CN110610019A - 转移概率部分未知的马尔科夫跳变系统的动力学分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了针对转移概率部分未知的马尔科夫跳变系统的动力学分析方法，包括如下步骤：步骤1、构建马尔科夫跳变系统的数学模型，系统的整体拓扑结构；步骤2、构建马尔科夫过程中状态转移概率定义，获得状态转移率矩阵；步骤3、构建李雅普诺夫候选泛函，引入无穷小算子；步骤4、构建各子系统的控制律，得到整体马尔科夫跳变系统的动力学分析结果。本发明在允许系统转移概率部分未知的前提下，提高设计方法的实用性，经过仿真一些马尔科夫跳变问题，表明在转移概率部分未知的情况下，本方法有效地控制和分析马尔科夫跳变系统。通过在李雅普诺夫候选泛函中引入三阶积分减小系统判据的保守性，进而保证控制器增益的精度。

Description

转移概率部分未知的马尔科夫跳变系统的动力学分析方法

技术领域：

本发明属于马尔科夫跳变系统研究技术领域，尤其涉及一种转移概率部分未知的马尔科夫跳变系统的动力学分析方法。

背景技术

随着科技迅速的发展，工业的生产应用过程也变得更加的复杂，过程之中往往伴有一定的随机性，因而不能通过线性时不变运动方程来描述，这里就需要引入马尔科夫跳变系统。

关于马尔科夫跳变系统数学模型概念简介：如天气状态的预报，假设有晴天、雨天和多云三种状态。一个马尔科夫过程是状态间的转移仅依赖于前n个状态的过程，其中n是影响下一个状态选择的(前)n个状态。最简单的马尔科夫过程是一阶模型，它的状态选择仅与前一个状态有关。这里要注意它与确定性系统并不相同，因为下一个状态的选择由相应的概率决定，并不是确定性的。对于有M个状态的一阶马尔科夫模型，共有M²个状态转移，因为任何一个状态都有可能是所有状态的下一个转移状态。每一个状态转移都有一个概率值，称为状态转移概率——这是从一个状态转移到另一个状态的概率。用下面这个状态转移矩阵显示天气例子中可能的状态转移概率：

如果昨天是晴天，那么今天是晴天的概率为0.5，是多云的概率为0.375。注意，每一行的概率之和为1。要初始化这样一个系统，我们需要确定起始日天气的情况，定义其为一个初始概率向量称为pi向量。综上定义一个一阶马尔科夫过程如下：

状态：三个状态——晴天，多云，雨天。

pi向量：定义系统初始化时每一个状态的概率。

状态转移矩阵：给定前一天天气情况下的当前天气概率。

马尔科夫跳变系统研究是控制与系统领域的重点和热点方向，马尔科夫跳变系统的分析与综合问题得到了广泛研究。马尔科夫理论在不同科学领域中的引入，产生了深远的影响并由此衍生出了一系列新的课题、新的理论和新的学科。在统计学中马尔科夫链被多次引用，同时还可以作为信号模型用于编码技术。在电气应用领域，马尔科夫链对功率预测的精度提高起到了重要的作用。随着大数据时代的到来，马尔科夫模型在海量数据中的应用前景受到了人们的广泛关注。

根据文献检索发现，对于马尔科夫跳变系统的研究大部分都是假定系统的跳变转移概率是完全已知的。大部分研究主要针对这类系统的稳定性、镇定性以及滤波问题。在理想情况下，假定系统的转移概率为完全已知的，这样使得对系统的分析和设计变得相对简单。然而，在实际控制系统分析中，有时并不能够得到系统转移概率的所有信息，并且在很多情形下，转移概率并不是完全可知的。从控制的角度来说，研究部分转移概率未知的马尔科夫跳变系统比花费大量时间去求解出所有的系统转移概率具有更大的实际意义和必要性。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提供一种针对转移概率部分未知的马尔科夫跳变系统的动力学分析方法。其具体的技术方案为：一种针对转移概率部分未知的马尔科夫跳变系统的动力学分析方法，采用如下步骤：

步骤1、构建马尔科夫跳变系统的数学模型，系统的整体拓扑结构；

步骤2、构建马尔科夫过程中状态转移概率定义，获得状态转移率矩阵；

步骤3、构建李雅普诺夫候选泛函，引入无穷小算子；

步骤4、构建各子系统的控制律，得到整体马尔科夫跳变系统的动力学分析结果。

进一步的，步骤1中，分析各个子系统需要关注的相关物理量，运用状态空间的相关知识获得如下的状态空间表达式：

其中：x(t)是状态向量，f(x(t))是神经元激励函数，C(r_t)表示每个孤立神经元断开网络连接和外部输入时的重置速率，A(r_t),、B(r_t)、D(r_t)分别是连接是的加权矩阵，延迟连接的加权矩阵，单个延迟连接的加权矩阵；{r_t}是具有右连续轨线的连续时间但有限离散状态的马尔科夫过程；离散状态集为S＝{1，2，....,N}。

进一步的，步骤2中，分析各个子系统之间的信息交换关系，获得整个系统的整体拓扑结构。步骤2中定义马尔科夫过程中状态转移概率，获得状态转移率矩阵。

π_ij表示从模式i切换到j的转移速率。若马尔科夫链分为m个状态组成，整体的状态信息转化为由这m个状态所组成的序列；从任意一个状态出发，经过任意一次转移，必然出现状态1、2、……，m中的一个，这种状态之间的转移称为转移概率。结合当前系统，具有N个模式的状态转移概率矩阵可以表示为:

这里的“？”代表未知转移速率。

进一步的，步骤3中具体的李雅普诺夫候选泛函为：

其中U＝mI_m＝ee^T,e是所有元素均为1的m维列向量。

其中，无穷小算子是随机过程理论的重要概念。设X_t是一时齐的马尔科夫过程，其转移密度函数为p(t,x,y)，记P^tf(x)＝∫p(t,x,y)f(y)dy，则称P^t为X_t的马氏半群，若存在，记为Af(x)，则称A_t为马尔科夫过程X_t的无穷小算子。

进一步的，步骤4中构建的控制律为：

其中，x_k(t)为第k个神经网络的状态向量；如果马尔科夫跳变系统的解满足上述的条件等式；则耦合复杂网络达到均方意义下的全局渐近同步。

有益效果：

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：即允许系统转移概率部分未知的前提下，提高设计方法的实用性，经过仿真一些马尔科夫跳变问题，表明在转移概率部分未知的情况下，本方法有效地控制和分析马尔科夫跳变系统。通过在李雅普诺夫候选泛函中引入三阶积分减小系统判据的保守性，进而保证控制器增益的精度。

附图说明

图1是本发明连通无向图的拓扑结构模型；

图2是本发明针对图1拓扑结构的同步误差的仿真模拟收敛曲线图；

图3是本发明针对图1拓扑结构的另一演化模式的同步误差仿真模拟。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。为了验证本发明的有效性，本部分分别对基于拓扑结构进行仿真实验。考虑如下马尔科夫切换神经网络，

各个子系统的参数为：

f(s)＝[tanh(s) tanh(s)]^T,τ(t)＝1

部分未知状态转移率矩阵为

对应的可行解如下：

因此根据定理可知本例中的复杂网络达到均方意义下的渐近同步。图2和图3给出了可能模式的演化下同步误差的仿真模拟。由图中仿真可以看出随着时间的推移，同步误差逐渐由最初的浮动摇摆实现了稳定一致。同步误差定义为

e_k(t)＝x_k(t)-x₁(t),k＝2,3

本发明与现有技术相比，其显著优点在于：1)本发明是转移概率部分未知的马尔科夫跳变系统控制方案，不需要网络系统的整体信息，在实际运用中只要获得系统的部分信息，提高了控制方案的灵活性；2)减小系统判据的保守性，更全面的掌握系统信。

对于本领域技术人员而言，显然本发明不限于上述示范性实施例的细节，而且在不背离本发明的精神或基本特征的情况下，能够以其他的具体形式实现本发明。因此，无论从哪一点来看，均应将实施例看作是示范性的，而且是非限制性的，本发明的范围由所附权利要求而不是上述说明限定，因此旨在将落在权利要求的等同要件的含义和范围内的所有变化囊括在本发明内。不应将权利要求中的任何附图标记视为限制所涉及的权利要求。

此外，应当理解，虽然本说明书按照实施方式加以描述，但并非每个实施方式仅包含一个独立的技术方案，说明书的这种叙述方式仅仅是为清楚起见，本领域技术人员应当将说明书作为一个整体，各实施例中的技术方案也可以经适当组合，形成本领域技术人员可以理解的其他实施方式。

Claims (5)

1.一种针对转移概率部分未知的马尔科夫跳变系统的动力学分析方法，包括如下步骤：

步骤1、构建马尔科夫跳变系统的数学模型，系统的整体拓扑结构；

步骤2、构建马尔科夫过程中状态转移概率定义，获得状态转移率矩阵；

步骤3、构建李雅普诺夫候选泛函，引入无穷小算子；

步骤4、构建各子系统的控制律，得到整体马尔科夫跳变系统的动力学分析结果。

2.根据权利要求1所述的针对转移概率部分未知的马尔科夫跳变系统的动力学分析方法，其特征在于，步骤1中，所述数学模型的状态空间表达式：

其中：x(t)是状态向量，f(x(t))是神经元激励函数，C(r_t)表示每个孤立神经元断开网络连接和外部输入时的重置速率，A(r_t),、B(r_t)、D(r_t)分别是连接是的加权矩阵，延迟连接的加权矩阵，单个延迟连接的加权矩阵；{r_t}是具有右连续轨线的连续时间但有限离散状态的马尔科夫过程；离散状态集为S＝{1，2，....,N}。

3.根据权利要求1所述的针对转移概率部分未知的马尔科夫跳变系统的动力学分析方法，其特征在于，步骤2中，所述状态转移概率定义为

π_ij表示从模式i切换到j的转移速率。若马尔科夫链分为m个状态组成，整体的状态信息转化为由这m个状态所组成的序列；从任意一个状态出发，经过任意一次转移，必然出现状态1、2、……，m中的一个，这种状态之间的转移称为转移概率。结合当前系统，具有N个模式的状态转移概率矩阵可以表示为:

这里的“？”代表未知转移速率。

4.根据权利要求1所述的针对转移概率部分未知的马尔科夫跳变系统的动力学分析方法，其特征在于，步骤3中具体的李雅普诺夫候选泛函为：

其中U＝mI_m-ee^T,e是所有元素均为1的m维列向量。

5.根据权利要求1所述的针对转移概率部分未知的马尔科夫跳变系统的动力学分析方法，其特征在于，步骤4中构建的控制律为：

其中，x_k(t)为第k个神经网络的状态向量；如果马尔科夫跳变系统的解满足上述的条件等式；则耦合复杂网络达到均方意义下的全局渐近同步。