CN110807242B - 考虑骨料分区域填充的钢筋混凝土细观数值模型构建方法 - Google Patents

Abstract

发明提供考虑骨料分区域填充的钢筋混凝土细观数值模型构建方法。该方法包括指定钢筋混凝土细观数值模型的几何参数、划分填充区域、生成骨料、投放骨料等步骤。该方法能够充分体现钢筋混凝土细观模型中骨料位置和粒径分布的随机规律性。可避免人工干预的主观性并减轻科研设计人员的工作负担。

Description

考虑骨料分区域填充的钢筋混凝土细观数值模型构建方法

技术领域

本发明涉及钢筋混凝土细观数值模型，特别涉及考虑骨料分区域填充的钢筋混凝土细观数值模型构建方法。

背景技术

氯离子入侵混凝土导致混凝土结构发生耐久性破坏是一个长期缓慢的过程。开展钢筋混凝土中氯离子长期扩散的物理试验研究相比较于数值模拟而言不仅会耗费大量的时间，还会消耗更多的人力、物力和财力。

随着电子计算机的高速发展，国内外诸多学者提出了一系列的数值模拟方法来研究海洋环境下混凝土结构中氯离子扩散的浓度分布规律。现有研究主要认为混凝土材料的细观组分主要包括：水泥浆体、骨料和二者之间的界面区这三相，并基于二维圆形或三维球形骨料的随机生成和随机投放算法，可最终建立得到混凝土材料的三相细观数值模型。

然而，对于钢筋混凝土材料，其细观结构的组成除了混凝土材料中原有的水泥浆体、骨料以及浆体-骨料之间的界面区这三相之外，还包含钢筋以及浆体-钢筋之间的界面区这两相。现有技术无法充分考虑钢筋存在对钢筋混凝土中不同区域范围内骨料含量及分布的影响，未能体现钢筋混凝土多相复合材料的细观特性，与实际情况存在较大差异性。

因此，亟需建立一种考虑骨料分区域填充的钢筋混凝土细观数值模型构建方法。

发明内容

本发明的目的是提供考虑骨料分区域填充的钢筋混凝土细观数值模型构建方法，以解决现有技术中存在的问题。

为实现本发明目的而采用的技术方案是这样的，考虑骨料分区域填充的钢筋混凝土细观数值模型构建方法，包括以下步骤：

1)指定钢筋混凝土细观数值模型的几何参数。其中，在所述钢筋混凝土细观数值模型中，钢筋混凝土采用长方体区域表示，钢筋采用圆柱体区域表示。长方体的六个面为钢筋混凝土边界，圆柱体的三个面为钢筋边界。钢筋布置在混凝土中，钢筋混凝土边界与钢筋边界之间的区域为骨料填充区域。

2)根据钢筋存在对骨料分布影响的区域范围，将骨料填充区域划分为区域Ⅰ和区域Ⅱ。其中，所述区域Ⅰ为圆环柱体。所述圆环柱体的轴线与步骤1)创建圆柱体的轴线重合。区域Ⅰ内骨料的粒径范围为[d_ca1(min),d_ca1(max)]。区域Ⅱ内骨料的粒径范围为[d_ca2(min),d_ca2(max)]。

3)将不规则形状的骨料颗粒简化为圆球。根据公式(1)在区域Ⅰ内随机生成m个骨料，并保存全部骨料的粒径结果。根据公式(2)在区域Ⅱ内随机生成n个骨料，并保存全部骨料的粒径结果。

式中，P_i为粒径小于d_ca1(i)的骨料的累积频率。unifrd(0,1)为随机数函数，可生成[0,1]之间的随机数。

式中，P_j为粒径小于d_ca2(j)的骨料的累积频率。

4)根据细观模型的几何尺寸范围，创建钢筋混凝土细观数值模型的长方体边界、钢筋的圆柱边界和区域Ⅰ的圆环柱边界。

5)将步骤3)随机生成得到的区域Ⅰ内的全部m个骨料按照颗粒粒径由大到小降序排列。在区域Ⅰ的圆环柱范围内按照粒径从大到小的顺序依次随机投放区域Ⅰ内的全部m个球形骨料，并保存全部m个球形骨料的球心坐标(x_i,y_i,z_i)及其相应的粒径d_ca1(i)。其中，第i个骨料同时满足与已经成功投放的全部i-1个球形骨料均不重叠以及与钢筋相互之间不重叠。

6)将步骤3)随机生成得到的区域Ⅱ内的全部n个骨料按照粒径由大到小降序排列。在区域Ⅱ范围内按照粒径从大到小的顺序依次随机投放区域Ⅱ内的全部n个球形骨料，并保存全部n个球形骨料的球心坐标(x_j,y_j,z_j)及其相应的粒径d_ca2(j)。其中，第j个骨料同时满足与已经成功投放的全部j-1个球形骨料均不重叠以及与钢筋相互之间不重叠。

7)绘制钢筋混凝土细观数值模型的三维图示，并导出区域Ⅰ和区域Ⅱ内全部骨料的球心坐标和粒径大小。

进一步，步骤3)具体包括以下步骤：

3.1)计算区域Ⅰ内球形骨料的总体积：

式中，A_rc为区域Ⅰ内骨料的含量。d_r为钢筋的直径。I_r为混凝土中钢筋的存在对周围骨料分布的影响范围。l_r为钢筋的长度。

3.2)根据式(1)在区域Ⅰ内随机生成第i个骨料的粒径d_ca1(i)。

3.3)判断随机生成得到的区域Ⅰ内的d_ca1(i)是否满足d_ca1(min)≤d_ca1(i)≤d_ca1(max)。若满足条件，则进入步骤3.4)。若不满足，则返回步骤3.2)中重新生成d_ca1(i)。

3.4)计算区域Ⅰ内已经生成的全部球形骨料的累积体积：

3.5)判断已经生成的区域Ⅰ内全部球形骨料的累积体积v_ca1(i)是否满足v_ca1(i)≥v_ca1，若满足条件，则停止运算，并保存区域Ⅰ内已经生成的全部m个球形骨料的粒径d_ca1(i)。若不满足，则返回步骤3.2)继续生成d_ca1(i)，并重复步骤3.2)～3.5)，直至满足条件。

3.6)计算钢筋混凝土细观数值模型区域Ⅱ内球形骨料的总体积：

v_ca2＝V_ca·l₁·l₂·l₃-v_ca1 (5)

式中，V_ca为骨料的体积分数。l₁为钢筋混凝土的长度。l₂为钢筋混凝土的宽度。l₃为钢筋混凝土的高度。

3.7)根据公式(2)在区域Ⅱ内随机生成第j个骨料的粒径d_ca2(j)。

3.8)判断随机生成得到的区域Ⅱ内d_ca2(j)是否满足d_ca2(min)≤d_ca2(j)≤d_ca2(max)，若满足条件，则进入步骤3.9)。若不满足，则返回步骤3.7)中重新生成d_ca2(j)。

3.9)计算区域Ⅱ内已经生成的全部球形骨料的累积体积：

3.10)判断已经生成的区域Ⅱ内全部球形骨料的累积体积v_ca2(j)是否满足v_ca2(j)≥v_ca2。若满足条件，则停止运算，并保存区域Ⅱ内已经生成的全部n个球形骨料的粒径d_ca2(j)。若不满足，则返回步骤3.7)中继续生成d_ca2(j)，并重复步骤3.7)～步骤3.9)的运算，直至满足条件。

进一步，步骤5)中，球心坐标投放范围为xi∈[(d_r/2)·cos(unifrd[0,2π]),(d_r/2+I_r)·cos(unifrd[0,2π])]，yi∈[(d_r/2)·sin(unifrd[0,2π]),(d_r/2+I_r)·sin(unifrd[0,2π])]，zi∈(当l_r≤l_rc时，zi∈[z_rb,l_r]；当l_r>l_rc时，zi∈[z_rb,l_rc])，在上述区域内随机的生成第i个球形骨料的球心坐标(xi，yi，zi)。其中，d_r为钢筋直径，z_rb为钢筋底部圆心的z坐标，l_rc为沿着钢筋上下两圆面圆心方向的钢筋混凝土试件的高度。

进一步，步骤5)中，第i个球形骨料与其余全部i-1个球形骨料球心距离的空间向量[S_i]如式(7)所示。第i个球形骨料与其余全部i-1个球形骨料之间最小球心距离的空间向量[S_i]_min如式(8)。全部m个球形骨料的球心与钢筋圆柱体的等效圆心之间距离的空间向量[S_r]如式(9)所示。全部m个球形骨料的球心与钢筋圆柱体的等效圆心之间最小距离的空间向量[S_r]_min如式(10)所示。其中，[S_i]≥[S_i]_min且[S_r]≥[S_r]_min。

式中，t_ITZ为骨料与水泥浆之间界面区的厚度；S_1,r为第1个球形骨料的球心与钢筋的等效圆心之间的距离。S_2,r为第2个球形骨料的球心与钢筋的等效圆心之间的距离。S_i-1,r为第i-1个球形骨料的球心与钢筋的等效圆心之间的距离。S_i,r为第i个球形骨料的球心与钢筋的等效圆心之间的距离。

本发明的技术效果是毋庸置疑的：

A.能够充分体现钢筋混凝土细观模型中骨料位置和粒径分布的随机规律性；

B.可避免人工干预的主观性并减轻科研设计人员的工作负担；

C.可用于模拟钢筋混凝土原型尺度构件，以便进一步开展原型尺度构件的力学强度和腐蚀性离子侵蚀数值模拟。

附图说明

图1为骨料颗粒随机生成算法流程图；

图2为骨料填充区域划分示意图；

图3为骨料颗粒位置关系示意图；

图4为骨料颗粒随机投放算法流程图；

图5为钢筋混凝土细观数值模型示意图。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本发明上述主题范围仅限于下述实施例。在不脱离本发明上述技术思想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换和变更，均应包括在本发明的保护范围内。

实施例1：

参见图1，本实施例在混凝土三维球形骨料随机生成和随机投放算法的基础之上，提出了一种考虑骨料分区域填充的钢筋混凝土细观数值模型构建方法，包括以下步骤：

1)指定钢筋混凝土细观数值模型的几何参数。其中，在所述钢筋混凝土细观数值模型中，钢筋混凝土采用长方体区域表示，钢筋采用圆柱体区域表示。长方体的六个面为钢筋混凝土边界，圆柱体的三个面为钢筋边界。钢筋布置在混凝土中，钢筋混凝土边界与钢筋边界之间的区域为骨料填充区域。值得说明的是，现有技术在建立钢筋混凝土细观模型的过程中，仅将钢筋作为一个圆柱形几何体放置在模型中，并未考虑“浆体-钢筋”界面区以及真实情况下钢筋存在会对其周围一定区域范围内骨料的含量及分布造成影响。嵌入混凝土中的钢筋会对其周围大约几毫米的区域范围内骨料的空间随机分布造成影响，降低该区域中骨料的体积分数，减小在该范围内侵蚀性离子的扩散系数，该现象被称之为钢筋对可侵蚀性离子的间接阻挡影响。MATLAB作为一种汇编语言有诸多的优点，主要在于函数调用方便，变量定义简单，并且运算速度快可视化好。在本实施例中，采用MATLAB编写骨料颗粒的生成和投放程序。

2)参见图2，根据钢筋存在对骨料分布影响的区域范围，将骨料填充区域划分为区域Ⅰ和区域Ⅱ。其中，所述区域Ⅰ为圆环柱体。所述圆环柱体的轴线与步骤1)创建圆柱体的轴线重合。区域Ⅰ内骨料的粒径范围为[d_ca1(min),d_ca1(max)]。区域Ⅱ内骨料的粒径范围为[d_ca2(min),d_ca2(max)]。

3)将不规则形状的骨料颗粒简化为圆球，在区域Ⅰ内随机生成m个骨料，在区域Ⅱ内随机生成n个骨料，并保存全部骨料的粒径结果。

3.1)计算区域Ⅰ内球形骨料的总体积：

式中，A_rc为区域Ⅰ内骨料的含量。d_r为钢筋的直径。I_r为混凝土中钢筋的存在对周围骨料分布的影响范围。l_r为钢筋的长度。

3.2)根据式(1)在区域Ⅰ内随机生成第i个骨料的粒径d_ca1(i)。

式中，P_i为粒径小于d_ca1(i)的骨料的累积频率。unifrd(0,1)为随机数函数，可生成[0,1]之间的随机数。

3.3)判断随机生成得到的区域Ⅰ内的d_ca1(i)是否满足d_ca1(min)≤d_ca1(i)≤d_ca1(max)。若满足条件，则进入步骤3.4)。若不满足，则返回步骤3.2)中重新生成d_ca1(i)。

3.4)计算区域Ⅰ内已经生成的全部球形骨料的累积体积：

3.5)判断已经生成的区域Ⅰ内全部球形骨料的累积体积v_ca1(i)是否满足v_ca1(i)≥v_ca1，若满足条件，则停止运算，并保存区域Ⅰ内已经生成的全部m个球形骨料的粒径d_ca1(i)。若不满足，则返回步骤3.2)继续生成d_ca1(i)，并重复步骤3.2)～3.5)，直至满足条件。

3.6)计算钢筋混凝土细观数值模型区域Ⅱ内球形骨料的总体积：

v_ca2＝V_ca·l₁·l₂·l₃-v_ca1 (4)

式中，V_ca为骨料的体积分数。l₁为钢筋混凝土的长度。l₂为钢筋混凝土的宽度。l₃为钢筋混凝土的高度。

3.7)根据公式(2)在区域Ⅱ内随机生成第j个骨料的粒径d_ca2(j)。

式中，P_j为粒径小于d_ca2(j)的骨料的累积频率。

3.8)判断随机生成得到的区域Ⅱ内d_ca2(j)是否满足d_ca2(min)≤d_ca2(j)≤d_ca2(max)，若满足条件，则进入步骤3.9)。若不满足，则返回步骤3.7)中重新生成d_ca2(j)。

3.9)计算区域Ⅱ内已经生成的全部球形骨料的累积体积：

3.10)判断已经生成的区域Ⅱ内全部球形骨料的累积体积v_ca2(j)是否满足v_ca2(j)≥v_ca2。若满足条件，则停止运算，并保存区域Ⅱ内已经生成的全部n个球形骨料的粒径d_ca2(j)。若不满足，则返回步骤3.7)中继续生成d_ca2(j)，并重复步骤3.7)～步骤3.9)的运算，直至满足条件。

4)根据细观模型的几何尺寸范围，创建钢筋混凝土细观数值模型的长方体边界、钢筋的圆柱边界和区域Ⅰ的圆环柱边界。

5)参见图4，将步骤3)随机生成得到的区域Ⅰ内的全部m个骨料按照颗粒粒径由大到小降序排列。在区域Ⅰ的圆环柱范围内按照粒径从大到小的顺序依次随机投放区域Ⅰ内的全部m个球形骨料，并保存全部m个球形骨料的球心坐标(x_i,y_i,z_i)及其相应的粒径d_ca1(i)。其中，第i个骨料同时满足与已经成功投放的全部i-1个球形骨料均不重叠以及与钢筋相互之间不重叠。

球心坐标投放范围为xi∈[(d_r/2)·cos(unifrd[0,2π]),(d_r/2+I_r)·cos(unifrd[0,2π])]，yi∈[(d_r/2)·sin(unifrd[0,2π]),(d_r/2+I_r)·sin(unifrd[0,2π])]，zi∈(当l_r≤l_rc时，zi∈[z_rb,l_r]；当l_r>l_rc时，zi∈[z_rb,l_rc])，在上述区域内随机的生成第i个球形骨料的球心坐标(xi，yi，zi)。其中，d_r为钢筋直径，z_rb为钢筋底部圆心的z坐标，l_rc为沿着钢筋上下两圆面圆心方向的钢筋混凝土试件的高度。

参见图3，第i个球形骨料与其余全部i-1个球形骨料球心距离的空间向量[S_i]如式(7)所示。第i个球形骨料与其余全部i-1个球形骨料之间最小球心距离的空间向量[S_i]_min如式(8)。全部m个球形骨料的球心与钢筋圆柱体的等效圆心之间距离的空间向量[S_r]如式(9)所示。全部m个球形骨料的球心与钢筋圆柱体的等效圆心之间最小距离的空间向量[S_r]_min如式(10)所示。其中，[S_i]≥[S_i]_min且[S_r]≥[S_r]_min。钢筋的等效圆心是指与随机投放的骨料z坐标相同的钢筋圆截面的圆心。

式中，t_ITZ为骨料与水泥浆之间界面区的厚度。S_1,r为第1个球形骨料的球心与钢筋的等效圆心之间的距离。S_2,r为第2个球形骨料的球心与钢筋的等效圆心之间的距离。S_i-1,r为第i-1个球形骨料的球心与钢筋的等效圆心之间的距离。S_i,r为第i个球形骨料的球心与钢筋的等效圆心之间的距离。

6)将步骤3)随机生成得到的区域Ⅱ内的全部n个骨料按照粒径由大到小降序排列。在区域Ⅱ范围内按照粒径从大到小的顺序依次随机投放区域Ⅱ内的全部n个球形骨料，并保存全部n个球形骨料的球心坐标(x_j,y_j,z_j)及其相应的粒径d_ca2(j)。其中，第j个骨料同时满足与已经成功投放的全部j-1个球形骨料均不重叠以及与钢筋相互之间不重叠。

7)绘制钢筋混凝土细观数值模型的三维图示，并导出区域Ⅰ和区域Ⅱ内全部骨料的球心坐标和粒径大小。不同情况下钢筋混凝土细观数值模型的三维图示如图5所示。5a中，钢筋直径d_r＝8mm，骨料体积分数V_ca＝0.2。5b中，钢筋直径d_r＝12mm，骨料体积分数V_ca＝0.3。5c中，钢筋直径d_r＝16mm，骨料体积分数V_ca＝0.4。5d中钢筋直径d_r＝20mm，骨料体积分数V_ca＝0.5。从图示中可以很明显地看出在不同的钢筋混凝土细观数值模型中考虑由于钢筋的存在对其周围某一区域范围内骨料分布的影响。本实施例充分考虑钢筋存在对钢筋前沿范围内骨料含量和分布的影响，使构建得到的钢筋混凝土细观数值模型更加符合真实情况。

Claims (4)

1.考虑骨料分区域填充的钢筋混凝土细观数值模型构建方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)指定钢筋混凝土细观数值模型的几何参数；其中，在所述钢筋混凝土细观数值模型中，钢筋混凝土采用长方体区域表示，钢筋采用圆柱体区域表示；长方体的六个面为钢筋混凝土边界，圆柱体的三个面为钢筋边界；钢筋布置在混凝土中，钢筋混凝土边界与钢筋边界之间的区域为骨料填充区域；

2)根据钢筋存在对骨料分布影响的区域范围，将骨料填充区域划分为区域Ⅰ和区域Ⅱ；其中，所述区域Ⅰ为圆环柱体；所述圆环柱体的轴线与步骤1)创建圆柱体的轴线重合；区域Ⅰ内骨料的粒径范围为[d_ca1(min),d_ca1(max)]；区域Ⅱ内骨料的粒径范围为[d_ca2(min),d_ca2(max)]；

3)将不规则形状的骨料颗粒简化为圆球；根据公式(1)在区域Ⅰ内随机生成m个骨料，并保存全部骨料的粒径结果；在区域Ⅰ内随机生成第i个骨料的粒径d_ca1(i)；根据公式(2)在区域Ⅱ内随机生成n个骨料，并保存全部骨料的粒径结果；在区域Ⅱ内随机生成第j个骨料的粒径d_ca2(j)；

式中，P_i为粒径小于d_ca1(i)的骨料的累积频率；unifrd(0,1)为随机数函数，可生成[0,1]之间的随机数；

式中，P_j为粒径小于d_ca2(j)的骨料的累积频率；

4)根据细观模型的几何尺寸范围，创建钢筋混凝土细观数值模型的长方体边界、钢筋的圆柱边界和区域Ⅰ的圆环柱边界；

5)将步骤3)随机生成得到的区域Ⅰ内的全部m个骨料按照颗粒粒径由大到小降序排列；在区域Ⅰ的圆环柱范围内按照粒径从大到小的顺序依次随机投放区域Ⅰ内的全部m个球形骨料，并保存全部m个球形骨料的球心坐标(x_i,y_i,z_i)及其相应的粒径d_ca1(i)；其中，第i个骨料同时满足与已经成功投放的全部i-1个球形骨料均不重叠以及与钢筋相互之间不重叠；

6)将步骤3)随机生成得到的区域Ⅱ内的全部n个骨料按照粒径由大到小降序排列；在区域Ⅱ范围内按照粒径从大到小的顺序依次随机投放区域Ⅱ内的全部n个球形骨料，并保存全部n个球形骨料的球心坐标(x_j,y_j,z_j)及其相应的粒径d_ca2(j)；其中，第j个骨料同时满足与已经成功投放的全部j-1个球形骨料均不重叠以及与钢筋相互之间不重叠；

7)绘制钢筋混凝土细观数值模型的三维图示，并导出区域Ⅰ和区域Ⅱ内全部骨料的球心坐标和粒径大小。

2.根据权利要求1所述的考虑骨料分区域填充的钢筋混凝土细观数值模型构建方法，其特征在于，步骤3)具体包括以下步骤：

3.1)计算区域Ⅰ内球形骨料的总体积：

式中，A_rc为区域Ⅰ内骨料的含量；d_r为钢筋的直径；I_r为混凝土中钢筋的存在对周围骨料分布的影响范围；l_r为钢筋的长度；

3.2)根据式(1)在区域Ⅰ内随机生成第i个骨料的粒径d_ca1(i)；

3.3)判断随机生成得到的区域Ⅰ内的d_ca1(i)是否满足d_ca1(min)≤d_ca1(i)≤d_ca1(max)；若满足条件，则进入步骤3.4)；若不满足，则返回步骤3.2)中重新生成d_ca1(i)；

3.4)计算区域Ⅰ内已经生成的全部球形骨料的累积体积：

3.5)判断已经生成的区域Ⅰ内全部球形骨料的累积体积v_ca1(i)是否满足v_ca1(i)≥v_ca1，若满足条件，则停止运算，并保存区域Ⅰ内已经生成的全部m个球形骨料的粒径；若不满足，则返回步骤3.2)继续生成d_ca1(i)，并重复步骤3.2)～3.5)，直至满足条件；

3.6)计算钢筋混凝土细观数值模型区域Ⅱ内球形骨料的总体积：

v_ca2＝V_ca·l₁·l₂·l₃-v_ca1 (5)

式中，V_ca为骨料的体积分数；l₁为钢筋混凝土的长度；l₂为钢筋混凝土的宽度；l₃为钢筋混凝土的高度；

3.7)根据公式(2)在区域Ⅱ内随机生成第j个骨料的粒径d_ca2(j)；

3.8)判断随机生成得到的区域Ⅱ内d_ca2(j)是否满足d_ca2(min)≤d_ca2(j)≤d_ca2(max)，若满足条件，则进入步骤3.9)；若不满足，则返回步骤3.7)中重新生成d_ca2(j)；

3.9)计算区域Ⅱ内已经生成的全部球形骨料的累积体积：

3.10)判断已经生成的区域Ⅱ内全部球形骨料的累积体积v_ca2(j)是否满足v_ca2(j)≥v_ca2；若满足条件，则停止运算，并保存区域Ⅱ内已经生成的全部n个球形骨料的粒径；若不满足，则返回步骤3.7)中继续生成d_ca2(j)，并重复步骤3.7)～步骤3.9)的运算，直至满足条件。

3.根据权利要求1所述的考虑骨料分区域填充的钢筋混凝土细观数值模型构建方法，其特征在于：步骤5)中，球心坐标投放范围为xi∈[(d_r/2)·cos(unifrd[0,2π]),(d_r/2+I_r)·cos(unifrd[0,2π])]，yi∈[(d_r/2)·sin(unifrd[0,2π]),(d_r/2+I_r)·sin(unifrd[0,2π])]，zi∈(当l_r≤l_rc时，zi∈[z_rb,l_r]；当l_r>l_rc时，zi∈[z_rb,l_rc])，在上述区域内随机的生成第i个球形骨料的球心坐标(xi，yi，zi)；其中，d_r为钢筋直径，z_rb为钢筋底部圆心的z坐标，l_rc为沿着钢筋上下两圆面圆心方向的钢筋混凝土试件的高度。

4.根据权利要求1所述的考虑骨料分区域填充的钢筋混凝土细观数值模型构建方法，其特征在于：步骤5)中，第i个球形骨料与其余全部i-1个球形骨料球心距离的空间向量[S_i]如式(7)所示；第i个球形骨料与其余全部i-1个球形骨料之间最小球心距离的空间向量[S_i]_min如式(8)；全部m个球形骨料的球心与钢筋圆柱体的等效圆心之间距离的空间向量[S_r]如式(9)所示；全部m个球形骨料的球心与钢筋圆柱体的等效圆心之间最小距离的空间向量[S_r]_min如式(10)所示；其中，[S_i]≥[S_i]_min且[S_r]≥[S_r]_min；

式中，t_ITZ为骨料与水泥浆之间界面区的厚度；S_1,r为第1个球形骨料的球心与钢筋的等效圆心之间的距离；S_2,r为第2个球形骨料的球心与钢筋的等效圆心之间的距离；S_i-1,r为第i-1个球形骨料的球心与钢筋的等效圆心之间的距离；S_i,r为第i个球形骨料的球心与钢筋的等效圆心之间的距离。

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