CN110795852B - 考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法，包括：获取铁路牵引网参数及其沿线的气象信息；基于所述铁路牵引网参数设定机车端电压迭代初值；根据获取的牵引网及其沿线参数计算牵引网等效阻抗初值；通过计算的牵引网等效阻抗参数，形成节点导纳矩阵并列偏差方程，求解出牵引网参数偏差；反复对牵引网参数进行修正直至满足偏差范围；根据最终计算的牵引网参数求出机车端电压；判断机车端电压是否在规定范围，如果越限进行预警，实现了机车端电压预估和越限预警的目的。

Description

考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法

技术领域

本发明涉及铁路牵引网领域，具体地，涉及一种考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法。

背景技术

为了保障机车运行安全，要求机车端电压不能低于限值。铁路牵引网沿线周围环境和导线电流对导线电阻影响较大，从而影响了机车的端电压，现有的机车端电压预估方法，均未考虑牵引网沿线环境及载流对牵引网导线电阻的影响。我国西部铁路(如：青藏铁路、川藏铁路)沿线具有海拔高、昼夜温差大、风大、光照强度强等地理气候特点，如果不考虑环境参数和载流对牵引网电阻参数的影响，将会导致机车端电压预估结果误差偏大，不能够对处于不同环境和位置处的机车端电压越限进行准确预警。

发明内容

本发明的目的在于，针对上述问题，提出一种考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法，以实现对越限的机车端电压准确预警的目的。

为实现上述目的，本发明实施例采用的技术方案是：

一种考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法，包括：

获取参考温度下牵引网参数及其沿线的气象信息，并进行初始化；

基于所述参考温度下牵引网参数及其沿线的气象信息，计算牵引网初始等效阻抗并形成初始节点导纳矩阵；

根据初始牵引网参数及其沿线的气象信息修正机车端电压和牵引网阻抗参数，直至满足修正精度，预估机车端电压的分布；

根据机车端电压分布结果对越限电压进行预警。

进一步的，所述获取参考温度下牵引网参数及其沿线的气象信息，包括：

获取铁路牵引网拓扑结构和牵引网各输电导线在参考温度下的阻抗参数；

获取牵引网沿线影响导线热平衡的相关气象信息。

进一步的，所述初始化，包括：

将牵引网的输电导线初始温度设为环境温度；

设定机车端电压的初始参数；

设定机车端电压下限预警参数。

进一步的，基于所述牵引网参数及其沿线的气象信息，计算牵引网初始等效阻抗并形成初始节点导纳矩阵，包括：

列出牵引网输电导线电热耦合方程；

计算受电热耦合影响的牵引网输电导线的电阻；

计算牵引网等效阻抗；

形成牵引网的节点导纳矩阵；

进一步的，所述电热耦合方程为：

式中，m为单位长度导线质量；Cp为输电导线材料的比热容；T_t和T_t-Δt分别为t时刻和t-Δt时刻导线温度；Δt为差分步长；p_l、p_s、p_c、p_r分别为t时刻单位长度输电线路电流引起的发热功率、太阳辐射吸热功率、对流散热功率和辐射散热功率；p′_l、p′_s、p′_c、p′_r为t-Δt时刻单位长度输电线路电流引起的发热功率、导线太阳辐射吸热功率、对流散热功率和辐射散热功率。

进一步的，计算所述牵引网输电导线的电阻的公式为：

R＝R_ref{1+α_l[T-T_d]}，

R为单位长度导线在导线温度为T时的电阻值，R_ref为单位长度输电导线在参考温度下电阻值，α_l为电阻温度系数，T_d为参考温度，T为输电导线温度。

进一步的，所述形成牵引网的节点导纳矩阵为：

式中，Z₁至Z_n为各段牵引网等效阻抗。

进一步的，所述根据初始牵引网参数及其沿线的气象信息修正机车端电压和牵引网阻抗参数，包括：

列出机车有功功率、无功功率和线路温度迭代的偏差；

列出牵引网线路温度计算的迭代偏差；

列出受电热耦合影响的机车端电压预估修正方程并求解，修正机车端电压和牵引网输电导线温度，直至满足修正精度，列出机车端电压的分布。

进一步的，所述机车有功功率、无功功率和线路温度迭代的偏差为：

式中，ΔP_g和ΔQ_g分别为机车g所在节点的注入有功功率和无功功率迭代偏差；ΔE为线路温度计算的迭代偏差；P_g和Q_g分别为机车g所在节点的注入有功功率和无功功率；G_gh和B_gh分别为节点导纳矩阵元素Y_gh的实部和虚部；e_g和f_g分别为机车g的电压实部和虚部，m为单位长度导线质量；C_p为输电导线材料的比热容；T_t和T_t-Δt分别为t时刻和t-Δt时刻导线温度；Δt为差分步长；p_l、p_s、p_c、p_r分别为t时刻单位长度输电线路电流引起的发热功率、太阳辐射吸热功率、对流散热功率和辐射散热功率；p′_l、p′_s、p′_c、p′_r为t-Δt时刻单位长度输电线路电流引起的发热功率、导线太阳辐射吸热功率、对流散热功率和辐射散热功率。

进一步的，所述受电热耦合影响的机车端电压预估修正方程为：

式中，ΔP、ΔQ和ΔE分别为机车有功功率、无功功率和线路温度迭代偏差；e、f分别为机车端电压实部和虚部；Δe和Δf分别为机车端电压实部和虚部修正量；T为线路温度；ΔT为线路温度修正量。

本发明的技术方案具有以下有益效果：

本发明实施例，考虑了牵引网沿线的气象信息以及导线载流引起的发热对输电导线电阻的影响，利用电热耦合理论对牵引网导线电阻进行修正，进而得到处于不同位置和环境条件下机车端电压的分布，实现对机车端电压越限预警的目的。

下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。

附图说明

图1为本发明实施例所述的考虑电热耦合影响的机车端电压预估步骤；

图2为本发明实施例所述的输电导线电热耦合框图；

图3为本发明实施例所述的单线直接供电方式；

图4为本发明实施例所述的单线AT供电方式；

图5为本发明实施例所述的末端并联的复线AT供电方式；

图6为本发明实施例所述的各供电方式的通用等效电路模型；

图7为本发明实施例所述的考虑电热耦合影响的机车端电压预估的详细流程图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的优选实施例进行说明，应当理解，此处所描述的优选实施例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1所示，一种考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法，按照以下四步骤进行实施：

S01：获取参考温度下牵引网参数及其沿线的气象信息，并进行初始化；

S02：基于所述参考温度下牵引网参数及其沿线的气象信息，计算牵引网初始等效阻抗并形成初始节点导纳矩阵；

S03：根据初始牵引网参数及其沿线的气象信息修正机车端电压和牵引网阻抗参数，直至满足修正精度，预估机车端电压的分布；

S04：根据机车端电压分布结果对越限电压进行预警。

作为本发明实施例的一种具体实现方式，所述获取参考温度下牵引网参数及其沿线的气象信息，包括：

获取铁路牵引网拓扑结构和牵引网各输电导线在参考温度下的阻抗参数；

获取牵引网沿线影响导线热平衡的相关气象信息。

作为本发明实施例的一种具体实现方式，所述获取牵引网参数和牵引网沿线气象信息之后，还要进行初始化，包括：

将牵引网的输电导线初始温度设为环境温度；

设定机车端电压的初始参数；

设定机车端电压下限预警参数。

作为本发明实施例的一种具体实现方式，基于所述牵引网参数及其沿线的气象信息计算牵引网初始等效阻抗并形成初始节点导纳矩阵，包括：

列出牵引网输电导线电热耦合方程；

计算受电热耦合影响的牵引网输电导线的电阻；

计算牵引网等效阻抗；

形成牵引网的节点导纳矩阵。

作为本发明实施例的一种具体实现方式，所述电热耦合方程为：

式中，m为单位长度导线质量；C_p为输电导线材料的比热容；T_t和T_t-Δt分别为t时刻和t-Δt时刻导线温度；Δt为差分步长；p_l、p_s、p_c、p_r分别为t时刻单位长度输电线路电流引起的发热功率、太阳辐射吸热功率、对流散热功率和辐射散热功率；p′_l、p′_s、p′_c、p′_r为t-Δt时刻单位长度输电线路电流引起的发热功率、导线太阳辐射吸热功率、对流散热功率和辐射散热功率。

作为本发明实施例的一种具体实现方式，所述计算牵引网输电导线的电阻的公式为：

R＝R_ref{1+α_l[T-T_d]}，

R为单位长度导线在导线温度为T时的电阻值，R_ref为单位长度输电导线在参考温度下电阻值，α_l为电阻温度系数，T_d为参考温度，T为输电导线温度。

作为本发明实施例的一种具体实现方式，所述获取铁路牵引网的节点导纳矩阵为：

式中，Z₁至Z_n为各段牵引网等效阻抗。

作为本发明实施例的一种具体实现方式，根据初始牵引网参数、机车参数及其沿线的气象信息修正机车端电压和牵引网阻抗参数，包括：

列出机车有功功率和无功功率迭代的偏差；

列出牵引网线路温度计算的迭代偏差；

列受电热耦合影响的机车端电压修正方程并求解，修正机车端电压和牵引网输电导线温度，直至满足修正精度；

列出机车端电压的分布。

作为本发明实施例的一种具体实现方式，所述机车有功功率和无功功率迭代的偏差为：

式中，ΔP_g和ΔQ_g分别为机车g所在节点的注入有功功率和无功功率迭代偏差；ΔE为线路温度计算的迭代偏差；P_g和Q_g分别为机车g所在节点的注入有功功率和无功功率；G_gh和B_gh分别为节点导纳矩阵元素Y_gh的实部和虚部；e_g和f_g分别为机车g的电压实部和虚部，m为单位长度导线质量；C_p为输电导线材料的比热容；T_t和T_t-Δt分别为t时刻和t-Δt时刻导线温度；Δt为差分步长；p_l、p_s、p_c、p_r分别为t时刻单位长度输电线路电流引起的发热功率、太阳辐射吸热功率、对流散热功率和辐射散热功率；p′_l、p′_s、p′_c、p′_r为t-Δt时刻单位长度输电线路电流引起的发热功率、导线太阳辐射吸热功率、对流散热功率和辐射散热功率。

作为本发明实施例的一种具体实现方式，所述牵引网线路温度计算的迭代偏差为：

式中，ΔE为线路温度计算的迭代偏差。

作为本发明实施例的一种具体实现方式，所述受电热耦合影响的机车端电压预估的修正方程为：

式中，ΔP、ΔQ和ΔE分别为机车有功功率、无功功率和线路温度迭代偏差；e、f分别为机车端电压实部和虚部；Δe和Δf分别为机车端电压实部和虚部修正量；T为线路温度；ΔT为线路温度修正量。

作为本发明实施例的一种具体实现方式，所述机车端电压的分布为在牵引网沿线环境参数下机车处于不同位置的端电压。

作为本发明实施例的一种具体实现方式，根据机车端电压分布结果对越限电压进行预警，包括：

判断处于不同位置处的机车端电压值是否低于电压限值。

作为本发明实施例的一种具体实现方式，所述的电压限值为根据牵引网特性以及所处地理气候条件下，机车最低允许端电压。

如图2所示为输电导线电热耦合原理图。架空输电导线受周围环境以及载流的影响，使输电导线温度变化，从而引起导线电阻的变化，电阻变化又影响了输电导线的载流量，导线电流和温度存在着相互耦合关系。

架空输电导线满足式(1)的热平衡方程：

式中：m为单位长度输电导线质量/(kg·m^-1)；C_p为输电导线材料的比热容/(J.kg^-1·℃^-1)；T为t时刻输电导线温度/℃；p_l＝I²R为输电线路电流引起的发热功率/(W·m^-1)；P_s，P_c，P_r分别为单位长度输电导线太阳辐射吸热功率、对流散热功率和辐射散热功率/(W·m^-1)。

单位长度导线电阻值R与其温度的关系满足：

R＝R_ref{1+α_l[T-T_d]}  (2)

式中：R_ref为单位长度输电导线在参考温度下电阻值/(Ω·m^-1)；α_l为电阻温度系数/℃^-1；T_d为参考温度/℃。

对流散热功率：

对流散热分自然对流和强制对流。当导体周围空气相对导体静止，由于空气密度的差异引起的散热为自然对流散热；主要由于风的流动引起导体的散热为强制对流散热。

强制对流散热功率大小与一个无量纲的雷诺数有关，雷诺数定义为：

式中:N_Re为雷诺数；D₀导体外径/m；ρ_f为空气密度/(kg·m^-3)；V_w为风速/(m·s^-1)、μ_f为空气动态黏度系数/(kg·m^-1·s^-1)。

强制对流散热功率按照式(4)和式(5)进行计算并取较大值：

p_c1＝K_angle[1.01+1.35N_Re ^0.52]k_f(T-T_a)  (4)

p_c2＝0.754·K_angleN_Re ^0.6k_f(T-T_a)  (5)

式中：K_angle为风向系数，无单位；k_f为空气导热系数/(W·m^-1·℃^-1)；T_a为导线所处环境温度/℃。

自然对流散热功率表示为：

p_cn＝3.645ρ_f ^0.5D₀ ^0.75(T-T_a)^1.25  (6)

辐射散热功率：

当输电导体表面温度大于周围环境温度时，通过辐射散热将导体热量散发周围空气。辐射散热功率满足：

p_r＝1.78×10^-9D₀ε[(T+273)⁴-(T_a+273)⁴]  (7)，

式中：ε为辐射率，无单位。

太阳辐射吸热功率：

输电导体吸收太阳辐射的功率可表示为：

p_s＝αQ_sesin(θ)A  (8)，

式中：α为导体吸热系数，无单位；Q_se为日照辐射强度/(W.m^-2)；θ为太阳有效入射角度/deg；A为单位长度输电线路有效投影面积/(m².m^-1)。

可见，输电线路电流以及周围环境因素(风速、环境温度、光照强度等)共同引起输电线路温度的变化，而输电线路温度的变化又会引起其电阻的变化，从而引起输电线路电流的变化。

牵引网通用等效模型的建立：

图3、图4和图5为牵引网常采用的供电方式。对于正弦稳态情况来说，图中

为牵引变压器低压侧出线电压相量；l₁、l_n为机车至牵引变电所距离/(km)；x₁、x_n为机车至牵引变电所方向的AT所距离/(km)；D为两个AT所间距离/(km)。末端并联的复线AT供电方式忽略上下行牵引网间的互感影响，因此可以等效为单线双边供电网络，如图5所示。

无论采用图3、图4和图5所示何种供电方式，从机车端看，牵引网是一个有源二端网络，则牵引网可以等效为压源和阻抗的串联。如果以前一个机车端电压作为后一个机车供电电源电压，则两辆车之间的牵引网也可以等效为一个串联阻抗。因此，从整体上，牵引网可以等效为图6所示的电路模型。

假设牵引供电区间内有n个机车，在单线直供和单线AT供电方式下等效节点数目为n+1个(图6中节点编号由0至n)；在末端并联复线AT供电方式下等效节点数目为n+2个(图6中节点编号由0至n+1)。机车视为恒功率负荷，即机车取流处为PQ节点，图6中

至

为机车端电压；在末端并联AT供电方式下，图6中才包含虚框中的复阻抗Z_n及

Z₀＝R₀+jX₀、Z₁＝R₁+jX₁、Z_g＝R_g+jX_g和Z_n＝R_n+jX_n为牵引网等效阻抗，其中R₀至R_n和X₀至X_n分别为牵引网等效电阻和电抗。各供电方式下，牵引网等效阻抗大小与l₁至l_n、x₁至x_n以及D有关。

以单线直供方式为例，单位长度牵引网等效阻抗可表示为：

式中：z_C为接触线-地回路单位长度自阻抗，(Ω·km^-1)；z_T钢轨-地回路单位长度自阻抗，(Ω·km^-1)；z_CT为接触线-地回路与钢轨-地回路单位长度互阻抗，(Ω·km^-1)。

图6中节点g和节点h间等效阻抗Z_g可表示为：

式中，l_h和l_g分别为节点h和节点g到牵引变电所的距离。

由图6可得出系统的节点导纳矩阵为：

由式(2)可知，牵引网导线参数是线路温度T的函数，所以牵引网等效阻抗也是温度T的函数，而节点导纳矩阵元素与牵引网等效阻抗有关，所以节点导纳矩阵元素也是温度T的函数。在机车端电压预估过程中需要根据线路温度，不断修正节点导纳矩阵元素。

考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法：

温度变化与机车端电压的关系：

以单线直供方式为例，则机车g(g∈n)所在的节点的注入功率方程可表示为：

式中，

为g点的注入复功率；P_g、Q_g分别为机车g所在节点注入有功功率和无功功率；Y_gh为节点导纳矩阵中的元素；

为节点导纳矩阵元素Y_gh的共轭；

为节点h电压U_h的共轭。

如果机车端电压以直角坐标形式表示，即

采用牛顿拉夫逊法机车所在节点注入有功功率和无功功率迭代偏差可表示为：

式(13)和(14)中，ΔP_g和ΔQ_g分别为机车g所在节点的注入有功功率和无功功率迭代偏差；G_gh和B_gh分别为节点导纳矩阵元素Y_gh的实部和虚部。

图6中，流过线路gh的电流表示为：

由于节点导纳矩阵元素随线路温度变化而变化，所以机车端电压也随线路温度变化而变化。由式(15)可知，线路电流随温度变化而变化，而线路电流也导致了线路温度的变化，体现了电、热耦合的过程，分析机车端电压的分布，要与线路温度变化相协调。

电热耦合影响的机车端电压动态预估模型

牵引负荷及环境参数变化时，输电线路载流与温度的耦合关系满足式(1)的动态微分方程。求解微分方程可采用差分方法，将微分方程离散化转化为代数方程进行求解。式(1)离散化得：

式中，T_t和T_t-Δt分别为t时刻和t-Δt时刻导线温度，Δt为差分步长。p_l、p_s、p_c、p_r为t时刻功率，p′_l、p′_s、p′_c、p′_r为t-Δt时刻功率。

由式(16),线路温度计算的迭代偏差可表示为：

由于发热功率p_l主要与线路电流大小有关，而线路电流又与机车所在节点电压有关，所以，ΔE与机车所在节点电压

有关。

结合式(13)、(14)和(17)可得基于牛顿拉夫逊法的受电热耦合影响的机车端电压预估修正方程：

式中，ΔP、ΔQ和ΔE分别为机车有功功率、无功功率和线路温度迭代偏差；e、f分别为机车端电压实部和虚部；Δe和Δf分别为机车端电压实部和虚部修正量；T为线路温度；ΔT为线路温度修正量。

动态机车端电压预估就是一个反复进行更新导纳矩阵、求解修正方程、修正变量的过程，直至满足精度要求。

如图7所示，本实施例所述的受电热耦合影响的机车端电压预估的详细流程。分为：数据输入与初始化模块、状态修正模块和结果输出模块。

数据输入与初始化模块

首先获取牵引网拓扑以及在参考环境温度下单位牵引网阻抗参数等牵引网信息；气象数据可以使用数值气象预报技术，近年来气象部门开发出各种气象数值预报产品，可以获得分钟级气象信息。需要输入地理及气象信息包括：海拔高度、风速、环境温度、空气密度、日照辐射强度、太阳入射角等。

机车端电压预估前要设定初始迭代的导线温度和机车电压，其数值大小直接影响机车端电压预估的迭代次数以及收敛性。设输电导线初始温度为环境温度，机车端电压为牵引变压器低压侧电压。迭代精度e＝0.001。

状态修正模块：

求解机车端电压预估修正方程式(18)，修正线路温度及机车端电压，利用(2)更新输电导线电阻，计算牵引网等效阻抗，重新计算系统节点导纳矩阵元素。

结果输出模块：

反复进行机车电压和导线温度的修正，直至偏差小于迭代精度e，迭代结束后，判断所在不同位置处的机车端电压是否低于机车最低允许端电压，如果低于允许电压进行预警。

最后应说明的是：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法，其特征在于，包括：

获取参考温度下牵引网参数及其沿线的气象信息，并进行初始化；

基于所述参考温度下牵引网参数及其沿线的气象信息，计算牵引网初始等效阻抗并形成初始节点导纳矩阵；

根据初始牵引网参数及其沿线的气象信息修正机车端电压和牵引网阻抗参数，直至满足修正精度，预估机车端电压的分布；

根据机车端电压分布结果对越限电压进行预警；

所述根据初始牵引网参数及其沿线的气象信息修正机车端电压和牵引网阻抗参数，包括：

列出机车有功功率、无功功率和线路温度迭代的偏差；

列出牵引网线路温度计算的迭代偏差；

列出受电热耦合影响的机车端电压预估修正方程并求解，修正机车端电压和牵引网输电导线温度，直至满足修正精度，列出机车端电压的分布；

所述机车有功功率、无功功率和线路温度迭代的偏差为：

式中，ΔP_g和ΔQ_g分别为机车g所在节点的注入有功功率和无功功率迭代偏差；ΔE为线路温度计算的迭代偏差；P_g和Q_g分别为机车g所在节点的注入有功功率和无功功率；G_gh和B_gh分别为节点导纳矩阵元素Y_gh的实部和虚部；e_g和f_g分别为机车g的电压实部和虚部，m为单位长度导线质量；C_p为输电导线材料的比热容；T_t和T_t-Δt分别为t时刻和t-Δt时刻导线温度；Δt为差分步长；p_l、p_s、p_c、p_r分别为t时刻单位长度输电线路电流引起的发热功率、太阳辐射吸热功率、对流散热功率和辐射散热功率；p_l′、p_s′、p_c′、p_r′为t-Δt时刻单位长度输电线路电流引起的发热功率、导线太阳辐射吸热功率、对流散热功率和辐射散热功率；

所述受电热耦合影响的机车端电压预估修正方程为：

式中，ΔP、ΔQ和ΔE分别为机车有功功率、无功功率和线路温度迭代偏差；e、f分别为机车端电压实部和虚部；Δe和Δf分别为机车端电压实部和虚部修正量；T为线路温度；ΔT为线路温度修正量。

2.根据权利要求1所述的考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法，其特征在于，所述获取参考温度下牵引网参数及其沿线的气象信息，包括：

获取铁路牵引网拓扑结构和牵引网各输电导线在参考温度下的阻抗参数；

获取牵引网沿线影响导线热平衡的相关气象信息。

3.根据权利要求2所述的考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法，其特征在于，所述初始化，包括：

将牵引网的输电导线初始温度设为环境温度；

设定机车端电压的初始参数；

设定机车端电压下限预警参数。

4.根据权利要求1所述的考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法，其特征在于，基于所述牵引网参数及其沿线的气象信息，计算牵引网初始等效阻抗并形成初始节点导纳矩阵，包括：

列出牵引网输电导线电热耦合方程；

计算受电热耦合影响的牵引网输电导线的电阻；

计算牵引网等效阻抗；

形成牵引网的节点导纳矩阵。

5.根据权利要求4所述的考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法，其特征在于，所述电热耦合方程为：

式中，m为单位长度导线质量；C_p为输电导线材料的比热容；T_t和T_t-Δt分别为t时刻和t-Δt时刻导线温度；Δt为差分步长；p_l、p_s、p_c、p_r分别为t时刻单位长度输电线路电流引起的发热功率、太阳辐射吸热功率、对流散热功率和辐射散热功率；p_l′、p_s′、p_c′、p_r′为t-Δt时刻单位长度输电线路电流引起的发热功率、导线太阳辐射吸热功率、对流散热功率和辐射散热功率。

6.根据权利要求4所述的考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法，其特征在于，计算所述牵引网输电导线的电阻的公式为：

R＝R_ref{1+α_l[T-T_d]}，

R为单位长度导线在导线温度为T时的电阻值，R_ref为单位长度输电导线在参考温度下电阻值，α_l为电阻温度系数，T_d为参考温度，T为输电导线温度。

7.根据权利要求4所述的考虑电热耦合影响的机车端电压预估方法，其特征在于，所述形成牵引网的节点导纳矩阵为：

式中，Z₁至Z_n为各段牵引网等效阻抗。

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