CN111128316B - 一种具有直裂纹或异质拼接材料的热性能分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有直裂纹或异质拼接材料的热性能分析方法；通过分析材料裂纹和异质拼接问题的实际物理过程，对模型进行分析和合理假设；给出描述材料裂纹和异质拼接传热过程的数学描述及控制方程；根据裂纹和异质拼接线的参数和厚度、热传导系数等特点，提出描述夹层上物理量不连续条件的界面边界条件；采用数学方法对断裂材料或异质拼接材料导热模型进行离散，得到离散线性方程组；对离散线性方程组进行求解，并分析结果；该方法能够降低研发成本、缩短研发周期、快速、精确。本方法通过数学模型及数值模拟的方法，能够方便快捷的预测裂纹材料或异质拼接材料导热过程中的温度变化，从而可以对其传热性能进行评估和指导。

Description

一种具有直裂纹或异质拼接材料的热性能分析方法

技术领域

本发明涉及具有裂纹或者异质拼接复合材料的应用领域，为具有直线界面类型的异质拼接材料或有裂纹的材料的热传导过程的分析提供一种周期短、成本低、有效的数值模拟方法。

背景技术

复合材料由于其优越的强度、刚度和可设计性,被广泛应用于航空航天、船舶、建筑、机械制造等不同工程领域,尤其是在航空航天飞行器上得到广泛应用,并逐渐用于重要部件上,发展成为主承载工程结构材料。然而复合材料和异质拼接材料，在服役过程中容易造成层间分层或开裂情况，导致结构强度和刚度的下降,大大影响了复合材料的使用。如某种特厚板冷床固定梁格栅上出现横向裂纹,钢厂通过焊接修补裂纹,但没有成功,裂纹继续扩大,这些裂纹的出现,不但影响冷床的正常运行,而且也导致了很大的经济损失。因此有效手段需要通过对裂纹这种缺陷进行分析、研究,制定一系列的措施,来解决这一问题可以有效提高生产效率,减少经济损失。

对于裂纹问题或者异质拼接材料热性能的分析，传统的方法大多采用理论分析的办法，根据开裂的情况建立经验函数对其进行估算，这种方法太多依赖经验的因素，对实际细节缺乏考虑和精确的分析。不少研究者针对此类问题采用ANSYS等商业软件对整个过程进行全数值模拟，这种方式可以对具有裂纹及异质拼接部件的整体进行有效的分析。然而，软件中提供的数学模型往往很有限，不足以对所有类型的裂纹和情况提供有效的数学模型，从而大大限制了商业软件的应用，也大大限制了由此得到的结果的有效性。

基于上述问题，本发明从具有裂纹或拼接材料所存在的缝隙或者过渡层的物理性质出发，对过渡层上的物理场不连续的现象进行研究,给出物理量在粘合过渡层的跳跃关系,并对其进行数学表示。随后利用一个不完美界面来代替复合材料中之前存在的过渡层,且保留物理场在过渡层的不连续性来建立不完美界面模型。此模型的特点是将热传导问题的不完美界面描述为在此界面处温度场不连续,且温度场的跳跃与法向热流的界面处平均值成正比。从而建立了一个描述存在不完美界面的传热问题的偏微分方程。此后，我们通过有限差分格式并结合浸入界面方法对偏微分方程进行离散，建立了一个稳定的二阶精度的数值格式。通过求解离散后的微分方程，可以对异质拼接材料和具有裂纹材料的导热过程进行快速、准确的数值模拟。

发明内容

本发明的目的在于提供一种具有直裂纹或异质拼接材料的热性能分析方法，该方法能够降低研发成本、缩短研发周期、快速、精确。本方法通过数学模型及数值模拟的方法，能够方便快捷的预测裂纹材料或异质拼接材料导热过程中的温度变化，从而可以对其传热性能进行评估和指导。

一种具有直裂纹或异质拼接材料的热性能分析方法，其特征在于包含以下步骤：A、分析材料裂纹和异质拼接问题的实际物理过程，对模型进行分析和合理假设：首先，考虑具有两层不同介质的材料模型，不同材料之间具有清晰的界面；为方便起见，考虑定常传热问题，即温度在复合材料内部的传递过程中达到稳定状态，并忽略材料本身对热量的吸收；

假设复合材料在厚度方向上分布均匀且尺度比长宽方向的尺度要小得多，则三维模型可以忽略厚度方向的影响，从而将其看作是一个具有直线界面类型的二维平面问题；

根据以上的分析和假设，可以将研究的问题简化为二维导热问题，其特征如下:

(a)由两种物质组成，物质之间存在明显的直线界面.

(b)在界面上的物理量发生间

(c)温度由高到低传递

材料之间的夹层或者缝隙可以通过合理的数学假设看做是非理想界面，并针对界面上的物理性质不连续的特点，提出相关的界面连接条件。因此，就可以把实际物理问题转化为数学问题进行求解。由于稳态热传导过程是由二阶偏微分方程(Possion方程)所描述。因此，拼接复合件的传热过程和热阻性能的物理问题的控制方程可以如下公式所示。

B、给出描述材料裂纹和异质拼接传热过程的数学描述及控制方程：并根据裂纹和异质拼接线的参数和厚度、热传导系数等特点，提出描述夹层上物理量不连续条件的界面边界条件；

(a)首先不同介质内部的稳态热传导过程可以由以下扩散方程来描述：

(β(x)u_x)_x+κ(x)u＝f(x) x∈(0：α)∪(α，1) (1)

u(0)＝u₀， u(1)＝u₁ (2)

(b)在不同介质间的交界面上会发生跳跃和间断，我们将采用如下的连接条件进行刻画：

其中，其中0＜α＜1，界面x＝α，为界面Γ在区域Ω^-上的单位外法线方向，/>表示变量在界面处的跳跃值；u^-和u⁺分别表示温度u在界面Γ两侧的极限值，即

β⁺和β^-分别表示界面两侧介质的扩散系数；

式(3)建立了界面上左右两侧温度的关系，可以看出界面两侧温度的跳跃是和穿过界面的热流量成比例，比例系数为λ；从式(4)中可以看出，热流穿过界面两侧相等，即界面上并不会吸收或产生热量。

C、采用数学方法对断裂材料或异质拼接材料导热模型进行离散，得到离散线性方程组：

对于二维问题，选择动态模板的方式进行格式构造；根据界面位置与网格节点的位置关系将所有的网格节点分为两类：(1)规则网格点，选择五点模板，且模板中的所有网格点都在物质界面的一侧；(2)非规则点，选择7点模板，且模板中的网格点分布在物质界面的两侧；

对计算区域进行正交网格剖分，假设方程(1)的有限差分格式可以表示为

L_hu_h(x_i，y_j)＝γ_i，j，1u_h(x_i-1，y_j)+γ_i，j，2u_h(x_i，y_j)+γ_i，j，3u_h(x_i+1，y_j)+γ_i，j，4u_h(x_i，y_j-1)+γ_i，j，5u_h(x_i，y_j+1)+k(x_i，y_j)u_h(x_i，y_j)＝f_i，j， (11)

对于规则网格点，采用5点格式直接离散，则其相对应的系数为

且

格式的截断误差为O(h²)：

T_i，j＝γ_i，j，1u(x_i-1，y_j)+γ_i，j，2u(x_i，y_j)+γ_i，j，3u(x_i+1，y_j)+γ_i，j，4u(x_i，y_j-1)+γ_{i，j， 5}u(x_i，y_j+1)+k(x_i，y_j)u(x_i，y_j)-F_i，j＝O(h²)，i≠k.

对于非规则网格点，采用7点模板进行构造格式

根据界面上的连接条件，可得

再者，根据控制方程可以重写为

因此，

将所有的非规则模板中的点根据其中心点所在的位置，将其它模板中的6个点都在(α，j)点处进行Taylor展开，将其表示为关于u^-，的形式；并将所有展开的表达式代入(12)式，最后，利用截断误差的表达式，并要求其满足O(h²)；进而，采用待定系数法，就可以列出关于(12)式中系数的线性方程组；

对于界面上的点(k，j)，其系数的线性方程组为

且

同理，对于界面上的点(k+1，j)，其系数的线性方程组为

且

D、对离散线性方程组进行求解，并分析结果：

本部分首先通过两个具有精确解的问题对模型和数值格式进行验证；所提出的算法能够准确的模拟界面两侧温度的间断和跳跃情况，并且误差随着网格数增加而不断减小，且保持近似二阶精度；其中数值解和精确解吻合的非常好，并且随着网格数的增大，误差不断减少。

本发明的有益效果在于：从异质材料本身的物理性质出发，对拼接过程中的物理场不连续的现象进行研究，通过数学建模的方式，对物理量在拼接层之间的跳跃关系进行数学表示。并且结合固体传热的控制方程，建立了描述此类问题的数学模型。首先，根据异质薄板拼接材料的特点，进行合理假设，忽略其厚度方面的影响，将其看作是具有直线界面类型的二维界面问题建立相应的数学模型。从而通过对数学模型离散并构造数值格式，最后通过求解描述该具有直线类型的而额外完美界面传热问题的离散方程，从而对此类问题的热传导过程进行快速、稳定的数值模拟。

附图说明

图1为常见的多边形拼接单元结构示意图。

图2a为具有近似直线裂纹的金属电镜图。

图2b为有近似直线裂纹的金属结构示意图。

图3为二维异质矩阵金属拼接薄板模型I示意图。

图4为二维异质三角形金属拼接薄板模型II示意图。

图5为材料裂纹或异质拼接线简化模型I示意图。

图6为材料裂纹或异质拼接线简化模型II示意图。

图7为直线界面附近非规则点上的模板示意图。

图8为计算网格示意图。

图9为数值解(a)及误差(b)示意图。

图10数值解(a)和精确解(b)的等值线比较图。

图11为直线界面附近规则点上的模板示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。

一种具有直裂纹或异质拼接材料的热性能分析方法，包含以下步骤：A、分析材料裂纹和异质拼接问题的实际物理过程，对模型进行分析和合理假设：

首先，考虑具有两层不同介质的材料模型，不同材料之间具有清晰的界面，如图5、6所示；

为方便起见，先考虑定常传热问题，即温度在复合材料内部的传递过程中达到稳定状态，并忽略材料本身对热量的吸收；

假设复合材料在厚度方向上分布均匀且尺度比长宽方向的尺度要小得多，则三维模型可以忽略厚度方向的影响，从而将其看作是一个具有直线界面类型的二维平面问题。

根据以上的分析和假设，可以将研究的问题简化为二维导热问题，其特征如下：

(a)由两种物质组成，物质之间存在明显的直线界面；

(b)在界面上的物理量发生间断；

(c)温度由高到低传递；

利用本申请的方法对拼接材料的稳态导热过程进行数值模拟，拼接材料的物理模型示意图如图3所示；材料之间的夹层或者缝隙可以通过合理的数学假设看做是非理想界面，并针对界面上的物理性质不连续的特点，提出相关的界面连接条件。因此，就可以把实际物理问题转化为数学问题进行求解。由于稳态热传导过程是由二阶偏微分方程(Possion方程)所描述。因此，拼接复合件的传热过程和热阻性能的物理问题的控制方程可以由(1)-(4)式所示。

不同种类材料的尺寸和热传导系数如下表1所示：

表1为保温热夹层材料参数

B、给出描述材料裂纹和异质拼接传热过程的数学描述及控制方程：并根据裂纹和异质拼接线的参数和厚度、热传导系数等特点，提出描述夹层上物理量不连续条件的界面边界条件；

(a)首先不同介质内部的稳态热传导过程可以由以下扩散方程来描述：

(β(x)u_x)_x+κ(x)u＝f(x) x∈(0，α)∪(α，1) (1)

u(0)＝u₀，u(1)＝u₁ (2)

(b)在不同介质间的交界面上会发生跳跃和间断，我们将采用如下的连接条件进行刻画：

其中，其中0＜α＜1，界面x＝α，为界面Γ在区域Ω^-上的单位外法线方向，/>表示变量在界面处的跳跃值；u^-和u⁺分别表示温度u在界面Γ两侧的极限值，即

β⁺和β^-分别表示界面两侧介质的扩散系数；

式(3)建立了界面上左右两侧温度的关系，可以看出界面两侧温度的跳跃是和穿过界面的热流量成比例，比例系数为λ；从式(4)中可以看出，热流穿过界面两侧相等，即界面上并不会吸收或产生热量。

C、采用数学方法对断裂材料或异质拼接材料导热模型进行离散，得到离散线性方程组：

构建有限差分格式：

对于二维问题，选择动态模板的方式进行格式构造。根据界面位置与网格节点的位置关系将所有的网格节点分为两类：(1)规则网格点，选择五点模板，且模板中的所有网格点都在物质界面的一侧(如图11所示)；(2)非规则点，选择7点模板，且模板中的网格点分布在物质界面的两侧，如图7所示。

对计算区域进行正交网格剖分，可以得到计算网格如图8所示；假设方程(1)的有限差分格式可以表示为

规则网格点：

对于规则网格点，采用5点格式直接离散，则其相对应的系数为

且

格式的截断误差为O(h²)：

T_i，j＝γ_i，j，1u(x_i-1，y_j)+γ_i，j，2u(x_i，y_j)+γ_i，j，3u(x_i+1，y_j)+γ_i，j，4u(x_i，y_j-1)+γ_{i，j， 5}u(x_i，y_j+1)+k(x_i，y_j)u(x_i，y_j)-F_i，j＝O(h²)，i≠k.

非规则网格点：

对于非规则网格点，我们采用7点模板进行构造格式

根据界面上的连接条件，可得

再者，根据控制方程可以重写为

因此，

将所有的非规则模板中的点根据其中心点所在的位置，将其它模板中的6个点都在(α，j)点处进行Taylor展开，将其表示为关于u^-，的形式，并将所有展开的表达式代入(12)式，最后，利用截断误差的表达式，并要求其满足O(h²)，进而，采用待定系数法，就可以列出关于(12)式中系数的线性方程组。

对于界面上的点(k，j)，其系数的线性方程组为

且

同理，对于界面上的点(k+1，j)，其系数的线性方程组为

且

D、对离散线性方程组进行求解，并分析结果：

本部分首先通过两个具有精确解的问题对模型和数值格式进行验证，从表2可以看出，所提出的算法能够准确的模拟界面两侧温度的间断和跳跃情况，并且误差随着网格数增加而不断减小，且保持近似二阶精度。从图10可以看出，数值解和精确解吻合的非常好，并且随着网格数的增大，误差不断减少。

例1考虑计算区域为Ω＝[0，1]×[0，1]，界面位置x＝α，α＝0.543将区域分为两部分，该问题的精确解可以给出

其中，扩散系数为

界面上的热流满足守恒条件

系数为

表2为例1在不同网格数下的L²，L^∞误差及收敛阶，κ＝100

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种具有直裂纹或异质拼接材料的热性能分析方法，其特征在于包含以下步骤：

A、分析材料裂纹和异质拼接问题的实际物理过程，对模型进行分析和合理假设：首先，考虑具有两层不同介质的材料模型，不同材料之间具有清晰的界面；

为方便起见，考虑定常传热问题，即温度在复合材料内部的传递过程中达到稳定状态，并忽略材料本身对热量的吸收；

假设复合材料在厚度方向上分布均匀且尺度比长宽方向的尺度要小得多，则三维模型可以忽略厚度方向的影响，从而将其看作是一个具有直线界面类型的二维平面问题；

根据以上的分析和假设，可以将研究的问题简化为二维导热问题，其特征如下:

(a)由两种物质组成，物质之间存在明显的直线界面.

(b)在界面上的物理量发生间断；

(c)温度由高到低传递；

材料之间的夹层或者缝隙可以通过合理的数学假设看作是非理想界面，并针对界面上的物理性质不连续的特点，提出相关的界面连接条件；因此，就可以把实际物理问题转化为数学问题进行求解，由于稳态热传导过程是由二阶偏微分方程所描述；

B、给出描述材料裂纹和异质拼接传热过程的数学描述及控制方程：并根据裂纹和异质拼接线的参数和厚度、热传导系数等特点，提出描述夹层上物理量不连续条件的界面边界条件；

(a)首先不同介质内部的稳态热传导过程可以由以下扩散方程来描述：

(β(x)u_x)_x+κ(x)u＝f(x) x∈(0,α)∪(α，1) (1)

u(0)＝u₀，u(1)＝u₁ (2)

(b)在不同介质间的交界面上会发生跳跃和间断，我们将采用如下的连接条件进行刻画：

其中，其中0＜α＜1，界面x＝α，为界面Γ在区域Ω^-上的单位外法线方向，/>表示变量在界面处的跳跃值；u^-和u⁺分别表示温度u在界面Γ两侧的极限值，即

β⁺和β^-分别表示界面两侧介质的扩散系数；

式(3)建立了界面上左右两侧温度的关系，可以看出界面两侧温度的跳跃是和穿过界面的热流量成比例，比例系数为λ；从式(4)中可以看出，热流穿过界面两侧相等，即界面上并不会吸收或产生热量；

C、采用数学方法对断裂材料或异质拼接材料导热模型进行离散，得到离散线性方程组：

对于二维问题，选择动态模板的方式进行格式构造；根据界面位置与网格节点的位置关系将所有的网格节点分为两类:(1)规则网格点，选择五点模板，且模板中的所有网格点都在物质界面的一侧；(2)非规则点，选择7点模板，且模板中的网格点分布在物质界面的两侧；

对计算区域进行正交网格剖分，假设方程(1)的有限差分格式可以表示为

L_hu_h(x_i，y_j)＝γ_i，j，1u_h(x_i-1，y_j)+γ_i，j，2u_h(x_i，y_j)+γ_i，j，3u_h(x_i+1，y_j)+γ_i，j，4u_h(x_i，y_j-1)+γ_i，j，5u_h(x_i，y_j+1)+k(x_i，y_j)u_h(a_i，y_j)＝f_i，j，(11)

对于规则网格点，采用5点格式直接离散，则其相对应的系数为

且

格式的截断误差为O(h²)：

T_i，j＝γ_i，j，1u(x_i-1，y_j)+γ_i，j，2u(x_i，y_j)+γ_i，j，3u(x_i+1，y_j)+γ_i，j，，4u(x_i，y_j-1)+γ_i，j，5u(x_i，y_j+1)+k(x_i，y_j)u(x_i，y_j)-F_i，j＝O(h²)，i≠k.

对于非规则网格点，采用7点模板进行构造格式

根据界面上的连接条件，可得

再者，根据控制方程可以重写为

因此，

将所有的非规则模板中的点根据其中心点所在的位置，将其它模板中的6个点都在(α，j)点处进行Taylor展开，将其表示为关于的形式；并将所有展开的表达式代入(12)式，最后，利用截断误差的表达式，并要求其满足O(h²)；进而，采用待定系数法，就可以列出关于(12)式中系数的线性方程组；

对于界面上的点(k，j)，其系数的线性方程组为

且

同理，对于界面上的点(k+1，j)，其系数的线性方程组为

且

D、对离散线性方程组进行求解，并分析结果：

本部分首先通过两个具有精确解的问题对模型和数值格式进行验证；所提出的算法能够准确的模拟界面两侧温度的间断和跳跃情况，并且误差随着网格数增加而不断减小，且保持近似二阶精度；其中数值解和精确解吻合的非常好，并且随着网格数的增大，误差不断减少。