CN110631487A - 一种利用激光散斑自相关技术测量横向微位移的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种利用激光散斑自相关技术测量横向微位移的方法，其特征是包括以下步骤：将金属棒固定到热膨胀实验仪上，并在金属棒的上端固定带有刻度的白板；He‑Ne激光器发出的激光经扩束后照射到白板上，形成激光散斑；调整成像透镜与CCD仪器的位置，使用CCD仪器记录下白板在初始位置时以及在不同温度时的的散斑分布；利用计算机将所得到的二次曝光散斑强度分布的功率谱做逆傅里叶变换，并测量该光场中相邻两自相关强度峰值点的间距，即可计算出待测的横向微位移量。本发明涉及测量设备领域，具体地讲，涉及一种利用激光散斑自相关技术测量横向微位移的方法。本发明有利于实现横向微位移测量。

Description

一种利用激光散斑自相关技术测量横向微位移的方法

技术领域

本发明涉及测量设备领域，具体地讲，涉及一种利用激光散斑自相关技术测量横向微位移的方法。

背景技术

在物理实验中，微位移是一种比较常见的待测物理量，例如在拉伸法测杨氏模量、线膨胀系数测量等实验中均是通过测量微位移来实现杨氏模量或者线膨胀系数的间接测量。在这一类实验中，除了传统的千分表法和光杠杆法之外，还可以采用电学、磁学传感器或者光学干涉法进行测量，而传感器与计算机相结合则可以实现智能测量。其中，散斑照相术测微位移是光学干涉计量的一个分支。在以往的利用散斑照相术测量微位移过程中，往往是针对二次曝光散斑图像的功率谱的干涉条纹周期进行测量，但这一测量会受到条纹对比度低、噪声大的影响。此为现有技术的不足之处。

如果将二次曝光散斑强度的功率谱再做一次傅里叶变换，即可得到三个散斑强度的自相关强度分布，其峰值点的间距与物体的横向微位移量有关。仅需测量最终光场中相邻两个自相关强度峰值点的间距，即可计算出物体的横向位移量。该方法中二次曝光散斑强度分布的功率谱的逆傅里叶变换光场及其相邻两个自相关强度峰值点间距的测量均利用计算机进行数字化处理，实现了微位移的智能化、自动化测量。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种利用激光散斑自相关技术测量横向微位移的方法，有利于实现横向微位移测量。

本发明采用如下技术方案实现发明目的：

一种利用激光散斑自相关技术测量横向微位移的方法，其特征是包括以下步骤：

步骤一：将金属棒固定到热膨胀实验仪上；

步骤二：在所述金属棒的上端固定带有刻度的白板；

步骤三：打开所述热膨胀实验仪上的He-Ne激光器，所述He-Ne激光器发出的激光经扩束后照射到所述白板上，使得所述白板表面的照射区域形成激光散斑；

步骤四：调整成像透镜与CCD仪器的位置，使得所述白板表面照射区域所形成的散斑清晰的成像在所述CCD仪器上，使用所述CCD仪器记录下白板在初始位置时的散斑强度分布S₀(x′,y′)；

步骤五：利用所述白板上的刻度与所述CCD仪器记录的刻度的像测量所搭建成像系统的横向放大倍率M；

步骤六：设置好加热的温度上限，开启所述热膨胀实验仪上加热键，在所述金属棒加热过程中，每隔一定温度ΔT使用所述CCD仪器在相同的曝光条件下记录一次温度T_m下发生横向位移后的散斑强度分布S_m(x′,y′)；

步骤七：利用计算机将各温度T_m下所记录的散斑强度分布S_m(x′,y′)分别与初始温度时记录的散斑强度分布S₀(x′,y′)叠加得到相应温度T_m下的二次曝光强度分布S'_m(x′,y′)，再通过测量二次曝光强度分布S'_m(x′,y′)的功率谱的逆傅里叶变换光场中相邻两个自相关强度峰值点的间距，即可计算出各温度T_m相对初始温度时所述金属棒的伸长量ΔL_m；

步骤八：将计算所得金属棒的伸长量ΔL_m及相应温度T_m进行线性拟合，得拟合斜率k；

步骤九：将拟合的斜率带入金属棒线膨胀系数的定义式：

计算出所测金属棒的线膨胀系数α。

作为对本技术方案的进一步限定，所述步骤五中成像系统的横向放大倍率计算过程为：

步骤五一：所述He-Ne激光器发出的激光经扩束后照射到所述白板表面xoy，所述成像透镜将所述白板表面的刻度及所形成的散斑成像到所述成像透镜像平面x′o′y′上，处于像平面x′o′y′上的所述CCD仪器将采集的散斑强度分布S₀(x′,y′)保存为计算机图片；

步骤五二：利用计算机读取散斑强度分布图片，并测量其刻度像相邻两个刻度线的平均像素数n，根据所述CCD仪器的像素尺寸δ₀计算刻度像的长度Δ'＝nδ₀，则成像系统的横向放大倍率M为：

M＝Δ'/Δ

其中，Δ为所述白板上的最小刻度格的实际长度，

Δ'为所述白板上的最小刻度格经成像系统在所述CCD仪器上所成像的长度。

作为对本技术方案的进一步限定，所述步骤七还包括以下步骤：

步骤七一：利用所述CCD仪器将初始温度下的散斑强度分布S₀(x′,y′)以及各温度T_m下的散斑强度分布S_m(x′,y′)均保存为计算机图片，由于散斑光场S_m(x′,y′)相比较于散斑光场S₀(x′,y′)的强度分布是相同的，仅是产生了M·Δx_m的横向位移，因此二者的强度分布有如下关系：

S_m(x′,y′)＝S₀(x′-M·Δx_m,y′) (式2)

其中，M为成像系统的横向放大倍率，

Δx_m为所述白板伴随金属棒的伸长而发生x轴方向的横向微位移；

步骤七二：通过计算机将各温度T_m下的散斑分布图S_m(x′,y′)与初始温度值对应的散斑分布图S₀(x′,y′)做等权重叠加，即可得到二次曝光的散斑强度S'_m(x′,y′)分布为：

S'_m(x′,y′)＝S₀(x′,y′)*[δ(x′,y′)+δ(x′-M·Δx_m,y′)] (式3)

其中：*为卷积运算符号；

步骤七三：利用(式3)对二次曝光散斑强度分布S'_m(x′,y′)做一次傅里叶变换，其频谱复振幅分布为：

G'_m(ξ,η)＝F{S₀(x′,y′)}*[1+exp(-j2πMΔx_mξ)] (式4)

其中，F{}为傅里叶变换算符，

则该光场的强度分布，即功率谱的分布为：

I'_Gm(ξ,η)＝|F{S₀(x′,y′)|}²·2[1+cos(2πMΔx_mξ)] (式5)

该功率谱在频谱面上以空间坐标(x_f,y_f)为自变量的分布为：

由(式5)或(式6)可以看出，该功率谱光场包含两项：第一项是未发生横向位移的散斑光强的功率谱分布(|F{S₀(x',y')}|²)，其在频谱面光场的中央有一个极强的零级，除此之外是强度较弱的散斑噪声分布；第二项是空间周期为

的余弦条纹；

该功率谱可以看做是散斑光场中每一点在发生横向位移前、后两个状态的远场干涉结果的非相干叠加，因此功率谱可以看作是由杨氏双缝干涉调制的散斑光场；

正是由于功率谱光场的条纹受到了未发生横向位移的散斑强度的功率谱的调制，从而导致该条纹对比度低、噪声大，这会给条纹周期的测量引入较大的误差；

步骤七四：将(式5)对应的功率谱再次进行逆傅里叶变换，则有：

其中：F^-1{}为逆傅里叶变换算符，

为相关运算符号，

*为卷积运算符号，

则功率谱的逆傅里叶变换的光场强度分布为：

步骤七五：由(式8)可以看出，在功率谱的逆傅里叶变换光场强度分布中，分别以(x′＝0,y′＝0)、(x′＝M·Δx_m,y′＝0)、(x′＝-M·Δx_m,y′＝0)三个点为中心分布着S₀(x′,y′)的自相关强度光场；由于自相关光场在其分布的中心有着极大的自相关峰，因此在功率谱的逆傅里叶变换光场强度分布中能够测量相邻两个自相关强度峰值点在x轴方向上的间距Δ_xm，并根据关系式Δ_xm＝M·Δx_m便可计算出物体在该方向上所发生的面内横向位移量Δx_m；

步骤七六：同理，在计算出物体沿y轴方向发生的面内横向位移量Δy_m后，即可利用勾股定理计算出物体在面内任意方向发生的横向位移量ΔL_m，即各温度T_m相对初始温度时所述金属棒的伸长量ΔL_m。

与现有技术相比，本发明的优点和积极效果是：

(1)本发明借助二次曝光散斑强度分布的功率谱的逆傅里叶变换光场中相邻两自相关强度峰值点的间距来测量金属棒的微小伸长量(即横向微位移量)，可以有效避免以往实验方法中条纹对比度低、噪声大所带来的影响；

(2)利用激光散斑法测量横向微位移量，具有光路结构简单，实验操作简便，实现非接触式测量的优点；

(3)本方法中借助二维CCD以及计算机数字图像处理技术可以很便捷的实现对横向微位移的自动测量；

(4)本方法具有很好的可行性和较高的精确度。

附图说明

图1是本发明的实验装置立体结构示意图。

图2是本发明的散斑照相术的实验光路图。

图3是本发明的实验装置示意图图。

图4是本发明的室温下原始的散斑强度分布图。

图5是本发明的金属棒加热到35℃的散斑强度分布图。

图6是本发明的等权重叠加后的二次曝光散斑强度分布图。

图7是本发明的二次曝光散斑强度的功率谱分布图。

图8是本发明的功率谱的逆傅里叶变换光场强度分布图。

图9是本发明的金属棒的伸长量ΔL及相应温度T的线性拟合。

图中：1、热膨胀实验仪，2、成像透镜，3、二维CCD仪器，4、金属棒，5、白板。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明的一个具体实施方式进行详细描述，但应当理解本发明的保护范围并不受具体实施方式的限制。

如图1-图9所示，本发明提供了一种利用激光散斑自相关技术测量横向微位移的方法，包括以下步骤：

步骤一：将金属棒4固定到热膨胀实验仪1上；

步骤二：在所述金属棒4的上端固定带有刻度的白板5；

步骤三：打开所述热膨胀实验仪1上的He-Ne激光器，所述He-Ne激光器发出的激光经扩束后照射到所述白板5上，使得所述白板5表面的照射区域形成激光散斑；

步骤四：调整成像透镜2与CCD仪器3的位置，使得所述白板5表面照射区域所形成的散斑清晰的成像在所述CCD仪器3上，使用所述CCD仪器3记录下白板在初始位置时的散斑强度分布S₀(x′,y′)；

步骤五：利用所述白板5上的刻度与所述CCD仪器3记录的刻度的像测量所搭建成像系统的横向放大倍率M；

步骤六：设置好加热的温度上限，开启所述热膨胀实验仪1上加热键，在所述金属棒4加热过程中，每隔一定温度ΔT使用所述CCD仪器3在相同的曝光条件下记录一次温度T_m下发生横向位移后的散斑强度分布S_m(x′,y′)；

步骤七：利用计算机将各温度T_m下所记录的散斑强度分布S_m(x′,y′)分别与初始温度时记录的散斑强度分布S₀(x′,y′)叠加得到相应温度T_m下的二次曝光强度分布S'_m(x′,y′)，再通过测量二次曝光强度分布S'_m(x′,y′)的功率谱的逆傅里叶变换光场中相邻两个自相关强度峰值点的间距，即可计算出各温度T_m相对初始温度时所述金属棒4的伸长量ΔL_m；

步骤八：将计算所得金属棒的伸长量ΔL_m及相应温度T_m进行线性拟合，得拟合斜率k；

步骤九：将拟合的斜率带入金属棒线膨胀系数的定义式：

计算出所测金属棒的线膨胀系数α。

所述步骤五中成像系统的横向放大倍率计算过程为：

步骤五一：所述He-Ne激光器发出的激光经扩束后照射到所述白板5表面xoy，所述成像透镜2将所述白板5表面的刻度及所形成的散斑成像到所述成像透镜2像平面x′o′y′上，处于像平面x′o′y′上的所述CCD仪器3将采集的散斑强度分布S₀(x′,y′)保存为计算机图片；

步骤五二：利用计算机读取散斑强度分布图片，并测量其刻度像相邻两个刻度线的平均像素数n，根据所述CCD仪器3的像素尺寸δ₀计算刻度像的长度Δ'＝nδ₀，则成像系统的横向放大倍率M为：

M＝Δ'/Δ

其中，Δ为所述白板5上的最小刻度格的实际长度，

Δ'为所述白板5上的最小刻度格经成像系统在所述CCD仪器3上所成像的长度。

所述步骤七还包括以下步骤：

步骤七一：利用所述CCD仪器3将初始温度下的散斑强度分布S₀(x′,y′)以及各温度T_m下的散斑强度分布S_m(x′,y′)均保存为计算机图片，由于散斑光场S_m(x′,y′)相比较于散斑光场S₀(x′,y′)的强度分布是相同的，仅是产生了M·Δx_m的横向位移，因此二者的强度分布有如下关系：

S_m(x′,y′)＝S₀(x′-M·Δx_m,y′) (式2)

其中，M为成像系统的横向放大倍率，

Δx_m为所述白板5伴随金属棒的伸长而发生x轴方向的横向微位移；

步骤七二：通过计算机将各温度T_m下的散斑分布图S_m(x′,y′)与初始温度值对应的散斑分布图S₀(x′,y′)做等权重叠加，即可得到二次曝光的散斑强度S'_m(x′,y′)分布为：

S'_m(x′,y′)＝S₀(x′,y′)*[δ(x′,y′)+δ(x′-M·Δx_m,y′)] (式3)

其中：*为卷积运算符号；

步骤七三：利用(式3)对二次曝光散斑强度分布S'_m(x′,y′)做一次傅里叶变换，其频谱复振幅分布为：

G'_m(ξ,η)＝F{S₀(x′,y′)}*[1+exp(-j2πMΔx_mξ)] (式4)

其中，F{}为傅里叶变换算符，

则该光场的强度分布，即功率谱的分布为：

I'_Gm(ξ,η)＝|F{S₀(x′,y′)}|²·2[1+cos(2πMΔx_mξ)] (式5)

该功率谱在频谱面上以空间坐标(x_f,y_f)为自变量的分布为：

由(式5)或(式6)可以看出，该功率谱光场包含两项：第一项是未发生横向位移的散斑光强的功率谱分布(|F{S₀(x',y')}|²)，其在频谱面光场的中央有一个极强的零级，除此之外是强度较弱的散斑噪声分布；第二项是空间周期为

的余弦条纹；

该功率谱可以看做是散斑光场中每一点在发生横向位移前、后两个状态的远场干涉结果的非相干叠加，因此功率谱可以看作是由杨氏双缝干涉调制的散斑光场；

正是由于功率谱光场的条纹受到了未发生横向位移的散斑强度的功率谱的调制，从而导致该条纹对比度低、噪声大，这会给条纹周期的测量引入较大的误差；

步骤七四：将(式5)对应的功率谱再次进行逆傅里叶变换，则有：

其中：F^-1{}为逆傅里叶变换算符，

为相关运算符号，

*为卷积运算符号，

则功率谱的逆傅里叶变换的光场强度分布为：

步骤七五：由(式8)可以看出，在功率谱的逆傅里叶变换光场强度分布中，分别以(x′＝0,y′＝0)、(x′＝M·Δx_m,y′＝0)、(x′＝-M·Δx_m,y′＝0)三个点为中心分布着S₀(x′,y′)的自相关强度光场；由于自相关光场在其分布的中心有着极大的自相关峰，因此在功率谱的逆傅里叶变换光场强度分布中能够测量相邻两个自相关强度峰值点在x轴方向上的间距Δ_xm，并根据关系式Δ_xm＝M·Δx_m便可计算出物体在该方向上所发生的面内横向位移量Δx_m；

步骤七六：同理，在计算出物体沿y轴方向发生的面内横向位移量Δy_m后，即可利用勾股定理计算出物体在面内任意方向发生的横向位移量ΔL_m，即各温度T_m相对初始温度时所述金属棒4的伸长量ΔL_m。

所述热膨胀实验仪1为在DH0505热膨胀实验仪基础上，去掉原光路各光学元件。

本发明的工作流程为：

实验中采用He-Ne激光器，其波长λ＝632.8nm，成像透镜2的镜头焦距f＝300mm，经测量所用成像系统的横向放大倍率M＝0.9728，待测金属棒4在室温29℃下长度L_o＝150.10mm，使用像素尺寸为2.4μm×2.4μm的CCD仪器3记录散斑光场。

将金属棒4固定到热膨胀实验仪1上，在金属棒4的上端固定带有刻度的白板5，打开热膨胀实验仪1的He-Ne激光器，He-Ne激光器发出的激光经扩束后照射到所述白板5上，使得白板5表面的照射区域形成激光散斑，调整成像透镜2与CCD仪器3的位置，使得白板5表面照射区域所形成的散斑清晰的成像在CCD仪器3上，使用CCD仪器3记录下白板在初始位置时的散斑强度分布。

实验中温度变化范围为29℃～60℃，设置好加热的温度上限，开启热膨胀实验仪1上加热键，在金属棒4加热过程中，每隔3℃使用CCD仪器3记录一次散斑分布，即记录下不同温度所对应的散斑强度分布，共记录11幅散斑分布图。

利用计算机对所采集图像进行处理，并测量最终光场中相邻两自相关强度峰值点的间距Δ以及计算该温度下散斑的横向微位移量(即金属棒在该温度下的伸长量)ΔL，实验数据如表1所示：

表1实验数据

将计算所得金属棒的伸长量ΔL_m及相应温度T_m进行线性拟合(拟合曲线如图9所示)，所得拟合斜率k＝0.00367±0.00005mm/℃(P＝95.5％)，拟合相关度γ＝0.9998。将拟合的斜率带入(式1)即可计算出所测金属棒的线膨胀系数α＝(2.45±0.04)×10^-5/℃(P＝95.5％)。

以上公开的仅为本发明的一个具体实施例，但是，本发明并非局限于此，任何本领域的技术人员能思之的变化都应落入本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种利用激光散斑自相关技术测量横向微位移的方法，其特征是包括以下步骤：

步骤一：将金属棒(4)固定到热膨胀实验仪(1)上；

步骤二：在所述金属棒(4)的上端固定带有刻度的白板(5)；

步骤三：打开所述热膨胀实验仪(1)上的He-Ne激光器，所述He-Ne激光器发出的激光经扩束后照射到所述白板(5)上，使得所述白板(5)表面的照射区域形成激光散斑；

步骤四：调整成像透镜(2)与CCD仪器(3)的位置，使得所述白板(5)表面照射区域所形成的散斑清晰的成像在所述CCD仪器(3)上，使用所述CCD仪器(3)记录下白板在初始位置时的散斑强度分布S₀(x′,y′)；

步骤五：利用所述白板(5)上的刻度与所述CCD仪器(3)记录的刻度的像测量所搭建成像系统的横向放大倍率M；

步骤六：设置好加热的温度上限，开启所述热膨胀实验仪(1)上加热键，在所述金属棒(4)加热过程中，每隔一定温度ΔT使用所述CCD仪器(3)在相同的曝光条件下记录一次温度T_m下发生横向位移后的散斑强度分布S_m(x′,y′)；

步骤七：利用计算机将各温度T_m下所记录的散斑强度分布S_m(x′,y′)分别与初始温度时记录的散斑强度分布S₀(x′,y′)叠加得到相应温度T_m下的二次曝光强度分布S'_m(x′,y′)，再通过测量二次曝光强度分布S'_m(x′,y′)的功率谱的逆傅里叶变换光场中相邻两个自相关强度峰值点的间距，即可计算出各温度T_m相对初始温度时所述金属棒(4)的伸长量ΔL_m；

步骤八：将计算所得金属棒的伸长量ΔL_m及相应温度T_m进行线性拟合，得拟合斜率k；

步骤九：将拟合的斜率带入金属棒线膨胀系数的定义式：

计算出所测金属棒的线膨胀系数α。

2.根据权利要求1所述的利用激光散斑自相关技术测量横向微位移的方法，其特征是：所述步骤五中成像系统的横向放大倍率计算过程为：

步骤五一：所述He-Ne激光器发出的激光经扩束后照射到所述白板(5)表面xoy，所述成像透镜(2)将所述白板(5)表面的刻度及所形成的散斑成像到所述成像透镜(2)像平面x′o′y′上，处于像平面x′o′y′上的所述CCD仪器(3)将采集的散斑强度分布S₀(x′,y′)保存为计算机图片；

步骤五二：利用计算机读取散斑强度分布图片，并测量其刻度像相邻两个刻度线的平均像素数n，根据所述CCD仪器(3)的像素尺寸δ₀计算刻度像的长度Δ'＝nδ₀，则成像系统的横向放大倍率M为：

M＝Δ'/Δ

其中，Δ为所述白板(5)上的最小刻度格的实际长度，

Δ'为所述白板(5)上的最小刻度格经成像系统在所述CCD仪器(3)上所成像的长度。

3.根据权利要求1所述的利用激光散斑自相关技术测量横向微位移的方法，其特征是：所述步骤七还包括以下步骤：

步骤七一：利用所述CCD仪器(3)将初始温度下的散斑强度分布S₀(x′,y′)以及各温度T_m下的散斑强度分布S_m(x′,y′)均保存为计算机图片，由于散斑光场S_m(x′,y′)相比较于散斑光场S₀(x′,y′)的强度分布是相同的，仅是产生了M·Δx_m的横向位移，因此二者的强度分布有如下关系：

S_m(x′,y′)＝S₀(x′-M·Δx_m,y′) (式2)

其中，M为成像系统的横向放大倍率，

Δx_m为所述白板(5)伴随金属棒的伸长而发生x轴方向的横向微位移；

步骤七二：通过计算机将各温度T_m下的散斑分布图S_m(x′,y′)与初始温度值对应的散斑分布图S₀(x′,y′)做等权重叠加，即可得到二次曝光的散斑强度S'_m(x′,y′)分布为：

S'_m(x′,y′)＝S₀(x′,y′)*[δ(x′,y′)+δ(x′-M·Δx_m,y′)] (式3)

其中：*为卷积运算符号；

步骤七三：利用(式3)对二次曝光散斑强度分布S'_m(x′,y′)做一次傅里叶变换，其频谱复振幅分布为：

G'_m(ξ,η)＝F{S₀(x′,y′)}*[1+exp(-j2πMΔx_mξ)] (式4)

其中，F{}为傅里叶变换算符，

则该光场的强度分布，即功率谱的分布为：

I'_Gm(ξ,η)＝|F{S₀(x′,y′)}|²·2[1+cos(2πMΔx_mξ)] (式5)

该功率谱在频谱面上以空间坐标(x_f,y_f)为自变量的分布为：

由(式5)或(式6)可以看出，该功率谱光场包含两项：第一项是未发生横向位移的散斑光强的功率谱分布(|F{S₀(x',y')}|²)，其在频谱面光场的中央有一个极强的零级，除此之外是强度较弱的散斑噪声分布；第二项是空间周期为

的余弦条纹；

该功率谱可以看做是散斑光场中每一点在发生横向位移前、后两个状态的远场干涉结果的非相干叠加，因此功率谱可以看作是由杨氏双缝干涉调制的散斑光场；

正是由于功率谱光场的条纹受到了未发生横向位移的散斑强度的功率谱的调制，从而导致该条纹对比度低、噪声大，这会给条纹周期的测量引入较大的误差；

步骤七四：将(式5)对应的功率谱再次进行逆傅里叶变换，则有：

其中：F^-1{}为逆傅里叶变换算符，

为相关运算符号，

*为卷积运算符号，

则功率谱的逆傅里叶变换的光场强度分布为：

步骤七五：由(式8)可以看出，在功率谱的逆傅里叶变换光场强度分布中，分别以(x′＝0,y′＝0)、(x′＝M·Δx_m,y′＝0)、(x′＝-M·Δx_m,y′＝0)三个点为中心分布着S₀(x′,y′)的自相关强度光场；由于自相关光场在其分布的中心有着极大的自相关峰，因此在功率谱的逆傅里叶变换光场强度分布中能够测量相邻两个自相关强度峰值点在x轴方向上的间距Δ_xm，并根据关系式Δ_xm＝M·Δx_m便可计算出物体在该方向上所发生的面内横向位移量Δx_m；

步骤七六：同理，在计算出物体沿y轴方向发生的面内横向位移量Δy_m后，即可利用勾股定理计算出物体在面内任意方向发生的横向位移量ΔL_m，即各温度T_m相对初始温度时所述金属棒(4)的伸长量ΔL_m。

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