CN110806212A - 基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，属于航空航天技术领域。本发明实现方法为：建立小行星探测器小推力转移的改进春分点动力学模型。根据小推力转移的动力学特性，给出小推力轨迹优化问题的约束和优化性能指标。给出小推力星际转移轨迹优化问题的具体形式。通过动力学线性化和非线性等式约束松弛，将非线性小推力转移问题凸化。通过数值积分将凸化后的连续最优控制问题转化为凸优化问题。以凸化后的子问题为每一步迭代的内环节，以逐次逼近策略在有限步数快速求解得到最优的小行星探测小推力转移轨迹，即能够在保证小推力轨迹最优性和精度前提下，实现小推力轨迹的在线优化。本发明鲁棒性强、可重复性高、灵活性高。

Description

基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法

技术领域

本发明涉及基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，尤其涉及适用于小行星探测器星际转移任务的转移轨迹优化方法，属于航空航天技术领域。

背景技术

小行星探测是人类深空活动的热点方向，由于小行星蕴含宇宙原始信息，因此对小行星的探测可以极大的提高人类对于宇宙起源和演化的认知。在小行星探测任务中，由于飞行距离远，探测器需要携带较多的燃料以保证探测器可以到达目标小行星以及后续任务的展开，然而限于现有运载火箭的发射能力，小行星探测器的总重严重受限，充足的燃料储备势必减少探测器有效载荷，而有效载荷的减少直接导致单次小行星探测可执行任务的深度以及所能获取到的科学信息较少，因此，如何在不削弱搭载的载荷基础上降低小行星探测器的燃料比例是丰富探测任务回报的关键。

由于在小行星整个任务中，转移过程的轨道机动是消耗探测器推进剂的主体阶段，为此，科学家们研发了小推力发动机，尽管其推力小，但其可以在较长时间实现与化学推进相当的效果，这对于长时间星际转移的小行星探测任务非常适用，同时其高比冲又保证了在相同的机动大小前提可以极大地降低燃耗，因此小推力已经成为目前小行星探测器转移轨道机动的主体方式。尽管小推力转移相比于脉冲机动优势巨大，但相应的轨迹设计问题初值猜测敏感、难以收敛等，使得小推力转移轨迹优化成了目前公认的航天技术难题之一。同时，对于未来深空自主任务的需求，如何实现转移轨迹星上快速求解是自主任务执行的关键技术。

在已发展的关于星际转移小推力轨迹优化技术[1](参见：Jiang F,Baoyin H,LiJ.Practical techniques for low-thrust trajectory optimization with homotopicapproach[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2012,35(1):245-258.)给出基于同伦法的小推力转移轨迹优化方法，尽管该方法极大地提升了问题的收敛性，但最优转移轨迹需要在多组不同协态变量初值的结果中筛选，因此计算效率一般。

在先技术[2](参见：Wang Z,Grant M J.Minimum-fuel low-thrust transfersfor spacecraft:a convex approach[J].IEEE Transactions on Aerospace andElectronic Systems,2018,54(5):2274-2290.)给出了基于凸优化的小推力转移轨迹优化方法，尽管该方法计算效率高，但求解初值难以给定，且方法所得结果的最优性难以确定。

发明内容

本发明公开的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法要解决的技术问题是：提供一种通用性强的能够快速求解得到小推力轨迹的优化方法，能够在保证小推力轨迹最优性和精度前提下，实现小推力轨迹在线高效率优化，提高小行星探测小推力转移效率。本发明还具有如下优点：(1)鲁棒性强、可重复性高；(2)优化方法灵活性高；(3)对小行星任务类型没有依赖性；(4)对小行星探测转移任务的适用范围广。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

本发明公开的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，在给定探测器推力大小、比冲以及质量的基础之上，首先建立小行星探测器小推力转移的改进春分点动力学模型。根据小推力转移的动力学特性，给出小推力轨迹优化问题的约束和优化性能指标，由于探测器出发时刻已知，所以在初始时刻探测器的状态、目标小行星的状态都是确定的。给出小推力星际转移轨迹优化问题的具体形式。通过动力学线性化和非线性等式约束松弛，将非线性小推力转移问题凸化。通过数值积分将凸化后的连续最优控制问题转化为凸优化问题。以凸化后的子问题为每一步迭代的内环节，以逐次逼近策略在有限步数快速求解得到最优的小行星探测小推力转移轨迹，即能够在保证小推力轨迹最优性和精度前提下，实现小推力轨迹的在线优化。

本发明公开的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，包括如下步骤：

步骤一：建立小行星探测器小推力转移的改进春分点动力学模型。

小行星探测器星际转移过程的改进春分点动力学模型为：

其中，选取改进春分点轨道根数x＝[p,f,g,h,K,L]表征小行星探测器的运动状态，故其中只有L是快变量。在向量x中，p＝a(1-e²)，f＝ecos(ω+Ω)，g＝esin(ω+Ω)，h＝tan(i/2)cosΩ，K＝tan(i/2)sinΩ，L＝Ω+ω+υ。其中a、e、i、ω、Ω和υ分别为轨道半长轴、偏心率、轨道倾角、近地点幅角、升交点赤经和真近点角。此外，m是探测器质量，T为探测器的推力，I_sp是探测器的发动机比冲，g₀为地球表面重力加速度。f_r，f_t，f_n，分别是小推力转移过程的径、切法向推力。

步骤二：给出小推力轨迹优化问题的约束和优化性能指标。

探测器的推力分量满足：

f_r ²+f_t ²+f_n ²＝T² (2)

且

T_min≤T≤T_max (3)

其中T_min和T_max分别为最大推力与最小推力。在此小推力轨迹优化问题中，控制向量表示为U＝[f_r,f_t,f_n,T]^T。

期望得到燃料最优的小行星探测小推力转移轨迹，故将优化问题的性能指标设定为：

J＝-m(t_f) (4)

目的为最大化探测器末端质量，即最小化燃料消耗。

由于探测器出发时刻已知，所以在初始时刻探测器的状态、目标小行星的状态都是确定的，所以相应的改进春分点轨道根数为：

x(t₀)＝[p(t₀),f(t₀),g(t₀),h(t₀),K(t₀),L(t₀)] (5)

x(t_f)＝[p(t_f),f(t_f),g(t_f),h(t_f),K(t_f),L(t_f)] (6)

其中t₀与t_f分别为始末时间。同时，初始质量m(t₀)固定，末端质量m(t_f)无约束。

公式(2)、(3)、(5)、(6)即为小推力轨迹优化问题的约束，公式(4)即为小推力轨迹优化问题的性能指标。

步骤三：给定小推力星际转移轨迹优化问题的具体形式。

基于步骤二得到燃料最优小行星探测器小推力轨转移道轨迹优化问题，此处记为问题P1的具体形式为：

P1：

问题P1的约束方程为：式(2)、(3)、(5)、(6)。

步骤四：通过动力学线性化和非线性等式约束松弛，将非线性小推力转移问题凸化。

问题P1是高度非线性的最优控制问题。将问题P1凸化为一系列凸子问题以近似原问题的解，所述的处理方式称为逐次凸规划。由于改进春分点动力学方程具有控制仿射形式，故改进春分点动力学方程被改写为简洁形式：

其中列向量为：

且控制向量的系数矩阵为：

为了凸化动力学模型，改进春分点动力学简洁方程(7)中的非线性项用基于小扰动的连续线性化方法近似，并给出该连续线性化方法的详细描述：连续近似过程中第k次迭代存在一个解X^k。然后，第k+1次迭代过程中，在X^k存在的前提下将动力学方程线性化。主项F(X)在X^k附近线性化。故线性化后的动力学方程为：

其中

且状态向量系数矩阵为：

其中，

此外，式(2)中推力向量的非线性约束函数是非凸的，因此必须将其化为凸约束。将该式中的等号松弛为不等号，问题等价。然后转化为不等号后，该约束就具有锥约束的形式，即转换为凸约束，即为：

f_r ²+f_t ²+f_n ²≤T² (12)

通过将动力学线性化以及将非线性等式约束松弛，P1转化为一凸子问题，记为问题P2，即实现将非线性小推力转移问题凸化。

步骤五：通过数值积分将凸化后的子问题转化为凸优化问题。

由于问题P2中动力学方程(10)具有待积分项，因此需要通过数值积分将其转化为等式约束，从而问题P2才能呈现为凸优化问题形式。在数值积分中采用梯形法进行转化。给定小行星探测器转移的时间区间[t₀,t_f]上包含的数值积分点为N+1个，第i点的状态向量和控制变量分别记为X_i、U_i。变量集由[X₀,…,X_i,…,X_N]构成，[U₀,…,U_i,…,U_N]为待解变量。式(10)中的动力学数值积分后为：

其中

且Δt＝(t_f-t₀)/N。此外I为与A同型的单位矩阵，且有

即实现通过数值积分将凸化后的子问题P2转化为凸优化问题。

步骤六：以凸化后的子问题为每一步迭代的内环节，以逐次逼近策略在有限步数快速求解得到最优的小行星探测小推力转移轨迹。

由于问题P1导出的凸子问题P2不等价于原问题P1，必须对其进行连续逼近以便迭代求解得到最优的小行星探测器转移轨迹，直至其解收敛于P1的解。

以下为逐次逼近的流程：

首先令k＝0，给出初始状态向量的猜测值X⁰。此处给定的X⁰可以直接为初值到终值的直线，所以初值非常方便给定，从而保证方法的通用性。

然后对于第(i+1)次迭代，选取第k次迭代的解X^k作为状态向量的猜测初值，解为{X^k+1,U^k+1}。

最后检查是否满足收敛条件：

其中ε为精度要求。如果式(14)不能满足，需要继续迭代求解，如果满足即得到P1的解X^*＝X^k+1、U^*＝U^k+1。

通过公式(12)、(13)，并结合式(14)的终止条件，以逐次逼近策略在有限步数快速求解得到最优的解X^*＝X^k+1即为优化得到的小行星探测小推力转移轨迹，U^*＝U^k+1即为对应的最优推力方向。

还包括步骤七：通过步骤四将非线性小推力转移轨迹优化问题的凸化，提高小推力轨迹优化效率，同时通过步骤六的逐次逼近策略保证优化得到的小推力轨迹的最优性和精度，进而能够在保证小推力轨迹最优性和精度前提下，实现小推力轨迹在线优化。

有益效果：

1、本发明公开的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，通过步骤四将非线性小推力转移轨迹优化问题的凸化，提高小推力轨迹优化效率，同时通过步骤五的逐次逼近策略保证优化得到的小推力轨迹的最优性和精度，进而能够在保证小推力轨迹最优性和精度前提下，实现小推力轨迹在线优化。

2、本发明公开的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，建模时考虑完全真实的探测器小推力转移过程，因此小推力轨迹优化问题描述具体，不需要特定的假设和简化，从而方法灵活性高。

3、本发明公开的本发明公开的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，由于求解过程具有普适性，因此对探测器小推力星际转移轨迹优化问题的适用范围广。

4、本发明公开的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，无需对目标小行星做严格限制，所以对探测的目标小行星没有严格限制和约束。

5、本发明公开的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，由于对动力学和约束凸化过程均具有普适性，因此，鲁棒性强、可重复性高。

附图说明：

图1是本发明基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹快速优化方法的流程图；

图2是本实施例中求解得到的最优小推力转移轨迹，其中图2(a)为XY相平面轨迹，图2(b)为YZ相平面轨迹。

图3是本实施例中求解得到的推力幅值曲线。

图4是本实施例中求解得到的推力分量曲线。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面通过对小行星2011UW158探测任务为背景，给出小推力星际转移轨迹优化的仿真分析，来对本发明做出详细解释。

实施例1：

如图1所示，本实施例公开的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，包括如下步骤：

步骤一：建立小行星探测器小推力转移的改进春分点动力学模型。

小行星探测器星际转移过程的改进春分点动力学模型为：

其中，选取改进春分点轨道根数x＝[p,f,g,h,K,L]表征小行星探测器的运动状态，故其中只有L是快变量。在向量x中，p＝a(1-e²)，f＝ecos(ω+Ω)，g＝esin(ω+Ω)，h＝tan(i/2)cosΩ，K＝tan(i/2)sinΩ，L＝Ω+ω+υ。其中a、e、i、ω、Ω和υ分别为轨道半长轴、偏心率、轨道倾角、近地点幅角、升交点赤经和真近点角。此外，m是探测器质量，T为探测器的推力，I_sp是探测器的发动机比冲，g₀为地球表面重力加速度。f_r，f_t，f_n，分别是小推力转移过程的径、切法向推力。

步骤二：给出小推力轨迹优化问题的约束和优化性能指标。

探测器的推力分量满足：

f_r ²+f_t ²+f_n ²＝T² (2)

且

T_min≤T≤T_max (3)

其中T_min和T_max分别为最大推力与最小推力。在此小推力轨迹优化问题中，控制向量表示为U＝[f_r,f_t,f_n,T]^T。

期望得到燃料最优的小行星探测小推力转移轨迹，故将优化问题的性能指标设定为：

J＝-m(t_f) (4)

目的为最大化探测器末端质量，即最小化燃料消耗。

由于探测器出发时刻已知，所以在初始时刻探测器的状态、目标小行星的状态都是确定的，所以相应的改进春分点轨道根数为：

x(t₀)＝[p(t₀),f(t₀),g(t₀),h(t₀),K(t₀),L(t₀)] (5)

x(t_f)＝[p(t_f),f(t_f),g(t_f),h(t_f),K(t_f),L(t_f)] (6)

其中t₀与t_f分别为始末时间。同时，初始质量m(t₀)固定，末端质量m(t_f)无约束。

公式(2)、(3)、(5)、(6)即为小推力轨迹优化问题的约束，公式(4)即为小推力轨迹优化问题的性能指标。

步骤三：给定小推力星际转移轨迹优化问题的具体形式。

基于步骤二得到燃料最优小行星探测器小推力轨转移道轨迹优化问题，此处记为问题P1的具体形式为：

P1：

问题P1的约束方程为：式(2)、(3)、(5)、(6)。

步骤四：通过动力学线性化和非线性等式约束松弛，将非线性小推力转移问题凸化。

问题P1是高度非线性的最优控制问题。将问题P1凸化为一系列凸子问题以近似原问题的解，所述的处理方式称为逐次凸规划。由于改进春分点动力学方程具有控制仿射形式，故改进春分点动力学方程被改写为简洁形式：

其中列向量为：

且控制向量的系数矩阵为：

为了凸化动力学模型，改进春分点动力学简洁方程(7)中的非线性项用基于小扰动的连续线性化方法近似，并给出该连续线性化方法的详细描述：连续近似过程中第k次迭代存在一个解X^k。然后，第k+1次迭代过程中，在X^k存在的前提下将动力学方程线性化。主项F(X)可在X^k附近线性化。故线性化后的动力学方程为：

其中

且状态向量系数矩阵为：

其中，

此外，式(2)中推力向量的非线性约束函数是非凸的，因此必须将其化为凸约束。将该式中的等号松弛为不等号，问题等价。然后转化为不等号后，该约束就具有锥约束的形式，即转换为凸约束，即为：

f_r ²+f_t ²+f_n ²≤T² (12)

通过将动力学线性化以及将非线性等式约束松弛，P1转化为一凸子问题，记为问题P2，即实现将非线性小推力转移问题凸化。

步骤五：通过数值积分将凸化后的子问题转化为凸优化问题。

由于问题P2中动力学方程(10)具有待积分项，因此需要通过数值积分将其转化为等式约束，从而问题P2才能呈现为凸优化问题形式。在数值积分中采用梯形法进行转化。给定小行星探测器转移的时间区间[t₀,t_f]上包含的数值积分点为N+1个，第i点的状态向量和控制变量分别记为X_i、U_i。变量集由[X₀,…,X_i,…,X_N]构成，[U₀,…,U_i,…,U_N]为待解变量。式(10)中的动力学数值积分后为：

其中

且Δt＝(t_f-t₀)/N。此外I为与A同型的单位矩阵，且有

即实现通过数值积分将凸化后的子问题P2转化为凸优化问题。

步骤六：以凸化后的子问题为每一步迭代的内环节，以逐次逼近策略在有限步数快速求解得到最优的小行星探测小推力转移轨迹。

由于问题P1导出的凸子问题P2不等价于原问题P1，必须对其进行连续逼近以便迭代求解得到最优的小行星探测器转移轨迹，直至其解收敛于P1的解。

以下为逐次逼近的流程：

首先令k＝0，给出初始状态向量的猜测值X⁰。此处给定的X⁰可以直接为初值到终值的直线，所以初值非常方便给定，从而保证方法的通用性。

然后对于第(i+1)次迭代，选取第k次迭代的解X^k作为状态向量的猜测初值，解为{X^k+1,U^k+1}。

最后检查是否满足收敛条件：

其中ε为精度要求。如果式(14)不能满足，需要继续迭代求解，如果满足即得到P1的解X^*＝X^k+1、U^*＝U^k+1。

通过公式(12)、(13)，并结合式(14)的终止条件，以逐次逼近策略在有限步数快速求解得到最优的解X^*＝X^k+1即为优化得到的小行星探测小推力转移轨迹，U^*＝U^k+1即为对应的最优推力方向。

还包括步骤七：通过步骤四将非线性小推力转移轨迹优化问题的凸化，提高小推力轨迹优化效率，同时通过步骤六的逐次逼近策略保证优化得到的小推力轨迹的最优性和精度，进而能够在保证小推力轨迹最优性和精度前提下，实现小推力轨迹在线优化。

在仿真验证过程中，给定探测器总重为1217.7kg，发动机最小最大推力分别为T_min＝0mN和T_max＝90mN，发动机比冲为3100s。收敛精度设为ε＝[1km,1e-5,1e-5,1e-5,1e-5,1e-3deg,1e-3kg]^T。此外探测器从地球出发时刻为UTCG 28 Oct.2021 0:0:0.0，总转移时间5年。由此得到小推力转移轨迹的始末状态如表1所示。

表1小行星探测器小推力转移始末状态

状态

p,m

f

g

h

k

L,rad

初始状态

1.495568e+11

-0.0038

0.0163

-2.4755e-5

2.2439e-6

13.1684

终端状态

2.081291e+11

0.1576

-0.3416

0.0110

-0.0384

8.1845

首先，通过步骤四将探测器小推力转移轨迹优化问题进行凸化，在凸化过程中，步骤一中的动力学模型公式(1)被凸化为步骤4中的公式(10)，步骤二中的约束(2)被凸化为步骤四中的约束(12)。然后以步骤五对步骤四中的动力学模型公式(10)进行数值积分。之后以步骤六进行逐次逼近求解得到最优解。对应的小行星探测器小推力最优转移轨迹如图2所示，相应的探测器推力幅值曲线如图3所示，推力分量曲线如图4所示。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例，用于解释本发明，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，其特征在于：包括如下步骤，

步骤一：建立小行星探测器小推力转移的改进春分点动力学模型；

步骤二：给出小推力轨迹优化问题的约束和优化性能指标；

步骤三：给定小推力星际转移轨迹优化问题的具体形式；

步骤四：通过动力学线性化和非线性等式约束松弛，将非线性小推力转移问题凸化；

步骤五：通过数值积分将凸化后的子问题转化为凸优化问题；

步骤六：以凸化后的子问题为每一步迭代的内环节，以逐次逼近策略在有限步数快速求解得到最优的小行星探测小推力转移轨迹。

2.如权利要求1所述的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，其特征在于：还包括步骤七，通过步骤四将非线性小推力转移轨迹优化问题的凸化，提高小推力轨迹优化效率，同时通过步骤六的逐次逼近策略保证优化得到的小推力轨迹的最优性和精度，进而能够在保证小推力轨迹最优性和精度前提下，实现小推力轨迹在线优化。

3.如权利要求1或2所述的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，其特征在于：步骤一实现方法为，

小行星探测器星际转移过程的改进春分点动力学模型为：

其中，选取改进春分点轨道根数x＝[p,f,g,h,K,L]表征小行星探测器的运动状态，故其中只有L是快变量；在向量x中，p＝a(1-e²)，f＝ecos(ω+Ω)，g＝esin(ω+Ω)，h＝tan(i/2)cosΩ，K＝tan(i/2)sinΩ，L＝Ω+ω+υ；其中a、e、i、ω、Ω和υ分别为轨道半长轴、偏心率、轨道倾角、近地点幅角、升交点赤经和真近点角；此外，m是探测器质量，T为探测器的推力，I_sp是探测器的发动机比冲，g₀为地球表面重力加速度；f_r，f_t，f_n，分别是小推力转移过程的径、切法向推力。

4.如权利要求3所述的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，其特征在于：步骤二实现方法为，

探测器的推力分量满足：

f_r ²+f_t ²+f_n ²＝T² (2)

且

T_min≤T≤T_max (3)

其中T_min和T_max分别为最大推力与最小推力；在此小推力轨迹优化问题中，控制向量表示为U＝[f_r,f_t,f_n,T]^T；

期望得到燃料最优的小行星探测小推力转移轨迹，故将优化问题的性能指标设定为：

J＝-m(t_f) (4)

目的为最大化探测器末端质量，即最小化燃料消耗；

由于探测器出发时刻已知，所以在初始时刻探测器的状态、目标小行星的状态都是确定的，所以相应的改进春分点轨道根数为：

x(t₀)＝[p(t₀),f(t₀),g(t₀),h(t₀),K(t₀),L(t₀)] (5)

x(t_f)＝[p(t_f),f(t_f),g(t_f),h(t_f),K(t_f),L(t_f)] (6)

其中t₀与t_f分别为始末时间；同时，初始质量m(t₀)固定，末端质量m(t_f)无约束；

公式(2)、(3)、(5)、(6)即为小推力轨迹优化问题的约束，公式(4)即为小推力轨迹优化问题的性能指标。

5.如权利要求4所述的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，其特征在于：步骤三实现方法为，

基于步骤二得到燃料最优小行星探测器小推力轨转移道轨迹优化问题，此处记为问题P1的具体形式为：

P1：

问题P1的约束方程为：式(2)、(3)、(5)、(6)。

6.如权利要求5所述的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，其特征在于：步骤四实现方法为，

问题P1是高度非线性的最优控制问题；将问题P1凸化为一系列凸子问题以近似原问题的解，所述的处理方式称为逐次凸规划；由于改进春分点动力学方程具有控制仿射形式，故改进春分点动力学方程被改写为简洁形式：

其中列向量为：

且控制向量的系数矩阵为：

为了凸化动力学模型，改进春分点动力学简洁方程(7)中的非线性项用基于小扰动的连续线性化方法近似，并给出该连续线性化方法的详细描述：连续近似过程中第k次迭代存在一个解X^k；然后，第k+1次迭代过程中，在X^k存在的前提下将动力学方程线性化；主项F(X)在X^k附近线性化；故线性化后的动力学方程为：

其中

且状态向量系数矩阵为：

其中，

此外，式(2)中推力向量的非线性约束函数是非凸的，因此必须将其化为凸约束；将该式中的等号松弛为不等号，问题等价；然后转化为不等号后，该约束就具有锥约束的形式，即转换为凸约束，即为：

f_r ²+f_t ²+f_n ²≤T² (12)

通过将动力学线性化以及将非线性等式约束松弛，P1转化为一凸子问题，记为问题P2，即实现将非线性小推力转移问题凸化。

7.如权利要求6所述的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，其特征在于：步骤五实现方法为，

由于问题P2中动力学方程(10)具有待积分项，因此需要通过数值积分将其转化为等式约束，从而问题P2才能呈现为凸优化问题形式；在数值积分中采用梯形法进行转化；给定小行星探测器转移的时间区间[t₀,t_f]上包含的数值积分点为N+1个，第i点的状态向量和控制变量分别记为X_i、U_i；变量集由[X₀,…,X_i,…,X_N]构成，[U₀,…,U_i,…,U_N]为待解变量；式(10)中的动力学数值积分后为：

其中

且Δt＝(t_f-t₀)/N；此外I为与A同型的单位矩阵，且有

即实现通过数值积分将凸化后的子问题P2转化为凸优化问题。

8.如权利要求7所述的基于逐次凸规划的小行星探测小推力转移轨迹优化方法，其特征在于：步骤六实现方法为，

由于问题P1导出的凸子问题P2不等价于原问题P1，必须对其进行连续逼近以便迭代求解得到最优的小行星探测器转移轨迹，直至其解收敛于P1的解；以下为逐次逼近的流程：

首先令k＝0，给出初始状态向量的猜测值X⁰；此处给定的X⁰可以直接为初值到终值的直线，所以初值非常方便给定，从而保证方法的通用性；

然后对于第(i+1)次迭代，选取第k次迭代的解X^k作为状态向量的猜测初值，解为{X^k+1,U^k+1}；

最后检查是否满足收敛条件：

其中ε为精度要求；如果式(14)不能满足，需要继续迭代求解，如果满足即得到P1的解X^*＝X^k+1、U^*＝U^k+1；

通过公式(12)、(13)，并结合式(14)的终止条件，以逐次逼近策略在有限步数快速求解得到最优的解X^*＝X^k+1即为优化得到的小行星探测小推力转移轨迹，U^*＝U^k+1即为对应的最优推力方向。

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