CN110929437A - 基于响应面的动铁式比例电磁铁恒力预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于响应面的动铁式比例电磁铁恒力预测方法，涉及电磁铁优化领域，其步骤包括：一、通过有限元方法，在JMAG电磁仿真软件中建立了动铁式比例电磁铁有限元模型；二、利用响应面法中的中心复合设计进行试验设计，制定动铁式比例电磁铁在有效工作区间内的静态电磁力的实验方案；三、进行响应面法的预测以及对预测的验证，利用有限元模型分别对理想恒力值的影响因素进行预测，并利用有限元方法对预测的结果进行仿真分析，得到有限元方法计算结果与理想恒力值之间的最大误差和最小误差。本发明具有准确度高，节省设计时间和成本的优点。

Description

基于响应面的动铁式比例电磁铁恒力预测方法

技术领域

本发明涉及电磁铁优化领域，具体涉及基于响应面的动铁式比例电磁铁恒力预测方法。

背景技术

动铁式比例电磁铁作为电液比例控制技术中的关键部件，具备结构简单、推力大、维护方便等优点，被广泛的运用到国防、航天及民用等领域。动铁式比例电磁铁作为比例阀的阀芯驱动单元，其在有效工作行程内的恒力特性直接决定了比例阀的控制精度，所以在有效工作行程内的位移-力曲线的线性度是衡量比例阀工作性能的一个关键指标。李其朋等利用有限元方法研究各关键影响因素对 PS(proportional solenoid)恒力特性影响，并通过实验进行验证。谭松涛等利用Ansys软件通过分别改变线圈安装位置、励磁电流等因素，分析了电磁铁工作行程内电磁力变化情况。Yoshio Kano 等通过改变螺线管式电磁铁的磁路使输出的电磁力分布平坦化，利用有限元计算磁通密度和推力并将其与实验结果进行对比，论证有限元方法的可靠性。So-Nam Yun等利用FEM对MAPS影响因素进行了分析，采用遗传算法和加权处理的方法，对隔磁环关键的影响因素进行了循环调整，从而得到隔磁环的最优几何参数。Albert Schultz等研究了在动静态响应特性中MAPS的电磁力与励磁电流和工作气隙之间关系,并通过FEM进行验证。

上述研究只针对单一影响因素变化对电磁力的影响，未考虑各影响因素之间的交互作用，导致对电磁力优化效率较低

发明内容

为了克服背景技术的不足，本发明提供一种的基于响应面的动铁式比例电磁铁恒力预测方法。

本发明所采用的技术方案：基于响应面的动铁式比例电磁铁恒力预测方法，其步骤包括：

一、通过有限元方法，在JMAG电磁仿真软件中建立了动铁式比例电磁铁有限元模型；

二、利用响应面法中的中心复合设计进行试验设计，制定动铁式比例电磁铁在有效工作区间内的静态电磁力的实验方案；

三、进行响应面法的预测以及对预测的验证，利用有限元模型分别对理想恒力值的影响因素进行预测，并利用有限元方法对预测的结果进行仿真分析，得到有限元方法计算结果与理想恒力值之间的最大误差和最小误差。

所述步骤一包括：

1.1、利用Maxwell基本方程组的微分形式建立数学模型；

1.2、通过JAMG软件对动铁式比例电磁铁建立1/4仿真模型，并对各个零件进行网格划分，零件包括隔磁环、动铁、上下导套、上下壳体、励磁线圈以及空气区域；

1.3、利用静态特性测试平台对动铁式比例电磁铁在额定电流时进行静态位移-力特性测试，将测试结果与有限元方法仿真计算结果进行对比并分析产生误差的原因。

所述步骤1.1中Maxwell基本方程组的微分形式为：

安培环路定律：

法拉第定律：

高斯电通定律：▽·D＝ρ (3)

磁场高斯定律：▽·B＝0 (4)

式中，▽为Hamilton算子；H为磁场强度(A/m)；J为传导电流密度(V/m²)；D为电通密度(C/m)；t为时间(s)；E为电场强度 (V/m)；B为磁感应强度(T)；ρ为电荷体密度(C/m³)。

所述步骤二包括：

2.1、确定影响动铁式比例电磁铁静态电磁力的主要因素，分别为隔磁环前倾角a、隔磁环长度b、隔磁环壁厚c，动铁的长度d以及径向气隙e；

2.2、利用中心复合设计对影响动铁式比例电磁铁静态电磁力的5 个影响因素建立响应面模型，再通过Design expert软件对各个影响因素进行中心复合设计的实验设计；

所述步骤2.1中的各个影响因素的取值水平：

隔磁环前倾角a为30°、45°和60°；

隔磁环长度b1为1mm、2mm和3mm；

隔磁环壁厚c为1mm、1.3mm和1.6mm；

动铁长度d为22mm、23mm和24mm；

径向气隙e为0.1mm、0.2mm和0.3mm。

所述步骤三包括：

3.1、建立响应面法预测，应用最小二乘法进行回归分析，得到动铁式比例电磁铁在行程S＝1mm,S＝2mm and S＝3mm处的静态电磁力响应值与各个影响因素之间的二次多项回归模型，再通过内在学生化残差进行模型检验；

3.2、响应面法的预测与验证，通过步骤2.2的实验设计中的数据得到模型的响应值区间，在预测区间内，可通过预测模型分别对动铁式比例电磁铁在S＝1mm、S＝2mm、S＝3mm处不同水平的电磁力进行预测，得到在不同恒力水平下的动铁式比例电磁铁影响因素的几何参数值；

3.3、根据步骤3.2中的几何参数值，建立相应的结构模型进行有限元法仿真计算，分别得到动铁式比例电磁铁在有效工作行程内的静态的位移-力特性曲线，并分析有限元法计算结果与理想恒力值支架的最大误差和最小误差。

所述步骤三中公式为：

设模型参数为n维向量x∈Rⁿ，则响应函数为：

y(x)＝f(x)+ε (5)

式中，f为真正的函数关系式；ε为模型中的误差项；

利用二阶泰勒展开式拟合相对较小区域内的真函数，二阶Taylor 展开式如下：

式中，

为基函数，k为基函数的个数(n+1)(n+2)/2；

利用最小二乘法求取未知系数A＝[a₀,a₁,a₂…a_k]^T，即

根据上式，可得：

A＝(X^TX)^-1X^TY (8)

式中，Y为p(p>k)个实验点处的响应矢量，X为基函数矩阵：

本发明的有益效果是：本技术方案通过将响应面发和有限元法相结合，在现有技术中还未有人使用这两种方法对动铁式电磁铁的恒力进行预测，响应面提供了较好的解决方法，它能够对离散的实验数据进行拟合，构造出因素与响应之间的数学模型，从而提高计算效率；在动铁式比例电磁铁影响因素设计过程中，我们考虑到其有效工作行程内的恒力特性受多个影响因素的影响，本申请采用响应面法来建立静态电磁力与影响因素的预测模型，利用有限元发对预测出的影响因素进行仿真分析，验证预测结果的准确性，通过预测模型代替相关的仿真计算，从而节省了设计时间与成本；

另外，本技术方案经过多次试验，得出影响动铁式电磁铁恒力的多个主要影响因素，并同时对多个影响因素进行实验设计，考虑了多个影响因素之间的相互影响，使的实验设计更加全面，预测结果更加准确。

附图说明

图1为本发明实施例动铁式比例电磁铁的结构图

图2为动铁式比例电磁铁磁路示意图。

图3为动铁式比例电磁铁位移-力特性曲线。

图4为1/4MAPS仿真模型。

图5为1/4MAPS模型的网格划分。

图6为实验数据与有限元方法计算结果对比。

图7为动铁式比例电磁铁主要影响因素示意图。

图8为各影响因素与静态电磁力的F-S曲线图。

图9为两因素的中心复合设计。

图10为动铁式比例电磁铁电磁力的内在学生化残差分布图。

图11为动铁式比例电磁铁电磁力的预测值与实际值对比。

图12为动铁式比例电磁铁静态位移—力曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明实施例作进一步说明：

1.动铁式比例电磁铁结构组成和工作原理：

动铁式比例电磁铁(MAPS)的结构如图1所示，其主要包括：上壳体1、下壳体2、动铁3、导杆4、导套5、线轴6、励磁线圈7、下端盖8、轴承9等零件。隔磁环10是MAPS在有效工作行程内产生恒力特性的关键结构部件，其通过焊接的方式与上导套、下导套连接在一起，从而构成导套结构。由于隔磁环结构的存在，当励磁线圈通入电流后，使得在MAPS内部形成两条特殊的磁路。一条磁路φ₁由上壳体经盆形极靴底部沿轴向工作气隙进入动铁，穿过下端导套和下壳体回到上壳体产生轴向电磁力F_a；另一条磁路φ₂经锥形盆形极靴周边径向穿过工作气隙进入动铁，再与磁路φ₁汇合，产生径向电磁力 F_r，如图2所示。动铁在轴向电磁力F_a和径向电磁力F_r的合力作用下输出电磁力F，形成具有水平段的位移-力曲线，如图3所示。

2.动铁式比例电磁铁仿真模型的建立：本申请采用数值模拟和实验相结合的方法，建立动铁式比例电磁铁在有效工作行程内的恒力特性数值模型，并通过实验验证模型的精确性。在数值模型的预测误差满足要求的条件下，利用数值仿真取代后续试验，从而提高对动铁式比例电磁铁在有效工作行程内恒力的结构设计效率。

2.1数学模型；

(1)Maxwell基本方程组的微分形式为：

1).安培环路定律：

2).法拉第定律：

3).高斯电通定律：

▽·D＝ρ (3)

4).磁场高斯定律：

▽·B＝0 (4)

式中，▽为Hamilton算子；H为磁场强度(A/m)；J为传导电流密度(V/m2)；D为电通密度(C/m)；t为时间(s)；E为电场强度(V/m)；B为磁感应强度(T)；ρ为电荷体密度(C/m3)。

2.2有限元模型；

本申请研究的动铁式比例电磁铁为轴对称模型，基于JMAG有限元仿真计算时，为了减少JMAG电磁有限元仿真的计算量，本申请建立1/4动铁式比例电磁铁模型进行仿真计算计算，如图4(a)所示。动铁式比例电磁铁模型中的导杆、线轴、下端盖、轴承为非导磁材料，其磁导率近似与空气磁导率相接近，对磁路计算没有影响，所以在JMAG仿真计算时可以将他们作为空气，从而达到简化仿真模型的目的。设置上壳体、下壳体、动铁的材料为DT4，建立各零件的模型如图4(b)、(c)、(d)所示。在仿真计算时，励磁线圈等效成一个线圈环，并设置其材料为铜，建立励磁线圈模型如图4(e) 所示。导套前后两段为导磁材料DT4，中部的隔磁环为非导磁材料黄铜，建立导套模型如图4(f)所示。

为了提高有限元仿真精度，对影响静态电磁力的关键结构进行网格细分，其余零件根据结构尺寸大小进行不同网格尺寸的划分，如表 1所示。由于仿真计算中需要考虑漏磁的影响，需要在动铁式比例电磁铁模型周围创建空气区域在JMAG环境中分析时，将整个空气区域作为有限元计算的求解域，MAPS的模型的网格划分结果如图5所示。

表1各零件划分网格尺寸

2.3有限元计算结果与实验对比：

由电流源给固定在测试平台上的动铁式比例电磁铁供电，测量静态电磁力的荷重元在直线步进电机的带动下保持匀速缓慢的向下运动，在荷重元上的连接杆与动铁式比例电磁铁的导杆接触之后，荷重元将所受到的压力信号转换为电信号输出给测试计算机，差动变压器式位移传感器检测荷重元位移量并实时反馈给测试计算机，从而得到动铁式比例电磁铁的静态位移-力曲线。

为了验证JMAG仿真计算的精度，利用静态特性测试平台对动铁式比例电磁铁在额定电流1.2A时进行静态位移-力特性测试，将测试结果与有限元方法仿真计算结果进行对比分析。由图6可知，在有效的工作行程内，动铁式比例电磁铁实验数据与仿真数据变化趋势相同，但实验数据均略低于有限元方法的计算结果，分析误差产生原因包括以下三点：1.有限元方法在计算时,忽略了空气间隙中存在的漏磁现象，以及励磁线圈发热所引起的温升导致软磁材料的磁导率降低； 2.有限元方法计算使用的理想DT4材料B-H曲线进行分析与实验材料参数之间存在差异；3.有限元方法是利用软磁材料的初始磁化曲线进行仿真计算，没有考虑软磁材料中残磁的影响。

由MAPS在有效工作行程内的实验数据与有限元方法仿真结果对比可得，两者之间最大误差为7.52％，最小误差为3.46％，说明在JMAG环境中建立MAPS的仿真模型进行静态电磁力计算能够得到较高的计算精度。

3建立动铁式比例电磁铁静态电磁力响应面模型：

3.1影响因素的分析

隔磁环作为动铁式比例电磁铁中的关键结构，能够产生径向磁路φ₂，使得在有效的工作行程内动铁受径向磁路φ₂与轴向磁路φ₁共同作用下输出恒定的电磁力。由图2中可知，径向磁路φ₂经过以下五个主要影响因素：隔磁环前倾角A、隔磁环长度B、隔磁环壁厚C，动铁的长度D以及径向气隙E，如图7所示。

利用有限元软件对影响动铁式比例电磁铁水平恒力的关键影响因素分别进行仿真计算，得出MAPS在受单一影响因素影响时，静态电磁力与影响因素之间的变化关系，如图8所示。由图8(a)可知，隔磁环前倾角直接影响位移-力曲线的水平段，随着隔磁环前倾角的增大，动铁受到的径向力也不同程度增大，同时，动铁受到的轴向电磁力将减小，导致动铁输出的水平曲线起伏增大；由图8(b) 可知，动铁在行程范围内运动时，电磁力与位移变化关系存在分界点，在分界点前，电磁力随隔磁环的长度增加而减小；在分界点之后，电磁力随隔磁环长度增大而增大。由图8(c)可知，在动铁运动到相同位移S处，电磁力随隔磁的厚度增加而增大，但有效工作段的水平性随着隔磁环的厚度增大而减小。由图8(d)可知，在相同行程S处，静态电磁力随动铁长度的增加而增大，其主要原因是动铁的长度变化引起磁路闭合路径产生变化，从而影响MAPS内的总磁阻大小，使得静态电磁力的值受动铁长度的影响。由图8(e)可知，随着径向工作间隙的增大位移-力特性曲线的水平段略有下跌，反之，位移-力特性曲线的水平段上翘，所以径向间隙直接影响位移-力曲线的水平段。

3.2响应面理论

响应面是由统计学家BOX和Wilson在1951年最先提出的一种实验设计方法，它结合了实验设计、统计分析和数学方法等理论，一般用来建立影响因素与过程的响应输出之间的数学模型，运用系统的方式进行试验设计获得期望的响应值，从而达到优化响应变量的目的。

设模型参数为n维向量x∈Rⁿ，则响应函数为：

y(x)＝f(x)+ε (5)

式中，f为真正的函数关系式；ε为模型中的误差项；

本申请考虑了模型的曲率，利用二阶泰勒展开式拟合相对较小区域内的真函数。二阶Taylor展开式如下：

式中，

为基函数，k为基函数的个数(n+1)(n+2)/2；

利用最小二乘法求取未知系数A＝[a₀,a₁,a₂…a_k]^T，即

根据上式，可得：

A＝(X^TX)^-1X^TY (8)

式中，Y为p(p>k)个实验点处的响应矢量，X为基函数矩阵：

3.3实验设计

响应面法常用的三种设计方法分别为：中心复合设计CCD、 Box-Behnken设计(BBD)和Uniform Shell Design(USD)，与其他两种设计方法相比，CCD能够将各因素的高水平安排在同一个组内，对各因素和水平组合具有广泛的适用性，所以本申请采用CCD 建立模型。

中心复合设计(CCD)是将传统的差值节点分布和部分因子或全因子设计相结合的二阶响应面设计方法，通过尽可能少的实验次数以获得较多的变量效应和实验误差等信息；CCD的实验设计主要包括以下三部分：1.用于评估一阶项和交互作用项的2n个析因设计或部分因子设计点；2.用于评估二阶响应面模型的平方项的2n个轴向点； 3.提供一致进度和纯误差估计的n_c个中心点，其中n为所选参数个数。n为2的CCD设计如图9所示，中心点到因子高低水平的距离为±1(变量以规范单位表示)，轴向点(带有参数α的点)到中心点的距离为±α。

本申请采用CCD实验设计方法对影响动铁式比例电磁铁静态电磁力的5个影响因素建立响应面模型，各因素的取值水平如表3所示。

表3实验设计因素水平(level offactorofDOE)

本申请利用Design expert软件对表3中的各因素进行CCD实验设计，其中，中心点(Centerpoints)n_c取3，α取1，共设计出45组实验方案，如表4所示。

表4 Central Composite Design实验设计与结果

3.4建立响应面法预测：

利用响应面法建立影响因素与静态电磁力之间的函数关系，实现对动铁式比例电磁铁的影响因素进行预测。为了确保动铁式比例电磁铁在有效工作行程内输出恒定的电磁力，分别选取动铁在S＝1mm、 S＝2mm、S＝3mm位置输出的电磁力分别作为响应面法的响应值F₁、F₂、 F₃。按照表3内的实验方案在JMAG环境中分别建立动铁式比例电磁铁模型，通过仿真计算得到各实验方案的响应值，结果如表3所示。通过式(8)对表4中实验数据进行回归分析，分别拟合动铁在S＝1mm、 S＝2mm、S＝3mm位置输出的电磁力与影响因素之间的二次多项回归模型，如式(10)-(12)所示。

F₁＝-1391.8081-0.1326A+16.0355B+129.0912C+105.1106D+322.9027E-0.0073AB-0.6565AC- 0.0301AD+0.7750AE-1.2139BC-0.5304BD+3.3266BE-5.7719CD-1.7086CE-16.1125DE+ 0.0132A²-0.812B²+18.0298C²-1.8221D²+3.8177E² (10)

F₂＝-1026.0352-0.8179A+7.7219B+63.3415C+82.5237D+232.4070E+0.0031AB+0.1519AC +0.0193AD+0.2940AE+0.2394BC-0.3046BD-1.1195BE-1.5058CD-26.8747CE-10.8234DE -0.0010A²-0.0762B²-3.7678C²-1.6034D²+7.3406E² (11)

F₃＝-349.5535-0.0432A+2.3781B+42.7795C+28.4290D+26.0861E+0.0120AB+0.4162AC+ 0.0062AD-0.1974AE+0.7913BC-0.046BD+0.1705BE-0.7306CD-14.2452CE-2.0834DE -0.0068A²-0.5189B²-9.5766C²-0.5514D²+19.9575E² (12)

3.5模型检验：

内在学生化残差是分离实际响应值和预测响应值的标准差数。它是残差除以残差的估计标准差。根据图10可知，试验点基本都在回归线附近，且内在学生化残差呈正态分布，说明响应面法建立的预测模型较好。

由图11可知，在S＝1mm、S＝2mm、S＝3mm处的电磁力实验数据点集中在预测回归线上，表明实验结果与响应面法预测结果具有较好的一致性。

4响应面法的预测与验证：

由表4实验数据可知，模型的响应值区间为：22.37≤F₁≤63.93、 20.36≤F₂≤54.99、23.35≤F₂≤52.79，在预测区间内，可通过预测模型分别对动铁式比例电磁铁在S＝1mm、S＝2mm、S＝3mm处不同水平的电磁力进行预测，其预测模型为：

通过预测模型得到在不同恒力水平下的动铁式比例电磁铁的影响因素，如表7所示。根据表7的影响因素的几何参数值，建立相应的结构模型进行FEM仿真计算，分别得到MAPS在有效工作行程内的静态的位移-力特性曲线，如图12所示。

表7预测结果和使用MAPS的预测影响因素通过FEM计算的结果。

在RSM分析过程中，虽然其预测响应值与各实验响应值保持较高的一致性，但是二次多项回归模型建立的实验公式对RSM曲面拟合仍存在较小的误差。由表7可知，FEM计算结果与理想恒力值之间的最大误差为：2.4％，最小误差为：0.025％,说明利用预测模型对MAPS在有效工作行程内的恒力值进行影响因素设计是合理可行的。

5结论：

(1)在JAMG软件中,建立1/4动铁式比例电磁铁三维模型,对影响径向磁路的影响因素进行FEM分析,得到在不同水平的影响因素对有效工作行程内的电磁力的影响。

(2)对比MAPS的静态电磁力的FEM计算结果与实验结果之间的误差，得到最大误差为7.52％，最小误差为3.46％，从而验证了利用FEM对1/4MAPS模型进行静态电磁力的仿真计算的准确性，为动铁式比例电磁铁静态位移-力的研究提供了有效的工作平台。

(3)应用响应面法中的CCD进行试验设计，采用最小二乘法回归理论建立动铁式比例电磁铁静态电磁力与影响因素之间的二次多项回归模型，通过对回归模型的方差分析、模型评价(Adj.R²、Pred.R²、 C.V.)和模型检验进行分析，验证了回归模型的可行性。

(4)利用FEM对预测出的影响因素进行仿真计算，验证了预测的影响因素具有较高的准确性，说明MAPS的回归模型具有较好的预测能力，为其在有效行程内的恒力值设计提供了有效的工具。

为了更加高效地对动铁式比例电磁铁(Moving Armature ProportionalSolenoid，动铁式比例电磁铁)的恒力进行影响因素设计，本申请将有限元法(FiniteElement Method，有限元方法)和实验设计的响应面法(response surface model，响应面法)相结合进行电磁力研究。在JMAG电磁仿真软件中建立了动铁式比例电磁铁有限元模型，将有限元方法仿真结果与实验数据对比，得出在有效工作行程内最大误差为7.52％，最小误差为3.46％，验证了有限元方法仿真模型的准确性。利用响应面法中的中心复合设计(Central Composite Design，CCD)进行试验设计，制定动铁式比例电磁铁在有效工作区间内的静态电磁力的实验方案。应用最小二乘法进行回归分析，得到 MAPS在行程S＝1mm,S＝2mm and S＝3mm处的静态电磁力响应值与影响因素之间的多元二次响应面预测模型，预测模型的Adj.R2分别为 0.989、0.992、0.993，Predict.R2分别为0.977、0.982、0.986。利用预测模型分别对理想恒力值F＝35N、F＝40N、F＝45N的影响因素进行预测，并利用FEM对预测的结果进行仿真分析，得到FEM计算结果与理想恒力值之间的最大误差为：2.4％，最小误差为：0.025％，说明该预测模型能够准确的预测出动铁式比例电磁铁在有效工作区间内的静态电磁力，为动铁式比例电磁铁的影响因素设计提供了一种有效的预测方法。

本技术方案通过将响应面发和有限元法相结合，在现有技术中还未有人使用这两种方法对动铁式电磁铁的恒力进行预测，响应面提供了较好的解决方法，它能够对离散的实验数据进行拟合，构造出因素与响应之间的数学模型，从而提高计算效率；在动铁式比例电磁铁影响因素设计过程中，我们考虑到其有效工作行程内的恒力特性受多个影响因素的影响，本申请采用响应面法来建立静态电磁力与影响因素的预测模型，利用有限元发对预测出的影响因素进行仿真分析，验证预测结果的准确性，通过预测模型代替相关的仿真计算，从而节省了设计时间与成本；

另外，本技术方案经过多次试验，得出影响动铁式电磁铁恒力的多个主要影响因素，并同时对多个影响因素进行实验设计，考虑了多个影响因素之间的相互影响，使的实验设计更加全面，预测结果更加准确。

各位技术人员须知：虽然本发明已按照上述具体实施方式做了描述，但是本发明的发明思想并不仅限于此发明，任何运用本发明思想的改装，都将纳入本专利专利权保护范围内。

Claims (7)

1.基于响应面的动铁式比例电磁铁恒力预测方法，其特征在于，其步骤包括：

一、通过有限元方法，在JMAG电磁仿真软件中建立了动铁式比例电磁铁有限元模型；

二、利用响应面法中的中心复合设计进行试验设计，制定动铁式比例电磁铁在有效工作区间内的静态电磁力的实验方案；

三、进行响应面法的预测以及对预测的验证，利用有限元模型分别对理想恒力值的影响因素进行预测，并利用有限元方法对预测的结果进行仿真分析，得到有限元方法计算结果与理想恒力值之间的最大误差和最小误差。

2.根据权利要求1所述的基于响应面的动铁式比例电磁铁恒力预测方法，其特征在于，所述步骤一包括：

1.1、利用Maxwell基本方程组的微分形式建立数学模型；

1.2、通过JAMG软件对动铁式比例电磁铁建立1/4仿真模型，并对各个零件进行网格划分，零件包括隔磁环、动铁、上下导套、上下壳体、励磁线圈以及空气区域；

1.3、利用静态特性测试平台对动铁式比例电磁铁在额定电流时进行静态位移-力特性测试，将测试结果与有限元方法仿真计算结果进行对比并分析产生误差的原因。

3.根据权利要求2所述的基于响应面的动铁式比例电磁铁恒力预测方法，其特征在于，所述步骤1.1中Maxwell基本方程组的微分形式为：

安培环路定律：

法拉第定律：

高斯电通定律：▽·D＝ρ (3)

磁场高斯定律：▽·B＝0 (4)

式中，▽为Hamilton算子；H为磁场强度(A/m)；J为传导电流密度(V/m²)；D为电通密度(C/m)；t为时间(s)；E为电场强度(V/m)；B为磁感应强度(T)；ρ为电荷体密度(C/m³)。

4.根据权利要求1所述的基于响应面的动铁式比例电磁铁恒力预测方法，其特征在于，所述步骤二包括：

2.1、确定影响动铁式比例电磁铁静态电磁力的主要因素，分别为隔磁环前倾角a、隔磁环长度b、隔磁环壁厚c，动铁的长度d以及径向气隙e；

2.2、利用中心复合设计对影响动铁式比例电磁铁静态电磁力的5个影响因素建立响应面模型，再通过Design expert软件对各个影响因素进行中心复合设计的实验设计。

5.根据权利要求4所述的基于响应面的动铁式比例电磁铁恒力预测方法，其特征在于：所述步骤2.1中的各个影响因素的取值水平：

隔磁环前倾角a为30°、45°和60°；

隔磁环长度b1为1mm、2mm和3mm；

隔磁环壁厚c为1mm、1.3mm和1.6mm；

动铁长度d为22mm、23mm和24mm；

径向气隙e为0.1mm、0.2mm和0.3mm。

6.根据权利要求4所述的基于响应面的动铁式比例电磁铁恒力预测方法，其特征在于，所述步骤三包括：

3.1、建立响应面法预测，应用最小二乘法进行回归分析，得到动铁式比例电磁铁在行程S＝1mm,S＝2mm and S＝3mm处的静态电磁力响应值与各个影响因素之间的二次多项回归模型，再通过内在学生化残差进行模型检验；

3.2、响应面法的预测与验证，通过步骤2.2的实验设计中的数据得到模型的响应值区间，在预测区间内，可通过预测模型分别对动铁式比例电磁铁在S＝1mm、S＝2mm、S＝3mm处不同水平的电磁力进行预测，得到在不同恒力水平下的动铁式比例电磁铁影响因素的几何参数值；

3.3、根据步骤3.2中的几何参数值，建立相应的结构模型进行有限元法仿真计算，分别得到动铁式比例电磁铁在有效工作行程内的静态的位移-力特性曲线，并分析有限元法计算结果与理想恒力值支架的最大误差和最小误差。

7.根据权利要求6所述的基于响应面的动铁式比例电磁铁恒力预测方法，其特征在于：所述步骤三中公式为：

设模型参数为n维向量x∈Rⁿ，则响应函数为：

y(x)＝f(x)+ε (5)

式中，f为真正的函数关系式；ε为模型中的误差项；

利用二阶泰勒展开式拟合相对较小区域内的真函数，二阶Taylor展开式如下：

式中，

为基函数，k为基函数的个数(n+1)(n+2)/2；

利用最小二乘法求取未知系数A＝[a₀,a₁,a₂…a_k]^T，即

根据上式，可得：

A＝(X^TX)^-1X^TY (8)

式中，Y为p(p>k)个实验点处的响应矢量，X为基函数矩阵：

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