CN110969254A

CN110969254A - 一种基于绝热量子算法求解超图Ramsey数方法

Info

Publication number: CN110969254A
Application number: CN201911007077.0A
Authority: CN
Inventors: 蒋亚菊; 曲日; 王娟; 鲍彦茹; 张鹏
Original assignee: Tianjin University
Current assignee: Tianjin University
Priority date: 2019-10-22
Filing date: 2019-10-22
Publication date: 2020-04-07

Abstract

本发明公开了一种基于绝热量子算法对r‑齐次超图的Ramsey数进行计算的方法，包括以下步骤：研究r‑齐次超图对应的r维邻接矩阵表示形式，给出r‑齐次超图与二进制串间的映射规则g_N,r(G)，将r‑齐次超图的Ramsey数R(m,n；r)映射为组合优化问题；求解该组合优化问题的代价函数；利用求解所得的代价函数定义绝热量子算法的末态哈密顿量；绝热量子算法将L比特寄存器的状态，从初始化的哈密顿量的基态演化为末态哈密顿量的基态；绝热演化结束后，采用适当的测量方法对系统末态测量，即可以较高的概率得到组合优化问题的解。本发明提出了利用绝热量子算法求解r‑齐次超图Ramsey数组合优化问题的方法；该方法对求解图Ramsey数较经典算法具有加速的作用。

Description

一种基于绝热量子算法求解超图Ramsey数方法

技术领域

本发明涉及超图和绝热量子算法领域，特别是一种基于绝热量子算法计算超图Ramsey数方法。

背景技术

量子计算与量子信息是将量子力学原理和计算机理论结合起来而产生的一门交叉学科。由于现有计算机在快速处理大量信息方面存在极限，以量子计算和量子通信为主要研究内容的量子信息科学是近几年发展较快的交叉科学技术，具有重大的基础理论作用，并促进高新技术迅猛发展。量子计算机提供了一种基于量子原理的算法的全新计算方法，即量子算法。

绝热量子算法是一种新的量子计算算法，引起了人们的广泛关注。绝热量子算法是基于量子力学中的绝热定理来完成量子计算，是利用绝热量子演化实现量子计算模型，系统的整个演化阶段需要遵守绝热定理描述的绝热近似条件。同标准量子计算模型一样，绝热量子计算在解一些经典难题方面具有很大的潜力。自从绝热量子计算提出以后，相继提出了很多的绝热量子算法，并在解决经典的算法中表现出较好的性能。

Ramsey数定理应用于数学，信息论和理论计算机科学中。已经证明Ramsey 定理与拓扑定理学和遍历理论之间存在着深层联系。Ramsey数是一项有挑战性的工作，也是一个不断发展的课题，但是计算却是非常困难的。为了计算R(m,n) 的最小值N需要检查2^N/(N-1)/2个N顶点的图。待验证的图的数量以N的指数的形式增长，求解的任务也变得很棘手。利用经典计算机求解Ramsey数非常困难。由于绝热量子算法与经典算法相比在解一些经典难题方面具有非常大的优势，因此利用绝热量子算法来计算Ramsey数则使该问题变得简单。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是现有技术计算Ramsey数需要大量计算时间，因此提供了一种利用绝热量子算法计算超图Ramsey数的方法。本发明针对给出的r-齐次超图Ramsey数的组合优化问题，对该问题重描述，将组合优化问题的代价函数定义为绝热量子算法的哈密顿变量H_T，其中H_T的基态包含所有问题的解。

本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：

1.根据本发明所述的一种基于绝热量子算法计算超图Ramsey数方法，包括以下步骤：

(1)通过研究r-齐次超图对应的r维邻接矩阵表示形式，给出r-齐次超图与二进制串间的映射规则g_N,r(G)。将r-齐次超图的Ramsey数R(m,n；r)映射为组合优化问题。

(2)求解该组合优化问题的代价函数h_m,n[g_N,r(G)]。

(3)根据组合优化问题的代价函数定义绝热量子算法的哈密顿量。

(4)对步骤(1)的组合优化问题，运行绝热量子算法将L比特寄存器的状态，从初始化的哈密顿量的基态H_i演化为末态哈密顿量的基态H_T。运行次数必须为 k～O(In[1-δ]/Inε)，其中(0＜ε＜＜1)。

(5)绝热演化结束后，采用适当的测量方法对系统末态进行测量，得到测量结果E。若E＝0，则表示N<R(m,n；r)，然后每次将N加1，重新从步骤(1)运行，直至测量结果E>0，即N＝R(m,n；r)。

所述步骤(2)中组合优化问题的代价函数通过如下步骤实现：

2.1对于任意的g_N,r(G)，从V≡{1,2,...,N}中选择m个顶点组成r-齐次完全子超图，其组成完全子超图的个数为

其中，

2.2对于任意的g_N,r(G)，从V≡{1,2,…,N}中选择n个顶点组成完全孤立集，其组成完全孤立集的个数为

其中，

2.3将完全子超图的总数量C_m[g_N,r(G)]与完全孤立集的总数量I_m[g_N,r(G)] 相加得到组合优化问题的代价函数h_m,n[g_N,r(G)]。即

h_m,n[g_N,r(G)]≡C_m[g_N,r(G)]+I_n[g_N,r(G)] 公式(2.5)

所述步骤(3)中绝热量子算法的哈密顿量由如下步骤给出：

3.1定义g_N,r(G)的计算基态为|g_N,r(G)>，构建L＝B(N,r)量子比特的量子系统。

3.2定义绝热量子算法含时哈密顿变量为

其中，末态哈密顿变量H_T为 H_T|g_N,r(G)>＝h_m,n[g_N,r(G)]|g_N,r(G)> 公式(2.6)

初态哈密顿量H_i为

其中，I^l是作用在l比特上的恒等算子，

是作用在l比特上的x-Pauli算子。

所述步骤(5)中求解Ramsey数的量子绝热算法通过如下步骤实现：

5.1输入给定的正整数m,n和r及对于R(m,n；r)的已知最低界LOW

5.2LOW→N

5.3B(N,r)→L

5.4用哈密顿量H(t)和初始化状态

构建L比特的量子系统

5.5运行绝热量子算法，通过公式(4-11)规定的系统哈密顿量对量子系统进行绝热演化。最后对系统的状态进行测量得到结果E。运行的次数必须为 k～O(In[1-δ]/Inε)次，才能以1-ε概率得到所需要的结果E。

5.6如果E＝0，也就是意味着N＜R(m,n；r)，每次将N加1，重新从第(ii) 步运行，否则继续下一步。

5.7N→R(m,n；r)

有益效果

1、本发明通过将r-齐次超图映射成组合优化问题，利用组合优化问题的代价函数定义绝热量子算法的末态哈密顿量，然后利用绝热量子算法的迭代演化来计算超图的Ramsey数。该发明涉及到的绝热量子计算是量子计算领域的新模式，传统的量子计算模式基于离散的量子逻辑门来实现，而绝热量子计算通过连续变化的哈密顿量来驱使系统演化到特定的状态，从而得到问题的答案。绝热量子计算特别适合处理组合优化问题，同时它的抗退相干的能力十分突出，具有强的容错能力

2、本发明设计的计算方法是属于QMA(QuantumMerlinArthur)，其较经典算法具有加速的作用。对于r齐次超图的Ramsey数，哈密顿量H_T可以由 q＝max{B(m,r),B(n,r)}，z-Pauli操作组成，其同样也属于QMA，具有加速的作用。

附图说明

图1是基于绝热量子算法计算超图Ramsey数方法的流程示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明：

本发明是一种基于绝热量子算法计算超图Ramsey数方法，具体流程图如图 1。它的实现有如下步骤：

(1)通过研究r-齐次超图对应的r维邻接矩阵表示形式，给出r-齐次超图与二进制串间的映射规则g_N,r(G)，将r-齐次超图的Ramsey数R(m,n；r)映射为组合优化问题。具体方法如下：

对于给定的N和r，可以建立N个顶点的r齐次完全超图和{0,1}^B(N,r)之间的一一对应的关系，其中B定义为二项式系数。为方便起见，定义N个顶点的序列为V≡{1,2,...,N}，定义N个顶点的r-齐次完全超图为

和|A|分别定义为A的幂集和基数。对于超图V序列中的E，可以表示为 G＝(V,E)，对于每一个超图

将存在一个矩阵

其中，i₁,i₂,...,i_r∈V，且

δ(i₁,i₂,...,i_r)定义为i₁,i₂,...i_r的置换。

而且如果|{i₁,i₂,...i_r}|＜r，则

因此，可以建立一一对应的关系，g_N,r:

可以满足：

其中，

且存在 t∈{1,2,...,r}使得

当且仅当j＜k。所以对于任意 x≡x₁x₂…x_B(N,r)∈{0,1}^B(N,r)，当且仅当

在对应于x的超图中是一个超边，x_k＝1。根据公式(3.2)，可以得出

如果r＝2，则为公式 g_N,2(G)＝a_2,1a_3,1…a_N,1a_3,2a_4,2…a_N,2…a_N,N-1。对于r＝3，则表示为：

g_N,3(G)＝a_3,2,1a_4,2,1…a_N,2,1a_4,3,1a_5,3,1…a_N,3,1…a_N,N-1,1a_4,3,2a_5,3,2…

a_N,3,2a_5,4,2a_6,4,2…a_N,4,2…a_N,N-1,2…a_N,N-1,N-2 公式(3.3)

(2)求解该组合优化问题的代价函数h_m,n[g_N,r(G)]。

根据步骤(1)给出的r-齐次超图与二进制串间的映射规则g_N,r(G)，对于任意 g_N,r(G)，从V中选择m个顶点形成子集S_α，可以得到如下公式：

当且仅当S_α对应于m个顶点的r-齐次完全子超图时，C_α＝1。因为从N个顶点中取m个顶点的数量为B(N,m)，则在G中对应于m个顶点的r-齐次完全子超图的总数量为

紧接着，从V中选择n个顶点形成子集T_α，可以得到如下公式：

当且仅当T_α对应于n个顶点的孤立集时，I_α＝1。因为从N个顶点中取n个顶点的数量为B(N,n)，则在G中对应于n个顶点的孤立集的总数量为

定义

h_m,n[g_N,r(G)]≡C_m[g_N,r(G)]+I_n[g_N,r(G)] 公式(3.8)

当且仅当G不包含m个顶点的r-齐次完全子超图和n个顶点的孤立集时， h_m,n[g_N,r(G)]＝0。

r-齐次超图中将h_m,n[g_N,r(G)]＝0设置为组合优化问题的代价函数。对于给定的正整数N,m,n，和r，可以找到一个对应于N个顶点的超图G_*的二进制字符串s∈{0,1}^B(N,r)，在所有x∈{0,1}^B(N,r)，将推导h_m,n(x)的全局最小量。显然，当且仅当N≥R(m,n；r)时，h_m,n(s)＞0。所以对于给定的m,n和r，将从 N＜R(m,n；r)开始，此时有h_m,n(s)＝0。然后每次计算对N加1，直到第一次出现h_m,n(s)＞0时，此时N＝R(m,n；r)。

(3)利用求解所得的代价函数定义绝热量子算法的末态哈密顿量，运行绝热量子算法将L比特寄存器的状态，从初始化的哈密顿量的基态演化为末态哈密顿量的基态，绝热演化结束后，采用适当的测量方法对系统末态测量，即可以较高的概率得到组合优化问题的解。具体方法如下：

1)分析绝热量子算法计算原理

绝热定理：设某个系统含时哈密顿量H(t)从t＝0开始，从某一初始哈密顿量H(0)的基态|φ₀>开始演化至t＝T。如果系统演化的过程非常慢，则有

其中U(T,0为与H(t)对应的从t＝0演化到t＝T的时间演化符。

g(t)＝E₁(t)-E₂(t)为t时刻H(t)基态与第一激发态的能隙之差。公式(3.9)说明，如果系统演化的时间足够长，系统能隙足够大，则系统的最终状态处于基态的概率将非常大。

绝热量子计算是基于量子绝热定理，利用量子绝热演化完成量子计算，其整个计算过程是使量子系统绝热演化的过程，可以分为以下几个步骤：

①将要解决的问题的可能答案设为某一系统哈密顿量(记为H_T)对应量子状态的基态|Ψ(T)>，此为系统演化的末态，T为总的绝热演化时间。为了获得想要的量子状态，可以先构造另一个量子系统对应的哈密顿量(记为H₀)，而该哈密顿的初始状态|Ψ(0)>是比较容易构造的。再通过绝热演化的方式，使量子系统从H₀缓慢演化到H_T。则绝热演化完毕，系统所处的状态便是所需的H_T的基态，即所需的可能答案。

②构造系统的初、末态哈密顿量分别为：

H₀＝I-|Ψ(0)><Ψ(0)| 公式(3.10)

H_T＝I-|Ψ(T)><Ψ(T)| 公式(3.11)

初、末态哈密顿量的上述构造可以保证它们的基态分别是所需的|Ψ(0)>和|Ψ(T)>。

③构造量子系统的绝热演化路径。需要在初态哈密顿H₀和末态哈密顿量H_T之间插入一系列随时间变化的哈密顿量，以构成系统的绝热演化路径。一般地，插入到初态和末态哈密顿量之间含时哈密顿变量可取

H(t)＝f(t)H₀+g(t)H_T 公式(3.12)

其中f(t),g(t)一般为时间t的单调函数，满足如下条件：

以使H(t)在t＝0及t＝T时分别对应H₀和H_T。对线性变化情况，一般可取

f(t)＝1-t/T；g(t)＝t/T 公式(3.14)

④使系统从|Ψ(0)>态开始，按薛定谔方程缓慢地演化系统状态。其中H(t)取为公式(2-28)的含时哈密顿变量。如果是绝热演化，则要求系统演化期间必须满足绝热条件。绝热定理要求H(t)的演化满足如下绝热条件

其中D_max表示t时刻基态和第一激发态之间矩阵元dH/dt的最大值，如下所示：

下标0和1分别表示t时刻的系统基态和第一激发态。公式(2-31)中的g_min为最小能隙，取系统的第一激发态和基态的本征能量之差：

ε为给定的任意小的常数：

0＜ε＜＜1 公式(3.18)

让系统状态在初始(t＝0)处于基态|Ψ₀(t)>，并让该状态在H(t)下绝热演化到T时刻。根据绝热定理，对给定任意小ε(0＜ε＜＜1)，只要(3.15)式所示的绝热条件满足，则任何时刻系统的状态都会处于该时刻H(t)的瞬时基态。至演化结束时，系统末态将至少1-ε²的概率处于H(t)的基态|Ψ₀(t)>，即：

|<Ψ₀(T)|Ψ(T)>|≥1-ε² 公式(3.19)

⑤绝热演化结束后，采用适当的测量方法对系统末态测量，即可以较高的概率得到所要的答案。

2)利用绝热量子算法求解r-齐次超图R(m,n；r)

根据公式(3.2)，对于超图的计算需要定义L＝B(N,r)量子比特，也就是说，对于任意k∈{1,2,...,B(N,r)}，第k量子比特是与g_N,r(G)第k比特相联系。定义 g_N,r(G)的计算基态为|g_N,r(G)>，如果r＜＜N，可以推出B(N,r)＝O(N^r)B(N,2)。

对于绝热量子算法含时哈密顿变量H(t)为：

其中，T为算法运行时间，绝热动力学所对应的T→∞。

定义哈密顿量H_T为

H_T|g(G)>＝h(G)|g(G)> 公式(3.21)

此时，如果图不包含m个完全图，也不包含n个独立集，则H_T将为0。

定义哈密顿的初态H_i为

其中，I^l是作用在l比特上的恒等算子，

是作用在l比特上的x-Pauli算子。计算基态的叠加性质能够容易的构造H_i的基态。

已知对于r-齐次超图的绝热量子计算和图有相同的量子空间复杂度，所以其绝热量子算法的含时哈密顿H(t)可以表示为公式(3.20)。而哈密顿量H_T可以表示为如下公式：

H_T|g_N,r(G)>＝h_m,n[g_N,r(G)]|g_N,r(G)> 公式(3.23)

H_i可以表示为公式(3.22)。

用量子算法计算R(m,n；r)，首先设置LOW为R(m,n；r)的最低界，其可以通过运算来设置。根据步骤1)运行绝热量子算法在L＝B(N,r)量子比特的量子系统上，量子算法执行完成后，测量值为E。如果E＝0，则每次给N加1，在L＝B(N+1, r)量子比特上重复运行该算法，直到出现E＞0，即N＝R(m,n；r)。由于绝热量子计算的任何应用都是近似绝热计算，因此测量值E为基态能量的概率δ＝1-ε，在这种情况下，绝热量子算法至少要计算k～O(In[1-δ]/Inε)次，才使以δ＞1-ε 的概率使得至少一个测量结果E等于基态能量值。

3)接下来是利用绝热量子算法求解超图Ramsey数的算法过程，包括算法描述和性能分析。

①算法描述如下：

求解R(m,n；r)的量子算法

输入：(Ⅰ)正整数m,n和r。(Ⅱ)对于R(m,n；r)设置最低界LOW，其可以通过运算来设置。

输出：R(m,n；r)。

运行过程：

(Ⅰ)LOW→N

(Ⅱ)B(N,r)→L

(Ⅲ)用哈密顿量H(t)和初始化状态

构建L比特的量子系统

(Ⅳ)运行绝热量子算法，通过公式(4-11)规定的系统哈密顿量对量子系统进行绝热演化。最后对系统的状态进行测量得到结果E。运行的次数必须为 k～O(In[1-δ]/Inε)次，才能以1-ε概率得到所需要的结果E。

(Ⅴ)如果E＝0，也就是意味着N＜R(m,n；r)，每次将N加1，重新从第(ii) 步运行，否则继续下一步。

(Ⅵ)N→R(m,n；r)

②性能分析如下：

对于min(m,n)＞r≥3，r-齐次超图Ramsey数R(4,4；3)为13，这需要286量子比特的仿真，远远超过经典计算机所做的运算。绝热量子算法计算图Ramsey 数是属于QMA(Quantum Merlin Arthur)，其较经典算法具有加速的作用。对于r齐次超图的Ramsey数，哈密顿量H_T可以由q＝max{B(m,r),B(n,r)}，z-Pauli操作组成，其同样也属于QMA，具有加速的作用。

本发明方案所公开的技术手段不仅限于上述实施方式所公开的技术手段，还包括由以上技术特征任意组合所组成的技术方案。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也视为本发明的保护范围。