CN111209523A - 适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供一种适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，针对大偏心率轨道计算，提出了一种通过时间变换构造插值基点的新方法，构造出的非均匀插值基点配合插值多项式内插得到密集星历，该技术方案可显著提高计算效率和精度。本发明基于大规模数值实验，给出了对应于不同轨道偏心率和多种插值多项式的时间变换参数的最佳普适数值为0.3。此外，本发明还在时间变换参数取最佳普适数值的条件下，通过比较多种插值多项式的计算效率，确定Hermite插值多项式是一种较好的方法。

Description

适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法
技术领域
本发明属于天体测量和天体力学领域，具体为通过高精密数值方法的合理运用，解决空间目标探测和编目工作中涉及的大偏心率目标精密轨道计算时效性不足的问题，提供一种适用于大偏心率运动目标编目计算的兼具高精度和快速处理的有效技术手段。
背景技术
空间目标的编目和管理涉及复杂的轨道计算工作，处理大量空间目标时除要求轨道计算精度满足掌控目标运动态势的需求外，还需重点考虑计算效率问题。编目工作对轨道计算效率的最低要求是确保轨道计算的整体处理时间不大于观测设备的数据采集时间，以避免产生观测数据积压的瓶颈效应，使编目过程难以持续。当前编目工作中广泛采用的分析方法[Hoots F R，Roehrich R L.Models for propagation of NORAD element sets[R].AEROSPACE DEFENSE COMMAND PETERSON AFB CO OFFICE OF ASTRODYNAMICS，1980；刘林.航天器轨道理论[M].北京：国防工业出版社，2000]，相比数值方法能更好地满足时效性要求，但随着观测技术的发展，它的轨道计算精度(模型误差数百米)并不能与当前的观测精度(雷达测距精度优于20米、光学测角精度优于10角秒)相匹配，从而不能达到理想的编目定轨精度，因此数值方法在编目工作中具有潜在的应用价值。
数值方法能实现较高的轨道计算精度，但轨道力学模型即积分右函数较为复杂。在编目工作的轨道计算过程中普遍涉及密集星历的产生和计算问题，如基于密集观测资料(采样频率≥1Hz)进行轨道改进和密集点位预报，因星历点分布密集，积分步长不能得到充分伸展，右函数计算次数大大增加，严重降低数值方法的计算效率，避免这一问题的有效技术手段就是运用内插方法。
目前针对密集星历产生已存在多种内插方法[雷雨，赵丹宁，等.基于滑动式Lagrange插值方法的GPS精密星历内插分析[J].测绘工程，2013(02)：38-40；孙腾科.基于拉格朗日与切比雪夫方法的精密星历插值研究[J].测绘与空间地理信息，2014(2)；汪威，陈明剑，等.北斗三类卫星精密星历内插方法分析比较[J].全球定位系统，2016(2)：60-65]，这些方法均采用了按时间间隔均匀划分的插值基点，研究结果适用于运动特征变化非常平缓的近圆导航星轨道，对于编目工作中经常涉及的运动特征变化较为剧烈的大偏心率轨道并不适用。此外，Adams-Cowell方法也提供了一种针对小偏心率轨道密集星历计算的较好解决方案，该方法是一种采用定步长积分的多步法，既包含积分公式，也包含在精度上与之相配套的内插公式[黄天衣，周庆林.用一次和的Adams-cowell方法[J].天文学报，1992，33(4)：413-419]，但由于积分步长固定，局部截断误差得不到有效控制，再加上数值稳定性等原因，该方法不适用于大偏心率(经验推定偏心率e＞0.2)轨道计算。单步法能够灵活地改变积分步长，通过步长变化实现对局部截断误差的有效控制，适用于大偏心率轨道的精密星历计算，但每步需多次计算右函数，且多数单步法并无与积分公式相配套的插值公式，少数单步法，如一些阶次的Runge-Kutta类方法[Montenbruck O，GillE.Satellite Orbits-Models，Methods and Applications[J].Applied MechanicsReviews，2002，55(2)]，虽有配套的插值公式，但积分过程较为复杂，此外倘若局限于使用这些少数方法，还会限制其它方法的优化选择和方便使用，因此针对大偏心率轨道的密集星历计算问题，不宜单纯使用单步法进行积分。
大偏心率轨道在空间目标中占比不高(e＞0.2目标约占12％)，但由于空间碎片数量巨大，增长迅速，因此大偏心率轨道计算问题仍不容忽视。针对大偏心率轨道密集星历计算难以兼顾精度和效率的问题，本发明提出一种非均匀插值基点的构造方法，结合选定的插值多项式进行密集星历快速内插的技术方案，该方案可以与一般的单步积分法协调使用，同时满足大偏心率轨道密集星历计算的高精度和高时效要求。
发明内容
空间目标编目工作普遍涉及密集星历的产生和计算问题，针对这一问题的大偏心率轨道数值计算目前尚未形成兼具计算精度和计算效率的有效技术手段，难以满足编目工作的处理要求。在这一背景下，本发明提出了一种适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，主要目的在于提升我国空间目标的编目能力和应用水平。
本发明虽针对大偏心率轨道目标编目处理的时效问题而提出，但该方法并不局限于特定的轨道类型，可以拓展应用于广播星历预报和自然天体的历表编制等方面，具有比目前普遍使用的导航星广播星历计算方法更广阔的应用前景。
为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：
适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，其特征在于：空间目标的星历计算对应于具有初值的动力学方程的求解，针对星历计算的快速处理方法包括如下步骤：
步骤一：初值计算，计算t0时刻空间目标的瞬时轨道半长径a０、轨道周期
Figure BDA0002356835740000021
和轨道偏心率e0；
步骤二：引入时间变换参数δ，构造轨道周期变换因子β；
步骤三：结合插值方法确定一个轨道周期内的插值基点数量N；
步骤四：构造插值基点{Tl}以及产生基点上的星历值；
步骤五：根据插值基点{Tl}以及基点上的星历值，进行密集星历时刻{ti}的插值计算，从而完成全部星历计算。
为优化上述技术方案，采取的具体措施还包括：
进一步地，空间目标的星历计算对应于如下动力学方程的求解：
Figure BDA0002356835740000031
式中，
Figure BDA0002356835740000032
为目标所受的力，其中
Figure BDA0002356835740000033
为地球质心引力，
Figure BDA0002356835740000034
为摄动力，
Figure BDA0002356835740000035
表示位置矢量，
Figure BDA0002356835740000036
表示速度矢量；目标在某历元t0时刻的位置矢量
Figure BDA0002356835740000037
和速度矢量
Figure BDA0002356835740000038
为已知，ti，i＝1，2，3，...m为一系列指定的密集分布的时刻点，密集星历计算问题归结为由已知的
Figure BDA0002356835740000039
和
Figure BDA00023568357400000310
求取目标在ti时刻的位置矢量
Figure BDA00023568357400000311
和速度矢量
Figure BDA00023568357400000312
由于t0时刻有可能处于各ti时刻覆盖区间的某个中间位置，将集合{ti}划分为两个子集
Figure BDA00023568357400000313
和
Figure BDA00023568357400000314
其中
Figure BDA00023568357400000315
包含mj，mj≥0个元素，各元素按下标j单调递增，且确
Figure BDA00023568357400000316
包含mk，mk≥0个元素，各元素按下标k单调递减，且有
Figure BDA00023568357400000317
mj+mk＝m。
进一步地，步骤一中，初值计算包括t0时刻空间目标的瞬时轨道半长径a0，轨道周期
Figure BDA00023568357400000318
和轨道偏心率e0：
Figure BDA00023568357400000319
Figure BDA00023568357400000320
Figure BDA00023568357400000321
式中，μ为地心引力常数；r0为
Figure BDA00023568357400000322
的模，
Figure BDA00023568357400000323
和
Figure BDA00023568357400000324
分别为目标在t0时刻的位置矢量和速度矢量。
进一步地，步骤二中，引入时间变换参数δ，构造轨道周期变换因子β的表达式，并通过定积分得到β：
Figure BDA00023568357400000325
式中，β是一个常量，与轨道偏心率e和δ的取值相关，e用e0代替，δ取0.3；E为偏近点角。
进一步地，步骤三中，以e和δ为离散型自变量，在选定插值方法的基础上，通过数值实验确定满足轨道计算精度要求的最小N值并造表；使用时，查表确定与确知e和δ对应的N值。
进一步地，步骤四中，构造插值基点的过程是以t0作为初始基点(初始基点)，即有T0＝t0，T0为初始基点对应的时刻，其上的星历值
Figure BDA0002356835740000041
和
Figure BDA0002356835740000042
为已知，构造一系列非均匀插值基点{Tl}，以满足基于密集星历时刻{ti}的插值计算要求，基点上的星历值伴随构造过程同时产生。
进一步地，步骤四中，构造插值基点{Tl}具体如下：
采用奇数阶插值多项式，一次内插所需基点为偶数q，根据插值点{ti}相对于t0的不同分布特征，分三种情况对插值基点进行构造：
1)若子集
Figure BDA0002356835740000043
和
Figure BDA0002356835740000044
均非空，即有：mj＞0，mk＞0，t0两边均有插值点，此时先进行正向基点构造，在正向基点构造过程中，若首次出现
Figure BDA0002356835740000045
为子集
Figure BDA0002356835740000046
中的元素，则再向右构造q/2-1步，然后转入反向基点构造，在反向基点构造过程中，若首次出现
Figure BDA0002356835740000047
Figure BDA0002356835740000048
为子集
Figure BDA0002356835740000049
中的元素，则再向左构造q/2-1步，然后整个基点构造过程结束；
2)若子集
Figure BDA00023568357400000410
为空，即有：mk＝0，插值点{ti}全部位于t0的右边，此时先进行正向基点构造，在正向基点构造过程中，若首次出现
Figure BDA00023568357400000411
则再向右构造q/2-1步，然后检查插值点
Figure BDA00023568357400000412
生边的基点数s，s≥0，若s≥q/2，则整个基点构造过程结束，否则转入反向基点构造，在反向基点构造过程中，需要向左构造q/2-s步，然后整个基点构造过程结束；
3)若子集
Figure BDA00023568357400000413
为空，即有：mj＝0，插值点{ti}全部位于t0的左边，此时先进行反向基点构造，在反向基点构造过程中，若首次出现
Figure BDA00023568357400000414
则再向左构造q/2-1步，然后检查插值启
Figure BDA00023568357400000415
占边的基点数s，s≥0，若s≥q/2，则整个基点构造过程结束，否则转入正向基点构造，在正向基点构造过程中，需要向右构造q/2-s步，然后整个基点构造过程结束；
以上三种插值基点构造方案涵盖了{ti}相对于t0的所有分布特征，其中涉及到的非均匀正向或反向插值基点{Tl}的求取通过以下方式实现：
假定已得到基点Tl及其上的星历值
Figure BDA00023568357400000416
和
Figure BDA00023568357400000417
根据式(6)和式(7)分别计算瞬时轨道半长径和轨道周期：
Figure BDA00023568357400000418
Figure BDA0002356835740000051
式中，μ为地心引力常数，Rl为
Figure BDA0002356835740000052
的模，
Figure BDA0002356835740000053
是由第l个基点的星历值求出的以t计量的轨道周期；当l＝0时，a0和
Figure BDA0002356835740000054
的值已在步骤一中计算得出；
根据式(8)计算Tl与相邻基点的间隔：
Figure BDA0002356835740000055
构造正向基点Tl+1为：
Tl+1＝Tl+ΔTl (9)
构造反向基点Tl-1为：
Tl-1＝Tl-ΔTl。 (10)
进一步地，步骤四中，数值积分产生基点上的星历值具体如下：
基点上的星历值伴随构造过程同时产生，采用任何一种可实现变步长积分的单步法，从Tl变步长积分至Tl+1或Tl-1，则得到Tl+1或Tl-1基点上的星历值
Figure BDA0002356835740000056
或
Figure BDA0002356835740000057
进一步地，步骤五中，对于任一星历时刻ti，在ti的两边各取q/2个插值基点，利用这些基点上的星历值和选定的插值公式进行内插计算，得到ti时刻的星历值
Figure BDA0002356835740000058
和
Figure BDA0002356835740000059
遍历集合{ti}即可完成全部星历计算。
进一步地，步骤五中，选定的插值公式为Hermite插值方法。
本发明的有益效果是：本发明所提出的适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，具有严密的理论依据和可靠的实验基础，其主要创新点可归结如下：
1)针对大偏心率轨道计算，提出了一种通过时间变换构造插值基点的新方法，构造出的非均匀插值基点配合插值多项式内插得到密集星历，该技术方案可显著提高计算效率和精度；
2)基于大规模数值实验，给出了对应于不同轨道偏心率和多种插值多项式的时间变换参数δ的最佳普适数值为0.3；
3)在时间变换参数δ取最佳普适数值的条件下，通过比较多种插值多项式的计算效率，确定Hermite插值多项式是一种较好的方法。
附图说明
图1是密集星历计算方法流程图。
图2是基于均匀插值基点一个轨道周期内的位置量插值误差。
图3是基于均匀插值基点一个轨道周期内的速度量插值误差。
图4是基于非均匀插值基点一个轨道周期内的位置量插值误差。
图5是基于非均匀插值基点一个轨道周期内的速度量插值误差。
图6是情形2两种插值方案的位置量误差对比。
图7是情形2两种插值方案的速度量误差对比。
具体实施方式
现在结合附图对本发明作进一步详细的说明。
如图1所示的密集星历计算方法，空间目标的星历计算对应于以下具有初值的动力学方程的求解：
Figure BDA0002356835740000061
式中，
Figure BDA0002356835740000062
为目标所受的力，其中
Figure BDA0002356835740000063
为地球质心引力，
Figure BDA0002356835740000064
为摄动力。目标在某历元t0时刻的位置矢量
Figure BDA0002356835740000065
和速度矢量
Figure BDA0002356835740000066
为已知，ti(i＝1，2，3，...m)为一系列指定的密集分布的时刻点，密集星历计算问题归结为由已知的
Figure BDA0002356835740000067
和
Figure BDA0002356835740000068
求取目标在ti时刻的位置矢量
Figure BDA0002356835740000069
和速度矢量
Figure BDA00023568357400000610
考虑一般情况，t0时刻有可能处于各ti时刻覆盖区间的某个中间位置，为方便描述，将集合{ti}划分为两个子集
Figure BDA00023568357400000611
和
Figure BDA00023568357400000612
其中
Figure BDA00023568357400000613
包含mj(mj≥0)个元素，各元素按下标j单调递增，且确
Figure BDA00023568357400000614
包含mk(mk≥0)个元素，各元素按下标k单调递减，且有
Figure BDA00023568357400000615
mj+mk＝m。
计算如上所述的密集星历时，采用现有的内插方案难以平衡大偏心率轨道密集星历的计算精度和效率，插值基点数量一定时，插值基点按时间间隔均匀划分，易造成近地点附近星历因插值基点稀疏致使插值精度低下，远地点附近星历因插值基点密集而插值精度过高的失衡状况，增加插值基点的数量可以改善这一失衡状况，但相应需增加数值积分时间，易造成计算效率的低下。为兼顾大偏心率轨道整体的星历计算精度和计算效率，本发明提出一种非均匀插值基点构造方法，结合Hermite插值多项式进行密集星历内插的技术方案，该方案可以与一般的单步积分法在星历计算过程中协调使用，能同时满足大偏心率轨道密集星历计算的高精度和高时效要求。其中，本发明最为核心的内容，即非均匀插值基点构造方法的理论推导如下：
空间目标主要受地球质心的引力作用，其它均为摄动影响，相对于地球质心引力而言，它们都是一阶或二阶小量，因此以下将空间目标运动考虑为绕地球质心的二体运动，其轨道是一个定常的椭圆轨道，这样的简化方式，一方面有助于技术方案的理论推导和说明，另一方面不会对问题的结论产生本质影响。
本发明基于Sundman变换的均匀化思想[黄天衣，丁华.稳定化和自变量变换[J].天文学报，1981(4)：16-23)]，引入伪时间变量τ，并构建τ和t的变换关系为：
Figure BDA0002356835740000071
其中r为空间目标的地心距；a为轨道半长径；δ为时间变换参数，其值在技术方案实施之前确定。
设E为目标偏近点角，e为轨道偏心率，将椭圆运动关系r＝a(1-ecosE)代入式(1)得：
dt＝(1-ecosE)1+δdτ (2)
设n为目标平均运动角速度，M为目标平近点角，tp为目标过轨道近地点时刻，对Kepler方程“E-esinE＝M＝n(t-tp)”两边同时求微分并整理得：
Figure BDA0002356835740000072
综合公式(2)和公式(3)得到：
Figure BDA0002356835740000073
设Pτ是以伪时间变量τ计量的轨道运动周期，τp为目标过轨道近地点的τ时刻，对公式(4)两端同时积分一个轨道周期，即有：
Figure BDA0002356835740000074
由椭圆运动关系Pt＝2π/n，并令：
Figure BDA0002356835740000075
得到如下关系式：
Pτ＝βPt (7)
公式(7)中，Pt为以时间变量t计量的轨道运动周期；β为轨道周期变换因子，由轨道偏心率e和δ的取值决定，在插值基点构造过程中是一个常量。
假定以τ为自变量的一个轨道周期有N个基点，相邻基点的间隔相等，则以τ计量的第l个基点至第l+1个基点的间隔为：
Figure BDA0002356835740000081
Pτ是以τ计量的轨道周期，在二体运动模型中，其值是不随r变化的常量。将公式(7)代入公式(8)得：
Figure BDA0002356835740000082
公式(9)中，Pt是以t计量的轨道周期，在二体运动模型中，其是不随r变化的常量。用{Tl}(l＝0，1，2，3)表示非均匀插值基点的集合，从第l个基点至第l+1个基点对公式(1)两端同时积分：
Figure BDA0002356835740000083
利用中值定理可得：
Figure BDA0002356835740000084
其中rξ＝r(tξ)，tξ为Tl和Tl+1之间的某个值，若采用公式(10)按时间t进行基点划分，一个轨道周期含有的基点数量正好等于N，但由于tξ值不确知，公式(10)不能用于实际的插值基点间隔划分，因此转而定义：
Figure BDA0002356835740000085
其中Rl＝r(Tl)，当已知Tl时，它的值可由数值积分得到。公式(11)确定了一个实际可用的插值基点划分方式，并且一个轨道周期的基点总数大致为N，将公式(9)代入公式(11)得到：
Figure BDA0002356835740000086
利用公式(12)，由已知基点的星历可确定与下一个基点的间隔ΔTl，a和Pt可在二体运动模型中解算，变步长向前或向后数值积分ΔTl时长则得到下一个基点的星历，此过程递推进行直至完成所有插值基点的构造。
需要特别指出的是，δ和N为插值基点构造之前预先确定的常量，它们共同影响着插值基点的构造方式，进而影响轨道计算的精度和效率，因此有必要进行详细的探讨，探讨的方法不再赘述，本发明仅给出δ数值实验的结果和N的确定方法：1、δ的取值决定了近地点附近和远地点附近插值精度的差异，通过选取合理的δ可使得星历计算误差在整个轨道上的分布较为均匀，其适宜的取值范围为[-1，1]，大量的数值实验结果表明对应于不同轨道偏心率和多种插值多项式的最佳普适数值为0.3(见表1)；2、在一定的插值精度要求下，对应于确定的e和δ，一定存在一个最小的N值使得计算效率最高，因此可采用数值实验的方式找出最小的N值并提前造表，使用时查表确定N值。
表1.针对不同偏心率和插值方法用于位置量插值的最佳δ和最小N(采用RKF8(7)积分器，要求位置量插值精度优于10-7ae)
Figure BDA0002356835740000091
Figure BDA0002356835740000101
注：ae＝6378136m；表中较小偏心率轨道的最佳δ为一个范围，表明δ取这个范围内的任意值均能得到满足精度要求的最小N值。
下面结合实施例说明密集星历计算的技术方案：
实施例：已知空间目标历元t0＝58362.0(约简儒略日MJD)时刻的轨道根数为：半长径a＝5.25ae(ae为参考椭球体的赤道半径，其值为6378136m)，偏心率e＝0.8(情形3中根数a、e的取值有区别于此，详见情形3的描述)，轨道倾角i＝45°，升交点赤径Ω＝0°，近地点幅角ω＝0°，平近点角M＝0°。轨道根数经转换可得到t0时刻的位置矢量
Figure BDA0002356835740000102
和速度矢量
Figure BDA0002356835740000103
转换方法不再赘述。拟产生密集星历的时刻点为{ti}(i＝1，2，3，...m)，其中t1＝t0+P0/2，tm＝t0+3P0/2，历经一个轨道周期，中间点间隔为1秒。
情形1：采用等时间间隔(导航星历普遍采用的构造方式)和本发明提出的非均匀间隔两种方式构造插值基点，插值基点数量N取80，δ取最佳普适值0.3，配合9阶Lagrange多项式进行内插，比较两种插值基点构造方式对轨道计算精度的影响。
情形2：δ取最佳普适值0.3，采用本发明提出的非均匀插值基点构造方法，分别配合9阶Lagrange多项式(N＝114)和7阶Hermite多项式(N＝60)进行插值计算，比较两种插值方法用于轨道计算时的计算精度。
情形3：δ取最佳普适值0.3，分别采用逐点积分法和本发明提出的非均匀基点内插方案(采用Hermite内插多项式)对不同偏心率轨道(偏心率e自0.0开始取值，步长0.05增加至0.9，a由a(1-e)＝1.05ae约束求取，其它轨道参数不变，共产生19组轨道根数)进行星历计算，统计两种方法各自所需的积分右函数计算次数和CPU计算时间。
实施例中的密集星历计算涉及到动力学方程初值问题的求解和内插方法的综合运用。已知t0时刻的位置矢量
Figure BDA0002356835740000104
和速度矢量
Figure BDA0002356835740000105
用于轨道计算的动力学模型选取如下：地球引力场采用GRIM4_S4模型(8×8阶)，大气密度模型采用DTM94[C.Berger，R.Biancale，M.I11，et al.Improvement of the empirical thermospheric model DTM：DTM94-acomparative review of various temporal variations and prospects in spacegeodesy applications[J].Journal of Geodesy，72(3)：161-178]，日月位置计算采用Jean Meeus的分析公式[Meeus J.Astronomical formuLaefor calculators[M].TweedeDruk，1979]。运用内插方法时，插值基点上的星历值采用RKF8(7)方法以变步长方式积分产生，每步积分的截断误差对位置量控制在10-10ae，对速度量控制在10-10ae/天。此外，为评估插值误差，采用RKF8(7)方法以变步长方式逐点积分得到{ti}上的标准星历值
Figure BDA0002356835740000111
和
Figure BDA0002356835740000112
情形1和情形2逐点积分的截断误差控制在位置量10-10ae，速度量10-10ae/天；情形3逐点积分的截断误差控制在位置量10-8ae，速度量10-7ae/天，各星历点上位置矢量
Figure BDA0002356835740000113
和速度矢量
Figure BDA0002356835740000114
的插值误差为：
Figure BDA0002356835740000115
情形1涉及的均匀插值基点构造方法与本发明技术方案无关，其具体实施过程和步骤不在本文中详述，以下仅对本发明提出的技术方案进行详细阐述：
步骤一：初值计算，包括t0时刻空间目标的瞬时轨道半长径a0，轨道周期
Figure BDA0002356835740000116
和轨道偏心率e0；
Figure BDA0002356835740000117
Figure BDA0002356835740000118
Figure BDA0002356835740000119
μ为地心引力常数，其值为0.39860043770442×1015m3/s2。本实施例中空间目标的轨道偏心率为0.8，为大偏心率轨道。
步骤二：引入时间变换参数δ，构造轨道周期变换因子β的表达式，并通过定积分得到β；
Figure BDA00023568357400001110
在实施例中，δ取最佳普适数值0.3，偏心率e由e0代替。β值可采用任何一种定积分方法计算，本例实际采用了Simpson方法。
步骤三：确定一个轨道周期内的插值基点数量N；
情形1和情形2已给定插值基点N的数量，因此无需进行计算。情形3中，δ取普适数值0.3，内插方法选定为Hermite7阶多项式，在此前提下，针对19组确切的e，通过数值实验确定满足轨道计算精度要求的最小N值(见表2)
表2.情形3针对不同偏心率轨道最小N值的数值实验结果(要求位置量插值精度优于10-7ae，速度量插值精度优于10-6ae/天)
Figure DA00023568357437056
步骤四：构造插值基点{Tl}以及产生基点上的星历值；
本实施例中星历点{ti}全部位于t0的右边，故先进行正向插值基点构造。以t0为初始插值基点，其上的星历值为已知，即有：T0＝t0，
Figure BDA0002356835740000121
其余的插值基点按以下递推方式构造：
假定已得到第l个基点Tl，以及其上的星历值
Figure BDA0002356835740000122
和
Figure BDA0002356835740000123
按以下公式计算瞬时轨道半长径和轨道周期：
Figure BDA0002356835740000124
Figure BDA0002356835740000125
其中Rl为
Figure BDA0002356835740000126
的模。当l＝0时，a0和
Figure BDA0002356835740000127
的值已在步骤一中计算得出。结合确定的N值，按以下公式确定第l个基点Tl与第l+1个基点Tl+1的间隔：
Figure BDA0002356835740000128
于是第l+1个基点可由下式得到：
Tl+1＝Tl+ΔTl
以第l个基点上的星历值
Figure BDA0002356835740000129
和
Figure BDA00023568357400001210
为初值，采用RKF8(7)方法从Tl变步长积分至Tl+1，即得到第l+1个基点上的星历值
Figure BDA00023568357400001211
和
Figure BDA00023568357400001212
同时计算
Figure BDA00023568357400001213
正向递推的过程中，每产生一个新的插值基点Tl，则需要判断Tl＞tm是否成立，若条件不成立，则继续上述正向构造过程；若条件成立，需要基于当前插值基点再正向构造(q/2-1)个插值基点，至此正向构造过程结束，然后检查星历点t1左边的基点数s，因t1与t0相隔半个轨道周期，s＞＞q/2，因此不需要进行反向基点构造，整个基点构造过程结束。
当采用9阶Lagrange多项式进行内插时，一次内插所需的基点数量q＝10，当采用7阶Hermite插值多项式内插时，一次内插所需的基点数q仅为4。
步骤五：密集星历{ti}的插值计算；
对于任一星历时刻ti，在ti的左边和右边各取q/2个插值基点，利用这些基点上的星历值
Figure BDA0002356835740000131
和
Figure BDA0002356835740000132
(当采用Hermite插值多项式时还用到
Figure BDA0002356835740000133
)进行插值计算，即得到ti时刻的星历值
Figure BDA0002356835740000134
和
Figure BDA0002356835740000135
按以上插值方法遍历集合{ti}即完成全部星历计算。
经过上述步骤的处理，针对情形1～情形3的统计结果展示在图2～图7和表3中。
图2～图5展示了两种插值基点构造方法在一个轨道周期内的计算结果。据图2和图3可知，基于均匀间隔的基点进行插值计算的结果，位置和速度误差均在轨道近地点附近产生很大的跳跃，位置最大误差可达10-2量级，即位置误差至少可达几十公里，速度最大误差可达100量级，即速度误差大于100米/秒。图4～图5为基于本发明提出的技术方案构造的非均匀间隔基点进行插值计算的结果，位置量和速度量的计算误差在一个轨道周期内的任意时刻分别保持优于10-7和10-5，即位置误差不超过1米，速度误差不超过1毫米/秒。误差对比的结果表明，相比于均匀基点间隔的导航星星历计算方法，非均匀基点间隔的星历计算方法能够较好地适用于大偏心率轨道计算，在不降低计算效率的前提下，可显著提高计算精度。
图6和图7展示了采用9阶Lagrange(N＝114)和7阶Hermite(N＝60)插值方法得到密集星历的位置误差和速度误差在一个轨道周期内的变化情况。比较两图可知，采用两种插值方法的计算误差大致相当，间接表明了采用Hermite插值方法的优势，即在插值基点数量较少(意味着计算效率高)的情况下，也能保证计算精度。
表3列出了分别采用逐点积分法和本发明技术方案在同一台计算机上的运行结果。由表中各项数据可知，本技术方案尽管局部截断误差控制精度较高，但因为插值基点在轨道上的分布较为稀疏，相比于逐点积分法，积分右函数计算次数大大减少，积分时间也随之大大减少。本技术方案所需的时间主要为插值计算时间，而插值是一个简单的代数运算，具有极高的计算效率，因此本发明的总体计算时间相比于逐点积分法大大减少，情形3中两种方法的计算效率相差约30～100倍，表明在一定的精度要求下，相比于逐点积分法，采用本发明提出的密集星历计算方法可大大提高计算效率。
本实施例从多个方面说明了该技术方案的优越性，即基于时间变换理论的非均匀插值基点构造方法能显著提高大偏心率轨道整体的插值精度，配合Hermite插值方法能进一步提高计算效率，最后通过与逐点积分方式进行比较，进一步说明该技术方案的高效性。
表3.逐点积分与本发明技术方案计算效率的对比
Figure BDA0002356835740000136
Figure BDA0002356835740000141
需要注意的是，发明中所引用的如“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”等的用语，亦仅为便于叙述的明了，而非用以限定本发明可实施的范围，其相对关系的改变或调整，在无实质变更技术内容下，当亦视为本发明可实施的范畴。
以上仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。

Claims (10)

1.适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，其特征在于：空间目标的星历计算对应于具有初值的动力学方程的求解，针对星历计算的快速处理方法包括如下步骤：
步骤一：初值计算，计算t0时刻空间目标的瞬时轨道半长径a0、轨道周期
Figure FDA0002356835730000011
和轨道偏心率e0；
步骤二：引入时间变换参数δ，构造轨道周期变换因子β；
步骤三：结合插值方法确定一个轨道周期内的插值基点数量N；
步骤四：构造插值基点{Tl}以及产生基点上的星历值；
步骤五：根据插值基点{Tl}以及基点上的星历值，进行密集星历时刻{ti}的插值计算，从而完成全部星历计算。
2.如权利要求1所述的适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，其特征在于：空间目标的星历计算对应于如下动力学方程的求解：
Figure FDA0002356835730000012
式中，
Figure FDA0002356835730000013
为目标所受的力，其中
Figure FDA0002356835730000014
为地球质心引力，
Figure FDA0002356835730000015
为摄动力，
Figure FDA0002356835730000016
表示位置矢量，
Figure FDA0002356835730000017
表示速度矢量；目标在某历元t0时刻的位置矢量
Figure FDA0002356835730000018
和速度矢量
Figure FDA0002356835730000019
为已知，ti，i＝1，2，3，...m为一系列指定的密集分布的时刻点，密集星历计算问题归结为由已知的
Figure FDA00023568357300000110
和
Figure FDA00023568357300000111
求取目标在ti时刻的位置矢量
Figure FDA00023568357300000112
和速度矢量
Figure FDA00023568357300000113
由于t0时刻有可能处于各ti时刻覆盖区间的某个中间位置，将集合{ti}划分为两个子集
Figure FDA00023568357300000127
和
Figure FDA00023568357300000115
其中
Figure FDA00023568357300000116
包含mj，mj≥0个元素，各元素按下标j单调递增，且有
Figure FDA00023568357300000117
Figure FDA00023568357300000118
包含mk，mk≥0个元素，各元素按下标k单调递减，且有
Figure FDA00023568357300000119
mj+mk＝m。
3.如权利要求2所述的适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，其特征在于：步骤一中，初值计算包括t0时刻空间目标的瞬时轨道半长径a0，轨道周期
Figure FDA00023568357300000120
和轨道偏心率e0：
Figure FDA00023568357300000121
Figure FDA00023568357300000122
Figure FDA00023568357300000123
式中，μ为地心引力常数；r0为
Figure FDA00023568357300000124
的模，
Figure FDA00023568357300000125
和
Figure FDA00023568357300000126
分别为目标在t0时刻的位置矢量和速度矢量。
4.如权利要求2所述的适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，其特征在于：步骤二中，引入时间变换参数δ，构造轨道周期变换因子β的表达式，并通过定积分得到β：
Figure FDA0002356835730000021
式中，β是一个常量，与轨道偏心率e和δ的取值相关，e用e0代替，δ取0.3；E为偏近点角。
5.如权利要求4所述的适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，其特征在于：步骤三中，以e和δ为离散型自变量，在选定插值方法的基础上，通过数值实验确定满足轨道计算精度要求的最小N值并造表；使用时，查表确定与确知e和δ对应的N值。
6.如权利要求2所述的适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，其特征在于：步骤四中，构造插值基点的过程是以t0作为初始基点，即有T0＝t0，T0为初始基点对应的时刻，其上的星历值
Figure FDA0002356835730000022
和
Figure FDA0002356835730000023
为已知，构造一系列非均匀插值基点{Tl}，以满足基于密集星历时刻{ti}的插值计算要求，基点上的星历值伴随构造过程同时产生。
7.如权利要求6所述的适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，其特征在于：步骤四中，构造插值基点(Tl}具体如下：
采用奇数阶插值多项式，一次内插所需基点为偶数q，根据插值点{ti}相对于t0的不同分布特征，分三种情况对插值基点进行构造：
1)若子集
Figure FDA0002356835730000024
和
Figure FDA0002356835730000025
均非空，即有：mj＞0，mk＞0，t0两边均有插值点，此时先进行正向基点构造，在正向基点构造过程中，若首次出现
Figure FDA0002356835730000026
Figure FDA0002356835730000027
为子集
Figure FDA0002356835730000028
中的元素，则再向右构造q/2-1步，然后转入反向基点构造，在反向基点构造过程中，若首次出现
Figure FDA0002356835730000029
Figure FDA00023568357300000210
为子集
Figure FDA00023568357300000211
中的元素，则再向左构造q/2-1步，然后整个基点构造过程结束；
2)若子集
Figure FDA00023568357300000212
为空，即有：mk＝0，插值点{ti}全部位于t0的右边，此时先进行正向基点构造，在正向基点构造过程中，若首次出现
Figure FDA00023568357300000213
则再向右构造q/2-1步，然后检查插值点
Figure FDA00023568357300000214
左边的基点数s，s≥0，若s≥q/2，则整个基点构造过程结束，否则转入反向基点构造，在反向基点构造过程中，需要向左构造q/2-s步，然后整个基点构造过程结束；
3)若子集
Figure FDA00023568357300000215
为空，即有：mj＝0，插值点{ti}全部位于t0的左边，此时先进行反向基点构造，在反向基点构造过程中，若首次出现
Figure FDA00023568357300000216
则再向左构造q/2-1步，然后检查插值点
Figure FDA00023568357300000217
右边的基点数s，s≥0，若s≥q/2，则整个基点构造过程结束，否则转入正向基点构造，在正向基点构造过程中，需要向右构造q/2-s步，然后整个基点构造过程结束；
以上三种插值基点构造方案涵盖了{ti}相对于t0的所有分布特征，其中涉及到的非均匀正向或反向插值基点{Tl}的求取通过以下方式实现：
假定已得到基点Tl及其上的星历值
Figure FDA0002356835730000031
和
Figure FDA0002356835730000032
根据式(6)和式(7)分别计算瞬时轨道半长径和轨道周期：
Figure FDA0002356835730000033
Figure FDA0002356835730000034
式中，μ为地心引力常数，Rl为
Figure FDA0002356835730000035
的模，
Figure FDA0002356835730000036
是由第l个基点的星历值求出的以t计量的轨道周期；当l＝0时，a0和
Figure FDA0002356835730000037
的值已在步骤一中计算得出；
根据式(8)计算Tl与相邻基点的间隔：
Figure FDA0002356835730000038
构造正向基点Tl+1为：
Tl+1＝Tl+ΔTl (9)
构造反向基点Tl-1为：
Tl-1＝Tl-ΔTl。 (10)
8.如权利要求7所述的适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，其特征在于：步骤四中，数值积分产生基点上的星历值具体如下：
基点上的星历值伴随构造过程同时产生，采用任何一种可实现变步长积分的单步法，从Tl变步长积分至Tl+1或Tl-1，则得到Tl+1或Tl-1基点上的星历值
Figure FDA0002356835730000039
或
Figure FDA00023568357300000310
9.如权利要求7所述的适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，其特征在于：步骤五中，对于任一星历时刻ti，在ti的两边各取q/2个插值基点，利用这些基点上的星历值和选定的插值公式进行内插计算，得到ti时刻的星历值
Figure FDA00023568357300000311
和
Figure FDA00023568357300000312
遍历集合{ti}即可完成全部星历计算。
10.如权利要求9所述的适用于大偏心率轨道密集星历精密计算的快速处理方法，其特征在于：步骤五中，选定的插值公式为Hermite插值方法。
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