CN111283682B - 一种4-upu并联机器人正向运动学的几何投影解法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种针对4‑UPU并联机器人正向运动学的几何投影解法，属于并联机器人运动学正解研究领域。该方法中，建立基坐标与动坐标系，通过基坐标系与动坐标系确定4‑UPU并联机器人结构参数，并建立逆运动学模型。将4‑UPU的正解运动分解描述在两个投影平面的，通过求解四边形内角和边长，获得正运动学模型。该方法将正解模型求解转化为平面几何问题，有效提升了计算效率，且在工作空间内正解结果唯一，能够为4‑UPU并联机器人运动实时控制提供一种新的正解处理方法。

Description

一种4-UPU并联机器人正向运动学的几何投影解法

技术领域

本发明属于并联机器人运动学正解方法研究领域，尤其涉及一种4-UPU四自由度并联机器人正向运动学的几何投影解法。

背景技术

并联机器人的运动学分析包括正运动学问题和逆运动学问题，逆运动问题定义是已知动平台的位置和姿态信息，求解若干个独立的输入运动，对于并联机器人而言，多个输入运动的表达式是独立的，能并行计算，快速求解。正运动学问题则是已知多个输入条件下，求解动平台的位置和姿态，不论六自由度机器人还是少自由度机器人，机构都存在一定程度的耦合现象，这就导致并联机器人正运动学解不具备封闭形式和唯一解。运动学分析是实现运动控制的基础，因此解决正运动学问的求解一直是并联机器人领域研究热点之一。

运动学正解方法主要有数值解和解析法。数值方法最大的优点是建模简单，常用的方法就是Newton-Raphson法，其本质是将非线性的方程组转换为线性方程组求解，其迭代值的收敛性受机构的奇异位置影响较大，当机构靠近奇异位形，方程组的解容易发散，所以适当的初值选取很重要。也有人采用诸如遗传算法、蚁群算法和神经网络算法等来求解运动学正解，也可以获得唯一解。但这些优化算法本质上都是不断逼近真实解的过程，因而计算耗时较长，不适用于实时控制的需要。解析法常用代数消元法、连续法、区间分析法等，这些方法本质上是寻找一个高阶多项式方程的所有可能解，该过程不仅需要消耗大量的计算时间，还需要分析这些解能否确定并联机构唯一真实的位置和姿态。

4-UPU四自由度并联机器人正运动学的求解同样存在上述问题，因此亟需寻找一种方法来快速的求解该并联机器人正运动学问题，且求解结果唯一，以使得该方法能够适用于4-UPU四自由度并联机器人闭环反馈实时控制中。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术存在的不足，提供一种具有高效计算速度的并联机器人正向运动学的解法，且求解结果唯一。

为解决上述问题，本发明采用的技术手段为一种4-UPU四自由度并联机器人正向运动学的几何投影解法，该方法的实现过程如下：

S1.建立基座ABCD的基坐标系O-XYZ与动平台abcd的动坐标系o-xyz，通过基坐标系与动坐标系确定机器人结构参数，并建立逆运动学模型；

S2.将4-UPU四自由度并联机器人沿平面OCco划分为两个平面，分别是平面ABba和平面OCco在XZ平面的投影平面O'C'co；

S3.对于平面ABba，AB始终平行于ab，根据四边形的几何关系，建立以d₁、d₂、m、M为变量的等式，得到α和oB，进而得到α₁；其中，d₁、d₂为支链移动副长度，M、m分别代表基座ABCD和动平台abcd中AB和ab的长度，α代表平面ABba中∠ABb的角度，oB代表平面ABba的中间变量的长度，α₁代表平面ABba中∠Bba的角度；

S4.根据四边形几何关系，建立以d₁、d₂、m、M、oB为变量的五元二次方程组，采用MATLAB中“SOLVE”函数求解此方程组，得到α₃和Oo；其中，α₃代表平面ABba中∠BOo的角度，Oo代表平面ABba的辅助边Oo的长度；

S5.平面OCco在XZ平面的投影平面O′C'co，其投影角度取决于α₃的角度，那么由直角三角形的边长和内角的关系，求解得到O'o和C'c；其中，d₃代表支链移动副的长度，O′o代表投影平面O'C'co中O'o边的长度，C'c代表投影平面O'C'co中C'c边的长度；

S6.投影平面O'C'co中的O'C'、C'c、co、O'o、Ψ′均已知，求得投影平面O′C′co中∠C′O′o和γ；连接O′c，由三角形余弦定理得到O′c的长度和γ的角度；其中，N代表投影平面O′C′co的O′C′边的长度，n代表投影平面O′C′co的co边的长度，Ψ′代表转动驱动副的转动角度；

S7.投影平面O′C′co的∠C′O′o分解为∠cO′o和∠C′O′c，而∠cO′o和∠C'O′c又分别属于△oO′c和△cO′C′的内角，再次使用三角形余弦定理可以得到∠C′O′o、∠cO′o和∠C′O'c的角度：

S8.以Oo、α、∠C'O'o、γ为变量，由四边形的几何关系得到4-UPU四自由度并联机器人的动平台o点在基坐标系中的位置和姿态矢量[x，y，z，θ]。

本发明的有益效果在于基于几何投影描述方法将4-UPU并联机器人的运动学正解问题转化为求解两个平面的内角和边长问题，将空间运动分解为平面运动，为4-UPU四自由度并联机器人的实时运动控制提供一定的方法支撑。该方法有效提升了计算效率，且求解结果唯一。

附图说明

图1是本发明的4-UPU四自由度并联机器人几何图。

图2是本发明的4-UPU四自由度并联机器人等效几何简化图。

图3是本发明的平面Abba示意图。

图4是本发明的投影平面O'C'co示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

本发明公开一种4-UPU四自由度并联机器人正向运动学的几何投影解法，针对该方法，提供的一种实施例包括以下步骤：

S1.建立基座ABCD的基坐标系O-XYZ与动平台abcd的动坐标系o-xyz，通过基坐标系与动坐标系确定机器人结构参数，并建立逆运动学模型。其中A、B、C、D分别为基座的四个角端点所在点，a、b、c、d分别为动平台的四个角端点所在点。

如图1、图2、图3和图4所示，已知4-UPU四自由度并联机器人结构参数和动平台o点的位置和姿态(x，y，z，θ)，根据坐标系转换关系，可建立如下方程：

(X_j,Y_j,Z_j)＝T(x_j,y_j,z_j) (1)

式(1)和式(2)中，T为动坐标系向基坐标系的齐次变换矩阵，x_j,y_j,z_j为动坐标系坐标，X_j,Y_j,Z_j为基坐标系坐标，动平台端点a,b,c,o由动坐标系向基坐标系的变换：

等式(3)中^Oa,^Ob,^Oc,^Oo和^oa,^ob,^oc,^oo对应于动平台的端点在基坐标系和动坐标系中的坐标，进一步的，得并联机构各支链长度Aa,Bb,Cc及基坐标系O点到动坐标系o点距离的距离Oo为：

式(4)中，^OA,^OB,^OC,^OO表示基座端点A,B,C,O在基坐标系的坐标；

联立式(1)～(4)，并运用三角形定理，便可以的得到4-UPU并联机构的逆运动学解：

S2.将4-UPU四自由度并联机器人沿平面OCco划分为两个平面，分别是平面ABba和平面OCco在XZ平面的投影平面O'C'co。

S3.对于平面ABba，AB始终平行于ab，根据四边形的几何关系，建立以d₁、d₂、m、M为变量的等式，得到α和oB，进而得到α₁；其中，d₁、d₂为支链移动副长度，M、m分别代表基座ABCD和动平台abcd中AB和ab的长度，α代表平面ABba中∠ABb的角度，oB代表平面ABba的中间变量的长度，α₁代表平面ABba中∠Bba的角度。求解α、oB和α₁的值。

如图3所示，根据几何描述建立以下关系式组：

d₁、d₂、m、M在正运动学模型中为已知参数；

S4.根据四边形几何关系，建立以d₁、d₂、m、M、oB为变量的五元二次方程组，采用MATLAB中“SOLVE”函数求解此方程组，得到α₃和Oo；其中，α₃代表平面ABba中∠BOo的角度，Oo代表平面ABba的辅助边Oo的长度。针对求解α₃的角度和Oo的角度长度建立的五元二次方程组。

如图3所示，根据几何描述建立以下关系式组：

oB已通过式(6)求解得到，采用MATLAB中“SOLVE”函数求解此方程组会得到四组解析解，但通过判断符合物理条件仅有一组：

S5.平面OCco在XZ平面的投影平面O′C'co，其投影角度取决于α₃的角度，那么由直角三角形的边长和内角的关系，求解得到O'o和C'c；其中，d₃代表支链移动副的长度，O'o代表投影平面O'C′co中O′o边的长度，C′c代表投影平面O′C′co中C′c边的长度。计算O′o和C′c的长度。

如图2和图4所示，由直角三角形的边长和内角的关系，可以得到表达式：

d₃为正运动学模型中为已知参数，α₃和Oo已通过式(7)求解得到；

S6.至此，投影平面O′C′co中的O′C′、C′c、co、O′o、Ψ′均已知，求得投影平面O′C′co中∠C′O′o和γ；连接O′c，由三角形余弦定理得到O′c的长度和γ的角度；其中，N代表投影平面O′C′co的O′C′边的长度，n代表投影平面O′C′co的co边的长度，Ψ′代表转动驱动副S₄₅的转动角度。计算O′c的长度和γ的角度。

如图4所示，由三角形余弦定理得到表达式：

N、n和Ψ′在正运动学模型中为已知参数，O′o和C′c已在式(9)求解得到；

S7.投影平面O′C'co的∠C'O'o分解为∠cO'o和∠C'O'c，而∠cO'o和∠C'O'c又分别属于△oO'c和△cO'C'的内角，再次使用三角形余弦定理可以得到∠C'O'o、∠cO'o和∠C'O'c的角度。计算∠C′O'o、∠cO′o和∠C'O′c的角度。

如图4所示，由三角形余弦定理得到表达式：

O′c已在式(10)求解得到；

S8.以Oo、α、∠C′O′o、γ为变量，由四边形的几何关系得到4-UPU四自由度并联机器人的动平台o点在基坐标系中的位置和姿态矢量[x，y，z，θ]。计算动平台位置和姿态[x，y，z，θ]的值。

如图2、图3和图4所示，根据四边形的几何关系得到表达式：

通过以上求解得到运动学唯一正解。

应用示范

为了验证4-UPU四自由度并联机器人正运动学解法的正确性和唯一性。取基座M＝374mm，N＝680mm，动平台m＝330mm，n＝365mm，未标明单位的物理量均采用国际单位制SI，随机选取若干驱动副d₁,d₂,d₃和Ψ'的值，对应运动学正解见表1。

表1：4-UPU四自由度并联机器人的运动学正解

Claims (8)

1.一种4-UPU四自由度并联机器人正向运动学的几何投影解法，其中的4-UPU四自由度并联机器人包含基座、动平台，动平台通过4个运动支链连接基座，其特征在于，该几何投影解法的实现过程如下：

S1.建立基座ABCD的基坐标系O-XYZ与动平台abcd的动坐标系o-xyz，通过基坐标系与动坐标系确定机器人结构参数，并建立逆运动学模型；

S2.将4-UPU四自由度并联机器人沿平面OCco划分为两个平面，分别是平面ABba和平面OCco在XZ平面的投影平面O'C'co；

S3.对于平面ABba，AB始终平行于ab，根据四边形的几何关系，建立以d₁、d₂、m、M为变量的等式，得到α和oB，进而得到α₁；其中，d₁、d₂为支链移动副长度，M、m分别代表基座ABCD和动平台abcd中AB和ab的长度，α代表平面ABba中∠ABb的角度，oB代表平面ABba的中间变量的长度，α₁代表平面ABba中∠Bba的角度；

S4.根据四边形几何关系，建立以d₁、d₂、m、M、oB为变量的五元二次方程组，采用MATLAB中“SOLVE”函数求解此方程组，得到α₃和Oo；其中，α₃代表平面ABba中∠BOo的角度，Oo代表平面ABba的辅助边Oo的长度；

S5.平面OCco在XZ平面的投影平面O′C′co，其投影角度取决于α₃的角度，那么由直角三角形的边长和内角的关系，求解得到O'o和C'c；其中，d₃代表支链移动副的长度，O'o代表投影平面O'C′co中O′o边的长度，C′c代表投影平面O'C'co中C′c边的长度；

S6.投影平面O′C'co中的O'C'、C'c、co、O'o、Ψ'均已知，再求得投影平面O'C'co中∠C'O'o和γ；连接O'c，由三角形余弦定理得到O′c的长度和γ的角度；其中，N代表投影平面O'C'co的O'C′边的长度，n代表投影平面O′C′co的co边的长度，Ψ′代表转动驱动副的转动角度；γ代表∠O′oC；

S7.投影平面O′C′co的∠C′O′o分解为∠cO′o和∠C′O'c，而∠cO'o和∠C'O'c又分别属于△oO'c和△cO'C′的内角，再次使用三角形余弦定理得到∠C′O′o、∠cO′o和∠C'O'c的角度：

S8.以Oo、α、∠C'O′o、γ为变量，由四边形的几何关系得到4-UPU四自由度并联机器人的动平台o点在基坐标系中的位置和姿态矢量[x，y，z，θ]。

2.根据权利要求1所述的4-UPU四自由度并联机器人正向运动学的几何投影解法，其特征在于：S1确定4-UPU四自由度并联机器人结构参数并建立逆运动学模型中，

已知4-UPU四自由度并联机器人结构参数和动平台o点的位置和姿态(x，y，z，θ)，根据坐标系转换关系，建立如下方程：

(X_j,Y_j,Z_j)＝T(x_j,y_j,z_j) (1)

式(1)和式(2)中，T为动坐标系向基坐标系的齐次变换矩阵，x_j,y_j,z_j为动坐标系坐标，X_j,Y_j,Z_j为基坐标系坐标，动平台端点a,b,c,o由动坐标系向基坐标系的变换：

等式(3)中^Oa,^Ob,^Oc,^Oo和^oa,^ob,^oc,^oo对应于动平台的端点在基坐标系和动坐标系中的坐标，进一步的，得并联机构各支链长度Aa,Bb,Cc及基坐标系O点到动坐标系o点距离的距离Oo为：

式(4)中，^OA,^OB,^OC,^OO表示基座端点A,B,C,O在基坐标系的坐标；

联立式(1)～(4)，并运用三角形定理，得到4-UPU并联机构的逆运动学解：

3.根据权利要求2所述的4-UPU四自由度并联机器人正向运动学的几何投影解法，其特征在于：S3中求解α、oB和α₁的值，

根据几何描述建立以下关系式组：

d₁、d₂、m、M在正运动学模型中为已知参数。

4.根据权利要求3所述的4-UPU四自由度并联机器人正向运动学的几何投影解法，其特征在于：S4中针对求解α₃和Oo建立的五元二次方程组，

根据几何描述建立以下关系式组：

oB已通过式(6)求解得到，采用MATLAB中“SOLVE”函数求解此方程组得到四组解析解，但通过判断符合物理条件仅有一组：

5.根据权利要求4所述的4-UPU四自由度并联机器人正向运动学的几何投影解法，其特征在于：S5中计算O'o和C'c的长度，

由直角三角形的边长和内角的关系，得到表达式：

d₃为正运动学模型中为已知参数，α₃和Oo已通过式(7)求解得到。

6.根据权利要求5所述的4-UPU四自由度并联机器人正向运动学的几何投影解法，其特征在于：S6中计算O'c的长度和γ的角度，

由三角形余弦定理得到表达式：

N、n和Ψ'在正运动学模型中为已知参数，O'o和C'c已在式(9)求解得到。

7.根据权利要求6所述的4-UPU四自由度并联机器人正向运动学的几何投影解法，其特征在于：S7中计算∠C'O'o、∠cO'o和∠C'O'c的角度，

由三角形余弦定理得到表达式：

O'c已在式(10)求解得到。

8.根据权利要求7所述的4-UPU四自由度并联机器人正向运动学的几何投影解法，其特征在于：S8中计算[x，y，z，θ]的值，

根据四边形的几何关系得到表达式：

通过以上求解得到运动学唯一正解。

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