CN110619151A - 一种基于分片响应面法的随机振动响应分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于分片响应面法的随机振动响应分析方法，包括：绘制具有大变异系数的随机变量x_i对应的概率密度函数曲线，将其划分Q个子区间；对每个子区间的试验点进行修改；得到上述Q个响应面，结合MC抽样，根据随机变量x_i的实际中心点及星点位，选取对应子区间响应面的相应位置，近似插值得到最终的计算响应结果。本发明基于对随机变量变异系数进行合理分块的原则，缩小响应面的近似范围，并对分割后的响应面进行独立分析，从而提高了响应面在该空间的近似精度。

Description

一种基于分片响应面法的随机振动响应分析方法

技术领域

本发明涉及随机振动响应分析方法领域，特别是一种基于分片响应面法的随机振动响应分析方法。

背景技术

对于经典随机振动分析理论来说，往往采用结构响应的方差值作为响应结果统计量的目标值进行求解。然而，当不确定性参数参与随机振动计算中时，经典的随机振动理论将不再适用于求解工作，仅仅得到结构响应的方差结果也不再能够满足计算要求。针对大型复杂结构的随机振动问题，蒙特卡洛方法存在着计算耗能过大的缺点，无法适用于求解工作。为了有效模拟实际结构的响应，降低其计算成本，经常采用响应面法的近似模型替代复杂结构的计算模型，且在一定的范围内能够保证有效的计算精度，因此得到了广泛的应用。

响应面法是一种常用的近似技术，它通过对函数的一系列已知点进行拟合从而推测函数的变化趋势，Faravelli以最小二乘法来估算响应面的系数建立了以实验设计为基础的响应面法；Das等对响应面含交叉二次项的二次多项式展开讨论，通过保留对可靠度计算影响交大的交叉项改进的响应面法，与不含交叉项的二次多项式进行相比，其计算精度有所提高；Sayan等提出改进的响应面函数，当某些变量贡献比较小时用一常数代替变量值，进行模型转换。Kiureghian提出了基于概率配点法的随机响应面方法，并首次运用于环境和生物系统的不确定性分析。在国外，响应面法已在结构可靠度分析领域得到了广泛的应用。

近年来，响应面的改进方法取得了长足的进步，均能够有效地提高其计算的精度和效率。但是，随机变量存在大变异系数情况下，传统响应面方法无法提供足够的精度对结构响应进行近似模拟。当结构参数存在大变异系数(超过0.5)时，传统响应面方法对结构响应进行近似模拟已无法满足工程结构的精度要求，需要对传统响应面进行改进。现有研究无法有效的解决结构参数存在大变异系数情况下的响应面近似精度问题。然而，在工程实际当中，结构参数的不确定性可能导致结构响应值发生巨大的不可预测的偏移，从而严重影响结果的的精度和准确性。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种基于分片响应面法的随机振动响应分析方法，分片响应面基于对随机变量变异系数进行合理分块的原则，缩小响应面的近似范围，并对分割后的响应面进行独立分析，从而提高了响应面在该空间的近似精度。

为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是：

一种基于分片响应面法的随机振动响应分析方法，包括以下步骤：

步骤1：用x_i表示具有大变异系数的随机变量；

步骤2：选择n个随机变量{x₁，x₂，......，x_n}的平均值作为第一组试验点，然后将每个随机变量沿坐标轴的左右依次偏移ασ_j(σ_j是参数x_j的标准差，α是偏移系数)，得到2n组试验点；一共得到2n+1组试验点，用于构造所建立的响应面模型；

步骤3：绘制具有大变异系数的随机变量x_i对应的概率密度函数曲线，将其划分Q个子区间，每个子区间为Q的选取原则需要根据结构响应对随机变量的敏感度和随机变量的分布类型来决定，当分片响应面的计算结果收敛，即分片情况良好，可满足计算要求；

步骤4：基于每个子区间的划分情况，确定相应的试验点位，进而建立子区间的响应面模型；以第j个子区间为例，该子区间的中心点写成(和分别是随机变量x_i细分后子区间的左右边界点)，而子区间的边界点为和将子区间的中心点和边界点代入式求出子区间的响应面模型及相应的待定系数；其中，n为随机变量的数目，而a，b_i与c_i为2n+1个待定参数；

步骤5：得到上述Q个响应面，结合MC抽样(蒙特卡洛模拟Monte Carlo)，根据随机变量x_i的实际中心点及星点位，选取对应子区间响应面的相应位置，近似插值得到相对应的响应面模型；

步骤6：判断分片响应面结果与直接响应面模型的误差值，小于规定阈值，则认为结果收敛，退出计算；如大于阈值，则判断为不收敛，需要返回步骤3，对每个子区间均进行细分，如选取第j的子区间细分为Q份，进而计算子区间细分前和细分后两者结果的误差值，如前后两次计算的响应面模型已经收敛，则退出计算；反之，返回第步骤3，对未收敛子区间继续计算，直到收敛为止；阈值根据实际需要选取，原则上不超过5％。

步骤7：当所有的计算停止，所有的收敛后的响应面模型相加，求得最终结果。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：对变异系数较大的随机变量进行区间划分，并根据该参数取值大小在计算所得的子区间响应面上进行近似插值，该方法不但具有响应面法的连续性，而且能够在较大范围内对结构响应进行近似模拟，并且计算简单准确。阻尼比变异系数对桥墩结构在地震随机激励下的结构响应影响较大，采用分片响应面可以很好地解决大阻尼比变异系数对结构随机振动的影响。

附图说明

图1是直接响应面、分片响应面和直接MC的结果比较示意图(阻尼比变异系数0.2)。

图2是直接响应面、分片响应面和直接MC的结果比较示意图(阻尼比变异系数0.4)。

图3是直接响应面、分片响应面和直接MC的结果比较示意图(阻尼比变异系数0.6)。

图4是直接响应面、分片响应面和直接MC的结果比较示意图(阻尼比变异系数0.8)。

图5是桥墩构造图(横桥向)。

图6是桥墩构造图(纵桥向)。

图7是分片响应面和直接响应面拟合的比较示意图(阻尼比变异系数0.2)。

图8是分片响应面和直接响应面拟合的比较示意图(阻尼比变异系数0.4)。

图9是分片响应面和直接响应面拟合的比较示意图(阻尼比变异系数0.6)。

图10是分片响应面和直接响应面拟合的比较示意图(阻尼比变异系数0.8)。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

当随机变量存在大变异系数时，传统响应面方法无法提供足够的精度对结构响应进行近似模拟。因此，需要将响应面划分若干区间，在每个区间中分别按照传统响应面方法拟合子区间响应面，最后整合成完全响应面。分片响应面方法具体步骤如下：

一、用x_i表示具有大变异系数的随机变量；

二、选择n个随机变量{x₁，x₂，......，x_n}的平均值作为第一组试验点，然后将每个随机变量沿坐标轴的左右依次偏移ασ_j(σ_j是参数x_j的标准差，α是偏移系数)，得到2n组试验点；因此，一共得到2n+1组试验点，用于构造所建立的响应面模型；

三、绘制具有大变异系数的随机变量x_i对应的概率密度函数曲线，将其划分Q个子区间，每个子区间为Q的选取原则需要根据结构响应对随机变量的敏感度和随机变量的分布类型来决定，当分片响应面的计算结果收敛，即分片情况良好，可满足计算要求，例如，Q＝5。

四、基于每个子区间的划分情况，确定相应的试验点位，进而建立子区间的响应面模型；以第j个子区间为例，该子区间的中心点写成(和分别是随机变量x_i细分后子区间的左右边界点)，而子区间的边界点为和将子区间的中心点和边界点代入式求出子区间的响应面模型及相应的待定系数。

五、得到上述Q个响应面，结合MC抽样，根据随机变量x_i的实际中心点及星点位，选取对应子区间响应面的相应位置，近似插值得到最终的响应面模型。

六、判断分片响应面结果与直接响应面模型的误差值，小于规定阈值，则认为结果收敛，退出计算；如大于阈值，则判断为不收敛，需要返回步骤3，对每个子区间均进行细分，如选取第j(j＝1～Q)的子区间细分为Q份，进而计算子区间细分前和细分后两者结果的误差值，如前后两次计算的响应面模型已经收敛，则退出计算；反之，返回第步骤3，对未收敛子区间继续计算，直到收敛为止。

七、当所有的计算停止，所有的收敛后的响应面模型相加，求得最终结果。

在保证实际工程精度的提前下，考虑到正常使用状态下的结构响应与输入参数之间基本呈线性关系或者说呈弱非线性关系，在工程应用中响应面通常选择不含交叉项的二次多项式形式，本发明选用不带交叉项的二次多项式来验证本发明提出的分片响应面，形式如下：

其中，g(x)为响应模型表达式，n为随机变量的数目，而a，b_i与c_i为2n+1个待定参数。构造响应面时，需要明确所选择的试验点位(中心点和星点)。响应面的中心点采用随机变量的均值μ，星点则是以对应均值为中间值进行ασ_j的偏移(本发明中可以取2，即每个变量的μ+2σ和μ-2σ组合而成)，共可得到2n个星点。

为了确定2n+1个系数，需要做2n+1次独立试验，各个随机变量均值作为1组试验点，然后将每个随机变量的星点值与其余变量的中心点值进行组合，共2n+1个试验点。将每组试验点进行一次有限元计算，最后将结果代入式(1)则可以求出所有的待定系数。

下面通过具体实例对本发明技术效果进行详细的说明。

实例1：单质点振子随机振动响应分析

采用平稳白噪声激励下的单自由度振子随机振动响应进行验证，其一线性振子运动方程可表示为：

式中：m、ξ和ω₀分别表示结构质量、阻尼比和圆频率。Haviland等人研究表明，阻尼比服从对数正态分布LN，变异系数取值0.42～0.87，本发明取值0.2～0.8研究。令m＝1.0，将白噪声的强度S₀取为0.001，圆频率ω₀也服从对数分布LN，变异系数取值0.05。

表1响应面根据阻尼比大小的分片区间(*0.02)

分析结构的随机振动时，考虑功率谱密度函数的对称性，按单边谱计算。由于圆频率随机性对结构响应方差影响相对于阻尼比随机性来说较小，本发明选取圆频率均值1.0，圆频率变异系数0.05，阻尼比均值0.03，阻尼比变异系数0.2～0.8进行响应面拟合。根据阻尼比变异系数，绘制得到了相应的概率密度曲线，并对其进行分片处理，见表1。基于所划分的概率密度函数子区间，带入公式(2)进行求解后并整合得到最终结果。不同阻尼比变异系数下的直接响应面和分片响应面计算的结构响应的标准差与直接MC计算结果比较见表2，概率密度曲线拟合见图1。

表2不同阻尼比的变异系数下结构响应的标准差比较

从表2分析得出，当阻尼比变异系数小于0.4的时候，直接响应面求解的标准差与直接MC相差满足工程精度要求，但当阻尼比逐渐增大，直接响应面的方差远远大于直接MC，不满足工程精度要求；而分片响应面不但在阻尼比变异系数较小时满足要求，而且当阻尼比变异系数逐渐增大时，同样满足工程要求。

从图1～图4看出，当阻尼比变异系数较小时，直接响应面计算的概率密度曲线结果与直接MC可以较好的吻合，当阻尼比变异系数取0.4时已经出现吻合偏差，随着阻尼比变异系数逐渐增大，直接利用响应面拟合结构的响应误差也越来越大。当阻尼比变异系数取0.6-0.8已经明显不满足工程精度。本发明提出对阻尼比大的变异系数取值进行区间划分重新拟合响应面的方法可以较好地解决该问题。经过对阻尼比进行区间划分(本发明划分成5个区间)之后，再进行响应面拟合，可以较好地与直接MC抽样较好的吻合。

实例2：桥墩结构在地震作用下随机振动响应分析

计算所用的桥墩是某铁路特大桥梁的混凝土桥墩，该桥墩高度为60m，桥墩采用变截面，顶端5m采用实心截面；底端5m采用实心截面，截面面积9×6.5m²；中间采用空心截面，壁厚从0.5m变化到1.2m。该桥墩采用C30混凝土材料，场地类型按II类场地计算，地震强度S₀＝0.01m²/s，具体结构参数见表3。

表3桥墩结构参数取值

该桥墩的阻尼比变异系数取0.2～0.8进行研究，其他参数选取见表4。地震的加速度功率谱采用日本学者Kanai和Tajimi建议的过滤白噪声模型，即

式中，ξ_g表征某种场地特征阻尼比，ω_g表示场地卓越频率，S₀是高斯白噪声的谱强度；

分片响应面的区间划分规律依然采用表2划分的结果，将阻尼比划分子区间与其余随机变量相结合，带入桥墩模型中进行随机地震动分析，结构响应的标准差见表4，结构响应的概率密度曲线比较见图7～图10。

从上表4分析得知，在地震随机振动的激励下，随着结构阻尼比变异系数的增大，结构响应方差也明显成增大趋势。而阻尼比的大变异性导致了响应面的极度不光滑，以致采用直接响应面拟合响应方差呈现明显偏差；采用分片响应面时，根据阻尼比变异系数划分响应面，尽可能精确模拟结构响应标准差，从结果看，结构响应的标准差也是平滑增大。

表4不同阻尼比的变异系数下结构响应的标准差比较

从图7～图10分析看，在地震随机振动的激励下，当阻尼比变异系数较小时，直接响应面与分片响应面拟合吻合较好，随着阻尼比的变异系数增大，两种方法吻合偏差逐渐增大，尤其当阻尼比变异系数达到0.8的时候，吻合偏差无法满足工程精度要求，因此分片响应面在具体工程具有实际工程意义。

Claims (2)

1.一种基于分片响应面法的随机振动响应分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：用x_i表示具有大变异系数的随机变量；

步骤2：选择n个随机变量{x₁，x₂，......，x_n}的平均值作为第一组试验点，然后将每个随机变量沿坐标轴的左右依次偏移ασ_j得到2n组试验点，共得到2n+1组试验点，用于构造所建立的响应面模型，其中，σ_j是参数x_j的标准差，α是偏移系数；

步骤3：绘制具有大变异系数的随机变量x_i对应的概率密度函数曲线，将其划分Q个子区间，每个子区间为

步骤4：基于每个子区间的划分情况，确定相应的试验点位，将子区间的中心点和边界点代入式求出子区间的响应面模型及相应的待定系数；其中，n为随机变量的数目，而a，b_i与c_i为2n+1个待定参数；

步骤5：得到上述Q个响应面，结合蒙特卡洛模拟抽样，根据随机变量x_i的实际中心点及星点位，选取对应子区间响应面的相应位置，近似插值得到相对应的响应面模型；

步骤6：判断分片响应面结果与直接响应面模型的误差值，小于规定阈值，则认为结果收敛，退出计算；如大于阈值，则判断为不收敛，需要返回步骤3，对每个子区间均进行细分，进而计算子区间细分前和细分后两者结果的误差值，如前后两次计算的响应面模型已经收敛，则退出计算；反之，返回第步骤3，对未收敛子区间继续计算，直到收敛为止；

步骤7：当所有的计算停止，所有的收敛后的响应面模型相加，求得最终结果。

2.根据权利要求1所述的一种基于分片响应面法的随机振动响应分析方法，其特征在于，在步骤6中，阈值不超过5％。