CN111007418A - 一种基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法 - Google Patents

一种基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法 Download PDF

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CN111007418A CN201911394074.7A CN201911394074A CN111007418A CN 111007418 A CN111007418 A CN 111007418A CN 201911394074 A CN201911394074 A CN 201911394074A CN 111007418 A CN111007418 A CN 111007418A
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Abstract

本发明公开了一种基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法，针对电池预测寿命提出一种q_指数分布函数，q_指数分布函数包括两个参数：q_指数分布函数均值λ和分形参数q，分形参数q具有分形意义，表明系统的灵活性，均值λ表明系统的稳定性，与系统的平均行为相关，使得本方法的参数估计简单，可通过调节分形参数q来不断逼近电池的实际数据，具有很强的扩展能力和灵活性。

Description

一种基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法
技术领域
本发明属于电池健康管理与荷电状态预测技术领域，具体涉及一种基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法。
背景技术
寿命是指，系统某种状态的持续时间。从统计分析的角度来看，寿命可以用一个非负随机变量来描述，该非负随机变量常用来表示自然界、人类社会或技术过程中某种状态的持续时间。对于产品而言，我们总是希望它质量可靠，使用寿命长。这里产品二字应该做广义的理解，可以是原件、部件或者整机、系统。
要对产品进行准确的寿命分析，必须对寿命总体的已有知识进行收集和归纳。当对待考察产品的寿命总体认识不足或者毫不知情时，采用非参数化方法进行寿命分析；当产品总体的寿命分布类型已知，只是若干或者有限个参数未知时，采用参数型方法来预测寿命。
目前，应用参数型方法解决产品寿命分析问题时，使用最多的分布类型是指数分布。指数密度分布(Exponential曲线)的重尾特征非常明显，即指数密度分布曲线在随机值很大时，概率不会迅速收敛到零。这在寿命分析中，重尾特性反映了一大类产品的寿命特征。然而，对某些产品而言，它的寿命密度分布，呈现出迅速衰减的特征，比如某些锂离子电池产品的使用寿命。
传统基于指数分布的寿命分析，在估计一类产品濒临失效状态时的寿命特征误差大，精度低，可扩展能力弱。实际中，在描述锂离子电池等涉及核心关键部件时，使用指数分布来估计剩余寿命，会产生过于乐观的寿命分析结果，从而会给实际系统安全决策和管理，引入潜藏风险。
目前使用比较广泛的第二种寿命分析函数是两参数威布尔分布，威布尔密度函数随着形状因子的调节而适应不同的产品寿命分析场景。这种可调参数带来了使用上的便利性。当形状因子等于1时，威布尔密度分布退化为指数密度分布。所以可以认为，威布尔密度分布是指数密度分布的扩展。
传统基于威布尔分布的寿命分析，在估计一类产品寿命特征时，往往需要进行形状参数估计，需要额外的计算力对未知参数进行估计，对样本数量和样本质量要求较高，实时实现难度较大。由此残剩的寿命估计方法，时间开销和空间开销会相应较大，不利于在线操作。
发明内容
针对现有技术中的上述不足，本发明提供的一种基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法解决了传统基于指数分布的寿命分析存在寿命特征误差大、精度低和可扩展能力弱问题。
为了达到上述发明目的，本发明采用的技术方案为：一种基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法，包括以下步骤：
S1、从电池测试数据集中提取出电池容量数据，对电池容量数据进行统计学预处理，得到电池容量数据精简集；
S2、采用PF粒子滤波方法对电池容量数据精简集进行状态跟踪，确定电池经验模型中的最优权重行向量值；
S3、根据电池经验模型中的最优权重行向量值，对锂电池的循环使用寿命进行预测，得到电池容量的估计值和锂电池的剩余寿命值RUL。
进一步地：步骤S1中所述统计学预处理包括：离群点剔除和数据精简。
进一步地：步骤S2中电池经验模型中的权重行向量值包括：第一权重行向量均值、第二权重行向量均值、第三权重行向量均值和第四权重行向量均值。
进一步地：步骤S2包括以下步骤：
S201、设定粒子数目N，并由电池容量q_指数型先验概率分布函数生成采样粒子集
Figure BDA0002345807530000031
且每个粒子的初始权重值为
Figure BDA0002345807530000032
初始化电池经验模型中的权重行向量值，k＝0，迭代次数k的最大值为M；
S202、根据电池经验模型中的权重行向量值、初始权重值
Figure BDA0002345807530000033
和粒子集
Figure BDA0002345807530000034
确定重要性概率密度；
S203、对重要性概率密度进行重要性采样，得到重要粒子集
Figure BDA0002345807530000035
Figure BDA0002345807530000036
并设置
Figure BDA0002345807530000037
其中，xk为第k次循环时的电池实际容量值，
Figure BDA0002345807530000038
为粒子集在第k次循环时的电池实际容量值，
Figure BDA0002345807530000039
为粒子集从0到k-1次循环的电池实际容量值，
Figure BDA00023458075300000310
为粒子集从0到k循环的电池实际容量值，y1:k为粒子集从1到k次循环时的电池实际测量值；
S204、计算重要粒子集
Figure BDA00023458075300000311
的重要性权重
Figure BDA00023458075300000312
S205、对重要性权重
Figure BDA00023458075300000313
进行归一化，得到归一化后的权重值
Figure BDA00023458075300000314
Figure BDA00023458075300000315
S206、根据权重值
Figure BDA00023458075300000316
计算有效样本数目Neff；
S207、判断有效样本数目Neff是否大于等于有效样本数目阈值，若是，则
Figure BDA00023458075300000317
若否，则根据权重值
Figure BDA00023458075300000318
进行重采样
Figure BDA00023458075300000319
S208、根据新的粒子集
Figure BDA00023458075300000320
对重要性权重
Figure BDA00023458075300000321
进行矩阵运算，对重要性权重
Figure BDA00023458075300000322
的每行进行求均值操作，得到第一权重行向量均值a(k)、第二权重行向量均值b(k)、第三权重行向量均值c(k)和第四权重行向量均值d(k)；
S209、根据第一权重行向量均值a(k)、第二权重行向量均值b(k)、第三权重行向量均值c(k)和第四权重行向量均值d(k)，得到电池容量的估计值；
S210、判断电池容量的估计值是否达到电池寿命终止的阈值，若是，则将循环次数k存入锂电池的剩余寿命值RUL缓存中，得到电池经验模型中的最优权重行向量值，若否，跳转至步骤S211；
S211、将k对应数值加1，根据背景噪声，采用状态方程设定与新k值对应的第一权重行向量均值a(k)、第二权重行向量均值b(k)、第三权重行向量均值c(k)和第四权重行向量均值d(k)，即得到新的电池经验模型中的权重行向量值，并跳转至步骤S202。
进一步地：步骤S3中包括以下步骤：
S301、设定迭代次数k的最大值为M；
S302、根据电池经验模型中的最优权重行向量值计算电池容量的估计值；
S303、判断迭代次数k是否等于M，若是，则终止迭代过程，若否，则将循环次数k存入锂电池的剩余寿命值RUL缓存中，并将k对应数值加1，则跳转至步骤S302。
进一步地：步骤S204中的重要性权重
Figure BDA0002345807530000041
的计算公式为；
Figure BDA0002345807530000042
其中，p()为概率函数。
进一步地：步骤S206中计算有效样本数目Neff的公式为：
Figure BDA0002345807530000043
进一步地：步骤S209中或步骤S302中电池容量的估计值的计算公式为：
Figure BDA0002345807530000044
其中，Qk为第k次循环的电池容量的估计值，λ为q_指数分布函数的均值，q为分形参数，vk为第k次循环的观测噪声，观测噪声vk为高斯白噪声，N(0,σk)表示观测噪声vk均值为0，方差为σk的高斯分布。
进一步地：步骤S211中采用状态方程设定与新k值对应的第一权重行向量均值a(k)、第二权重行向量均值b(k)、第三权重行向量均值c(k)和第四权重行向量均值d(k)的公式为：
Figure BDA0002345807530000051
Figure BDA0002345807530000052
Figure BDA0002345807530000053
Figure BDA0002345807530000054
其中，
Figure BDA0002345807530000055
为对应第k次循环电池容量的预测状态更新值a(k)的背景噪声，
Figure BDA0002345807530000056
为对应第k次循环电池容量的预测状态更新值b(k)的背景噪声，
Figure BDA0002345807530000057
为对应第k次循环电池容量的预测状态更新值c(k)的背景噪声，
Figure BDA0002345807530000058
为对应第k次循环电池容量的预测状态更新值d(k)的背景噪声；背景噪声
Figure BDA0002345807530000059
为高斯白噪声，N(0,σa)表示背景噪声
Figure BDA00023458075300000510
均值为0，方差为σa的高斯分布；背景噪声
Figure BDA00023458075300000511
为高斯白噪声，N(0,σb)表示背景噪声
Figure BDA00023458075300000512
均值为0，方差为σb的高斯分布；背景噪声
Figure BDA00023458075300000513
为高斯白噪声，N(0,σc)表示背景噪声
Figure BDA00023458075300000514
均值为0，方差为σa的高斯分布；背景噪声
Figure BDA00023458075300000515
为高斯白噪声，N(0,σd)表示背景噪声
Figure BDA00023458075300000516
均值为0，方差为σd的高斯分布。
本发明的有益效果为：一种基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法，针对电池预测寿命提出一种q_指数分布函数，q_指数分布函数包括两个参数：q_指数分布函数均值λ和分形参数q，分形参数q具有分形意义，表明系统的灵活性，均值λ表明系统的稳定性，与系统的平均行为相关，使得本方法的参数估计简单，可通过调节分形参数q来不断逼近电池的实际数据，具有很强的扩展能力和灵活性。
附图说明
图1为一种基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法流程图；
图2为三组电池的容量原始数据与充放电次数的关系图；
图3为电池005的预测结果对比图；
图4为电池006的预测结果对比图；
图5为电池018的预测结果对比图。
具体实施方式
下面对本发明的具体实施方式进行描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。
如图1所示，一种基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法，包括以下步骤：
S1、从电池测试数据集中提取出电池容量数据，对电池容量数据进行统计学预处理，得到电池容量数据精简集；
步骤S1中所述统计学预处理包括：离群点剔除和数据精简。
S2、采用PF粒子滤波方法对电池容量数据精简集进行状态跟踪，确定电池经验模型中的最优权重行向量值；
步骤S2中电池经验模型中的权重行向量值包括：第一权重行向量均值、第二权重行向量均值、第三权重行向量均值和第四权重行向量均值。
步骤S2包括以下步骤：
S201、设定粒子数目N，并由电池容量q_指数型先验概率分布函数生成采样粒子集
Figure BDA0002345807530000071
且每个粒子的初始权重值为
Figure BDA0002345807530000072
初始化电池经验模型中的权重行向量值，k＝0，迭代次数k的最大值为M；
S202、根据电池经验模型中的权重行向量值、初始权重值
Figure BDA0002345807530000073
和粒子集
Figure BDA0002345807530000074
确定重要性概率密度；
S203、对重要性概率密度进行重要性采样，得到重要粒子集
Figure BDA0002345807530000075
Figure BDA0002345807530000076
并设置
Figure BDA0002345807530000077
其中，xk为第k次循环时的电池实际容量值，
Figure BDA0002345807530000078
为粒子集在第k次循环时的电池实际容量值，
Figure BDA0002345807530000079
为粒子集从0到k-1次循环的电池实际容量值，
Figure BDA00023458075300000710
为粒子集从0到k循环的电池实际容量值，y1:k为粒子集从1到k次循环时的电池实际测量值；
S204、计算重要粒子集
Figure BDA00023458075300000711
的重要性权重
Figure BDA00023458075300000712
步骤S204中的重要性权重
Figure BDA00023458075300000713
的计算公式为；
Figure BDA00023458075300000714
其中，p()为概率函数。
S205、对重要性权重
Figure BDA00023458075300000715
进行归一化，得到归一化后的权重值
Figure BDA00023458075300000716
Figure BDA00023458075300000717
S206、根据权重值
Figure BDA00023458075300000718
计算有效样本数目Neff；
步骤S206中计算有效样本数目Neff的公式为：
Figure BDA00023458075300000719
S207、判断有效样本数目Neff是否大于等于有效样本数目阈值，若是，则
Figure BDA00023458075300000720
若否，则根据权重值
Figure BDA00023458075300000721
进行重采样
Figure BDA00023458075300000722
S208、根据新的粒子集
Figure BDA00023458075300000723
对重要性权重
Figure BDA00023458075300000724
进行矩阵运算，对重要性权重
Figure BDA0002345807530000081
的每行进行求均值操作，得到第一权重行向量均值a(k)、第二权重行向量均值b(k)、第三权重行向量均值c(k)和第四权重行向量均值d(k)；
S209、根据第一权重行向量均值a(k)、第二权重行向量均值b(k)、第三权重行向量均值c(k)和第四权重行向量均值d(k)，得到电池容量的估计值；
S210、判断电池容量的估计值是否达到电池寿命终止的阈值，若是，则将循环次数k存入锂电池的剩余寿命值RUL缓存中，得到电池经验模型中的最优权重行向量值，若否，跳转至步骤S211；
S211、将k对应数值加1，根据背景噪声，采用状态方程设定与新k值对应的第一权重行向量均值a(k)、第二权重行向量均值b(k)、第三权重行向量均值c(k)和第四权重行向量均值d(k)，即得到新的电池经验模型中的权重行向量值，并跳转至步骤S202。
步骤S211中采用状态方程设定与新k值对应的第一权重行向量均值a(k)、第二权重行向量均值b(k)、第三权重行向量均值c(k)和第四权重行向量均值d(k)的公式为：
Figure BDA0002345807530000082
Figure BDA0002345807530000083
Figure BDA0002345807530000084
Figure BDA0002345807530000085
其中，
Figure BDA0002345807530000086
为对应第k次循环电池容量的预测状态更新值a(k)的背景噪声，
Figure BDA0002345807530000087
为对应第k次循环电池容量的预测状态更新值b(k)的背景噪声，
Figure BDA0002345807530000088
为对应第k次循环电池容量的预测状态更新值c(k)的背景噪声，
Figure BDA0002345807530000089
为对应第k次循环电池容量的预测状态更新值d(k)的背景噪声；背景噪声
Figure BDA00023458075300000810
为高斯白噪声，N(0,σa)表示背景噪声
Figure BDA00023458075300000811
均值为0，方差为σa的高斯分布；背景噪声
Figure BDA00023458075300000812
为高斯白噪声，N(0,σb)表示背景噪声
Figure BDA0002345807530000091
均值为0，方差为σb的高斯分布；背景噪声
Figure BDA0002345807530000092
为高斯白噪声，N(0,σc)表示背景噪声
Figure BDA0002345807530000093
均值为0，方差为σa的高斯分布；背景噪声
Figure BDA0002345807530000094
为高斯白噪声，N(0,σd)表示背景噪声
Figure BDA0002345807530000095
均值为0，方差为σd的高斯分布。
S3、根据电池经验模型中的最优权重行向量值，对锂电池的循环使用寿命进行预测，得到电池容量的估计值和锂电池的剩余寿命值RUL。
步骤S3中包括以下步骤：
S301、设定迭代次数k的最大值为M；
S302、根据电池经验模型中的最优权重行向量值计算电池容量的估计值；
S303、判断迭代次数k是否等于M，若是，则终止迭代过程，若否，则将循环次数k存入锂电池的剩余寿命值RUL缓存中，并将k对应数值加1，则跳转至步骤S302。
步骤S209中或步骤S302中电池容量的估计值的计算公式为：
Figure BDA0002345807530000096
其中，Qk为第k次循环的电池容量的估计值，λ为q_指数分布函数的均值，q为分形参数，vk为第k次循环的观测噪声，观测噪声vk为高斯白噪声，N(0,σk)表示观测噪声vk均值为0，方差为σk的高斯分布。
将q_指数函数用于锂电池的剩余寿命估计，同时与常规的指数函数进行对比分析。实验数据采用美国宇航局(NASA)卓越预测中心(PCoE)提供的三组标准电池数据来预测锂离子电池的剩余使用寿命。三组电池(分别命名为电池005、电池006和电池0018)为同一类型，在室温下通过三种不同的工作曲线(充电、放电和阻抗)进行加速老化试验，这类电池的额定容量为2Ah，当电池容量降至额定容量的70％(从2Ah降至1.4Ah)时，电池将达到寿命终止(EOL)标准。容量原始数据如图2所示；。
针对数据集中的三组电池数据(电池005、电池006、电池018)进行实验，对采用常规的指数分布和采用q_指数分布进行对比，实验结果如下：
如图3所示，k大于等于100后的曲线，分别为指数分布和q_指数分布的对比(其中，根据电池005的数据确定分形参数q为1.001)，从图中可以看出q_指数分布比常规指数分布更接近原始数据。
如图4所示，k大于等于100后的曲线，分别为指数分布和q_指数分布的对比(其中，根据电池006的数据确定分形参数q为1.01)，从图中可以看出q_指数分布比常规指数分布效果差不多。
如图5所示，k大于等于80后的曲线，分别为指数分布和q_指数分布的对比(其中，根据电池0018的数据确定分形参数q为0.99)，从图中可以看出q_指数分布比常规指数分布更贴近原始数据。
为了更定量地评估预测精度，将预测寿命误差eRUL定义如下：
eRUL＝RP-Rt
表一：常规指数分布的预测误差
Figure BDA0002345807530000101
表2：q_指数分布的预测误差
Figure BDA0002345807530000102
Figure BDA0002345807530000111
从上面表一表二的对比中可以看到，电池寿命预测采用q_指数分布函数，得到的预测结果优于常规指数分布。
并可以通过调节分形参数q，来使q_指数分布的适应性更强，对锂离子电池的剩余寿命预估的准确性更优，预测结果更准确。

Claims (9)

1.一种基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、从电池测试数据集中提取出电池容量数据，对电池容量数据进行统计学预处理，得到电池容量数据精简集；
S2、采用PF粒子滤波方法对电池容量数据精简集进行状态跟踪，确定电池经验模型中的最优权重行向量值；
S3、根据电池经验模型中的最优权重行向量值，对锂电池的循环使用寿命进行预测，得到电池容量的估计值和锂电池的剩余寿命值RUL。
2.根据权利要求1所述的基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法，其特征在于，所述步骤S1中所述统计学预处理包括：离群点剔除和数据精简。
3.根据权利要求1所述的基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法，其特征在于，所述步骤S2中权重行向量值包括：第一权重行向量均值、第二权重行向量均值、第三权重行向量均值和第四权重行向量均值。
4.根据权利要求3所述的基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法，其特征在于，所述步骤S2包括以下步骤：
S201、设定粒子数目N，并由电池容量q_指数型先验概率分布函数生成采样粒子集
Figure FDA0002345807520000011
且每个粒子的初始权重值为
Figure FDA0002345807520000012
初始化电池经验模型中的权重行向量值，迭代次数k的初始值为0；
S202、根据电池经验模型中的权重行向量值、初始权重值
Figure FDA0002345807520000013
和粒子集
Figure FDA0002345807520000014
确定重要性概率密度；
S203、对重要性概率密度进行重要性采样，得到重要粒子集
Figure FDA0002345807520000015
Figure FDA0002345807520000016
并设置
Figure FDA0002345807520000017
其中，xk为第k次循环时的电池实际容量值，
Figure FDA0002345807520000018
为粒子集在第k次循环时的电池实际容量值，
Figure FDA0002345807520000019
为粒子集从0到k-1次循环的电池实际容量值，
Figure FDA0002345807520000021
为粒子集从0到k循环的电池实际容量值，y1：k为粒子集从1到k次循环时的电池实际测量值；
S204、计算重要粒子集
Figure FDA0002345807520000022
的重要性权重
Figure FDA0002345807520000023
S205、对重要性权重
Figure FDA0002345807520000024
进行归一化，得到归一化后的权重值
Figure FDA0002345807520000025
Figure FDA0002345807520000026
S206、根据权重值
Figure FDA0002345807520000027
计算有效样本数目Neff；
S207、判断有效样本数目Neff是否大于等于有效样本数目阈值，若是，则
Figure FDA0002345807520000028
若否，则根据权重值
Figure FDA0002345807520000029
进行重采样
Figure FDA00023458075200000210
S208、根据新的粒子集
Figure FDA00023458075200000211
对重要性权重
Figure FDA00023458075200000212
进行矩阵运算，对重要性权重
Figure FDA00023458075200000213
的每行进行求均值操作，得到第一权重行向量均值a(k)、第二权重行向量均值b(k)、第三权重行向量均值c(k)和第四权重行向量均值d(k)；
S209、根据第一权重行向量均值a(k)、第二权重行向量均值b(k)、第三权重行向量均值c(k)和第四权重行向量均值d(k)，得到电池容量的估计值；
S210、判断电池容量的估计值是否达到电池寿命终止的阈值，若是，则将循环次数k存入锂电池的剩余寿命值RUL缓存中，得到电池经验模型中的最优权重行向量值，若否，跳转至步骤S211；
S211、将k对应数值加1，根据背景噪声，采用状态方程设定与新k值对应的第一权重行向量均值a(k)、第二权重行向量均值b(k)、第三权重行向量均值c(k)和第四权重行向量均值d(k)，即得到新的电池经验模型中的权重行向量值，并跳转至步骤S202。
5.根据权利要求4所述的基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法，其特征在于，所述步骤S3中包括以下步骤：
S301、设定迭代次数k的最大值为M；
S302、根据电池经验模型中的最优权重行向量值计算电池容量的估计值；
S303、判断迭代次数k是否等于M，若是，则终止迭代过程，若否，则将循环次数k存入锂电池的剩余寿命值RUL缓存中，并将k对应数值加1，则跳转至步骤S302。
6.根据权利要求4所述的基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法，其特征在于，所述步骤S204中的重要性权重
Figure FDA0002345807520000031
的计算公式为；
Figure FDA0002345807520000032
其中，p()为概率函数。
7.根据权利要求4所述的基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法，其特征在于，所述步骤S206中计算有效样本数目Neff的公式为：
Figure FDA0002345807520000033
8.根据权利要求4或5所述的基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法，其特征在于，所述步骤S209中或步骤S302中电池容量的估计值的计算公式为：
Figure FDA0002345807520000034
其中，Qk为第k次循环的电池容量的估计值，λ为q_指数分布函数的均值，q为分形参数，vk为第k次循环的观测噪声，观测噪声vk为高斯白噪声，N(0，σk)表示观测噪声vk均值为0，方差为σk的高斯分布。
9.根据权利要求4所述的基于扩展性指数分布的锂电池剩余寿命预测方法，其特征在于，所述步骤S211中采用状态方程设定与新k值对应的第一权重行向量均值a(k)、第二权重行向量均值b(k)、第三权重行向量均值c(k)和第四权重行向量均值d(k)的公式为：
Figure FDA0002345807520000041
Figure FDA0002345807520000042
Figure FDA0002345807520000043
Figure FDA0002345807520000044
其中，
Figure FDA0002345807520000045
为对应第k次循环电池容量的预测状态更新值a(k)的背景噪声，
Figure FDA0002345807520000046
为对应第k次循环电池容量的预测状态更新值b(k)的背景噪声，
Figure FDA0002345807520000047
为对应第k次循环电池容量的预测状态更新值c(k)的背景噪声，
Figure FDA0002345807520000048
为对应第k次循环电池容量的预测状态更新值d(k)的背景噪声；背景噪声
Figure FDA0002345807520000049
为高斯白噪声，N(0，σa)表示背景噪声
Figure FDA00023458075200000410
均值为0，方差为σa的高斯分布；背景噪声
Figure FDA00023458075200000411
为高斯白噪声，N(0，σb)表示背景噪声
Figure FDA00023458075200000412
均值为0，方差为σb的高斯分布；背景噪声
Figure FDA00023458075200000413
为高斯白噪声，N(0，σc)表示背景噪声
Figure FDA00023458075200000414
均值为0，方差为σa的高斯分布；背景噪声
Figure FDA00023458075200000415
为高斯白噪声，N(0，σd)表示背景噪声
Figure FDA00023458075200000416
均值为0，方差为σd的高斯分布。
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