CN111077896B - 一种基于改进分层算法的充液挠性航天器参数优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于改进分层算法的充液挠性航天器参数优化方法。该方法步骤为：根据充液挠性航天器的控制系统，选取控制性能指标作为优化目标；选取影响控制性能的控制器参数与路径参数，作为决策变量建立充液挠性航天器的多目标优化模型；使用改进分层算法对充液挠性航天器的控制器参数和路径参数进行优化，所述改进分层算法分为上下两层，下层由N个子群构成，每个子群采用NSGA‑II算法，为上层提供精英个体并从上层得到反馈个体改善种群；上层由精英群和外部存储档案构成，精英群采用基于r支配的Bare‑bones粒子群算法，外部存储档案存储每次迭代后的最优解。本发明具有收敛速度快、时间消耗小、优化结果稳定的优点。

Description

一种基于改进分层算法的充液挠性航天器参数优化方法

技术领域

本发明涉及航天器姿态控制技术领域，特别是一种基于改进分层算法的充液挠性航天器参数优化方法。

背景技术

已有研究表明，充液挠性航天器在姿态机动过程中，姿态角加速度的不连续常导致挠性帆板的振动和液体的晃动，故需要对航天器的姿态机动路径进行规划。然而所规划的机动路径参数与所设计的控制器参数对充液挠性航天器系统整体性能存在很大的影响。如何选取这些参数使得航天器表现出更佳的性能，是航天器姿态控制领域里一个值得研究的问题。

航天器姿态控制性能通常需要考虑快速性、稳定性与准确性，其中涉及2个，3个甚至更多的目标函数，由于这些目标往往存在着制约与冲突的关系，某一目标的改善可能引起其他目标性能的降低，几乎不可能使得所有目标同时取得最优值。在这种情况下，需要对所考虑的目标进行权衡，得到一组或多组折中的Pareto最优解集。对于不同的多目标优化问题如何得到这些问题Pareto最优解集成为近年来多目标优化领域的热点研究问题。

目前针对多目标优化问题，已有研究提出了各种各样的智能算法：遗传算法，粒子群算法，蚁群算法及模拟退火算法等，它们各自具备着独特的优点。分层结构的提出，将不同的算法进行有机的结合，使得算法能够表现出更好的性能，但依然存在着单次运行结果不够稳定，算法随机性较大的问题。

发明内容

本发明的目的在于提供一种收敛速度快、时间消耗小、优化结果稳定的基于改进分层算法的充液挠性航天器参数优化方法，保证单次运行的稳定性，且优化的参数能够使充液挠性航天器表现出更好的控制性能。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于改进分层算法的充液挠性航天器参数优化方法，包括以下步骤：

步骤1、根据充液挠性航天器的控制系统，选取控制性能指标作为优化目标；

步骤2、选取影响控制性能的控制器参数与路径参数，作为决策变量建立充液挠性航天器的多目标优化模型；

步骤3、使用改进分层算法对充液挠性航天器的控制器参数和路径参数进行优化，所述改进分层算法为：将算法分为上下两层，其中算法下层由N个子群构成，每个子群采用NSGA-II算法，为算法上层提供精英个体并从上层算法得到反馈个体改善种群；算法上层由精英群和外部存储档案构成，精英群采用基于r支配的Bare-bones粒子群算法，外部存储档案存储每次迭代后的最优解。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)改进分层算法综合了上层和下层算法处理不同问题的能力与优点，具有更广泛的适用性与稳定性，对于实际应用来说更加方便可靠；(2)参数优化方法采用改进的分层结构，提高了算法单次运行的稳定性，可有效地优化充液挠性航天器的控制器参数与路径参数，能够加快算法的收敛速度；(3)在外部存储档案中采用r支配关系使算法的优化结果更能符合决策者的预期，所得解决方案使充液挠性航天器表现出更好的控制性能。

附图说明

图1是本发明基于改进分层算法的充液挠性航天器参数优化方法的航天器控制系统结构示意图。

图2是本发明改进分层算法的结构设计示意图。

图3是本发明改进分层算法的实现流程示意图。

具体实施方式

本发明基于改进分层算法的充液挠性航天器参数优化方法，包括以下步骤：

步骤1、根据充液挠性航天器的控制系统，选取控制性能指标作为优化目标；

步骤2、选取影响控制性能的控制器参数与路径参数，作为决策变量建立充液挠性航天器的多目标优化模型；

步骤3、使用改进分层算法对充液挠性航天器的控制器参数和路径参数进行优化，所述改进分层算法为：将算法分为上下两层，其中算法下层由N个子群构成，每个子群采用NSGA-II算法，为算法上层提供精英个体并从上层算法得到反馈个体改善种群；算法上层由精英群和外部存储档案构成，精英群采用基于r支配的Bare-bones粒子群算法，外部存储档案存储每次迭代后的最优解。

进一步地，步骤1所述选取控制性能指标作为优化目标，所选取的控制性能指标如下：

1)充液挠性航天器三轴到达设定指向精度的调节时间A_i(x)：

式中：t_s为调节时间，t_p为大于规定时间的任意正常数，i＝1,2,3代表航天器的三个本体轴；

2)充液挠性航天器稳定后姿态角速度的均方根值，即稳定度B_i(x)：

式中：N_s为采样次数，

期望姿态角速度，

为实际姿态角速度；n是求和函数Σ的计数，表示从第一次加到第N_s次。

进一步地，步骤2所述建立充液挠性航天器的多目标优化模型，具体为：

subject to

0＜a_i≤a_{i_max},

0＜2T_i+2T_i1+T_i2≤T_max

K_{pi_min}≤K_pi≤K_{pi_max}

K_{di_min}≤K_di≤K_{di_max}

式中：x＝[a₁,a₂,a₃,T₁,T₂,T₃,K_p1,K_p2,K_p3,K_d1,K_d2,K_d3]为决策变量；Rⁿ表示n维实数域；a_i,T_i为待优化的路径参数，a_i是航天器角加速度，T_i是七段正弦型路径的正弦周期；K_pi,K_di为待优化的控制器参数，K_pi是PD控制器的比例系数，K_di是PD控制器的微分系数；

为所使用七段正弦型路径的参数，α_d为期望姿态，a_{i_max}为航天器能达到的最大加速度，V_max是航天器能达到的最大速度，T_max为规定时间，K_{pi_min}和K_{pi_max}为PD控制器比例系数最小值和最大值，K_{di_min}和K_{di_max}为PD控制器微分系数最小值和最大值。

进一步地，步骤3所述改进分层算法：将算法分为上下两层，其中算法下层由N个子群构成，每个子群采用NSGA-II算法，为算法上层提供精英个体并从上层算法得到反馈个体改善种群；算法上层由精英群和外部存储档案构成，精英群采用基于r支配的Bare-bones粒子群算法，外部存储档案存储每次迭代后的最优解，具体包括以下步骤：

步骤3.1、初始化：初始化算法下层子群数量N，每个子群的种群大小N_n，最大迭代次数T_{n_max}；初始化算法上层的种群大小N_r，存储档案大小N_a，最大迭代次数T_{r_max}；初始化外部存储档案大小N_h，反馈个体个数k，总体迭代次数T_{h_max}，非r支配阈值δ，参考点g，权重向量w，自适应网格参数N_g；

步骤3.2、随机初始化所设定的N个子群，设置循环次数T_h＝1；

步骤3.3、根据设定的参数对每个子群依次运行NSGA-II算法；

步骤3.4、选取每个子群的前N_r/N的个体构成上层算法的种群，根据设定的参数运行基于r支配的Bare-bones粒子群算法；

步骤3.5、将上层算法所得优化结果存储到外部存储档案，保留非r支配解的同时利用自适应网格法对档案进行维护；

步骤3.6、令T_h＝T_h+1，如果T_h＞T_{h_max}，则输出外部存储档案中的结果，结束算法；否则，从外部存储档案中随机选取k个解替换子群中的k个个体，跳转至步骤3.3。

进一步地，步骤3.3中所述NSGA-II算法，具体包括以下步骤：

步骤3.3.1、设置循环次数T_n＝1；

步骤3.3.2、根据父代种群，进行选择、交叉、编译操作产生子代种群；

步骤3.3.3、合并子代和父代种群，进行非支配排序；

步骤3.3.4、对每个非支配层中的个体进行拥挤度计算，根据非支配关系以及个体的拥挤度选取个体组成新的父代种群；

步骤3.3.5、令T_n＝T_n+1，如果T_n＞T_{n_max}，则输出带有支配关系的父代种群；否则，跳转至步骤3.3.2。

进一步地，步骤3.4中所述基于r支配的Bare-bones粒子群算法，具体包括以下步骤：

步骤3.4.1、初始化个体最优位置pbest为当前位置，选取非支配粒子存入存储档案，设置循环次数T_r＝1；

步骤3.4.2、使用自适应网格与轮盘赌方法选取全局最优位置gbest，根据粒子位置更新公式更新当前粒子群；

步骤3.4.3、对于当前粒子位置与个体最优位置pbest，依据r支配关系选择新的个体最优位置pbest；

步骤3.4.4、利用自适应网格法与r支配关系维护存储档案；

步骤3.4.5、令T_r＝T_r+1，如果T_r＞T_{r_max}，则输出存储档案中的解；否则，跳转至步骤3.4.2。

进一步地，步骤3.4.2中所述的粒子位置更新公式为：

其中：

式中：d表示粒子的维数；i表示第i个粒子；

代表粒子在t+1次迭代时的位置；

为粒子在t次迭代的个体最优位置；

为粒子在t次迭代的全局最优位置；r∈U(0,1)；rand代表随机数。

进一步地，步骤3.4.3中所述的r支配关系定义为：

当满足以下条件之一时，粒子x₁被认为r支配粒子x₂，记为x₁＜_rx₂：

(1)粒子x₁Pareto支配粒子x₂；

(2)粒子x₁与粒子x₂Pareto互不支配，且满足D(x₁,x₂,g)＜-δ，其中δ∈[0,1]为非r支配阈值，且有

其中：

式中：x为x₁或x₂；g为参考点；w_i为第i个目标函数值的权重；P代表粒子种群；

代表第i个目标函数的最值。

进一步地，步骤3.5中所述的自适应网格法为：将目标空间划分为若干个网格，由粒子的目标向量值确定每个粒子的所在网格，根据每个网格中粒子的数量进行排序，在粒子数量最多的网格中随机舍弃一个粒子。

进一步地，步骤3.6中所述的从外部存储档案中随机选取k个解替换子群中的k个个体，k的设置依据为：

定义反馈率β为：

当β＝0时，没有个体反馈；当β＝1时，反馈个体将下层子群个体全部代替；根据实验所得，取β＝0.1～0.4。

下面结合附图及具体实施例对本发明的一种基于改进分层算法的充液挠性航天器参数优化方法作进一步详细说明。

实施例

如图1所示，为本发明基于改进分层算法的充液挠性航天器参数优化方法的航天器控制系统结构示意图，包括以下步骤：

步骤1、根据充液挠性航天器的控制系统选取相应的控制性能指标作为优化目标；

步骤2、根据优化目标与待优化的控制器参数和路径参数建立充液挠性航天器的多目标优化模型；

步骤3、使用改进分层算法对充液挠性航天器的控制器参数和路径参数进行优化得出决策者满意的解决方案。

如图2所示，为本发明改进分层算法的结构设计示意图，所述改进的分层结构将算法分为上下两层。其中所述算法下层由N个子群构成，每个子群采用NSGA-II算法，为算法上层提供精英个体并从上层算法得到反馈个体改善种群。所述算法上层由精英群和外部存储档案构成，精英群采用基于r支配的Bare-bones粒子群算法使得最终搜索的结果更能符合决策者期望，外部存储档案可以存储每次迭代后的最优解使得算法单次运行结果更为稳定。

如图3所示，为本发明改进分层算法的实现流程示意图，所述基于改进分层结构的多目标优化算法包括以下步骤：

步骤1、初始化：初始化该算法下层子群数量N，每个子群的种群大小N_n，最大迭代次数T_{n_max}；初始化上层算法的种群大小N_r，存储档案大小N_a，最大迭代次数T_{r_max}；初始化该算法外部存储档案大小N_h，反馈个体个数k，总体迭代次数T_{h_max}，非r支配阈值δ，参考点g，权重向量w，自适应网格参数N_g；

步骤2、随机初始化所设定的N个子群，设置循环次数T_h＝1；

步骤3、根据设定的参数对每个子群依次运行NSGA-II；

步骤3.1、设置循环次数T_n＝1；

步骤3.2、根据父代种群，进行选择，交叉，编译操作产生子代种群；

步骤3.3、合并子代和父代种群进行快速非支配排序；

步骤3.4、对每个非支配层中的个体进行拥挤度计算,根据非支配关系以及个体的拥挤度选取个体组成新的父代种群；

步骤3.5、令T_n＝T_n+1，如果T_n＞T_{n_max}，则输出带有支配关系的父代种群；否则，跳转至步骤3.2。

步骤4、选取每个子群的前N_r/N的个体构成上层算法的种群，根据设定的参数运行基于r支配的Bare-bones粒子群算法；

步骤4.1、初始化个体最优位置pbest为当前位置，选取非支配粒子存入存储档案，设置循环次数T_r＝1；

步骤4.2、使用自适应网格与轮盘赌方法选取全局最优位置gbest，根据粒子位置更新公式更新当前粒子群；

步骤4.3、对于当前粒子位置与pbest，依据r支配关系选择新的pbest；

步骤4.4、利用自适应网格法与r支配关系维护存储档案；

步骤4.5、令T_r＝T_r+1，如果T_r＞T_{r_max}，则输出存储档案中的解；否则，跳转至步骤4.2。

步骤5、将上层算法所得优化结果存储到外部存储档案，保留非r支配解的同时利用自适应网格法对档案进行维护；

步骤6、令T_h＝T_h+1，如果T_h＞T_{h_max}，则输出外部存储档案中的结果，结束算法；否则，从外部存储档案中随机选取k个解替换子群中的k个个体，跳转至步骤3。

本实施例中，采用Dou,L.,Du,H.,Liu,W.,Type-2 Fuzzy Disturbance ObserverBased Terminal Sliding Mode Control for Spacecraft with Liquid Slosh andFlexible Structure[C]//第37届中国控制会议.中所述的充液挠性航天器。

实现航天任务：航天器从初始姿态[-30°15°-15°]^T机动到期望姿态[30°0°0°]^T。

控制要求：航天器在开始机动后80s内达到稳定状态，能够达到0.005°的指向精度，且系统的稳定度在6×10^-5°/s以内。

约束条件：执行器输出力矩限制在5N·m以内；航天器的最大可达速度与加速度为：V_max＝2.5°/s，a_max＝[0.4,0.4,0.4]°/s²；控制器参数限制在：K_pmin＝[0,0,0]，K_pmax＝[20,20,20]，K_dmin＝[0,0,0]，K_dmax＝[20,20,20]。

本发明改进分层算法具体求解步骤如下：

步骤1、初始化：初始化该算法下层子群数量N＝5，每个子群的种群大小N_n＝10，最大迭代次数T_{n_max}＝5；初始化上层算法的种群大小N_r＝10，存储档案大小N_a＝20，最大迭代次数T_{r_max}＝10；初始化该算法外部存储档案大小N_h＝20，反馈个体个数k＝1，总体迭代次数T_{h_max}＝10，非r支配阈值δ＝0.4，参考点g＝(40,30,30,4×10^-6,1×10^-6,1×10^-6)，权重向量w＝(0.2,0.1,0.1,0.2,0.2,0.2)，自适应网格参数N_g＝30；

步骤2、随机初始化所设定的N个子群，设置循环次数T_h＝1；

步骤3、根据设定的参数对每个子群依次运行NSGA-II；

步骤3.1、设置循环次数T_n＝1；

步骤3.2、根据父代种群，进行选择，交叉，编译操作产生子代种群；

步骤3.3、合并子代和父代种群进行快速非支配排序；

步骤3.4、对每个非支配层中的个体进行拥挤度计算,根据非支配关系以及个体的拥挤度选取个体组成新的父代种群；

步骤3.5、令T_n＝T_n+1，如果T_n＞T_{n_max}，则输出带有支配关系的父代种群；否则，跳转至步骤3.2。

步骤4、选取每个子群的前N_r/N的个体构成上层算法的种群，根据设定的参数运行基于r支配的Bare-bones粒子群算法；

步骤4.1、初始化个体最优位置pbest为当前位置，选取非支配粒子存入存储档案，设置循环次数T_r＝1；

步骤4.2、使用自适应网格与轮盘赌方法选取全局最优位置gbest，根据粒子位置更新公式更新当前粒子群；粒子位置更新公式如下所示：

其中：

式中：d表示粒子的维数；i表示第i个粒子；

代表粒子在t+1次迭代时的位置；

为粒子在t次迭代的个体最优位置；

为粒子在t次迭代的全局最优位置；r∈U(0,1)；rand代表随机数。

步骤4.3、对于当前粒子位置与pbest，依据r支配关系选择新的pbest；

步骤4.4、利用自适应网格法与r支配关系维护存储档案；r支配关系定义为：

当满足以下条件之一时，粒子x₁被认为r支配粒子x₂，记为x₁＜_rx₂：

(1)粒子x₁Pareto支配粒子x₂；

(2)粒子x₁与粒子x₂Pareto互不支配，且满足D(x₁,x₂,g)＜-δ。其中δ∈[0,1]为非r支配阈值，且有

其中：

式中：g为参考点；w_i为第i个目标函数值的权重；P代表粒子种群；

代表第i个目标函数的最值。

步骤4.5、令T_r＝T_r+1，如果T_r＞T_{r_max}，则输出存储档案中的解；否则，跳转至步骤4.2。

步骤5、将上层算法所得优化结果存储到外部存储档案，保留非r支配解的同时利用自适应网格法对档案进行维护；其中自适应网格法为：将目标空间划分为若干个网格，由粒子的目标向量值确定每个粒子的所在网格。根据每个网格中粒子的数量进行排序，在粒子数量最多的网格随机舍弃一个粒子。

步骤6、令T_h＝T_h+1，如果T_h＞T_{h_max}，则输出外部存储档案中的结果，结束算法；否则，从外部存储档案中随机选取k个解替换子群中的k个个体，跳转至步骤3。

在本实施例中，选取云多目标粒子群算法(CMOPSO)作为对比来说明本发明基于改进分层算法的充液挠性航天器参数优化方法的有效性与可行性。

对比算法CMOPSO参数选择：种群大小：35；惯性权重：0.4；加速常数：(0.3,0.3)；最大迭代次数：100。

每种算法保持评价次数相同，然后对所述充液挠性航天器优化模型重复运行3次，统计所得解得数量与满足控制要求的解得数量以及算法运行时间如表1所示，各随机选取两个算法所得的一组解决方案如表2所示。

表1两种算法单次运行的结果

表2两种算法的优化结果

通过表1可以看出在三次运行中虽然本发明改进分层算法所得解的总体数量较少，但是所得解基本满足控制要求，而对比算法CMOPSO所得解的整体数量较多但是能够满足控制要求的解基本不存在。并且本发明改进分层算法在运行时间相比于CMOPSO也有一定的优势。通过表2可以看出本发明改进分层算法所得解决方案使得航天器在46.75s内达到稳定状态，并且航天器三轴的稳定度都能达到10^-6°/s数量级，而对比算法CMOPSO所得解决方案虽然使得航天器在41.65s内达到稳定状态，但是航天器三轴的稳定度只能达到10^-4°/s数量级，横滚轴与偏航轴的稳定度均不能达到控制要求。

通过本实施例的仿真结果可以看出，相对于CMOPSO，本发明的基于改进分层算法的充液挠性航天器参数优化方法在运行时间以及单次运行结果的稳定性上具有显著优势，而且所得解决方案能够很好的使充液挠性航天器的控制性能满足任务需求，证明了本发明的有效性和优越性。

Claims (1)

1.一种基于改进分层算法的充液挠性航天器参数优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、根据充液挠性航天器的控制系统，选取控制性能指标作为优化目标；

步骤2、选取影响控制性能的控制器参数与路径参数作为决策变量，建立充液挠性航天器的多目标优化模型；

步骤3、使用改进分层算法对充液挠性航天器的控制器参数和路径参数进行优化，所述改进分层算法为：将算法分为上下两层，其中算法下层由N个子群构成，每个子群采用NSGA-II算法，为算法上层提供精英个体并从上层算法得到反馈个体改善种群；算法上层由精英群和外部存储档案构成，精英群采用基于r支配的Bare-bones粒子群算法，外部存储档案存储每次迭代后的最优解；

步骤1所述选取控制性能指标作为优化目标，所选取的控制性能指标如下：

1)充液挠性航天器三轴到达设定指向精度的调节时间A_i(x)：

式中：t_s为调节时间，t_p为大于规定时间的任意正常数，i＝1,2,3代表航天器的三个本体轴；

2)充液挠性航天器稳定后姿态角速度的均方根值，即稳定度B_i(x)：

式中：N_s为采样次数，

期望姿态角速度，

为实际姿态角速度；n是求和函数Σ的计数，表示从第一次加到第N_s次；

步骤2所述建立充液挠性航天器的多目标优化模型，具体为：

subject to

0＜a_i≤a_{i_max},

0＜2T_i+2T_i1+T_i2≤T_max

K_{pi_min}≤K_pi≤K_{pi_max}

K_{di_min}≤K_di≤K_{di_max}

式中：x＝[a₁,a₂,a₃,T₁,T₂,T₃,K_p1,K_p2,K_p3,K_d1,K_d2,K_d3]为决策变量；Rⁿ表示n维实数域；a_i,T_i为待优化的路径参数，a_i是航天器角加速度，T_i是七段正弦型路径的正弦周期；K_pi,K_di为待优化的控制器参数，K_pi是PD控制器的比例系数，K_di是PD控制器的微分系数；

为所使用七段正弦型路径的参数，α_d为期望姿态，a_{i_max}为航天器能达到的最大加速度，V_max是航天器能达到的最大速度，T_max为规定时间，K_{pi_min}和K_{pi_max}为PD控制器比例系数最小值和最大值，K_{di_min}和K_{di_max}为PD控制器微分系数最小值和最大值；

步骤3所述改进分层算法：将算法分为上下两层，其中算法下层由N个子群构成，每个子群采用NSGA-II算法，为算法上层提供精英个体并从上层算法得到反馈个体改善种群；算法上层由精英群和外部存储档案构成，精英群采用基于r支配的Bare-bones粒子群算法，外部存储档案存储每次迭代后的最优解，具体包括以下步骤：

步骤3.1、初始化：初始化算法下层子群数量N，每个子群的种群大小N_n，最大迭代次数T_{n_max}；初始化算法上层的种群大小N_r，存储档案大小N_a，最大迭代次数T_{r_max}；初始化外部存储档案大小N_h，反馈个体个数k，总体迭代次数T_{h_max}，非r支配阈值δ，参考点g，权重向量w，自适应网格参数N_g；

步骤3.2、随机初始化所设定的N个子群，设置循环次数T_h＝1；

步骤3.3、根据设定的参数对每个子群依次运行NSGA-II算法；

步骤3.4、选取每个子群的前N_r/N的个体构成上层算法的种群，根据设定的参数运行基于r支配的Bare-bones粒子群算法；

步骤3.5、将上层算法所得优化结果存储到外部存储档案，保留非r支配解的同时利用自适应网格法对档案进行维护；

步骤3.6、令T_h＝T_h+1，如果T_h＞T_{h_max}，则输出外部存储档案中的结果，结束算法；否则，从外部存储档案中随机选取k个解替换子群中的k个个体，跳转至步骤3.3；

步骤3.3中所述NSGA-II算法，具体包括以下步骤：

步骤3.3.1、设置循环次数T_n＝1；

步骤3.3.2、根据父代种群，进行选择、交叉、编译操作产生子代种群；

步骤3.3.3、合并子代和父代种群，进行非支配排序；

步骤3.3.4、对每个非支配层中的个体进行拥挤度计算，根据非支配关系以及个体的拥挤度选取个体组成新的父代种群；

步骤3.3.5、令T_n＝T_n+1，如果T_n＞T_{n_max}，则输出带有支配关系的父代种群；否则，跳转至步骤3.3.2；

步骤3.4中所述基于r支配的Bare-bones粒子群算法，具体包括以下步骤：

步骤3.4.1、初始化个体最优位置pbest为当前位置，选取非支配粒子存入存储档案，设置循环次数T_r＝1；

步骤3.4.2、使用自适应网格与轮盘赌方法选取全局最优位置gbest，根据粒子位置更新公式更新当前粒子群；

步骤3.4.3、对于当前粒子位置与个体最优位置pbest，依据r支配关系选择新的个体最优位置pbest；

步骤3.4.4、利用自适应网格法与r支配关系维护存储档案；

步骤3.4.5、令T_r＝T_r+1，如果T_r＞T_{r_max}，则输出存储档案中的解；否则，跳转至步骤3.4.2；

步骤3.4.2中所述的粒子位置更新公式为：

其中：

式中：d表示粒子的维数；i表示第i个粒子；

代表粒子在t+1次迭代时的位置；

为粒子在t次迭代的个体最优位置；

为粒子在t次迭代的全局最优位置；r∈U(0,1)；rand代表随机数；

步骤3.4.3中所述的r支配关系定义为：

当满足以下条件之一时，粒子x₁被认为r支配粒子x₂，记为x₁＜_rx₂：

(1)粒子x₁Pareto支配粒子x₂；

(2)粒子x₁与粒子x₂Pareto互不支配，且满足D(x₁,x₂,g)＜-δ，其中δ∈[0,1]为非r支配阈值，且有

其中：

式中：x为x₁或x₂；g为参考点；w_i为第i个目标函数值的权重；P代表粒子种群；f_i ^max,f_i ^min代表第i个目标函数的最值；

步骤3.5中所述的自适应网格法为：将目标空间划分为若干个网格，由粒子的目标向量值确定每个粒子的所在网格，根据每个网格中粒子的数量进行排序，在粒子数量最多的网格中随机舍弃一个粒子；

步骤3.6中所述的从外部存储档案中随机选取k个解替换子群中的k个个体，k的设置依据为：

定义反馈率β为：

当β＝0时，没有个体反馈；当β＝1时，反馈个体将下层子群个体全部代替；根据实验所得，取β＝0.1～0.4。

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