CN110687937B - 基于多变量广义最小方差解耦控制的水箱液位控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供一种基于多变量广义最小方差解耦控制的水箱液位控制方法，自动化过程控制技术领域。该方法首先对双容水箱液位传感器的参数进行标定；并求取双容水箱离散模型的参数；然后设计多变量一步超前最优加权解耦控制器，并求解该解耦控制器中各多项式形式的参数矩阵，进而得到最终控制律，完成改进的多变量广义最小方差解耦控制器的设计；最后，将求解的最终控制律输入到双容水箱的控制系统，实现对双容水箱液位的控制。本发明方法能够直接抑制有界可测干扰,消除稳态误差，因而不需要进行前馈控制器的设计，节约了成本；能够直接抑制工业过程中有界可测干扰对双容水箱控制系统的影响，从而消除稳态误差，提高控制精度，具有很高的实用价值。
Description
技术领域
本发明涉及自动化过程控制技术领域，尤其涉及一种基于多变量广义最小方差解耦控制的水箱液位控制方法。
背景技术
在复杂的工业生产过程中，被控对象一股是由多输入多输出的多变量动态模型描述的。与单变量模型不同，多变量模型相对复杂，不仅要考虑时延结构还要考虑耦合特性，而且有的被控对象还是非最小相位的。多变量系统往往还具有不确定性，也就是说系统的某些参数是未知的或是时变量的，或者受到未知的随机干扰。水箱液位控制的控制系统就是这种多变量系统。
广义最小方差解耦控制作为一种基于多变量系统的控制方法，能够有效的控制具有时延结构、耦合特性的非最小相位系统，而且能够取得很好的控制效果。针对多变量系统，近年来国内外学者专家们进行了大量的研究工作，取得了很好的控制效果。
然而，在实际工业生产过程中，来自现场的干扰是时时刻刻存在的，例如有界可测干扰和随机干扰。而干扰有可能会使系统的控制性能变差甚至导致系统失控。因此，如何降低干扰的影响，消除稳态误差，提高系统的控制性能是工业控制必须考虑的问题。但是传统的多变量广义最小方差解耦控制方法不能直接抑制有界可测干扰，消除稳态误差，另加前馈控制器又必然使得控制系统的结构变得复杂，这样不仅增加了成本，还为后期的维修带来不便，势必增加大量的人力物力。
发明内容
本发明要解决的技术问题是针对上述现有技术的不足，提供一种基于多变量广义最小方差解耦控制的水箱液位控制方法，实现对水箱液位的自动控制；
为解决上述技术问题，本发明所采取的技术方案是：基于多变量广义最小方差解耦控制的水箱液位控制方法，包括以下步骤：
步骤1：通过实验方法对双容水箱的两个液位传感器的参数进行标定；
步骤1.1：对双容水箱的两个液位传感器进行标定前的实验准备；
实验时，由于双容水箱的两个水箱都需要标定，所以当标定1号水箱时，2号水箱的进水阀关闭，比例阀打开，连通阀关闭，1号出水阀关闭；当标定2号水箱时，2号水箱的进水阀打开，比例阀关闭，连通阀关闭，2号出水阀关闭；由此进行单个水箱标定以确保实验的准确性；
步骤1.2：双容水箱液位传感器标定数据的采集；
针对单个水箱，从0刻度液位开始，每次启动水泵加入一定高度的水，记录每次不同液位y对应的液位传感器测得的电压u，完成对1号水箱液位传感器和2号水箱液位传感器的数据采集；
步骤1.3：双容水箱液位传感器输入输出线性关系的求取；
所述双容液位传感器采用压差式液位传感器，输入量为压差式液位传感器测定值，输出量为水箱实际液位，其输入输出为线性关系，如下公式所示：
y＝ku+b
其中，k，b均为待标定的参数；
根据1号水箱液位传感器标定采集的数据，采用最小二乘曲线拟合方法，对其进行曲线拟合，得到1号水箱液位传感器的函数关系；根据2号水箱液位传感器标定采集的数据，采用最小二乘曲线拟合方法，对其进行曲线拟合，得到1号水箱液位传感器的函数关系；
步骤2：双容水箱离散模型参数的求取，具体方法为：
步骤2.1：双容水箱开环实验数据的采集；
首先通过双开环实验采集数据，其中包括液位、水泵输入电压PWM占空比、比例阀开度PWM占空比在内的三组数据；水泵输入电压PWM占空比在不高于40％时无水流出，因此在辨识程序中对此进行补偿；比例阀开度低于50％时，水流无法进入1号水箱，同样需要补偿；数据采集时输出端加上一个滤波器；设置采样时间为0.1s，记录输出液位从零时刻到稳态时的数据，进行两次实验，第一次实验为开环稳态实验的输出数据，第二次实验为输入在原来输入不变的情况下，加入高斯白噪声时的输出数据；通过两次实验采集多组输入输出数据；
步骤2.2：双容水箱离散模型参数的辨识；
选择采集的多组输入输出数据，将其中前百分之八十组数据作为训练集，后百分之二十组数据作为验证集；
基于双容水箱的物理模型，设加上滤波器后的阶数为2阶，建立双容水箱的离散模型如下公式所示：
y(k)＝-a1y(k-1)-a2y(k-2)+b1u1(k-1)+b2u1(k-2)+c1u2(k-1)+c2u2(k-2)
其中，u1(k)为1号水箱的当前时刻的输入，u1(k-1)为1号水箱前一时刻的输入，u2(k)为2号水箱的当前时刻的输入，u2(k-1)代表2号水箱前一时刻的输入，y(k)代表双容水箱当前时刻的输出，a1、a2、b1、b2、c1、c2为模型的参数；
采用具有遗忘因子的最小二乘辨识算法辨识，并采用后移算子z-1：z-dy(k)＝y(k-d)，d为纯延时步数，则双容水箱的离散模型简化为：
1号水箱：
(1-1.012z-1+0.0227z-2)y(k)＝z-1(0.0057+0.0015z-1)u1(k)+z-1(0.0051+0.0042z-1)u2(k)
2号水箱：
(1-1.0131z-1+0.023z-2)y(k)＝z-1(0.019+0.0164z-1)u1(k)+z-1(0.0158-0.0075z-1)u2(k)
由辨识结果得到被控对象双容水箱的模型参数为：
其中，A(z-1)、B(z-1)为多输入多输出被控对象双容水箱的模型参数矩阵；
步骤3：设计改进的多变量广义最小方差解耦控制器，实现对双容水箱液位的控制，具体方法为：
步骤3.1：设计多变量一步超前最优加权解耦控制器；
对于多输入多输出被控对象模型：
A(z-1)y(k)＝z-dB(z-1)u(k)+C(z-1)ξ(k) (1)
其中，A(z-1)、B(z-1)、C(z-1)为多输入多输出被控对象的参数矩阵，u(k)为输入变量，y(k)输出变量，ξ(k)为噪声，A(z-1)为对角多项式矩阵，把多项式矩阵B(z-1)拆分为：
式(2)为对角多项式矩阵，等于B(z-1)主对角线上的元素，代表主通道上输入、输出变量之间的关系；式(3)为主对角线元素为零的多项式矩阵，代表不同通道间的耦合关系；
把式(2)和式(3)带入式(1)得：
令噪声系数矩阵C(z-1)＝I，I为单位矩阵；针对式(4)被控对象的数学模型，设计多变量广义最小方差解耦控制器，使得被控对象的广义输出φ(k+d)＝P(z-1)y(k+d)能够精确地跟踪广义理想输出y*(k+d)＝R(z-1)w(k)-Q(z-1)u(k)-S(z-1)u(k)的变化，并使它们之间的跟踪误差最小，从而引入如下多变量广义最小方差解耦性能指标：
J＝||φ(k+d)-y*(k+d)||2＝||P(z-1)y(k+d)-R(z-1)w(k)+Q(z-1)u(k)+S(z-1)u(k)||2 (5)
其中，P(z-1)，Q(z-1)，S(z-1)，R(z-1)均为参数矩阵，P(z-1)，Q(z-1)均为对角多项式矩阵，w(k)为参考输入；
通过引入如下Diophantine方程：
C(z-1)P(z-1)＝A(z-1)F(z-1)+z-dG(z-1) (6)
其中，G(z-1)为参数矩阵，求出对角多项式矩阵F(z-1)，G(z-1)；
将F(z-1)乘以式(4)并利用式(6)，得广义输出φ(k+d)：
φ(k+d)＝φ*(k+d|k)+F(z-1)ξ(k+d) (7)
其中，
为广义输出φ(k+d)的最优预报；
将式(7)代入性能指标式(5)得到使性能指标最小为零的多变量广义最小方差闭环解耦控制律u(k)为：
令
其中，
为控制律参数矩阵；
步骤3.2：求解多变量一步超前最优加权解耦控制器中各多项式形式的参数矩阵，进而得到最终控制律，完成改进的多变量广义最小方差解耦控制器的设计；
步骤3.2.1：求解P(z-1)、Q(z-1)多项式矩阵；
由步骤2辨识结果得到被控对象双容水箱的模型参数：
在矩阵多项式Q(z-1)中引入积分器，则Q(z-1)为：
其中，λ1、λ4均为参数系数；
为保证闭环系统的稳定，引入丢番图方程，选择P(z-1)和Q(z-1)满足以下关系：
P(z-1)B(z-1)+Q(z-1)A(z-1)＝T(z-1) (10)
其中，T(z-1)为参数矩阵，为稳定的多项式矩阵；
为保证闭环系统中的参数矩阵T(z-1)的稳定，首先选取T(z-1)对角上的T1(z-1)＝T4(z-1)＝1-1.5478z-1+0.6188z-2，且令
由(10)式得：
由式(11)计算得出：
步骤3.2.2：求解S(z-1)多项式矩阵；
多项式矩阵Q(z-1)，R(z-1)，S(z-1)的选择需要满足以下三个方面：
1)保证闭环系统的稳定性；
2)消除被控对象输出y(k)与w(k)参考输入之间稳态跟踪误差；
3)消除不同回路之间的耦合；
因此，由式(4)、(5)、(6)、(7)进一步整理得：
P(z-1)y(k+d)＝R(z-1)w(k)-Q(z-1)u(k)-S(z-1)u(k)+F(z-1)ξ(k+d) (15)
联立式(14)和式(15)则有：
式(16)中，闭环系统中不应该含有控制输入u(k)，该项代表了系统中的耦合项，为了实现解耦，应该消除，即要求：
在Q(z-1)给定的情况下，S(z-1)如下公式所示：
式(18)中，采用Q(z-1)矩阵中引入积分项，则让S(z-1)的也引入积分项，且又使得P(z-1)B(z-1)+A(z-1)[Q(z-1)+S(z-1)]＝T(z-1)多项式中的detT(z-1)的全部零点都在单位圆内，保证T(z-1)为稳定的多项式矩阵，寻找到S(z-1)使得系统能静态解耦，如下公式所示：
其中，S2＝5(1-z-1)，S3＝5(1-z-1)；
步骤3.2.3：求解多项式矩阵R(z-1)；
式(16)中，由闭环系统的输出方程整理得：
其中，
即u(k)做解耦处理，ξ(k+d)为噪声，忽略，则化简式(20)得：
因矩阵多项式Q(z-1)中引入积分项，当闭环系统达到稳态时由Q(1)＝0，Q(1)A(1)＝0，则要使输出y(k)能稳定地跟踪参考输入w(k)，应有
因为P(z-1)为对角矩阵，则令R(z-1)＝P(z-1)，即：
步骤3.2.4：求解F(Z-1)、G(z-1)多项式矩阵；
设v(k)为有界可测干扰，则：
P(z-1)y(k+d)＝R(z-1)w(k)-Q(z-1)u(k)-S(z-1)u(k)+F(z-1)v(k+d) (24)
联立式(23)、(24)化简得：
为了消除可测干扰项v(k+d)，在多项式矩阵Q(z-1)和Diophantine方程中的多项式矩阵F(z-1)中同时引入积分项；
由式(6)引入的丢番图方程：
C(z-1)P(z-1)＝A(z-1)F(z-1)+z-dG(z-1)
进而求得F(z-1)和G(z-1)，其中F(Z-1)矩阵包含积分项1-z-1，F(z-1)和G(z-1)如下所示：
步骤3.2.5：求解最终控制律；
由步骤3.2.1～3.2.4求解得到的P(z-1)、Q(z-1)多项式矩阵、S(Z-1)多项式矩阵、R(z-1)多项式矩阵、F(Z-1)、G(z-1)多项式矩阵，求解最终控制律如下所示：
步骤3.3：将求解的最终控制律输入到双容水箱的控制系统，实现对双容水箱液位的控制。
采用上述技术方案所产生的有益效果在于：本发明提供的基于多变量广义最小方差解耦控制的水箱液位控制方法，通过在多项式矩阵Q(z-1)和丢番图方程中的多项式矩阵F(z-1)同时引入积分项，用于直接抑制工业过程中有界可测干扰对系统的影响，从而消除稳态误差，提高控制精度。本发明方法由于能够直接抑制有界可测干扰，消除稳态误差，因而不需要进行前馈控制器的设计，节约了成本。本发明方法在超调量、上升时间、调节时间等性能指标都要优于未改进的多变量广义最小方差解耦控制方法，而且能够直接有效抑制有界可测干扰，提高了液位控制系统的控制精度。
附图说明
图1为本发明实施例提供的双容水箱实验流程图；
图2为本发明实施例提供的基于多变量广义最小方差解耦控制的水箱液位控制方法的流程图；
图3为本发明实施例提供的多变量广义最小方差解耦控制器结构图；
图4为本发明实施例提供的改进的多变量广义最小方差解耦控制器结构图；
图5为本发明实施例提供的不加干扰时不同方法下水箱1的液位跟踪仿真结果图；
图6为本发明实施例提供的不加干扰时不同方法下水箱2的液位跟踪仿真结果图；
图7为本发明实施例提供的加阶跃干扰时不同方法下水箱1的液位跟踪控制效果图；
图8为本发明实施例提供的加阶跃干扰时不同方法下水箱2的液位跟踪控制效果图；
图9为本发明实施例提供的采用传统的多变量广义最小方差解耦控制方法下的双容水箱实时液位跟踪曲线图；
图10为本发明实施例提供的采用传统的多变量广义最小方差解耦控制方法下的水泵PWM占空比和比例阀PWM占空比；
图11为本发明实施例提供的采用本发明方法下的双容水箱实时液位跟踪曲线图；
图12为本发明实施例提供的采用本发明方法下的水泵PWM占空比和比例阀PWM占空比。
具体实施方式
下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明，但不用来限制本发明的范围。
本实施例以某双容水箱液位控制为例，使用本发明的基于多变量广义最小方差解耦控制的水箱液位控制方法对该双容水箱液位液位进行控制。本实施例中实验使用的多功能过程控制实验平台，主要包括上位机监测软件，控制器，控制对象系统三个部分组成。其中上位机监测软件安装在PC机中，PC机与控制器采用以太网进行连接，控制器和控制对象系统通过数据总线进行通讯，实时地将设备信息和控制指令在控制器和控制对象系统进行传递，从而实现对设备状态的读取和控制对象系统的控制。双容水箱液位控制的流程如图1所示，泄水阀1、泄水阀2以及连通阀为手动阀，可以手动调节阀门开度，比例阀门为电动阀，由程序控制阀门开度。水箱1和水箱2液位的给定值r1、r2由上位机监控软件给出，通过以太网络传输到硬件平台的实验控制器1和控制器2中，水箱1和水箱2实际液位信号经过液位传感器1和液位传感器2测量得h1和h2，控制器1和控制器2根据给定液位值和实际液位值的差值产生控制信号u1和u2，对比例阀门和水泵进行控制，从而实现对水箱1和水箱2的液位控制。
本实施例中，基于多变量广义最小方差解耦控制的水箱液位控制方法，如图2所示，包括以下步骤：
步骤1：通过实验方法对双容水箱的两个液位传感器的参数进行标定；
步骤1.1：对双容水箱的两个液位传感器进行标定前的实验准备；
实验时，由于双容水箱的两个水箱都需要标定，所以当标定1号水箱时，2号水箱的进水阀关闭，比例阀打开，连通阀关闭，1号出水阀关闭；当标定2号水箱时，2号水箱的进水阀打开，比例阀关闭，连通阀关闭，2号出水阀关闭；由此进行单个水箱标定以确保实验的准确性；
步骤1.2：双容水箱液位传感器标定数据的采集；
针对单个水箱，从0刻度液位开始，每次启动水泵加入一定高度的水，记录每次不同液位y对应的液位传感器测得的电压u，完成对1号水箱液位传感器和2号水箱液位传感器的数据采集；
本实施例中，双容水箱的1号水箱和2号水箱采集的部分数据如表1和表2所示：
表1 1号水箱采集的数据
| 1号水箱液位传感器输出/V | 1号水箱液位高度/cm |
| 0.5322 | 0 |
| 0.6576 | 2 |
| 0.7801 | 4 |
| 0.9110 | 6 |
| 1.1041 | 8 |
| 1.2510 | 10 |
| 1.4081 | 12 |
| 1.5495 | 14 |
| 1.7017 | 16 |
| 1.8573 | 18 |
| 1.9942 | 20 |
表2 2号水箱采集的数据
步骤1.3：双容水箱液位传感器输入输出线性关系的求取；
所述双容液位传感器采用压差式液位传感器，输入量为压差式液位传感器测定值(单位mv)，输出量为水箱实际液位(单位cm)，其输入输出为线性关系，如下公式所示：
y＝ku+b
其中，k，b均为待标定的参数；
本实施例中，通过simulink编程，可以得到不同液位时液位传感器输出的电压值；根据1号水箱液位传感器标定采集的数据，采用最小二乘曲线拟合方法，对其进行曲线拟合，得到1号水箱液位传感器的函数关系，如下公式所示：
y＝13.3529x-6.6873
根据2号水箱液位传感器标定采集的数据，采用最小二乘曲线拟合方法，对其进行曲线拟合，得到1号水箱液位传感器的函数关系，如下公式所示：
y＝13.2649x-5.4192
步骤2：双容水箱离散模型参数的求取；
实验建模方法主要用于建立双容水箱控制系统的输入输出模型。它是根据过程的输入输出的实际实验数据，利用某种数学运算得到数学模型，对于复杂过程，通常采用实验建模方法。本发明方法中使用系统辨识方法和最小二乘法对控制系统进行辨识，基于实验数据建立控制器设计模型(离散时间线性动态模型)。
对双容水箱离散模型参数进行求取，其中包括：双容水箱开环实验数据的采集和双容水箱参数的辨识，具体步骤如下：
步骤2.1：双容水箱开环实验数据的采集；
首先通过双开环实验采集数据，其中包括液位、水泵输入电压PWM占空比、比例阀开度PWM占空比在内的三组数据；为保证实验所得模型参数的准确性，采集数据应该尽可能多。水泵输入电压PWM占空比在不高于40％时无水流出，因此在辨识程序中对此进行补偿；比例阀开度低于50％时，水流无法进入1号水箱，同样需要补偿；且由于液面波动对数据采集影响较大，故数据采集时输出端加上一个滤波器；设置采样时间为0.1s，记录输出液位从零时刻到稳态时的数据，进行两次实验，第一次实验为开环稳态实验的输出数据，第二次实验为输入在原来输入不变的情况下，加入高斯白噪声时的输出数据；通过两次实验采集多组输入输出数据；
步骤2.2：双容水箱离散模型参数的辨识；
选择之前采集的多组输入输出数据，将其中前百分之八十组数据作为训练集，后百分之二十组数据作为验证集；
基于双容水箱的物理模型，设加上滤波器后的阶数为2阶，建立双容水箱的离散模型如下公式所示：
y(k)＝-a1y(k-1)-a2y(k-2)+b1u1(k-1)+b2u1(k-2)+c1u2(k-1)+c2u2(k-2)
其中，u1(k)为1号水箱的当前时刻的输入，u1(k-1)为1号水箱前一时刻的输入，u2(k)为2号水箱的当前时刻的输入，u2(k-1)代表2号水箱前一时刻的输入，y(k)代表双容水箱当前时刻的输出，a1、a2、b1、b2、c1、c2为模型的参数；
采用具有遗忘因子的最小二乘辨识算法辨识，并采用后移算子z-1：z-dy(k)＝y(k-d)，d为纯延时步数，则双容水箱的离散模型简化为：
1号水箱：
(1-1.012z-1+0.0227z-2)y(k)＝z-1(0.0057+0.0015z-1)u1(k)+z-1(0.0051+0.0042z-1)u2(k)
2号水箱：
(1-1.0131z-1+0.023z-2)y(k)＝z-1(0.019+0.0164z-1)u1(k)+z-1(0.0158-0.0075z-1)u2(k)
由辨识结果得到被控对象双容水箱的模型参数为：
其中，A(z-1)、B(z-1)为多输入多输出被控对象双容水箱的模型参数矩阵；
步骤3：设计改进的多变量广义最小方差解耦控制器，实现对双容水箱液位的控制，具体方法为：
步骤3.1：设计多变量一步超前最优加权解耦控制器；
对于多输入多输出被控对象模型：
A(z-1)y(k)＝z-dB(z-1)u(k)+C(z-1)ξ(k) (1)
其中，A(z-1)、B(z-1)、C(z-1)为多输入多输出被控对象的参数矩阵，u(k)为输入变量，y(k)输出变量，ξ(k)为噪声，A(z-1)为对角多项式矩阵，把多项式矩阵B(z-1)拆分为：
式(2)为对角多项式矩阵，等于B(z-1)主对角线上的元素，代表主通道上输入、输出变量之间的关系；式(3)为主对角线元素为零的多项式矩阵，代表不同通道间的耦合关系；
把式(2)和式(3)带入式(1)得：
为了推导简便，令噪声系数矩阵C(z-1)＝I，I为单位矩阵；针对式(4)被控对象的数学模型，设计多变量广义最小方差解耦控制器，使得被控对象的广义输出φ(k+d)＝P(z-1)y(k+d)能够精确地跟踪广义理想输出y*(k+d)＝R(z-1)w(k)-Q(z-1)u(k)-S(z-1)u(k)的变化，并使它们之间的跟踪误差最小，从而引入如下多变量广义最小方差解耦性能指标：
J＝||φ(k+d)-y*(k+d)||2＝||P(z-1)y(k+d)-R(z-1)w(k)+Q(z-1)u(k)+S(z-1)u(k)||2 (5)
其中，P(z-1)，Q(z-1)，S(z-1)，R(z-1)均为参数矩阵，P(z-1)，Q(z-1)均为对角多项式矩阵，w(k)为参考输入；
通过引入如下Diophantine方程：
C(z-1)P(z-1)＝A(z-1)F(z-1)+z-dG(z-1) (6)
其中，G(z-1)为参数矩阵，求出对角多项式矩阵F(z-1)，G(z-1)；
将F(z-1)乘以式(4)并利用式(6)，得广义输出φ(k+d)：
φ(k+d)＝φ*(k+d|k)+F(z-1)ξ(k+d) (7)
其中，
为广义输出φ(k+d)的最优预报；
将式(7)代入性能指标式(5)得到使性能指标最小为零的多变量广义最小方差闭环解耦控制律u(k)为：
令
其中，
为控制律参数矩阵；
步骤3.2：求解多变量一步超前最优加权解耦控制器中各多项式形式的参数矩阵，进而得到最终控制律，完成改进的多变量广义最小方差解耦控制器的设计；
步骤3.2.1：求解P(z-1)、Q(z-1)多项式矩阵；
由步骤2辨识结果得到被控对象双容水箱的模型参数：
在矩阵多项式Q(z-1)中引入积分器，则Q(z-1)为：
其中，λ1、λ4均为参数系数；
为保证闭环系统中的参数矩阵T(z-1)的稳定，引入丢番图方程，选择P(z-1)和Q(z-1)满足以下关系：
P(z-1)B(z-1)+Q(z-1)A(z-1)＝T(z-1) (10)
其中，T(z-1)为参数矩阵，为稳定的多项式矩阵；
为保证闭环系统中的参数矩阵T(z-1)的稳定，首先选取T(z-1)对角上的T1(z-1)＝T4(z-1)＝1-1.5478z-1+0.6188z-2，且令
由(10)式得：
由式(11)计算得出：
步骤3.2.2：求解S(z-1)多项式矩阵；
多项式矩阵Q(z-1)，R(z-1)，S(z-1)的选择需要满足以下三个方面：
1)保证闭环系统的稳定性；
2)消除被控对象输出y(k)与w(k)参考输入之间稳态跟踪误差；
3)消除不同回路之间的耦合；
因此，由式(4)、(5)、(6)、(7)进一步整理得：
P(z-1)y(k+d)＝R(z-1)w(k)-Q(z-1)u(k)-S(z-1)u(k)+F(z-1)ξ(k+d) (15)
联立式(14)和式(15)则有：
式(16)中，闭环系统中不应该含有控制输入u(k)，该项代表了系统中的耦合项，为了实现解耦，应该消除，即要求：
在Q(z-1)给定的情况下，式(17)通常没有精确解，所以通常S(z-1)如下公式所示：
式(18)中，采用Q(z-1)矩阵中引入积分项，则让S(z-1)的也引入积分项，且又使得P(z-1)B(z-1)+A(z-1)[Q(z-1)+S(z-1)]＝T(z-1)多项式中的detT(z-1)的全部零点都在单位圆内，保证T(z-1)为稳定的多项式矩阵，寻找到S(z-1)使得系统能静态解耦，如下公式所示：
其中，S2＝5(1-z-1)，S3＝5(1-z-1)；
步骤3.2.3：求解多项式矩阵R(z-1)；
式(16)中，由闭环系统的输出方程整理得：
其中，
即u(k)做解耦处理，ξ(k+d)为噪声，忽略，则化简式(20)得：
因矩阵多项式Q(z-1)中引入积分项，当闭环系统达到稳态时由Q(1)＝0，Q(1)A(1)＝0，则要使输出y(k)能稳定地跟踪参考输入w(k)，应有
因为P(z-1)为对角矩阵，则令R(z-1)＝P(z-1)，即：
步骤3.2.4：求解F(Z-1)、G(z-1)多项式矩阵；
实际控制系统中往往会存在有界可测干扰，比如阶跃、方波干扰等，如何在不加前馈控制器的情况下消除确定性干扰，是本发明方法的改进的多变量广义最小方差解耦控制方法的重点；设v(k)为有界可测干扰，把有界可测干扰v(k)引入如图3所示的多变量广义最小方差解耦控制器结构，得到如图4所示的改进的多变量广义最小方差解耦控制器结构。于是有：
P(z-1)y(k+d)＝R(z-1)w(k)-Q(z-1)u(k)-S(z-1)u(k)+F(z-1)v(k+d) (24)
联立式(23)、(24)化简得：
上式中，
可以实现解耦，消除耦合项，但有界可测干扰项v(k+d)不消除，被控对象y(k)无法跟踪参考输入w(k)。于是提出改进的方法，在多项式矩阵Q(z-1)和Diophantine方程中的多项式矩阵F(z-1)中同时引入积分项；由于Q(z-1)矩阵和F(z-1)矩阵同时引入了积分项，那么在
中就可以整体提出一个积分项，这样既可以消除有界可测干扰对系统的影响，又不必设计多变量广义最小方差前馈控制器，而且还能实现被控对象输出y(k)跟踪输入w(k)。
由式(6)引入的丢番图方程：
C(z-1)P(z-1)＝A(z-1)F(z-1)+z-dG(z-1)
进而求得F(z-1)和G(z-1)，其中F(Z-1)矩阵包含积分项1-z-1，F(z-1)和G(z-1)如下所示：
步骤3.2.5：求解最终控制律；
由步骤3.2.1～3.2.4求解得到的P(z-1)、Q(z-1)多项式矩阵、S(Z-1)多项式矩阵、R(z-1)多项式矩阵、F(Z-1)、G(z-1)多项式矩阵，求解最终控制律如下所示：
步骤3.3：将求解的最终控制律输入到双容水箱的控制系统，实现对双容水箱液位的控制。
本实施例为了测试本发明方法的性能指标，针对所得的双容水箱离散模型，在不加干扰的情况下，对本发明的改进的多变量广义最小方差解耦控制方法和未改进多变量广义最小方差解耦控制方法进行比较。包括超调量、上升时间、调节时间等性能指标的比较和抗干扰能力的比较，结果如图5、图6所示，从图中可以看出本发明的改进的多变量广义最小方差解耦控制方法在曲线上的超调量、上升时间、调节时间等性能指标都要优于未改进的多变量广义最小方差解耦控制方法，说明本发明方法具有良好的有效性和优越性。为了进一步验证所本发明的抗干扰能力，本实施例还针对建立的双容水箱离散模型，在80时刻加入幅值为2cm的阶跃干扰，对本发明的多变量广义最小方差解耦控制方法和未改进的多变量广义最小方差解耦控制方法进行数值仿真，仿真结果图7、图8所示。从图7、图8可知，在不加阶跃干扰的情况下，未改进的多变量广义最小方差解耦控制方法和本发明的改进的控制方法都能精确跟踪目标曲线。但是在80时刻加入阶跃干扰后，未改进的多变量广义最小方差解耦控制方法已经不能精确的跟踪目标曲线，而本发明的改进的多变量广义最小方差解耦控制方法却能够稳定精确的跟踪目标曲线。因此，实验表明本发明的改进方法有很强的抗干扰能力。
本实施例为了验证本发明的改进的多变量广义最小方差解耦控制方法的有效性和实用性，以双容水箱实验系统为例，分别将传统的多变量广义最小方差解耦控制方法和本发明的改进的多变量广义最小方差解耦控制方法应用于双容水箱实时控制中，在半实物仿真平台实现对水箱1和水箱2液位的实时控制。首先水箱1液位和水箱2液位设定初值为7.5cm和8.7cm，等待实际液位跟踪稳定后，在300s设置水箱1液位和水箱2为8.5cm和9.7cm。实时记录水箱1液位和水箱2液位以及它们的控制输入。传统多变量广义最小方差解耦控制方法得到的实时控制结果如图9和图10所示，本发明的改进的控制方法得到的实时控制结果如图11和图12所示。从图9和图10中，可以观察到在传统多变量广义最小方差解耦控制方法的实时控制系统中，水箱1和水箱2的实时跟踪曲线波动较大，并且水箱2出现了稳态误差，不能跟踪设定值。而从图11和图12中，可以观察到在本发明的改进的控制方法的实时控制中，水箱1和水箱2液位能够快速准确的跟踪设定值，跟踪曲线波动较小，具有很好的抗干扰能力。双容水箱实时控制实验很好的验证了本发明的改进的多变量广义最小方差解耦控制方法的有效性和实用性。
最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明权利要求所限定的范围。
Claims (2)
1.一种基于多变量广义最小方差解耦控制的水箱液位控制方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1：通过实验方法对双容水箱的两个液位传感器的参数进行标定，确定双容水箱两个液位传感器的输入输出线性关系；
步骤1.1：对双容水箱的两个液位传感器进行标定前的实验准备；
实验时，由于双容水箱的两个水箱都需要标定，所以当标定1号水箱时，2号水箱的进水阀关闭，比例阀打开，连通阀关闭，1号出水阀关闭；当标定2号水箱时，2号水箱的进水阀打开，比例阀关闭，连通阀关闭，2号出水阀关闭；由此进行单个水箱标定以确保实验的准确性；
步骤1.2：双容水箱液位传感器标定数据的采集；
针对单个水箱，从0刻度液位开始，每次启动水泵加入一定高度的水，记录每次不同液位y对应的液位传感器测得的电压u，完成对1号水箱液位传感器和2号水箱液位传感器的数据采集；
步骤1.3：双容水箱液位传感器输入输出线性关系的求取；
所述双容水箱 液位传感器采用压差式液位传感器，输入量为压差式液位传感器测定值，输出量为水箱实际液位，其输入输出为线性关系，如下公式所示：
y＝ku+b
其中，k,b均为待标定的参数；
根据1号水箱液位传感器标定采集的数据，采用最小二乘曲线拟合方法，对其进行曲线拟合，得到1号水箱液位传感器的函数关系；根据2号水箱液位传感器标定采集的数据，采用最小二乘曲线拟合方法，对其进行曲线拟合，得到1号水箱液位传感器的函数关系；
步骤2：双容水箱离散模型参数的求取，具体方法为：
步骤2.1：双容水箱开环实验数据的采集；
首先通过双开环实验采集数据，其中包括液位、水泵输入电压PWM占空比、比例阀开度PWM占空比在内的三组数据；
当水泵输入电压PWM占空比在不高于40％时无水流出，因此在辨识程序中对此进行补偿；比例阀开度低于50％时，水流无法进入1号水箱，同样需要补偿；数据采集时输出端加上一个滤波器；设置采样时间为0.1s，记录输出液位从零时刻到稳态时的数据，进行两次实验，第一次实验为开环稳态实验的输出数据，第二次实验为输入在原来输入不变的情况下，加入高斯白噪声时的输出数据；通过两次实验采集多组输入输出数据；
步骤2.2：双容水箱离散模型参数的辨识；
选择采集的多组输入输出数据，将其中前百分之八十组数据作为训练集，后百分之二十组数据作为验证集；
基于双容水箱的物理模型，设加上滤波器后的阶数为2阶，建立双容水箱的离散模型如下公式所示：
y(k)＝-a1y(k-1)-a2y(k-2)+b1u1(k-1)+b2u1(k-2)+c1u2(k-1)+c2u2(k-2)
其中，u1(k)为1号水箱的当前时刻的输入，u1(k-1)为1号水箱前一时刻的输入，u2(k)为2号水箱的当前时刻的输入，u2(k-1)代表2号水箱前一时刻的输入，y(k)代表双容水箱当前时刻的输出，a1、a2、b1、b2、c1、c2为模型的参数；
采用具有遗忘因子的最小二乘辨识算法辨识，并采用后移算子z-1：z-dy(k)＝y(k-d)，d为纯延时步数，则双容水箱的离散模型简化为：
1号水箱：
(1-1.012z-1+0.0227z-2)y(k)＝z-1(0.0057+0.0015z-1)u1(k)+z-1(0.0051+0.0042z-1)u2(k)
2号水箱：
(1-1.0131z-1+0.023z-2)y(k)＝z-1(0.019+0.0164z-1)u1(k)+z-1(0.0158-0.0075z-1)u2(k)
由辨识结果得到被控对象双容水箱的模型参数为：
其中，A(z-1)、B(z-1)为多输入多输出被控对象双容水箱的模型参数矩阵；
步骤3：设计改进的多变量广义最小方差解耦控制器，实现对双容水箱液位的控制，具体方法为：
步骤3.1：设计多变量一步超前最优加权解耦控制器；
对于多输入多输出被控对象模型：
A(z-1)y(k)＝z-dB(z-1)u(k)+C(z-1)ξ(k) (1)
其中，A(z-1)、B(z-1)、C(z-1)为多输入多输出被控对象的参数矩阵，u(k)为输入变量，y(k)输出变量，ξ(k)为噪声，A(z-1)为对角多项式矩阵，把多项式矩阵B(z-1)拆分为：
式(2)为对角多项式矩阵，等于B(z-1)主对角线上的元素，代表主通道上输入、输出变量之间的关系；式(3)为主对角线元素为零的多项式矩阵，代表不同通道间的耦合关系；
把式(2)和式(3)带入式(1)得：
令噪声系数矩阵C(z-1)＝I，I为单位矩阵；针对式(4)被控对象的数学模型，设计多变量广义最小方差解耦控制器，使得被控对象的广义输出φ(k+d)＝P(z-1)y(k+d)能够精确地跟踪广义理想输出y*(k+d)＝R(z-1)w(k)-Q(z-1)u(k)-S(z-1)u(k)的变化，并使它们之间的跟踪误差最小，从而引入如下多变量广义最小方差解耦性能指标：
J＝||φ(k+d)-y*(k+d)||2＝||P(z-1)y(k+d)-R(z-1)w(k)+Q(z-1)u(k)+S(z-1)u(k)||2(5)
其中，P(z-1)，Q(z-1)，S(z-1)，R(z-1)均为参数矩阵，P(z-1)，Q(z-1)均为对角多项式矩阵，w(k)为参考输入；
通过引入如下Diophantine方程：
C(z-1)P(z-1)＝A(z-1)F(z-1)+z-dG(z-1) (6)
其中，G(z-1)为参数矩阵，求出对角多项式矩阵F(z-1)，G(z-1)；
将F(z-1)乘以式(4)并利用式(6)，得广义输出φ(k+d)：
φ(k+d)＝φ*(k+d|k)+F(z-1)ξ(k+d) (7)
其中，
为广义输出φ(k+d)的最优预报；
将式(7)代入性能指标式(5)得到使性能指标最小为零的多变量广义最小方差闭环解耦控制律u(k)为：
令
其中，
为控制律参数矩阵；
步骤3.2：求解多变量一步超前最优加权解耦控制器中各多项式形式的参数矩阵，进而得到最终控制律，完成改进的多变量广义最小方差解耦控制器的设计；
步骤3.3：将求解的最终控制律输入到双容水箱的控制系统，实现对双容水箱液位的控制。
2.根据权利要求1 所述的基于多变量广义最小方差解耦控制的水箱液位控制方法，其特征在于：所述步骤3.2的具体方法为：
步骤3.2.1：求解P(z-1)、Q(z-1)多项式矩阵；
由步骤2辨识结果得到被控对象双容水箱的模型参数：
在矩阵多项式Q(z-1)中引入积分器，则Q(z-1)为：
其中，λ1、λ4均为参数系数；
为保证闭环系统的稳定，引入丢番图方程，选择P(z-1)和Q(z-1)满足以下关系：
P(z-1)B(z-1)+Q(z-1)A(z-1)＝T(z-1) (10)
其中，T(z-1)为参数矩阵，为稳定的多项式矩阵；
为保证闭环系统中的参数矩阵T(z-1)的稳定，首先选取T(z-1)对角上的T1(z-1)＝T4(z-1)＝1-1.5478z-1+0.6188z-2，且令
由(10)式得：
由式(11)计算得出：
步骤3.2.2：求解S(z-1)多项式矩阵；
多项式矩阵Q(z-1)，R(z-1)，S(z-1)的选择需要满足以下三个方面：
1)保证闭环系统的稳定性；
2)消除被控对象输出y(k)与w(k)参考输入之间稳态跟踪误差；
3)消除不同回路之间的耦合；
因此，由式(4)、(5)、(6)、(7)进一步整理得：
P(z-1)y(k+d)＝R(z-1)w(k)-Q(z-1)u(k)-S(z-1)u(k)+F(z-1)ξ(k+d) (15)
联立式(14)和式(15)则有：
式(16)中，闭环系统中不应该含有控制输入u(k)，该项代表了系统中的耦合项，为了实现解耦，应该消除，即要求：
在Q(z-1)给定的情况下，S(z-1)如下公式所示：
式(18)中，采用Q(z-1)矩阵中引入积分项，则让S(z-1)的也引入积分项，且又使得P(z-1)B(z-1)+A(z-1)[Q(z-1)+S(z-1)]＝T(z-1)多项式中的detT(z-1)的全部零点都在单位圆内，保证T(z-1)为稳定的多项式矩阵，寻找到S(z-1)使得系统能静态解耦，如下公式所示：
其中，S2＝5(1-z-1)，S3＝5(1-z-1)；
步骤3.2.3：求解多项式矩阵R(z-1)；
式(16)中，由闭环系统的输出方程整理得：
其中，
即u(k)做解耦处理，ξ(k+d)为噪声，忽略，则化简式(20)得：
因矩阵多项式Q(z-1)中引入积分项，当闭环系统达到稳态时由Q(1)＝0，Q(1)A(1)＝0，则要使输出y(k)能稳定地跟踪参考输入w(k)，应有
因为P(z-1)为对角矩阵，则令R(z-1)＝P(z-1)，即：
步骤3.2.4：求解F(Z-1)、G(z-1)多项式矩阵；
设v(k)为有界可测干扰，则：
P(z-1)y(k+d)＝R(z-1)w(k)-Q(z-1)u(k)-S(z-1)u(k)+F(z-1)v(k+d) (24)
联立式(23)、(24)化简得：
为了消除可测干扰项v(k+d)，在多项式矩阵Q(z-1)和Diophantine方程中的多项式矩阵F(z-1)中同时引入积分项；
由式(6)引入的丢番图方程：
C(z-1)P(z-1)＝A(z-1)F(z-1)+z-dG(z-1)
进而求得F(z-1)和G(z-1)，其中F(Z-1)矩阵包含积分项1-z-1，F(z-1)和G(z-1)如下所示：
步骤3.2.5：求解最终控制律；
由步骤3.2.1～3.2.4求解得到的P(z-1)、Q(z-1)多项式矩阵、S(Z-1)多项式矩阵、R(z-1)多项式矩阵、F(Z-1)、G(z-1)多项式矩阵，求解最终控制律如下所示：
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Non-Patent Citations (1)
| Title |
|---|
| 基于参数辨识的自适应解耦控制算法的研究;吴亭等;《计算机测量与控制》;20180630;第26卷(第6期);第215-218页 * |
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| Publication number | Publication date |
|---|---|
| CN110687937A (zh) | 2020-01-14 |
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