CN111010146A - 一种基于快速滤波器组的信号重构结构及其设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于快速滤波器组的信号重构结构及其设计方法，属于滤波器组技术领域。包括基于FFB的分析滤波器组(AFFB)结构和基于FFB的综合滤波器组(SFFB)结构。AFFB和SFFB结构都由L级滤波器组构成，AFFB将输入信号频谱均匀划分为N个子信道(N＝2^L)，根据检测处理单元，通过SFFB对相邻子信道的信号进行重构还原成原来的信号。对各级的原型滤波器进行设计，每个滤波器可由对各级原型滤波器和互补滤波器的传递函数进行因子替换得到。FFB技术实现了低复杂度和良好频响特性的统一，适用于具有窄过渡带特性的滤波器组设计，使其具有良好的相邻子通道合并特性。本发明给出的结构与其他设计方法相比，具有更低的实现复杂度，节省了大量的硬件资源。

Description

一种基于快速滤波器组的信号重构结构及其设计方法

技术领域

本发明属于滤波器组技术领域，具体涉及基于快速滤波器组的信号重构结构及其设计方法。

背景技术

信号重构技术是近年来发展十分迅速的一种信号处理技术，它主要研究如何将处理过的信号还原成原来的信号。信号重构技术已广泛应用于光学通讯、图像处理、语音处理、地球物理信号处理、电子显微学、天文学、古地磁学、x射线结晶学等学科领域，并越来越受到人们的重视。

多速率信号处理是信号处理理论中的重要组成部分，凭借自身的许多优点受到了广大学者们的关注，并且应用于多个领域之中，而多速率信号处理理论的核心是由多个频率特性相关的滤波器构成的滤波器组。滤波器组是一组具有共同的输入或者共同的相加后的输出的滤波器。一般情况下，滤波器组用来实现对信号频率的各种分量进行分解，然后我们可以根据需要对各个子信号进行不同的处理或传输，在另一端再用一组滤波器将处理后的子信号进行综合。用来对信号进行分解的滤波器组我们称之为分析滤波器组，用来对信号进行综合的滤波器组我们称之为综合滤波器组。随着多速率信号处理技术的发展，滤波器组在数字通信、图像处理和信号处理等领域都得到了广泛的应用。

对于滤波器组的重构结构，比较常见的有基于树型结构、基于Farrow结构以及基于分析和综合滤波器组几种形式。在基于分析和综合滤波器组的形式中，目前主要运用的滤波器有基于可完全重构或近似完全重构的余弦调制滤波器组、正弦调制滤波器组、复指数调制滤波器组、调制DFT滤波器组和DFT滤波器组。由于FFB是一种非常有效的低复杂度滤波器组设计方法，本文利用AFFB和SFFB方法实现信号的重构。

在FFB研究方面，文献《快速滤波器组技术及在实时频谱分析中的应用研究》、《快速滤波器组在频率估计中的应用与研究》和文献《Low-complexity reconfigurable fastfilter bank for multi-standard wireless receivers》都是对基于FFB的分析滤波器组部分进行研究，与本发明设计结构不同；在滤波器组重构部分，文献《基于FRM的低复杂度信号重构系统研究》、专利《一种基于时域稀疏性的FRI信号重构方法》和专利《一种多通道声信号重构方法》都不是采用快速滤波器组实现信号重构，与本发明所用方法不同。

发明内容

本发明的目的在于提供实现低复杂度滤波器组信号重构的基于快速滤波器组的信号重构结构及其设计方法。

本发明的目的通过以下技术方案来实现：

基于快速滤波器组的信号重构结构及其设计方法，包括AFFB和SFFB结构及其设计方法，步骤如下：

针对AFFB结构及其设计方法，其设计步骤为：

步骤1：确定子信道数N，得到滤波器级数L。对于N通道AFFB，其对应的总级数L＝log₂ N，各级编号采用升序次序，即其各级编号k分别为0，…,L-2，L-1。全局通带边界频率为ω_p，阻带边界频率为ω_s，通带纹波δ_p，阻带衰减δ_s。

步骤2：令φ_n(n＝0,1,...，N-1)为通道n的通带边界频率，则有：

φ₀＝ω_p (1)

AFFB的通道频率响应由第0级的子滤波器的频率响应决定，令θ_k(k＝0,1,...,L-1)为第k级原型滤波器的通带边界频率，θ_k,m(k＝0,1,...,L-1,m＝0,1,...，2^k-1)为第k级的第m个子滤波器的通带边界频率，则θ_0,0与φ₀满足：

θ_0,0＝φ₀ (2)

步骤3：假设每个通道的过渡带宽为ω_t，有ω_t＝ω_s-ω_p。计算得出每个通道的带宽B以及通道0的通带边界频率φ₀:

Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1 (3)

Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1 (4)

步骤4：对0级滤波器进行插值，插值系数为Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1，由升采样的频域特性可知，子滤波器插值后的频谱相较于原型滤波器压缩了2^L-1倍，因此可得第0级原型滤波器通带边界θ₀与子滤波器的通带边界θ_0，0之间的关系式：

步骤5：结合(2)、(4)、(5)可得θ₀关于通道数N以及通道过渡带宽ω_t的表达式：

步骤6：由于滤波器的复杂度随着过渡带的变宽而降低，因此为了降低FFB的总体复杂度，设计各级原型滤波器主传递函数和互补滤波器的传递函数

和

(k＝0,1,...,L-1)的过渡带应尽量地宽，各级原型滤波器通带边界频率θ_k的宽松边界：

结合式(5)、(6)、(7)得到各级原型滤波器的通带边界频率θ_k(k＝1,...,L-1)的表达式：

步骤7：对于给定的全局通带纹波δ_p和阻带衰减δ_s，由于每个子滤波器对最终得到的通道频率响应的纹波幅度的影响十分复杂，因此很难确定各级的最优通带纹波。所以假设各级的子滤波器均为等纹波滤波器，通带纹波δ定义为：

δ＝min(δ_p/_L,δ_s) (10)

步骤8：H^k,m(z)表示第k(k＝0,1,...,L-1)级的第m(m＝0,1,...,2^k-1)个子滤波器，

和

分别表示H^k,m(z)上下支路的主传递函数和互补传递函数。为了更清楚的表示，用 m_n,k代替m表示n通道的第k级的第m个子滤波器的编号，则

为m_n,k的二进制编码的倒置编码对应的十进制编码所对应的值，则

和

可通过将原型滤波器对

和

的z因子替换为

得到，其中

步骤9：AFFB结构中通道n(n＝0,1,...,N-1)的频率响应是由各级的子滤波器级联而成，满足

其中α_AN为归一化因子，

为各级子滤波器的频率响应。

针对SFFB结构及其设计方法，其设计步骤为：

步骤1：确定子信道数N，得到滤波器级数L。对于N通道SFFB，其对应的总级数L＝log₂ N，各级编号采用降序次序，即其各级编号k分别为L-1,L-2,…,0。与AFFB采用相同的全局设计参数，全局通带边界频率为ω_p，阻带边界频率为ω_s，通带纹波δ_p，阻带衰减δ_s。

步骤2：令φ_n(n＝0,1,...，N-1)为通道n的通带边界频率，则有：

φ₀＝ω_p (12)

SFFB的通道频率响应由第0级的子滤波器的频率响应决定，令θ_k(k＝0,1,...,L-1)为第k级原型滤波器的通带边界频率，θ_k,m(k＝0,1,...,L-1,m＝0,1,...，2^k-1)为第k级的第m个子滤波器的通带边界频率，则θ_0,0与φ₀满足：

θ_0,0＝φ₀ (13)

步骤3：假设每个通道的过渡带宽为ω_t，有ω_t＝ω_s-ω_p。计算得出每个通道的带宽B以及通道0的通带边界频率φ₀:

Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1 (14)

Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1 (15)

步骤4：对0级滤波器进行插值，插值系数为Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1，由升采样的频域特性可知，子滤波器插值后的频谱相较于原型滤波器压缩了2^L-1倍，因此可得第0级原型滤波器通带边界θ₀与子滤波器的通带边界θ_0，0之间的关系式：

步骤5：结合(13)、(15)、(16)可得θ₀关于通道数N以及通道过渡带宽ω_t的表达式：

步骤6：由于滤波器的复杂度随着过渡带的变宽而降低，因此为了降低FFB的总体复杂度，设计各级原型滤波器主传递函数和互补滤波器的传递函数

和

(k＝0,1,...,L-1)的过渡带应尽量地宽，各级原型滤波器通带边界频率θ_k的宽松边界：

结合式(16)、(17)、(18)得到各级原型滤波器的通带边界频率θ_k(k＝1,...,L-1)的表达式：

步骤7：对于给定的全局通带纹波δ_p和阻带衰减δ_s，由于每个子滤波器对最终得到的通道频率响应的纹波幅度的影响十分复杂，因此很难确定各级的最优通带纹波。所以假设各级的子滤波器均为等纹波滤波器，通带纹波δ定义为：

δ＝min(δ_p/_L,δ_s) (21)

步骤8：SFFB中各子滤波器可视作两输入单输出子系统，位于第k(k＝0,1,...,L-1)级的第 m(m＝0,1,...,2^k-1)个子滤波器传递函数为

相应的，用

和

分别表示

上下支路的主传递函数和互补传递函数，则

和

满足式：

仍然表示m_n,k的二进制编码的倒置编码对应的十进制编码所对应的值， Q_k＝2^L-1-k仍然表示第k级的插值系数，则第k级的第m_n,k个(m_n,k＝0,1，...，2^k-1)子滤波器对的频率响应满足式(23)、(24)：

步骤9：SFFB结构中通道

的频率响应由各级的子滤波器级联而成，满足

其中

为归一化因子，

为SFFB各级子滤波器的传递函数。

本发明的有益效果在于：

本发明提供一种基于快速滤波器组的信号重构结构及其设计方法，利用AFFB和SFFB方法实现信号重构。AFFB将输入信号频谱均匀划分，SFFB再将划分后的子信道的信号重构还原成原来的信号。本发明给出的结构在相同指标的情况下，与其他设计方法相比，具有更低的实现复杂度，节省了大量的硬件资源。

附图说明

图1为本发明中基于FFB的信号重构整体结构图；

图2为本发明中基于FFB的分析滤波器组结构图；

图3为本发明中基于FFB的综合滤波器组结构图；

图4为本发明中基于FFB的滤波器组的频率响应图；

图5为本发明的输入信号幅频特性仿真图；

图6为本发明的经过AFFB结构后子信道的信号幅频特性仿真图；

图7为本发明的经过SFFB结构后重构信号幅频特性仿真图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步说明：

基于快速滤波器组的信号重构结构及其设计方法，其特征在于该结构采用基于FFB的分析滤波器组(AFFB，Analysis Fast Filter Bank)结构和基于FFB的综合滤波器组(SFFB， Synthesis Fast Filter Bank)结构组合的方式实现信号的重构，基于快速滤波器组的信号重构结构及其设计方法，包括AFFB和SFFB结构及其设计方法；

AFFB和SFFB结构都由L级滤波器组构成，AFFB将输入信号频谱均匀划分为N个子信道，根据检测处理单元，通过SFFB对相邻子信道的信号进行重构还原成原来的信号，对各级的原型滤波器进行设计，每个滤波器可由对各级原型滤波器和互补滤波器的传递函数进行因子替换得到。

图1为基于FFB的信号重构整体结构图，左半部分为AFFB结构，更详细的信道划分如图 2所示，右半部分为SFFB结构，更详细的信道划分如图3所示。其中间环节部分为信号的检测单元。

图2为基于FFB的分析滤波器组结构图，设计方法如下：

步骤1：确定子信道数N，得到滤波器级数L。对于N通道AFFB，其对应的总级数L＝log₂ N，各级编号采用升序次序，即其各级编号k分别为0，…,L-2，L-1。全局通带边界频率为ω_p，阻带边界频率为ω_s，通带纹波δ_p，阻带衰减δ_s。

步骤2：令φ_n(n＝0,1,...，N-1)为通道n的通带边界频率，则有：

φ₀＝ω_p (1)

AFFB的通道频率响应由第0级的子滤波器的频率响应决定，令θ_k(k＝0,1,...,L-1)为第k级原型滤波器的通带边界频率，θ_k,m(k＝0,1,...,L-1,m＝0,1,...，2^k-1)为第k级的第m个子滤波器的通带边界频率，则θ_0,0与φ₀满足：

θ_0,0＝φ₀ (2)

步骤3：假设每个通道的过渡带宽为ω_t，有ω_t＝ω_s-ω_p。计算得出每个通道的带宽B以及通道0的通带边界频率φ₀:

Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1 (3)

Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1 (4)

步骤4：对0级滤波器进行插值，插值系数为Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1，由升采样的频域特性可知，子滤波器插值后的频谱相较于原型滤波器压缩了2^L-1倍，因此可得第0级原型滤波器通带边界θ₀与子滤波器的通带边界θ_0，0之间的关系式：

步骤5：结合(2)、(4)、(5)可得θ₀关于通道数N以及通道过渡带宽ω_t的表达式：

步骤6：由于滤波器的复杂度随着过渡带的变宽而降低，因此为了降低FFB的总体复杂度，设计各级原型滤波器主传递函数和互补滤波器的传递函数

和

(k＝0,1,...,L-1)的过渡带应尽量地宽，各级原型滤波器通带边界频率θ_k的宽松边界：

结合式(5)、(6)、(7)得到各级原型滤波器的通带边界频率θ_k(k＝1,...,L-1)的表达式：

步骤7：对于给定的全局通带纹波δ_p和阻带衰减δ_s，由于每个子滤波器对最终得到的通道频率响应的纹波幅度的影响十分复杂，因此很难确定各级的最优通带纹波。所以假设各级的子滤波器均为等纹波滤波器，通带纹波δ定义为：

δ＝min(δ_p/_L,δ_s) (10)

步骤8：H^k,m(z)表示第k(k＝0,1,...,L-1)级的第m(m＝0,1,...,2^k-1)个子滤波器，

和

分别表示H^k,m(z)上下支路的主传递函数和互补传递函数。为了更清楚的表示，用 m_n,k代替m表示n通道的第k级的第m个子滤波器的编号，则

为m_n,k的二进制编码的倒置编码对应的十进制编码所对应的值，则

和

可通过将原型滤波器对

和

的z因子替换为

得到，其中

步骤9：AFFB结构中通道n(n＝0,1,...,N-1)的频率响应是由各级的子滤波器级联而成，满足

其中α_AN为归一化因子，

为各级子滤波器的频率响应。

图3为基于FFB的综合滤波器组结构图，设计方法如下：

步骤1：确定子信道数N，得到滤波器级数L。对于N通道SFFB，其对应的总级数L＝log₂ N，各级编号采用降序次序，即其各级编号k分别为L-1,L-2,…,0。与AFFB采用相同的全局设计参数，全局通带边界频率为ω_p，阻带边界频率为ω_s，通带纹波δ_p，阻带衰减δ_s。

步骤2：令φ_n(n＝0,1,...，N-1)为通道n的通带边界频率，则有：

φ₀＝ω_p (12)

SFFB的通道频率响应由第0级的子滤波器的频率响应决定，令θ_k(k＝0,1,...,L-1)为第k级原型滤波器的通带边界频率，θ_k,m(k＝0,1,...,L-1,m＝0,1,...，2^k-1)为第k级的第m个子滤波器的通带边界频率，则θ_0,0与φ₀满足：

θ_0,0＝φ₀ (13)

步骤3：假设每个通道的过渡带宽为ω_t，有ω_t＝ω_s-ω_p。计算得出每个通道的带宽B以及通道0的通带边界频率φ₀:

Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1 (14)

Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1 (15)

步骤4：对0级滤波器进行插值，插值系数为Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1，由升采样的频域特性可知，子滤波器插值后的频谱相较于原型滤波器压缩了2^L-1倍，因此可得第0级原型滤波器通带边界θ₀与子滤波器的通带边界θ₀，₀之间的关系式：

步骤5：结合(13)、(15)、(16)可得θ₀关于通道数N以及通道过渡带宽ω_t的表达式：

步骤6：由于滤波器的复杂度随着过渡带的变宽而降低，因此为了降低FFB的总体复杂度，设计各级原型滤波器主传递函数和互补滤波器的传递函数

和

(k＝0,1,...,L-1)的过渡带应尽量地宽，各级原型滤波器通带边界频率θ_k的宽松边界：

结合式(16)、(17)、(18)得到各级原型滤波器的通带边界频率θ_k(k＝1,...,L-1)的表达式：

步骤7：对于给定的全局通带纹波δ_p和阻带衰减δ_s，由于每个子滤波器对最终得到的通道频率响应的纹波幅度的影响十分复杂，因此很难确定各级的最优通带纹波。所以假设各级的子滤波器均为等纹波滤波器，通带纹波δ定义为：

δ＝min(δ_p/_L,δ_s) (21)

步骤8：SFFB中各子滤波器可视作两输入单输出子系统，位于第k(k＝0,1,...,L-1)级的第 m(m＝0,1,...,2^k-1)个子滤波器传递函数为

相应的，用

和

分别表示

上下支路的主传递函数和互补传递函数，则

和

满足式：

仍然表示m_n,k的二进制编码的倒置编码对应的十进制编码所对应的值， Q_k＝2^L-1-k仍然表示第k级的插值系数，则第k级的第m_n,k个(m_n,k＝0,1，...，2^k-1)子滤波器对的频率响应满足式(23)、(24)：

步骤9：SFFB结构中通道

的频率响应由各级的子滤波器级联而成，满足

其中

为归一化因子，

为SFFB各级子滤波器的传递函数。

为了验证本发明的有效性，根据上述设计方法进行了仿真实验。

设计的全局指标如下：(1)通道数N＝16，FFB级数L＝4，(2)全局通带边界频率ω_p＝0.0612π，ω_s＝0.0638π，过渡带宽度Δb＝0.0026π,(3)通带纹波δ_p小于0.04dB，阻带衰减δ_s大于80dB。由全局指标确定滤波器的各级原型滤波器的通带频率θ_k分别为 0.4896π、0.2552π、0.1276π和0.0638π。系统采样频率设定为960KHz，输入信号为2个实信号同时输入，分别为110KHz-180KHz的线性调频信号和300KHz的正弦信号。图4为基于 FFB的滤波器组的频率响应图，图5为输入信号幅频特性仿真图；图6为信号经过AFFB结构后子信道的幅频特性仿真图；图7为信号经过SFFB结构后重构信号幅频特性仿真图。

表1为在滤波器过渡带宽相等的情况下(Δb＝0.0026π)，16通道基于FFB的信号重构结构与基于低通滤波器组(LPFB)、多相滤波器组(PPFB)、频率响应屏蔽技术的滤波器组(FRM) 几种常用方法的重构结构的复杂度以及延时的对比。

表1复杂度及延时对比

通过表1的重构滤波器组复杂度数据表数据对比可知，在滤波器过渡带宽相等的情况下 (Δb＝0.0026π)，本发明所推导出的基于FFB的信号重构结构相比于基于多相结构的信号重构结构、基于FRM的信号重构结构分别节省了66.79％和62.16％的复杂度，延时比多相结构增加了3.85倍，但是比基于FRM的重构结构的延时减少了56.95％。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.基于快速滤波器组的信号重构结构及其设计方法，其特征在于该结构采用基于FFB的分析滤波器组(AFFB，Analysis Fast Filter Bank)结构和基于FFB的综合滤波器组(SFFB，Synthesis Fast Filter Bank)结构组合的方式实现信号的重构，基于快速滤波器组的信号重构结构及其设计方法，包括AFFB和SFFB结构及其设计方法；

AFFB和SFFB结构都由L级滤波器组构成，AFFB将输入信号频谱均匀划分为N个子信道(N＝2^L)，根据检测处理单元，通过SFFB对相邻子信道的信号进行重构还原成原来的信号，对各级的原型滤波器进行设计，每个滤波器可由对各级原型滤波器和互补滤波器的传递函数进行因子替换得到。

2.根据权利要求1所述的基于快速滤波器组的信号重构结构及其设计方法，其特征在于，所述的基于FFB的分析滤波器组中每级的滤波器设计方法如下：

步骤1：确定子信道数N，得到滤波器级数L，对于N通道AFFB，其对应的总级数L＝log₂N，各级编号采用升序次序，即其各级编号k分别为0，…,L-2，L-1，全局通带边界频率为ω_p，阻带边界频率为ω_s，通带纹波δ_p，阻带衰减δ_s；

步骤2：令φ_n(n＝0,1,...，N-1)为通道n的通带边界频率，则有：

φ₀＝ω_p (1)

AFFB的通道频率响应由第0级的子滤波器的频率响应决定，令θ_k(k＝0,1,...,L-1)为第k级原型滤波器的通带边界频率，θ_k,m(k＝0,1,...,L-1,m＝0,1,...，2^k-1)为第k级的第m个子滤波器的通带边界频率，则θ_0,0与φ₀满足：

θ_0,0＝φ₀ (2)

步骤3：假设每个通道的过渡带宽为ω_t，有ω_t＝ω_s-ω_p，计算得出每个通道的带宽B以及通道0的通带边界频率φ₀:

Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1 (3)

Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1 (4)

步骤4：对0级滤波器进行插值，插值系数为Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1，由升采样的频域特性可知，子滤波器插值后的频谱相较于原型滤波器压缩了2^L-1倍，因此可得第0级原型滤波器通带边界θ₀与子滤波器的通带边界θ_0，0之间的关系式：

步骤5：结合(2)、(4)、(5)可得θ₀关于通道数N以及通道过渡带宽ω_t的表达式：

步骤6：由于滤波器的复杂度随着过渡带的变宽而降低，因此为了降低FFB的总体复杂度，设计各级原型滤波器主传递函数和互补滤波器的传递函数

和

的过渡带应尽量地宽，各级原型滤波器通带边界频率θ_k的宽松边界：

结合式(5)、(6)、(7)得到各级原型滤波器的通带边界频率θ_k(k＝1,...,L-1)的表达式：

步骤7：对于给定的全局通带纹波δ_p和阻带衰减δ_s，由于每个子滤波器对最终得到的通道频率响应的纹波幅度的影响十分复杂，因此很难确定各级的最优通带纹波，所以假设各级的子滤波器均为等纹波滤波器，通带纹波δ定义为：

δ＝min(δ_p/L,δ_s) (10)

步骤8：H^k,m(z)表示第k(k＝0,1,...,L-1)级的第m(m＝0,1,...,2^k-1)个子滤波器，

和

分别表示H^k,m(z)上下支路的主传递函数和互补传递函数，为了更清楚的表示，用m_n,k代替m表示n通道的第k级的第m个子滤波器的编号，则

为m_n,k的二进制编码的倒置编码对应的十进制编码所对应的值，则

和

可通过将原型滤波器对

和

的z因子替换为

得到，其中

步骤9：AFFB结构中通道n(n＝0,1,...,N-1)的频率响应是由各级的子滤波器级联而成，满足

其中α_AN为归一化因子，

为各级子滤波器的频率响应。

3.根据权利要求1所述的基于快速滤波器组的信号重构结构及其设计方法，其特征在于，所述的基于FFB的综合滤波器组中每级的滤波器设计方法如下：

步骤1：确定子信道数N，得到滤波器级数L，对于N通道SFFB，其对应的总级数L＝log₂N，各级编号采用降序次序，即其各级编号k分别为L-1,L-2,…,0，与AFFB采用相同的全局设计参数，全局通带边界频率为ω_p，阻带边界频率为ω_s，通带纹波δ_p，阻带衰减δ_s；

步骤2：令φ_n(n＝0,1,...，N-1)为通道n的通带边界频率，则有：

φ₀＝ω_p (12)

SFFB的通道频率响应由第0级的子滤波器的频率响应决定，令θ_k(k＝0,1,...,L-1)为第k级原型滤波器的通带边界频率，θ_k,m(k＝0,1,...,L-1,m＝0,1,...，2^k-1)为第k级的第m个子滤波器的通带边界频率，则θ_0,0与φ₀满足：

θ_0,0＝φ₀ (13)

步骤3：假设每个通道的过渡带宽为ω_t，有ω_t＝ω_s-ω_p，计算得出每个通道的带宽B以及通道0的通带边界频率φ₀:

Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1 (14)

Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1 (15)

步骤4：对0级滤波器进行插值，插值系数为Q₀＝2^L-1-k|_k＝0＝2^L-1，由升采样的频域特性可知，子滤波器插值后的频谱相较于原型滤波器压缩了2^L-1倍，因此可得第0级原型滤波器通带边界θ₀与子滤波器的通带边界θ_0，0之间的关系式：

步骤5：结合(13)、(15)、(16)可得θ₀关于通道数N以及通道过渡带宽ω_t的表达式：

步骤6：由于滤波器的复杂度随着过渡带的变宽而降低，因此为了降低FFB的总体复杂度，设计各级原型滤波器主传递函数和互补滤波器的传递函数

和

的过渡带应尽量地宽，各级原型滤波器通带边界频率θ_k的宽松边界：

结合式(16)、(17)、(18)得到各级原型滤波器的通带边界频率θ_k(k＝1,...,L-1)的表达式：

步骤7：对于给定的全局通带纹波δ_p和阻带衰减δ_s，由于每个子滤波器对最终得到的通道频率响应的纹波幅度的影响十分复杂，因此很难确定各级的最优通带纹波，所以假设各级的子滤波器均为等纹波滤波器，通带纹波δ定义为：

δ＝min(δ_p/L,δ_s) (21)

步骤8：SFFB中各子滤波器可视作两输入单输出子系统，位于第k(k＝0,1,...,L-1)级的第m(m＝0,1,...,2^k-1)个子滤波器传递函数为

相应的，用

和

分别表示

上下支路的主传递函数和互补传递函数，则

和

满足式：

仍然表示m_n,k的二进制编码的倒置编码对应的十进制编码所对应的值，Q_k＝2^{L -1-k}仍然表示第k级的插值系数，则第k级的第m_n,k个(m_n,k＝0,1，...，2^k-1)子滤波器对的频率响应满足式(23)、(24)：

步骤9：SFFB结构中通道

的频率响应由各级的子滤波器级联而成，满足

其中

为归一化因子，

为SFFB各级子滤波器的传递函数。

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