分方程为：

其傅氏变换为：

-w²[M]{X(w)}+jw[C]{X(w)}+[K]{X(w)}＝{F(w)} (5)

为计算方便，定义[Z(w)]＝[K]+jw[C]-w²[M]，则式(5)可转换为：

[Z(w)]{X(w)}＝{F(w)} (6)

对于一个多自由度系统，在第j个自由度上进行激励，而在第i个自由度上测量响应，便可得到频响函数H_ij(w)；

当i、j遍历1，2，……n时，共可得到n²个频响函数，他们构成一个n×n的矩阵，即频响函数矩阵

对系统各个自由度上的激励谱和响应谱分别记为F_i(w)、X_i(w)，则它们分别构成激励谱向量{F(w)}和响应谱向量{X(w)}，其中

那么系统的频响函数H(w)可以表示为

将(7)代入(6)得，

[Z(w)][H(w)]＝I (8)

固定激励点j，移动响应点i，采用单点激振、多点拾振方法进行锤击实验测试时，可以测得各响应点i关于固定激励点j，即j固定，i＝1，2，……n时的频响函数H_ij(w)，即为得到频响函数矩阵的第j列；

定义列矩阵

则式(8)又可写为：

[Z(w)][H_j(w)]＝I_j (9)

其中，I_j为单位矩阵的第j列，

j恒定展开得到

通过锤击实验，以外界激励频率w为参变量获得频响函数列向量，进而求出整个系统m,c,k中的未知参数。

4.如权利要求3所述的一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法，其特征在于，所述整个系统包括结合部的模拟单元，进一步得到含有可动结合部的整个系统的机械位移阻抗；

整个系统包括模型滑块(1)，模型结合部(2)，模型导轨(3)，所述模型滑块(1)与模型导轨(3)之间为模型结合部(2)；

设模型滑块(1)和模型导轨(3)子结构的动力学方程为：

包含未知动力学参数的模型结合部(2)的动力学方程为：

其中，[M_s],[C_s],[K_s]分别为两个子结构模型滑块(1)、模型导轨(3)的整体质量、阻尼、刚度矩阵；[M_j],[C_j],[K_j]分别为反映模型结合部(2)动力学特性的质量、阻尼、刚度矩阵的未知量，[C_j]按粘性比例阻尼处理。

[C_j]＝α[M_j]+β[K_j]；

通过有限元理论整体刚度矩阵的集成规则，可对(11)和(12)两个方程进行组装，得到整体结构的动力学方程：

子结构模型滑块(1)和模型导轨(3)本身的阻尼相对于模型结合部(2)的阻尼可以忽略不计，即C_s＜＜C_j，并且模型结合面(2)质量亦可忽略，则[C_j]＝β[K_j]，式(13)可以进一步简化为：

式(14)进行傅氏变换：

-w²[M_s]{X(w)}+jwβ[K_j]{X(w)}+[K_s+K_j]{X(w)}＝{F(w)} (15)

引入频响函数，进一步得到：

(-w²[M_s]+jwβ[K_j]+[K_s+K_j]){H(w)}＝[I] (16)

其中，机械结构的质量矩阵[M_S]和刚度矩阵[K_S]都可通过有限元模态分析获得，求出结合部(1III)单元的刚度矩阵[K_j]。

5.如权利要求4所述的一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法，其特征在于，通过所述有限元理论整体刚度矩阵的集成规则进行矩阵组装及参数求解的方法为：

将结合部(1III)的八结点六面体模拟单元的八个结点的编号放在整个有限元模型的最前面，即Node 1～Node 8；

这八个结点每个结点只有两个自由度，而机械结构的每一个结点都有三个自由度，先把16×16的矩阵，扩充为24×24的矩阵，其中被约束方向的自由度用0表示，然后再把此24×24的矩阵扩充为与子结构刚度矩阵[K_S]同型，进行整个结构矩阵的组装；

结合部(1III)单元矩阵扩充为矩阵K_J：

即：

其中，n＝24为整个结构自由度总数，K_J为结合部(1III)单元刚度刚度矩阵K_j扩充后的矩阵；

当采用单点激振，多点拾振方法时，由式(16)可知

(-w²[M_s]+jwβ[K_j]+[K_s+K_j]){H_j(w)}＝[I_j] (17)

其中，{H_j(w)}、[I_j]分别为{H(w)}、[I]的第j列；

展开、整理得到：

式(18)中，左侧为未知量，右侧为常数列向量，定义

其中K₁为8×8的对称矩阵；

取式(19)的第一行进行分析，并转为标准形式：

此方程中共有9个未知参数，包括一个比例阻尼系数β和8个刚度参数，求解出这9个参数的值。

6.如权利要求5所述的一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法，其特征在于，求解式(20)中的9个未知参数值的方法为：

取不同的w值，得到不同的频响函数矩阵，从而得到不同的方程，可以表示为：

其中p为w取值的个数，也是方程的个数；

得到了p个方程之后，其中p≥9，就可以求解出结合部(1III)单元刚度矩阵的第一行的8个参数；

然后再取出式(19)的第二行，按照第一行参数相同的求解方法进行求解，只是由于刚度矩阵是对称阵，第二行的未知参数就只有7个，以此类推就可以求出刚度矩阵中的所有未知参数，从而得到结合部(1III)单元的刚度矩阵。

7.如权利要求6所述的一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法，其特征在于，对结合部(1III)单元的刚度矩阵中的所求解的未知参数进行优化的方法为：

根据(20)式，定义方程f_p(k)：

由于阻尼系数β的存在，使得f_p(k)为非线性函数，采用非线性最小二乘法对参数进行优化，进而求解最优动力学参数。

8.如权利要求7所述的一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法，其特征在于，求解所述最优动力学参数的方法为：

通过迭代算法，即从被估计参数的某一初值开始，产生一系列的参数估计值，如果这个估计参数序列使目标函数收敛到极小，则认为寻找到最优解。

9.如权利要求8所述的一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法，其特征在于，所述寻找最优解的具体方法为：

通过MATLAB Optimization Toolbox中的非线性最小二乘法来进行参数的优化估计；

由于模态试验得到的频率响应函数是复数，所以在参数求解时非线性函数f_p(k)取模运算，目标函数为：

f(k)＝[abs(f₁(k)) abs(f₂(k)) abs(f₃(k))…abs(f_p(k))]^T (23)

在MATLAB软件中使用最小二乘法求解f(k)时，目标函数表达为：

其中k为未知列向量，f(k)为函数列向量；

利用MATLAB中的lsqnonlin对结合部动力学参数求解。

10.如权利要求9所述的一种基于滚动直线导轨可动结合部的模态参数识别方法，其特征在于，所述利用MATLAB中的lsqnonlin对结合部动力学参数求解的流程步骤为：

步骤1：提取滚动导轨可动结合部的频率响应函数的列矩阵；

步骤2：选择属于可动结合部的多个列向量以及提取轨道和滑块的质量矩阵和刚度矩阵和计算出可动结合部刚度矩阵初值导入算式；

步骤3：利用常数矩阵，系数矩阵，目标函数表达式，刚度矩阵的边界条件得到参数；

步骤4：确定参数值；

步骤5：将参数值插入有限元模型；

步骤6：进行有限元模型的模态试验；

步骤7：得到限元模型的分析结果。

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