CN110555285B - 一种复杂飞行器表面结构网格全自动生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种复杂飞行器表面结构网格全自动生成方法。所述方法有如下步骤：首先将输入的飞行器表面离散化成三角网格，自动识别并提取模型表面的几何特征线，然后将三角网格参数化映射到二维平面区域，根据提取的特征线指导二维结构网格拓扑自动分区，接着对每一独立分区进行结构网格自适应生成，最后将生成的二维结构网格逆映射回三维空间并投影回飞行器表面，得到表面结构网格。本发明输入为飞行器模型，背景网格为非结构的三角网格，采用的映射方法为调和映射，相比于在三维空间直接进行结构网格生成，二维平面参数域的操作更容易，计算复杂性更低，通过该方法能够全自动生成高质量飞行器表面结构网格。

Description

一种复杂飞行器表面结构网格全自动生成方法

技术领域

本发明涉及计算流体力学(CFD)的前处理结构网格生成技术和离散曲面调和映射技术，具体涉及一种复杂飞行器表面结构网格全自动生成方法。

背景技术

CFD已经成为航空航天领域一种重要技术手段，但是作为CFD应用的第一步，网格生成却是一件令人厌烦的工作，尤其是对于具有实际复杂外形的飞行器模型。据文献介绍，网格生成的工作量大约占整个CFD任务周期的60％～70％，而复杂外形的表面网格生成一般要占网格生成时间的70％～80％，可见网格生成的效率制约着CFD的发展。结构网格由于其计算效率高、精度好等优点，被广泛应用于CFD数值模拟，传统的方法往往采用人工辅助分区生成表面结构网格，尽管能够得到满足工业要求质量的网格，但是效率非常低下，而对于复杂飞行器表面结构网格的全自动生成，至今仍没有很好的解决办法。

发明内容

本发明提出了一种复杂飞行器表面结构网格全自动生成方法，通过参数化方法将离散化的三角网格数模映射到二维参数域，利用飞行器表面几何特征信息指导二维参数域结构网格生成，相比直接在三维空间进行拓扑分区和结构网格生成，二维参数域的操作更简便，效率更高，该方法能够解决复杂飞行器表面结构网格难以自动生成这一经典难题。

本发明采用的技术方案为：一种复杂飞行器表面结构网格全自动生成方法，包括以下步骤：

(1)对于输入的复杂飞行器模型，先离散成背景三角网格，自动识别并提取模型表面的几何特征线，如数模面过渡的边界线；

(2)将离散后的三角网格参数化映射到二维平面域，其中参数域的边界根据原始模型的边界形状自适应生成，内点映射采用求解拉普拉斯方程的方法；

(3)根据背景网格中提取的特征线，指导参数域中结构网格拓扑生成，根据拓扑框架对每一区块分别生成结构网格；

(4)将参数域结构网格逆映射回三维空间并投影到飞行器模型表面，得到飞行器表面结构网格。

在步骤(1)中，复杂飞行器特征线的提取，先计算模型表面三角面片的二面角，进行尖锐特征边提取，再计算三角网格顶点的离散高斯曲率，根据高斯曲率的大小将顶点分为凹凸平三类，根据顶点的凹凸性标记平缓特征点，最后将标记的特征点分段排序成连续的特征线。

在步骤(2)中，将背景三角网格参数化映射到二维平面，参数域的边界视模型本身的边界而定。如果模型本身没有边界，则先将模型进行保留特征部分的切割，然后将切割后的模型分别进行参数化；对已有边界的模型，根据边界形状将边界长度和密度传递给参数化后的边界，并保证边界开口尽量与模型本身的边界开口契合。

在步骤(3)中，根据步骤(1)中提取的几何特征线，首先在参数化过程中予以保留，如果此时边界线完整连续并且无重叠，则直接生成结构网格拓扑，如果边界线质量不好，则先对特征线进行优化调整，再生成结构网格拓扑，根据构造好的拓扑框架采用超限插值法生成结构网格。

在步骤(4)中，对生成好的二维结构网格进行逆映射，由于调和映射保证网格点一一映射，通过计算生成的结构网格点在哪个原始背景网格中，得到三维空间结构网格点的坐标，再对这些坐标进行一次数模面投影，计算空间点到数模表面的最近点坐标，得到贴合飞行器表面的结构网格。

本发明提供了一种新型复杂飞行器表面结构网格全自动生成方法，对于具有实际复杂外形的飞行器模型，通过利用参数化算法，在二维实现拓扑分区和结构网格生成，大大降低了计算复杂性，该方法从理论上能够解决复杂飞行器表面结构网格全自动生成这一经典难题。

附图说明

图1是复杂飞行器表面结构网格全自动生成流程图；

图2是特征线提取示意图；

图3是根据本发明实现一个具体实例示意图；

图4是生成的二维结构网格细节图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行描述。其中图1描述了复杂飞行器表面结构网格全自动生成具体过程。

具体的实现步骤：

(1)根据所给复杂飞行器模型，本发明测试算例采用具有12976个点，21602个面的导弹模型，首先将其离散化成背景三角网格，对于含有公共边e_i+1的相邻三角面片，其中一个面片面法矢量为n_i，另一个面片的面法矢量为n_i+1，两个法矢量形成的夹角就是公共边e_i+1的二面角相邻三角形的二面角计算式表示为：

其中，将二面角大于60°的边标记为尖锐特征边，一般情况下，该阈值能够很好地标记出网格模型的显性特征边，将组成这些显性特征边的顶点去重后加入特征点集合U₁。

接着对三角网格顶点分别计算离散高斯曲率，通过设定阈值为0.01，将高斯曲率小于-0.01的顶点记作凹点，高斯曲率大于0.01的顶点记作凸点，高斯曲率位于区间[-0.01,0.01]的顶点记作平点。设三角网格模型S上有一顶点v，则该点的离散高斯曲率K(v)为：

其中，A(v)表示与顶点v相邻一环域三角形对应的面积和，表示与顶点v相邻一环域三角形对应的角度和，N1为与顶点v相邻一环域三角形数目。如果一条边两个端点为平点，共用该边的两个三角形除该边两顶点以外的第三个点分别为凹凸点，则标记该边为特征边，此时如果该边已经被标记为显性特征边，则不进行二次标记，否则将该边标记为隐性特征边，将组成这些隐性特征边的顶点去重后加入特征点集合U₁。

对上述标记的特征点进行角点判断，对每一个显性特征点计算其邻域三角面片法向量的高斯映射分布区域，如果在高斯圆中的映射集中分布在三个或多个区域，则判定为角点，将其存入角点数组CArray，接着将角点作为始末点进行分段，对于不存在角点的曲线段先确立一个种子点后再进行邻域查询特征点，直至与种子点重合或查询不到特征点，具体算法如下：

Step1.从角点数组CArray中任取一点s作为种子点。

Step2.将s保存在数组SArray中，在其一环邻域内查找U₁中的特征点，选取一个特征点P作为查找方向，并将P从U₁中删除，添加到SArray。

Step3.以P为起点，在P点一环邻域中查找U₁中的特征点，若存在一个特征点，直接保存在SArray中并从U₁中删除；若存在多个特征点，取与直线SP夹角最大的特征点Q作为查找方向，并以Q为新的起点，同时将Q保存在SArray中并从U₁中删除；若P的一环邻域没有特征点，则在与直线SP夹角最大的点的一环邻域内查找，即P的部分二环邻域。

Step4.重复Step3，直到最后一点被判定为角点或者其一环邻域和部分二环邻域没有存在于U₁中的特征点。

通过上述方法得到的SArray就是分段排序好的特征点数组，即特征线，重复上述步骤直到角点一环邻域没有特征点就可以将所有存在角点的边点分段排序完成，根据该方法，成功提取导弹模型39条特征线。

将分段排序好的特征线进行分组，构造结构网格拓扑框架。分组方法如下：

Step1.从角点数组CArray中任取一点T作为种子点。

Step2.在T的一环邻域内查找CArray中其他角点，将找到的角点两两配对，对每一对角点(例如M，N)分别查找一环邻域中除T以外的角点，如果有共同角点Q，则将T,M,Q,N分为一组，构成四边形TMQN。

Step3.分别得到TM,MQ,QN,NT四条边上特征点的数目，如果对边(例如TM,NQ)上的特征点相同，则将四边形TMQN存入结构网格拓扑数组StArray；如果对边上的特征点不相同，则将特征点少的一边进行中心点插值，例如TM上包括角点一共m个特征点，QN上包括角点一共n(n＜m)个特征点，则对QN两端角点一邻域的特征点附近进行插值，插值点位于该特征点和角点的中心，插值之后QN上包括角点一共n+2个特征点，如果此时n＝m，则停止插值，否则对QN两端角点二邻域进行插值，依次直到满足n＝m为止。

Step4.重复Step3，直到T的一环邻域内配对角点不存在除T外共同角点为止，将T从CArray中删除，并随机选取T的一环邻域内另一角点作为种子点，转到Step2。

由于输入的模型边界线两端一定是角点，所以该方法能够有效得到原始数模中所有的特征线。通过设置特征线构成的四边形对边点数相等，得到符合结构网格生成的四边形区域，根据该方法，将提取的导弹模型39条特征线构造成14块结构网格区域。

(2)对已经提取特征线的三角网格模型计算离散调和映射，将其参数化到二维拓扑圆盘，并将三维中提取的特征线保留在参数域。离散调和映射方法如下：

Step1.遍历输入三角网格M的边界，获取边界顶点序列{v₀,v₁,…,v_n-1}。

Step2.计算边界总长度其中/>是边[v_i,v_i+1]的长度，设置边界条件：

其中，θ_i是边界顶点v_i在单位圆上与水平轴的夹角，根据θ值将边界顶点均匀分布在参数域圆形边界上。

Step3.对所有的边[v_i,v_j]计算余切边权重w_ij，假设[v_i,v_j]有两个邻接面[v_i,v_j,v_k]和[v_j,v_i,v_l]，ε_k是三角形[v_i,v_j,v_k]中以v_k为顶点的夹角，同样地，ε_l是三角形[v_j,v_i,v_l]中以v_l为顶点的夹角，此时：

如果边[v_i,v_j]是边界边，只有一个邻接面[v_i,v_j,v_k]，则：

Step4.对每一个内部顶点v_k遍历其一环邻域顶点v_j，求解离散拉普拉斯方程：

离散调和能量优化过程等价于求解固定边界条件的线性系统，通过该方法能够将三维三角网格模型稳定参数化到二维平面域，因为调和映射保证了点与点、边与边、面与面之间一一映射，所以三维中提取的特征线在二维中仍然保持连续。对离散调和映射后的导弹模型进行网格质量检测，映射前网格最大边长比(最大离散边长比上最小离散边长)约10⁵，映射后最大边长比也约10⁵，映射前后模型的平均角度误差(映射前后对应三角形的最大角度差值的平均值)为10°左右，可以看出，模型的几何信息在调和映射前后能较好保留。

(3)基于调和映射过程保留的特征线，在二维参数域采用超限插值法生成结构网格。由于三维中提取特征线是由离散点组成的，在参数域，即物理区域已有离散好的物理边界，选取二维空间笛卡尔坐标系(ξ,η)下的单位正方形[0,1]×[0,1]为计算区域R，记为物理区域Ω的边E_i上第j个离散点，其中/>为第一个角点，/>为另一个角点，记/>为计算区域R上对应E_i的边，可建立从边E_i上离散点e_j到/>上离散点/>的映射关系：

1)为边E_i上相邻两点e_j和e_j+1的欧氏距离，j＝0,…,n-1；

2)为边E_i离散后所得折线边总长度；

3)的坐标有一个为/>另一个为0或1。

使用牛顿插值法构造出E_i到的映射关系：

f₁(x,y)＝φ₁(0,η)＝φ₁(η)；

f₂(x,y)＝φ₂(1,η)＝φ₂(η)；

f₃(x,y)＝φ₃(ξ,0)＝φ₃(ξ)；

f₄(x,y)＝φ₄(ξ,1)＝φ₄(ξ).

其中，f_i表示边E_i，φ_i表示边(x,y)为边E_i上任意一点，计算域上节点坐标(ξ,η)∈[0,1]。此时，计算空间已经离散化，连接/>上所有对应的节点，连接/>上所有对应的节点，即可得到计算区域上的结构网格M_R，为了让计算区域上的网格准确有效映射回物理区域上，将计算区域结构网格节点坐标代入超限插值映射函数：

F(ξ,η)＝(1-ξ)φ₁(η)+ξφ₂(η)+(1-η)φ₃(ξ)+ηφ₄(ξ)-[(1-ξ)(1-η)a₁+ξηa₂+ξ(1-η)a₃+η(1-ξ)a₄]

其中a₁,a₂,a₃,a₄为物理区域四个角点，计算得到物理区域网格节点坐标，再把所有节点连接起来，得到物理区域结构网格，即参数域结构网格，本导弹算例共生成6528个网格。

(4)将得到的二维结构网格逆映射到三维物理空间。由于调和映射过程保持了参数域网格单元和空间背景网格单元之间一一对应，在参数域采用重心加权的方法找到生成的二维结构网格节点对应三维空间中具体坐标，重心加权方法如下：

Step1.假设参数域上有一结构网格节点p，p上定义一个函数f:M→R，根据p点坐标遍历位于参数域背景网格哪个三角形中，假设有三角形[v_a,v_b,v_c]，计算向量和叉积的大小，如果符号相反，则p位于向量/>和/>之间，同理判断p是否在向量/>和/>之间以及是否在向量/>和/>之间，都满足则点p位于三角形[v_a,v_b,v_c]中。

Step2.因此p点坐标可以表示为[v_a,v_b,v_c]三个点坐标的一个线性组合：

p＝λ_a·v_a+λ_b·v_b+λ_c·v_c

其中λ_a,λ_b,λ_c是p点在三角形[v_a,v_b,v_c]中分别对应于顶点a,b,c的重心权重，且：

λ_a+λ_b+λ_c＝1

重心权重的计算公式：

其中和/>分别代表三角形[p,v_b,v_c]和[v_a,v_b,v_c]的面积，同理可以得到λ_b,λ_c。

Step3.因此，f可以表示为一个分段线性函数：

f(p)＝λ_a·f(v_a)+λ_b·f(v_b)+λ_c·f(v_c)

由此得到点p在空间中的坐标，同理可以得到生成的二维结构网格点在三维空间中的具体坐标。

为了使计算网格更能真实的表达原始曲面。计算空间点到曲面的法向投影，将逆映射之后的结构网格投影到原始导弹数模表面，得到贴合数模表面的结构网格。空间点到曲面投影算法如下：

Step1.给定投影点p，基曲面S(u,v)，法向投影的平方距离函数定义为：

f(u,v)＝(S(u,v)-p)²

将待投影的NURBS曲面断开成多张有理Bézier曲面分别投影，即f(u,v)为一张一维的2m×2n次有理Bézier曲面。

Step2.在整个计算过程中，维护一个全局的已知待投影点p到基曲面S(u,v)的最近平方距离α，初始：

α＝min(||p-S(0,0)||²,||p-S(0,1)||²,||p-S(1,0)||²,||p-S(1,1)||²)

根据α，对待投影曲面片逐一进行遍历，对于给定候选曲面片，如果f(u,v)的所有控制顶点都大于α，则说明p到该曲面片的最近距离大于则p的投影点不在该曲面片内，如果候选曲面片可以用上述方法排除，则将候选曲面片的参数域中点作为迭代算法的初始点，并调用迭代方法进行求精，否则，转到Step3。

Step3.对Step2中不能排除的曲面片进行剪枝，首先将平方距离函数显式化。首先根据f(u,v)得到辅助方程：

其中，G_i,j为平方距离函数控制顶点Q_i,j的权重，表示2m×2n次有理Bézier曲面，由此可见D_i,j＝G_i,j(Q_i,j-α)，因为G_i,j＞0，所以其凸组合/>将上式分母去掉，得到：

该方程与h(u,v)同解。显式化之后Bézier曲面控制点的u向坐标在u轴上是均匀分布的，v向坐标在v轴上是均匀分布的。

Step4.根据Bézier曲面会落在其控制网格的凸包内这一性质，对基曲面进行剪枝。给定常函数f＝α，与fu凸包、fv凸包分别最多交于两个点(u₁,α)、(u₂,α)、(v₁,α)、(v₂,α)，其中u₁≤u₂,v₁≤v₂，对于当前的候选曲面片，分别计算f＝α在fu平面和fv平面上与f(u,v)凸包的交点u₁、u₂、v₁、v₂，如果u₁满足在fu平面上Bézier曲面在u₁左侧的凸包落在f＝α的上侧，则将曲面片S(0～u₁,v)排除；如果u₂满足在fu平面上Bézier曲面在u₂左侧的凸包只会落在f＝α的上侧，则将曲面片S(u₂～1,v)排除；如果v₁满足在fv平面上Bézier曲面在v₁左侧的凸包落在f＝α的上侧，则将曲面片S(u,0～v₁)排除；如果v₂满足在fv平面上Bézier曲面在v₂左侧的凸包落在f＝α的上侧，则将曲面片S(u,v₂～1)排除。

Step5.对剩下候选曲面片使用相同的方法递归判断，返回Step1。

通过上述方法计算空间结构网格到数模曲面的最近点坐标，保持结构网格拓扑关系不变，得到贴合导弹数模表面的结构网格。

(5)图2是根据某导弹数模实例的一种特征线提取情况，该实例有12976个点，21602个三角面片，最大离散边长与最小离散边长比例接近10⁵，可以看出，根据本发明步骤1中的方法，可以准确得到飞行器模型的特征线，将不能连接成线的特征点进行舍弃。

(6)图3是根据某导弹数模实例的参数化映射，将提取好特征线的模型调和映射到二维拓扑圆盘，因为调和能量最小化能让原始模型的点均匀分布在参数域，并且映射过程保持网格拓扑不变，在图2中提取的特征线能在参数域完好保留，根据已经构造好的结构网格拓扑，采用超限插值法生成二维结构网格，再将其逆映射回三维空间，并投影回数模表面，得到某导弹表面结构网格，生成结构网格数量为6528，比原始离散三角网格少。

(7)图4是对图3中二维结构网格的局部放大，选取的两块区域均是原始数模复杂特征所在区域，可以看到，通过本发明步骤3的方法，能够针对复杂特征模型得到质量较好的结构网格。

Claims (5)

1.一种复杂飞行器表面结构网格全自动生成方法，其特征在于：所述方法包括以下步骤：

(1)对于输入的复杂飞行器模型，先离散成背景三角网格，自动识别并提取模型表面的几何特征线，包括数模表面过渡的边界线；在步骤(1)中，先计算模型表面三角面片的二面角，进行尖锐特征边提取，再计算三角网格顶点的离散高斯曲率，根据高斯曲率的大小将顶点分为凹凸平三类，根据顶点的凹凸性标记平缓特征点，最后将标记的特征点分段排序成连续的特征线；

(2)将离散后的三角网格参数化映射到二维平面域，其中参数域的边界根据原始模型的边界形状自适应生成，内点映射采用求解拉普拉斯方程的方法；所述步骤(2)对已经提取特征线的三角网格模型计算离散调和映射，将其参数化到二维拓扑圆盘，并将三维中提取的特征线保留在参数域；

离散调和映射方法如下：

Step1.遍历输入三角网格M的边界，获取边界顶点序列{v₀,v₁,…,v_n-1}；

Step2.计算边界总长度其中/>是边[v_i,v_i+1]的长度，v_i,v_i+1为边界顶点，设置边界条件：

f(v_i)＝(cosθ_i,sinθ_i),

其中，θ_i是边界顶点v_i在单位圆上与水平轴的夹角，根据θ值将边界顶点均匀分布在参数域圆形边界上；

Step3.对所有的边[v_i,v_j]计算余切边权重w_ij，假设[v_i,v_j]有两个邻接面[v_i,v_j,v_k]和[v_j,v_i,v_l]，ε_k是三角形[v_i,v_j,v_k]中以v_k为顶点的夹角，同样地，ε_l是三角形[v_j,v_i,v_l]中以v_l为顶点的夹角，此时：

如果边[v_i,v_j]是边界边，只有一个邻接面[v_i,v_j,v_k]，则：

Step4.对每一个内部顶点v_k遍历其一环邻域顶点v_j，求解离散拉普拉斯方程：

(3)根据背景网格中提取的特征线，指导参数域中结构网格拓扑生成，根据构造的拓扑框架对每一区块分别生成结构网格；在参数域，即物理区域已有离散好的物理边界，选取二维空间笛卡尔坐标系(ξ,η)下的单位正方形[0,1]×[0,1]为计算区域R，记为物理区域Ω的边E_i上第j个离散点，其中/>为第一个角点，/>为另一个角点，记/>为计算区域R上对应E_i的边，可建立从边E_i上离散点e_j到/>上离散点/>的映射关系：

1)为边E_i上相邻两点e_j和e_j+1的欧氏距离，j＝0,…,n-1；

2)为边E_i离散后所得折线边总长度；

3)的坐标有一个为/>另一个为0或1；

使用牛顿插值法构造出E_i到的映射关系：

f₁(x,y)＝φ₁(0,η)＝φ₁(η)；

f₂(x,y)＝φ₂(1,η)＝φ₂(η)；

f₃(x,y)＝φ₃(ξ,0)＝φ₃(ξ)；

f₄(x,y)＝φ₄(ξ,1)＝φ₄(ξ).

其中，f_i表示边E_i，φ_i表示边(x,y)为边E_i上任意一点，计算域上节点坐标(ξ,η)∈[0,1]；此时，计算空间已经离散化，连接/>上所有对应的节点，连接/>上所有对应的节点，即可得到计算区域上的结构网格M_R，为了让计算区域上的网格准确有效映射回物理区域上，将计算区域结构网格节点坐标代入超限插值映射函数：

F(ξ,η)＝(1-ξ)φ₁(η)+ξφ₂(η)+(1-η)φ₃(ξ)+ηφ₄(ξ)-[(1-ξ)(1-η)a₁+ξηa₂+ξ(1-η)a₃+η(1-ξ)a₄]

其中a₁,a₂,a₃,a₄为物理区域四个角点，计算得到物理区域网格节点坐标，再把所有节点连接起来，得到物理区域结构网格，即参数域结构网格；

(4)将参数域结构网格逆映射回三维空间并投影回数模表面，得到数模表面结构网格。

2.根据权利要求1所述的一种复杂飞行器表面结构网格全自动生成方法，其特征在于：在步骤(2)中，将背景三角网格参数化映射到二维平面，参数域的边界视模型本身的边界而定；如果模型本身没有边界，则先将模型进行保留特征部分的切割，然后将切割后的模型分别进行参数化；对已有边界的模型，根据边界形状将边界长度和密度传递给参数域的边界，并保证参数域边界开口尽量与模型本身的边界开口契合。

3.根据权利要求1所述的一种复杂飞行器表面结构网格全自动生成方法，其特征在于：在步骤(3)中，根据步骤(1)中提取的背景网格特征线，首先在参数化过程中予以保留，如果此时边界线完整连续并且无重叠，则直接生成结构网格拓扑，如果边界线质量不好，则先对特征线进行优化调整，再生成结构网格拓扑，根据构造好的拓扑框架采用超限插值法生成结构网格。

4.根据权利要求1所述的一种复杂飞行器表面结构网格全自动生成方法，其特征在于：在步骤(4)中，对生成好的二维结构网格进行逆映射，由于调和映射保证网格点一一映射，通过计算生成的结构网格点在哪个原始背景网格中，得到三维空间结构网格点的坐标，再对这些坐标进行一次飞行器数模面投影，计算空间点到数模表面的最近点坐标，得到贴合数模表面的结构网格。

5.根据权利要求1所述的一种复杂飞行器表面结构网格全自动生成方法，其特征在于：

步骤(1)首先将其离散化成背景三角网格，对于含有公共边e_i+1的相邻三角面片，其中一个面片面法矢量为n_i，另一个面片的面法矢量为n_i+1，两个法矢量形成的夹角就是公共边e_i+1的二面角相邻三角形的二面角计算式表示为：

其中，将二面角大于60°的边标记为尖锐特征边，能够标记出网格模型的显性特征边，将组成这些显性特征边的顶点去重后加入特征点集合U₁；

接着对三角网格顶点分别计算离散高斯曲率，通过设定阈值为0.01，将高斯曲率小于-0.01的顶点记作凹点，高斯曲率大于0.01的顶点记作凸点，高斯曲率位于区间[-0.01,0.01]的顶点记作平点；设三角网格模型S上有一顶点v，则该点的离散高斯曲率K(v)为：

其中，A(v)表示与顶点v相邻一环域三角形对应的面积和，表示与顶点v相邻一环域三角形对应的角度和；N₁为与顶点v相邻一环域三角形数目；如果一条边两个端点为平点，共用该边的两个三角形除该边两顶点以外的第三个点分别为凹凸点，则标记该边为特征边，此时如果该边已经被标记为显性特征边，则不进行二次标记，否则将该边标记为隐性特征边，将组成这些隐性特征边的顶点去重后加入特征点集合U₁。