CN110822994A - 一种带落角约束的线性伪谱散布控制制导方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种带落角约束的线性伪谱散布控制制导方法，首先用一组具有待定系数的标准基函数的加权和来表示控制变量；然后通过欧拉法将系统状态方程进行线性化处理，得到一个线性最优控制问题；接着利用高斯伪谱法和模型预测控制理论将这个线性最优控制问题转化为求解一组线性方程组，获得修正后的满足落角约束的控制量。本发明可以满足脱靶量、终端落角约束，同时优化在飞行过程中能量控制；本发明基于线性伪谱散布控制制导律进行求解，保相同的计算精度的同时，具有更高的计算效率，更加方便在线应用。本发明将控制需求扩散到整个剩余飞行时间里，同时选取光滑函数作为控制变量的基函数，保证了加速度更光滑，更加利于导弹自动驾驶仪的执行。

Description

一种带落角约束的线性伪谱散布控制制导方法

技术领域

本发明涉及一种带落角约束的线性伪谱散布控制(Linear Pseudo-spectralModel Predictive Spread Control，LPMPSC)制导方法，属于航天技术、武器技术、制导控制领域。

背景技术

落角约束制导律的目标是获得理想的落角，这将显著提高导弹直接撞击目标或其携带弹头的毁伤能力。因此，近几十年来，它在现代战争中引起了极大的关注。不同的战斗场景对落角有不同的要求。对于反坦克或反舰导弹来说，由于坦克或舰船顶部通常是比较薄弱的，所以最好能实现从顶部的攻击。对于反弹道导弹而言，弹道导弹目标与拦截弹之间的相对速度非常大，而且与弹道导弹目标相比，拦截弹不再具有速度优势。为了最大限度地提高拦截弹的碰撞速度和杀伤能力，迎头撞击弹道导弹目标是较好的选择。

经典比例导引律(Proportional Navigation Guidance，PNG)由于其易于工程实际应用，是世界上最著名和应用最广泛的制导律之一，但是经典比例导引律没有考虑落角约束。为了克服经典比例导引律的这一缺陷，基于经典比例导引律的落角约束制导律已有大量研究，已在精确制导武器、反坦克导弹、反舰导弹等战术武器上得到较多应用。但是这些制导律是基于经典比例导引律的理论假设，它们不能提供最优的制导指令，并且存在许多固有缺点，例如加速度指令在交战结束时刻激增、没有弹道整形能力等。

最优控制制导律能充分发挥导弹武器系统的可操作性，提高导弹武器系统的作战效能。随后，许多学者在最优控制理论框架下对落角约束制导律进行了研究。近年来发展的线性伪谱模型预测控制(Linear Pseudo-spectral Model Predictive Control，LPMPC)方法可以非常有效的求解具有强终端约束和二次性能指标的非线性最优控制问题。该方法综合了非线性近似模型预测控制理论、线性二次最优控制理论以及高斯伪谱法。将原非线性控制问题通过线性化和高斯伪谱法转化为一组线性代数方程组，通过求解线性代数方程组得到最优控制解。该方法具有计算效率高、离散点少、精度高等优点，并具有最优控制解可以在离散点上用光滑函数表示的特点，适用于在线应用，并且被应用于解决了许多最优制导问题。

发明内容

本发明的目的是为了解决上述问题，提出了一种带落角约束的线性伪谱散布控制(LPMPSC)制方法，可以同时满足脱靶量、终端弹道倾角和弹道偏角的约束的最优控制。

该制导方法以非线性近似模型预测控制理论、线性二次最优控制理论、高斯伪谱法以及控制变量参数化思想为基础。通过将原系统状态方程进行线性化处理得到线性最优控制系统，并利用高斯伪谱法将得到的线性最优控制系统离散处理，得到一组线性方程组，对线性方程组求解获得最优控制解(期望的最优导弹加速度)。该方法具有计算效率高、离散点少、精度高等优点，并具有最优控制解可以在离散点上用光滑函数表示的特点。

受到控制变量参数化思想的启发，结合最优控制解可以在离散点上用光滑函数表示的特点，本发明将控制变量参数化为具有待定系数的一般标准基函数的加权和。虽然最终解是次优的，但通过推导出一系列的解析改进公式来消除最终的预测误差，仍然保持了在较少的离散点上获得高精度解的特点。此外，需要优化的变量的数目将显著减少，这将进一步提高计算效率，并提供更平滑的控制历史。需要说明的是，勒让德多项式、幂级数多项式、切比雪夫多项式等都可以作为标准基函数使用。

本发明是一种带落角约束的线性伪谱散布控制(LPMPSC)制导方法，首先用一组具有待定系数的标准基函数的加权和来表示控制变量；然后，通过欧拉法将系统状态方程进行线性化处理，得到一个线性最优控制问题；接着，利用高斯伪谱法和模型预测控制理论将这个线性最优控制问题转化为求解一组线性方程组，获得修正后的满足落角约束的控制量。整个过程包括以下几个步骤：

步骤1：选取标准基函数参数化表示控制变量

考虑一般的具有强终端约束的非线性动态系统

δx_f＝x(t_f)-x_f (2)

其中，x∈Rⁿ,u∈R^m,t∈R分别是系统状态变量、控制变量和时间。x_f是终端状态约束。δx_f是终端状态偏差。

在本发明中，控制变量被表示成具有待定系数的一组标准基函数的和。这些待定系数通过线性伪谱散布控制方法优化确定。勒让德多项式、幂级数多项式、切比雪夫多项式等都可以作为标准基函数。

每一个控制变量u_i参数化表示为如下形式

其中，φ_j(t)是预先选定的标准基函数，c_ij是表示控制变量u_i的标准基函数φ_j(t)的权重系数,又称控制变量参数，并最终通过本发明中线性伪谱散布控制方法优化确定，N_p是式(3)中标准基函数的数目。不失一般性，本发明中假设控制变量的每个分量均可以表示为具有不同系数的同一组标准基函数的和。

步骤2：线性化动态系统

将式(1)展开成泰勒级数形式，忽略高阶项，并将一阶微分项作为自变量。因此，我们就可以得到一组线性动力学方程

其中，雅可比矩阵A和

表示为如下形式

其中，x_p,u_p,c_p分别为标称状态变量，标称控制变量和标称控制变量参数(式(3)中的权重系数)。需要注意的是，实际的状态变量定义为x＝x_p-δx。类似的，实际的控制变量和控制变量参数可以表示为u＝u_p-δu,c＝c_p-δc。

步骤3：线性高斯伪谱法离散线性动态系统

在线性伪谱方法中，用拉格朗日插值多项式近似状态变量和控制变量，采用正交配置近似微分代数方程。从而将线性最优控制问题转化为求解一组线性代数方程组的问题。计算时间也将减少到只有几分之一秒。在本发明中，选用高斯伪谱法，并选择LegendreGauss(LG)节点(Legendre多项式的根)作为离散配置点。

这样，经过时域转换后原线性最优控制系统就被转化为如下形式

在LG节点，通过如下式所示的微分近似矩阵得到状态偏差的导数

其中，微分近似矩阵D∈R^N×(N+1)可以通过在LG节点上对拉格朗日差值多项式求导获得。矩阵

是微分近似矩阵D的第一列。微分近似矩阵D的元素表示为

状态偏差可以表示为如下的矢量形式

通过将式(10)代入到式(7)中，原线性微分方程组不仅被转化为一组代数方程，而且被表现为LG节点上的状态偏差。

步骤4：求解状态偏差解析解

为了推导出用于修正最终误差的通用解析修正公式，将微分近似矩阵分解为两部分。然后将式(15)中状态偏差进行重新整理，将代数方程简化为如下形式

其中，D₁是微分近似矩阵D中与初始状态偏差有关的部分；D_2:n是微分近似矩阵D中与LG节点上状态偏差相关的其余部分。

接下来，重新整理式(12)，状态变量在所有LG节点上的偏差的解析表达式可以表示为

然后，由于LG节点不包括边界点，上式求出的状态偏差向量δx不包括终端状态偏差。利用高斯求积公式求出终端状态偏差，式(7)的积分形式表示为

因此，终端状态偏差可以表示为

其中，ω_i是高斯求积系数。重新整理式(15)，终端状态偏差可以表示为如下形式

其中，L是一个列向量，矩阵W由高斯求积系数组成，它们可以被具体表示为

将式(13)代入到式(16)中并整理结果，可以发现，终端状态偏差可以表示为初始状态偏差δx和控制变量参数调整量δc的线性函数。

δx_f＝K^xδx₀+K^cδc (18)

其中，K^x,K^c分别为终端状态偏差δx_f对初始状态偏差δx和控制变量参数调整量δc的偏导数。从中可以看出初始状态偏差δx和控制变量参数调整量δc对终端状态偏差δx_f的影响。

K^x,K^c的具体表达如下

其中，偏微分函数F^x,F^c具体定义为

需要指出的是，初始状态偏差δx₀已知并且为零向量。但是，部分状态变量没有终端约束。因此，需要引入消除矩阵Y来消去没有终端约束相应的终端状态偏差。矩阵Y由单位矩阵删去没有终端约束的状态变量所对应的行组成。

Yδx_f＝YK^cδc (21)

如果控制变量参数的调整量δc的未知数个数等于式(21)中等式的个数，那么用来消除预测终端状态偏差的控制变量参数的调整量δc就可以通过下式求得

δc＝(YK^c)^-1Yδx_f (22)

步骤5：添加性能指标泛函

通常情况下，式(21)是不完全约束方程。在满足式(21)的约束条件下，通过构造可最小化或最大化的性能函数来求解。注意，式(3)中控制变量的上界可以表示为如下形式

因为预先选定的标准基函数|φ_j(t_k)|是固定的，我们可以通过最小化c_j来获取最小化的u(t_k)。因此，可以选择如下形式的性能泛函

其中，R是控制设计人员需要仔细选择的加权矩阵。因此，式(21)和式(24)组成了一个有适当约束静态优化问题。根据静态优化理论，增广性能泛函可以表示为

步骤6：求解满足终端约束的控制变量

利用KKT条件，可以得到

联立求解式(26)和(27)，可以得到更新的控制变量参数c

c＝c_p-δc＝-R^-1(YK^c)^T[YK^cR^-1(YK^c)^T]^-1(Yδx_f-YK^cc_p) (28)

最终得到更新后的控制变量解析表达式

本发明一种带落角约束的线性伪谱散布控制(LPMPSC)制导律，其优点在于：

(1)较于传统的末制导律，该解析制导律可以满足脱靶量、终端落角约束，同时优化在飞行过程中能量控制；

(2)该制导律基于线性伪谱散布控制(LPMPSC)制导律进行求解，相对于同类型的最优控制制导律如线性伪谱最优控制(Linear Pseudo-spectral Model PredictiveControl，LPMPC)制导律和静态模型预测控制(Model Predictive Static Program,MPSP)，本发明在保相同的计算精度的同时，具有更高的计算效率，更加方便在线应用。

(3)该制导律将控制需求扩散到整个剩余飞行时间里，同时选取光滑函数作为控制变量的基函数，保证了加速度更光滑，更加利于导弹自动驾驶仪的执行。

附图说明

图1是落角示意图；

图2是本发明制导律实施流程图；

图3是该制导律与BPNG、MPSP、LPMPC的弹道仿真结果对比；

图4是该制导律与BPNG、MPSP、LPMPC的纵向加速度仿真结果对比；

图5是该制导律与BPNG、MPSP、LPMPC的横向加速度仿真结果对比；

图6是该制导律与BPNG、MPSP、LPMPC的弹道倾角仿真结果对比；

图7是该制导律与BPNG、MPSP、LPMPC的弹道偏角仿真结果对比。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明做进一步的详细说明。

本发明是一种带落角约束的线性伪谱散布控制(LPMPSC)制导律，首先用一组具有待定系数的标准基函数的加权和来表示控制变量；然后，通过欧拉法将系统状态方程进行线性化处理，得到一个线性最优控制问题；接着，利用高斯伪谱法和模型预测控制理论将这个线性最优控制问题转化为求解一组线性方程组，获得修正后的满足落角约束的控制量。

实施例中将本发明应用于地空拦截弹拦截高速来袭的非机动弹道导弹目标，并满足落角约束，实现从特定角度拦截目标以提高毁伤能力。在本实施例中，落角的定义如图1所示。目标是在满足最小化脱靶量的同时，满足终端落角约束并产生比较小而且平滑的加速度曲线。如图2所示，本发明整个过程包括以下几个步骤：

步骤1：选取标准基函数参数化表示控制变量

建立平面大地坐标系下拦截弹的三维动力学模型式(1)和目标的三维动力学模型式(2)

其中，x_m,y_m,z_m,V_m,γ_m,ψ_m,a_z,a_y分别为导弹的三个坐标，速度，弹道倾角，弹道偏角，横向和纵向加速度。τ是自动驾驶仪一阶滞后环节的时间常数。a_zc,a_yc为导弹的横向和纵向指令加速度。另外，为了计算的数值稳定性，需要对拦截弹的动力学模型进行无量纲化处理。拦截弹的初始加速度信息可以通过偏置比例导引(Biased ProportionalNavigation,BPN)获取。

其中，x_t,y_t,z_t,V_t,γ_t,ψ_t分别为目标的三个坐标，速度，弹道倾角和弹道偏角。β＝900kg/m²为弹道系数。

将拦截弹的动力学模型视为如下所示的具有强终端约束的非线性动态系统

δx_f＝x(t_f)-x_f (4)

其中，x＝[x_m,y_m,z_m,V_m,γ_m,ψ_m,a_z,a_y]^T∈Rⁿ,u＝[a_z,a_y]∈R^m,t∈R分别是系统状态变量，控制变量和时间。系统状态变量包括拦截弹的位置，速度，弹道倾角和弹道偏角。控制变量包括拦截弹的横向和纵向加速度指令。x_f＝[x_mf,y_mf,z_mf,γ_mf,ψ_mf]是终端状态约束，拦截弹需要满足终端位置和角度约束。δx_f是终端状态偏差。

拦截弹的仿真参数下如表1所示，拦截弹与目标的初始化参数如下表2所示。

表1

表2

为了最大限度地提高弹头的冲击速度和突防能力，拦截高速弹道目标的落角应为180度，即为正面交战。为了提高定向弹头的可观测性和杀伤力，落角应该在165到175度之间。因此，期望的拦截弹终端弹道倾角约束γ_df和终端弹道偏角约束ψ_df选择为53deg和40deg。

在本发明中，控制变量被表示成具有待定系数的一组标准基函数的和。这些待定系数通过线性伪谱散布控制方法优化确定。勒让德多项式、幂级数多项式、切比雪夫多项式等都可以作为标准基函数。

每一个控制变量u_i参数化表示为如下形式

其中，φ_j(t)是预先选定的标准基函数，c_ij是表示控制变量u_i的标准基函数φ_j(t)的权重系数,又称控制变量参数，最终通过本发明中线性伪谱散布控制方法优化确定，N_p是式(3)中标准基函数的数目。不失一般性，本发明中假设控制变量的每个分量均可以表示为具有不同系数的同一组标准基函数的和。

在实施例中，控制变量参数化为时间的二次函数。相应的标准基函数φ(t)的表达式为φ₁(t)＝t²,φ₂(t)＝t,φ₃(t)＝1。这样，如果选取的LG节点至少为6个的情况下，需要优化的变量数量就由12个减少到了6个，显著地提高了运算效率。

步骤2：线性化动态系统

将式(3)展开成泰勒级数形式，忽略高阶项，并将一阶微分项作为自变量。因此，我们就可以得到一组线性动力学方程

其中，雅可比矩阵A和表示为如下形式

其中，x_p,u_p,c_p分别为标称状态变量，标称控制变量和标称控制变量参数(式(5)中的系数)。需要注意的是，实际的状态变量定义为x＝x_p-δx。类似的，实际的控制变量和控制变量参数可以表示为u＝u_p-δu,c＝c_p-δc。

步骤3：线性高斯伪谱法离散线性动态系统

在线性伪谱方法中，用拉格朗日插值多项式近似状态变量和控制变量，采用正交配置近似微分代数方程。从而将线性最优控制问题转化为求解一组线性代数方程组的问题。计算时间也将减少到只有几分之一秒。在本发明中，选用高斯伪谱法，并选择LegendreGauss(LG)节点(Legendre多项式的根)作为离散配置点。

因为LG节点分布在[-1,1]区间，需要首先通过如下的转换方程把线性最优控制问题的时域[t₀,t_f]转换到[-1,1]区间。

这样，原线性最优控制系统就被转化为如下形式

在本发明中，定义L_N(τ)为N阶拉格朗日插值多项式，τ_i是LG节点即N阶Legendre多项式的根。需要注意的是，这些特殊的根没有解析解。因此，可以使用数值算法得到LG节点。根据高斯伪谱法，我们通过N阶拉格朗日插值多项式的基函数来近似状态变量、控制变量和协态变量如下式所示

根据拉格朗日插值多项式的特征，L_N(τ)满足以下属性

δx^N(τ_l)＝δx(τ_l) (13)

在LG节点，通过如下式所示的微分近似矩阵得到状态偏差的导数

其中，微分近似矩阵D∈R^N×(N+1)可以通过在LG节点上对拉格朗日差值多项式求导获得。矩阵

是微分近似矩阵D的第一列。微分近似矩阵D的元素表示为

状态偏差可以表示为如下的矢量形式

通过将式(16)代入到式(10)中，原线性微分方程组不仅被转化为一组代数方程，而且被表现为LG节点上的状态偏差。

步骤4：求解状态偏差解析解

为了推导出用于修正最终误差的通用解析修正公式，将近似矩阵分解为两部分。然后将式(17)中状态偏差进行重新整理，将代数方程简化为如下形式

其中，D₁是微分近似矩阵D中与初始状态偏差有关的部分；D_2:n是微分近似矩阵D中与LG节点上状态偏差相关的其余部分。矩阵D₁,D_2:n的元素可以表示为如下形式

其中,上角标s表示状态变量的数量。

偏微分矩阵

被重新表示为如下形式

接下来，重新整理式(18)，状态变量在所有LG节点上的偏差的解析表达式可以表示为

然后，由于LG节点不包括边界点，上式求出的状态偏差向量δx不包括终端状态偏差。利用高斯求积公式求出终端状态偏差，式(10)的积分形式表示为

因此，终端状态偏差可以表示为

其中，ω_i是高斯求积系数。重新整理式(23)，终端状态偏差可以表示为如下形式

其中，L是一个列向量，矩阵W由高斯求积系数组成，它们可以被具体表示为

将式(21)代入到式(24)中并整理结果，可以发现，终端状态偏差可以表示为初始状态偏差δx和控制变量参数的调整量δc的线性函数。

δx_f＝K^xδx₀+K^cδc (26)

其中，K^x,K^c分别为终端状态偏差δx_f对初始状态偏差δx和控制变量参数的调整量δc的偏导数。从中可以看出初始状态偏差δx和控制变量参数的调整量δc对终端状态偏差δx_f的影响。K^x,K^c的具体表达如下

其中，偏微分函数F^x,F^c具体定义为

需要指出的是，初始状态偏差δx₀已知并且为零向量。但是，部分状态变量没有终端约束。因此，需要引入消除矩阵Y来消去没有终端约束相应的终端状态偏差。矩阵Y由单位矩阵删去没有终端约束的状态变量所对应的行组成。

Yδx_f＝YK^cδc (29)

如果控制变量参数的调整量δc的未知数个数等于式(29)中等式的个数，那么用来消除预测终端状态偏差的控制变量参数的调整量δc就可以通过下式求得

δc＝(YK^c)^-1Yδx_f (30)

步骤5：添加性能指标泛函

通常情况下，并且在本实施例中，式(29)是不完全约束方程。然而，这为实现其他目标铺平了道路。在满足式(29)的约束条件下，通过构造可最小化或最大化的性能函数来求解。注意，式(5)中控制变量的上界可以表示为如下形式

因为预先选定的标准基函数|φ_j(t_k)|是固定的，我们可以通过最小化c_j来获取最小化的u(t_k)。因此，可以选择如下形式的性能泛函

其中，R是控制设计人员需要仔细选择的加权矩阵。因此，式(29)和式(32)组成了一个有适当约束静态优化问题。根据静态优化理论，增广性能泛函可以表示为

步骤6：求解满足终端约束的控制变量

利用KKT条件，可以得到

由式(34)求解δc可得

δc＝c_p+R^-1(YK^c)^Tλ (36)

将式(36)代入到式(34)中，可以得到λ的表达式如下

λ＝[YK^cR^-1(YK^c)^T]^-1(Yδx_f-YK^cc_p) (37)

将λ代入到式(36)中，可以得到更新的控制变量参数c

c＝c_p-δc＝-R-¹(YK^c)^T[YK^cR-¹(YK^c)^T]^-1(Yδx_f-YK^cc_p) (38)

得到更新后的控制变量解析表达式

可以看出，LPMPSC更新的控制参数是一个封闭形式的解析表达式，这是提高算法计算效率的关键因素之一。与以前的LPMPC相比，需要优化的变量数量显著减少。因此，LPMPSC的计算效率比LPMPC得到了进一步的提高。因为基函数是光滑的，这样同时保证了控制函数的光滑特性。

实施例：

本实施例中要求拦截弹在交战时刻以期望的落角以及最优的能量消耗和平稳的加速度曲线命中高速来袭的非机动弹道导弹，实施例采用本发明制导律，并且与并与偏置比例导引(BPNG)、模型预测静态控制(MPSP)、线性伪谱模型预测控制(LPMPC)等典型方法进行了比较，验证了该方法在计算精度和计算效率上的优越性。偏置比例导引(BPNG)是基于传统的比例导引律改进的能够满足落角约束的制导律，在加入偏置项满足落角约束的同时完全继承了传统比例导引律的特性。模型预测静态控制(MPSP)、线性伪谱模型预测控制(LPMPC)均是能够解决具有强终端约束的最优控制问题的数值优化算法，得到的解通常认为是理论最优解。

通过仿真结果图3-7以及仿真结果比较分析表3可以看出，本发明中基于线性伪谱散布控制制导律可以导引拦截弹命中目标，并且以很高的精度满足脱靶量、终端落角约束，验证了本制导律的有效性；同时在与偏置比例导引(BPNG)、模型预测静态控制(MPSP)、线性伪谱模型预测控制(LPMPC)的比较中可以看出，采用本发明制导律与MPSP和LPMPC制导得到的拦截弹飞行轨迹基本一致。这些轨迹的曲率比BPNG产生的曲率小。飞行轨迹的曲率表示实现的横向加速度，横向加速度越小，飞行轨迹越直，气动阻力越小。因此，在气动阻力最小化的情况下，曲率较小的飞行路径是有利的。采用本发明制导律得到的加速度曲线以及弹道倾角、弹道偏角曲线均与最优解基本一致，并且更加平稳光滑。同时在表3可以看出，与模型预测静态控制(MPSP)、线性伪谱模型预测控制(LPMPC)相比较，本发明制导律在满足同样制导精度的情况下，具有更高的运算效率。

表3。

Claims (3)

1.一种带落角约束的线性伪谱散布控制制导方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

步骤1：选取标准基函数参数化表示控制变量

考虑一般的具有强终端约束的非线性动态系统

δx_f＝x(t_f)-x_f (2)

其中，x∈Rⁿ,u∈R^m,t∈R分别是系统状态变量、控制变量和时间；x_f是终端状态约束；δx_f是终端状态偏差；

每一个控制变量u_i参数化表示为如下形式

其中，φ_j(t)是预先选定的标准基函数，c_ij是表示控制变量u_i的标准基函数φ_j(t)的权重系数,又称控制变量参数，N_p是式(3)中标准基函数的数目；

步骤2：线性化动态系统

将式(1)展开成泰勒级数形式，忽略高阶项，并将一阶微分项作为自变量；得到一组线性动力学方程

其中，雅可比矩阵A和表示为如下形式

其中，x_p,u_p,c_p分别为标称状态变量，标称控制变量和标称控制变量参数；需要注意的是，实际的状态变量定义为x＝x_p-δx；类似的，实际的控制变量和控制变量参数可以表示为u＝u_p-δu,c＝c_p-δc；

步骤3：线性高斯伪谱法离散线性动态系统

选用高斯伪谱法，并选择LG节点作为离散配置点；

这样，经过时域转换后原线性最优控制系统就被转化为如下形式

在LG节点，通过如下式所示的微分近似矩阵得到状态偏差的导数

其中，微分近似矩阵D∈R^N×(N+1)可以通过在LG节点上对拉格朗日差值多项式求导获得；矩阵是微分近似矩阵D的第一列；微分近似矩阵D的元素表示为

状态偏差可以表示为如下的矢量形式

通过将式(10)代入到式(7)中，原线性微分方程组不仅被转化为一组代数方程，而且被表现为LG节点上的状态偏差；

步骤4：求解状态偏差解析解

将微分近似矩阵分解为两部分；然后将式(15)中状态偏差进行重新整理，将代数方程简化为如下形式

其中，D₁是微分近似矩阵D中与初始状态偏差有关的部分；D_2:n是微分近似矩阵D中与LG节点上状态偏差相关的其余部分；

接下来，重新整理式(12)，状态变量在所有LG节点上的偏差的解析表达式可以表示为

然后，由于LG节点不包括边界点，上式求出的状态偏差向量δx不包括终端状态偏差；利用高斯求积公式求出终端状态偏差，式(7)的积分形式表示为

因此，终端状态偏差可以表示为

其中，ω_i是高斯求积系数；重新整理式(15)，终端状态偏差可以表示为如下形式

其中，L是一个列向量，矩阵W由高斯求积系数组成，它们可以被具体表示为

将式(13)代入到式(16)中并整理结果，可以发现，终端状态偏差可以表示为初始状态偏差δx和控制变量参数调整量δc的线性函数；

δx_f＝K^xδx₀+K^cδc (18)

其中，K^x,K^c分别为终端状态偏差δx_f对初始状态偏差δx和控制变量参数调整量δc的偏导数；从中可以看出初始状态偏差δx和控制变量参数调整量δc对终端状态偏差δx_f的影响；K^x,K^c的具体表达如下

其中，偏微分函数F^x,F^c具体定义为

需要指出的是，初始状态偏差δx₀已知并且为零向量；但是，部分状态变量没有终端约束；因此，需要引入消除矩阵Y来消去没有终端约束相应的终端状态偏差；矩阵Y由单位矩阵删去没有终端约束的状态变量所对应的行组成；

Yδx_f＝YK^cδc (21)

如果控制变量参数的调整量δc的未知数个数等于式(21)中等式的个数，那么用来消除预测终端状态偏差的控制变量参数的调整量δc就可以通过下式求得

δc＝(YK^c)^-1Yδx_f (22)；

步骤5：添加性能指标泛函

通常情况下，式(21)是不完全约束方程；在满足式(21)的约束条件下，通过构造可最小化或最大化的性能函数来求解；注意，式(3)中控制变量的上界可以表示为如下形式

因为预先选定的标准基函数|φ_j(t_k)|是固定的，通过最小化c_j来获取最小化的u(t_k)；因此，选择如下形式的性能泛函

式(21)和式(24)组成了一个有适当约束静态优化问题；根据静态优化理论，增广性能泛函可以表示为

步骤6：求解满足终端约束的控制变量

利用KKT条件，可以得到

联立求解式(26)和(27)，可以得到更新的控制变量参数c

c＝c_p-δc＝-R^-1(YK^c)^T[YK^cR^-1(YK^c)^T]^-1(Yδx_f-YK^cc_p) (28)

最终得到更新后的控制变量解析表达式

2.根据权利要求1所述的一种带落角约束的线性伪谱散布控制制导方法，其特征在于：步骤1中所述的控制变量被表示成具有待定系数的一组标准基函数的和；这些待定系数通过线性伪谱散布控制方法优化确定。

3.根据权利要求1所述的一种带落角约束的线性伪谱散布控制制导方法，其特征在于：；所述步骤1，假设控制变量的每个分量均可以表示为具有不同系数的同一组标准基函数的和。

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