CN110489900B - 三维冲击载荷弹塑性弯曲裂纹尖端塑性区的分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了三维冲击载荷弹塑性弯曲裂纹尖端塑性区的分析方法，综合考虑了冲击作用应力，三维塑性区域边界上冲击正应力与冲击剪应力，用数值解法计算出三维弹塑性弯曲裂纹尖端的动态塑性区，在同样外载荷作用下，三维弹塑性弯曲裂纹尖端动态塑性区随着三维裂纹体厚度的增大而减小，随着三维裂纹体厚度的均匀增大，三维弹塑性弯曲裂纹尖端塑性区尺寸最大值不断减小，减小的幅度越来越小，最终趋于平面应变状态下的弹塑性弯曲裂纹尖端塑性区尺寸最大值。当三维裂纹体几何尺寸相时，三维弯曲裂纹尖端塑性区尺寸最大值随冲击载荷的不断增强而逐渐增大。本发明建立了一个计算三维弹塑性弯曲裂纹动态塑性区的崭新理论模型，能更精确地服务于工程实际。

Description

三维冲击载荷弹塑性弯曲裂纹尖端塑性区的分析方法

技术领域

本发明涉及弯曲裂纹扩展路径的研究，尤其涉及三维冲击载荷弹塑性弯曲裂纹尖端塑性区的分析方法。

背景技术

迄今为止关于弯曲裂纹断裂特性的研究成果主要局限于二维线性弹性断裂、二维非线性弹性断裂以及二维弹塑性断裂问题，关于冲击载荷作用下三维裂纹体弹塑性弯曲裂纹的路径预测、三维裂纹体弹塑性弯曲裂纹尖端塑性区域动态应力场的计算、动态塑性区域范围的确定问题至今尚未研究。在工程实际中，裂纹体结构的厚度往往比较大，通常是不可忽略的。因此，研究三维裂纹体弹塑性弯曲裂纹的冲击断裂特性是非常有必要的。

发明内容

针对上述存在的问题，本发明旨在提供三维冲击载荷弹塑性弯曲裂纹尖端塑性区的分析方法。

为了实现上述目的，本发明所采用的技术方案如下：

三维冲击载荷弹塑性弯曲裂纹尖端塑性区的分析方法，其特征在于：所述分析方法包括以下步骤：

S1：三维弯曲裂纹尖端动态塑性区边界应力状态的分析；

S2：三维弯曲裂纹尖端动态塑性区最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度的数值求解；

S3：三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度变化分析。

进一步的，步骤S3中三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度变化分析具体包括：

S31：选择相同材质下不同厚度的三维弯曲裂纹体进行分析；

S32：在不同厚度的三维弯曲裂纹体的外部分别加载相同的冲击载荷；

S33：计算在相同时间下不同厚度的三维裂纹体尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度；

S34：在同一坐标系下绘制同一厚度、不同弯曲裂纹形状参数的三维裂纹体的动态塑性区尺寸最大值于不同长度的裂纹直线部分延长线上的投影长度变化曲线。

进一步的，步骤S3中三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度变化分析具体还可以包括：

S31：选择相同材质下不同厚度的三维弯曲裂纹体进行分析；

S32：在不同厚度的三维弯曲裂纹体的外部分别加载相同的冲击载荷；

S33：计算在相同时间下不同厚度的三维裂纹体的尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度；

S34：在同一坐标系下绘制同一厚度的三维裂纹体在不同外应力下动态塑性区尺寸最大值于不同长度的弯曲裂纹直线部分延长线上的投影长度变化曲线。

进一步的，由上述三维冲击载荷弹塑性弯曲裂纹尖端塑性区的分析方法可得：在相同强度和相同变化率的冲击载荷作用下，相同的三维裂纹直线部分长度和相同的三维弯曲裂纹形状参数对应的三维弯曲裂纹动态塑性区尺寸最大值于三维裂纹直线部分延长线上的投影长度随着三维裂纹体厚度的不断增大而减小，当三维裂纹体厚度等速均匀增加时，裂纹尖端塑性区尺寸最大值的投影长度不断减小，减小的幅度将越来越小，最终趋于平面应变状态的相应参量值；当三维裂纹体几何尺寸相同时，三维弯曲裂纹尖端塑性区尺寸最大值随冲击载荷的不断增强而逐渐增大，三维裂纹体的厚度越大，对于相同的裂纹直线部分长度、相同的弯曲程度，三维弯曲裂纹动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度随着外加冲击载荷的不断增强而增大的速率逐渐减小。当三维裂纹体的厚度均匀增加时，三维弯曲裂纹塑性区尺寸最大值投影长度随着外加冲击载荷增强而增大的速率的增长程度在逐渐减弱。

进一步的，当裂纹体厚度小于5mm或者大于100mm时，弯曲裂纹尖端塑性区域的最大值与变化率基本接近平面应变状态的相应参量值。

进一步的，步骤S1中三维弯曲裂纹尖端动态塑性区边界应力状态的分析方法包括：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

其中，三维弯曲裂纹尖端塑性区边界应力状态为σ_1Z、σ_2Z和σ_3Z，σ_s为材料的塑性屈服极限，B为三维裂纹体的等效厚度、ν为材料的泊松比、z表示三维约束方向对称面约束方向位移，R(t)为二维弯曲裂纹尖端动态塑性区在裂纹直线部分延长线上的射影长度、R_Z(t)为三维弯曲裂纹尖端动态塑性区在裂纹直线部分延长线上的射影长度、T′_Z为离面约束因子，为三维裂纹体的平均离面约束因子，f(T′_Z)为T′_Z的三轴应力约束函数，/>为/>的三轴应力约束函数，r是指沿裂纹切线方向与三维裂纹体自由表面之间的距离,/>是裂纹尖端塑性区贯穿厚度的平均半径,A、B1、B2是关于z/B的拟合函数；

式(2)、式(3)与式(4)中的负号表示三维弯曲裂纹尖端动态塑性区边界上的正应力与剪应力的作用与外应力的作用是相反的；

三维动态塑性区边界上的均布正应力σ_1Z(t)与剪应力σ_2Z(t)在假想三维弯曲裂纹尖端产生的I型、II型应力强度因子分别为K_IPZ(t)、K_IIPZ(t)，依据三维断裂理论和定量分析过程，推导可得:

(9)

(10)。

进一步的，步骤S2中三维弯曲裂纹尖端动态塑性区最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度的数值求解方法包括：

因为点O′是三维弯曲裂纹尖端塑性区的端点，应无奇异性，故其而所以，/> (11)

又因为三维弯曲裂纹尖端塑性区存在于均一同类物质的弹性区域中，故裂纹路径的预测取决于局部对称准则，此准则要求在弯曲裂纹扩展过程中，三维塑性区边界上的均布正应力σ_1Z与剪应力σ_2Z在假想三维弯曲裂纹尖端产生的应力强度因子K_IIPZ＝0，而由假想三维弯曲裂纹尖端的无奇异性还可知而/>所以， (12)

于是，可以得出：

(13)

(14)

(15)

将式(9)、式(14)及式(15)带入式(11)，并辅以式(13)，用数值解法可以计算出三维弹塑性弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值的投影长度；同理，由形状参数α_Z、β_Z、γ_Z可以确定出三维冲击载荷作用下弯曲裂纹的扩展路径。

本发明的有益效果是：运用二阶摄动方法对冲击载荷作用下三维裂纹体弹塑性裂纹弯曲扩展机制进行研究，重点计算冲击载荷作用下三维裂纹体弯曲裂纹尖端动态塑性区域的范围，从而更精确地服务于工程实际。

附图说明

图1为冲击载荷作用下三维弯曲裂纹的俯视图。

图2a为碳钢的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值随三维弯曲裂纹形参的变化关系曲线图一，B＝30mm,σ_s＝1725MPa,[σ_aZ(t)]_max＝0.5σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.1σ_s,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm。

图2b为碳钢的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值随三维弯曲裂纹形参的变化关系曲线图二，B＝100mm,σ_s＝1725MPa,[σ_aZ(t)]_max＝0.5σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.1σ_s,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm。

图2c为碳钢的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值随三维弯曲裂纹形参的变化关系曲线图三，B＝300mm,σ_s＝1725MPa,[σ_aZ(t)]_max＝0.5σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.1σ_s,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm。

图2d为碳钢的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值随三维弯曲裂纹形参的变化关系曲线图四，B＝1500mm,σ_s＝1725MPa,[σ_aZ(t)]_max＝0.5σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.1σ_s,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm。

图2e为碳钢的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值随三维弯曲裂纹形参的变化关系曲线图五，B＝5000mm,σ_s＝1725MPa,[σ_aZ(t)]_max＝0.5σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.1σ_s,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm。

图3a为合金钢的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值随三维弯曲裂纹形参的变化关系曲线图一，B＝30mm,σ_s＝1725MPa,[σ_aZ(t)]_max＝0.33σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.03σ_s,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm。

图3b为合金钢的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值随三维弯曲裂纹形参的变化关系曲线图二，B＝100mm,σ_s＝1725MPa,[σ_aZ(t)]_max＝0.33σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.03σ_s,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm。

图3c为合金钢的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值随三维弯曲裂纹形参的变化关系曲线图三，B＝300mm,σ_s＝1725MPa,[σ_aZ(t)]_max＝0.33σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.03σ_s,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm。

图3d为合金钢的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值随三维弯曲裂纹形参的变化关系曲线图四，B＝1500mm,σ_s＝1725MPa,[σ_aZ(t)]_max＝0.33σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.03σ_s,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm。

图3e为合金钢的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值随三维弯曲裂纹形参的变化关系曲线图五，B＝5000mm,σ_s＝1725MPa,[σ_aZ(t)]_max＝0.33σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.03σ_s,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm。

图4a为轧制铝的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值与冲击载荷之间的变化关系曲线图一，B＝30mm,[σ_aZ(t)]_max＝0.5σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.1σ_s,σ_s＝1725MPa,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm，α_Z＝0.5°。

图4b为轧制铝的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值与冲击载荷之间的变化关系曲线图二，B＝100mm,[σ_aZ(t)]_max＝0.5σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.1σ_s,σ_s＝1725MPa,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm，α_Z＝0.5°。

图4c为轧制铝的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值与冲击载荷之间的变化关系曲线图三，B＝300mm,[σ_aZ(t)]_max＝0.5σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.1σ_s,σ_s＝1725MPa,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm，α_Z＝0.5°。

图4d为轧制铝的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值与冲击载荷之间的变化关系曲线图四，B＝1500mm,[σ_aZ(t)]_max＝0.5σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.1σ_s,σ_s＝1725MPa,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm，α_Z＝0.5°。

图4e为轧制铝的三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值与冲击载荷之间的变化关系曲线图五，B＝5000mm,[σ_aZ(t)]_max＝0.5σ_s,[σ_rZ(t)]_max＝0.1σ_s,σ_s＝1725MPa,E＝2.15×10¹¹Pa,a_Z＝50mm，α_Z＝0.5°。

其中：B是三维裂纹体的厚度为，H_Z是三维弯曲裂纹的直线部分的长度为，R_Z(t)是三维弯曲裂纹尖端动态塑性区于裂纹直线部分延长线上的射影长度为，c_Z(t)是三维弯曲裂纹以及塑性区于裂纹直线部分延长线上的射影长度为，a_Z是三维弯曲裂纹于裂纹直线部分延长线上的投影长度。

具体实施方式

为了使本领域的普通技术人员能更好的理解本发明的技术方案，下面结合附图和实施例对本发明的技术方案做进一步的描述。

冲击载荷作用下三维弹塑性弯曲裂纹的动态塑性区的研究包括：

S1：三维弯曲裂纹尖端动态塑性区边界应力状态的分析：

设定三维弯曲裂纹尖端塑性区边界应力状态为σ_1Z、σ_2Z和σ_3Z，σ_s为材料的塑性屈服极限，B为三维裂纹体的等效厚度、ν为材料的泊松比、z表示三维约束方向对称面约束方向位移，R(t)为二维弯曲裂纹尖端动态塑性区在裂纹直线部分延长线上的射影长度、R_Z(t)为三维弯曲裂纹尖端动态塑性区在裂纹直线部分延长线上的射影长度、T′_Z为离面约束因子，为三维裂纹体的平均离面约束因子，f(T′_Z)为T′_Z的三轴应力约束函数，/>为/>的三轴应力约束函数，r是指沿裂纹切线方向与三维裂纹体自由表面之间的距离,/>是裂纹尖端塑性区贯穿厚度的平均半径,A、B1、B2是关于z/B的拟合函数；则可得出：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

其中，式(2)、式(3)与式(4)中的负号表示三维弯曲裂纹尖端动态塑性区边界上的正应力与剪应力的作用与外应力的作用是相反的；

三维动态塑性区边界上的均布正应力σ_1Z(t)与剪应力σ_2Z(t)在假想三维弯曲裂纹尖端产生的I型、II型应力强度因子分别为K_IPZ(t)、K_IIPZ(t)，依据三维断裂理论和定量分析过程，推导可得:

(9)

(10)。

S2：三维弯曲裂纹尖端动态塑性区最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度的数值求解；

因为点O′是三维弯曲裂纹尖端塑性区的端点，应无奇异性，故其而所以，/> (11)

又因为三维弯曲裂纹尖端塑性区存在于均一同类物质的弹性区域中，故裂纹路径的预测取决于局部对称准则，此准则要求在弯曲裂纹扩展过程中，三维塑性区边界上的均布正应力σ_1Z与剪应力σ_2Z在假想三维弯曲裂纹尖端产生的应力强度因子K_IIPZ＝0，而由假想三维弯曲裂纹尖端的无奇异性还可知而/>所以， (12)

于是，可以得出：

(13)

(14)

(15)

将式(9)、式(14)及式(15)带入式(11)，并辅以式(13)，用数值解法可以计算出三维弹塑性弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值的投影长度；同理，由形状参数α_Z、β_Z、γ_Z可以确定出三维冲击载荷作用下弯曲裂纹的扩展路径。

S3：三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度变化分析：

如附图1所示，三维弯曲裂纹的俯视图中，α_Z是弯曲裂纹的形状参数，σ_aZ(t)是与三维弯曲裂纹直线部分垂直的外部冲击作用应力，σ_rZ(t)是与三维弯曲裂纹直线部分平行的外部冲击作用应力，σ_s是材料的屈服极限，E是材料的弹性杨氏模量，三维裂纹体的厚度为B，三维弯曲裂纹的直线部分的长度为H_Z,三维弯曲裂纹尖端动态塑性区于裂纹直线部分延长线上的射影长度为R_Z(t)，三维弯曲裂纹以及塑性区于裂纹直线部分延长线上的射影长度为c_Z(t)，a_Z是三维弯曲裂纹于裂纹直线部分延长线上的投影长度。

分析可得，在相同强度和相同变化率的冲击载荷作用下，相同的三维裂纹直线部分长度和相同的三维弯曲裂纹形状参数对应的三维弯曲裂纹动态塑性区尺寸最大值于三维裂纹直线部分延长线上的投影长度随着三维裂纹体厚度的不断增大而减小，当三维裂纹体厚度等速均匀增加时，裂纹尖端塑性区尺寸最大值的投影长度不断减小，减小的幅度将越来越小，最终趋于平面应变状态的相应参量值；当三维裂纹体几何尺寸相同时，三维弯曲裂纹尖端塑性区尺寸最大值随冲击载荷的不断增强而逐渐增大，三维裂纹体的厚度越大，对于相同的裂纹直线部分长度、相同的弯曲程度，三维弯曲裂纹动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度随着外加冲击载荷的不断增强而增大的速率逐渐减小。当三维裂纹体的厚度均匀增加时，三维弯曲裂纹塑性区尺寸最大值投影长度随着外加冲击载荷增强而增大的速率的增长程度在逐渐减弱。

当裂纹体厚度小于5mm时，弯曲裂纹尖端动态塑性区的最大值与变化率接近平面应力状态的相应参量值，当裂纹体厚度大于100mm时，弯曲裂纹尖端塑性区域的最大值与变化率基本接近平面应变状态的相应参量值。

下面以具体实例进行分析：

实施例一：

以碳钢为例，碳钢的泊松比ν＝0.23。当作用于裂纹体的冲击载荷分别为：σ_aZ(t)＝0.125σ_s(4t-t²)、σ_rZ(t)＝0.025σ_s(4t-t²)的时候，可以计算出在t＝2秒时三维弹塑性弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度的数值解。现分别将三维弹塑性弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度的数值解绘制图线如图2a-2e所示。

实施例二：

以合金钢为例，碳钢的泊松比ν＝0.3。当作用于裂纹体的冲击载荷分别为：σ_aZ(t)＝0.33σ_s(2t-t²)、σ_rZ(t)＝0.03σ_s(2t-t²)的时候，可以计算出在t＝1秒时三维弹塑性弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度的数值解。现分别将三维弹塑性弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度的数值解绘制图线如图3a-3e所示。

结合附图2a-2e和3a-3e可以看出，在相同强度和相同变化率的冲击载荷作用下，相同的三维裂纹直线部分长度和相同的三维弯曲裂纹形状参数对应的三维弯曲裂纹动态塑性区尺寸最大值于三维裂纹直线部分延长线上的投影长度随着三维裂纹体厚度的不断增大而减小，具体减少的数量详见图2a-2e和3a-3e的十个组图。当三维裂纹体厚度均匀增加时，三维动态塑性区尺寸最大值的投影长度不断减小，减小的幅度越来越小。

另外可以看出，当三维裂纹体厚度相同时，三维弯曲裂纹动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度随冲击载荷的不断增强而增大。

实施例三：

以轧制铝为例，轧制铝的泊松比ν＝0.36。当作用于裂纹体的外部冲击载荷分别为：σ_aZ(t)＝σ_s[1-(t-3)²]的时候，可以计算出在t＝3秒时三维弹塑性弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度的数值解。现分别将三维弹塑性弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度的数值解绘制图线如图4a-4e所示。

从图4a-4e的五个组图可以看出，三维裂纹体的厚度越大，对于相同的裂纹直线部分长度、相同的弯曲程度，三维弯曲裂纹动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度随着外加冲击载荷的不断增强而增大的速率逐渐减小。当三维裂纹体的厚度均匀增加时，三维弯曲裂纹塑性区尺寸最大值投影长度随着外加冲击载荷增强而增大的速率的增长程度在逐渐减弱。

本发明计算出三维弹塑性弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度，并作图分析了三维动态塑性区尺寸最大值与三维裂纹体厚度的变化关系。

(1)由于离面约束因子和三轴应力约束效应，三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于三维裂纹直线部分延长线上的投影长度随着三维裂纹体厚度的增大而减小，当三维裂纹体厚度等速均匀增加时，裂纹尖端塑性区尺寸最大值的投影长度不断减小，减小的幅度将越来越小，最终趋于平面应变状态的相应参量值。

(2)从文中图形计算曲线的结果观察可知，当裂纹体厚度小于5mm时，弯曲裂纹尖端动态塑性区的最大值与变化率接近平面应力状态的相应参量值，当裂纹体厚度大于100mm时，弯曲裂纹尖端塑性区域的最大值与变化率基本接近平面应变状态的相应参量值。这进一步说明了平面应力状态与平面应变状态具有连续性和统一性。

(3)土木建筑、航空航天、舰船潜艇等工程结构普遍承受冲击载荷，而其中存在着大量的三维弹塑性弯曲裂纹，因此研究其冲击断裂特性具有非常重大的工程实用价值和意义。

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (1)

1.三维冲击载荷弹塑性弯曲裂纹尖端塑性区的分析方法，其特征在于：所述分析方法包括以下步骤：

S1：三维弯曲裂纹尖端动态塑性区边界应力状态的分析；

S2：三维弯曲裂纹尖端动态塑性区最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度的数值求解；

S3：三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度变化分析；

步骤S3中三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度变化分析具体包括：

S31：选择相同材质下不同厚度的三维弯曲裂纹体进行分析；

S32：在不同厚度的三维弯曲裂纹体的外部分别加载相同的冲击载荷；

S33：计算在相同时间下不同厚度的三维裂纹体尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度；

S34：在同一坐标系下绘制同一厚度、不同弯曲裂纹形状参数的三维裂纹体的动态塑性区尺寸最大值于不同长度的裂纹直线部分延长线上的投影长度变化曲线；

步骤S3中三维弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度变化分析具体还可以包括：

S31：选择相同材质下不同厚度的三维弯曲裂纹体进行分析；

S32：在不同厚度的三维弯曲裂纹体的外部分别加载相同的冲击载荷；

S33：计算在相同时间下不同厚度的三维裂纹体的尖端动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度；

S34：在同一坐标系下绘制同一厚度的三维裂纹体在不同外应力下动态塑性区尺寸最大值于不同长度的弯曲裂纹直线部分延长线上的投影长度变化曲线；

在相同强度和相同变化率的冲击载荷作用下，相同的三维裂纹直线部分长度和相同的三维弯曲裂纹形状参数对应的三维弯曲裂纹动态塑性区尺寸最大值于三维裂纹直线部分延长线上的投影长度随着三维裂纹体厚度的不断增大而减小，当三维裂纹体厚度等速均匀增加时，裂纹尖端塑性区尺寸最大值的投影长度不断减小，减小的幅度将越来越小，最终趋于平面应变状态的相应参量值；当三维裂纹体几何尺寸相同时，三维弯曲裂纹尖端塑性区尺寸最大值随冲击载荷的不断增强而逐渐增大，三维裂纹体的厚度越大，对于相同的裂纹直线部分长度、相同的弯曲程度，三维弯曲裂纹动态塑性区尺寸最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度随着外加冲击载荷的不断增强而增大的速率逐渐减小；当三维裂纹体的厚度均匀增加时，三维弯曲裂纹塑性区尺寸最大值投影长度随着外加冲击载荷增强而增大的速率的增长程度在逐渐减弱；

当裂纹体厚度小于5mm或者大于100mm时，弯曲裂纹尖端塑性区域的最大值与变化率基本接近平面应变状态的相应参量值；

步骤S1中三维弯曲裂纹尖端动态塑性区边界应力状态的分析方法包括：

其中，三维弯曲裂纹尖端塑性区边界应力状态为σ_1Z、σ_2Z和σ_3Z，σ_s为材料的塑性屈服极限，B为三维裂纹体的等效厚度、v为材料的泊松比、z表示三维约束方向对称面约束方向位移，R(t)为二维弯曲裂纹尖端动态塑性区在裂纹直线部分延长线上的射影长度、R_Z(t)为三维弯曲裂纹尖端动态塑性区在裂纹直线部分延长线上的射影长度、T′_Z为离面约束因子，为三维裂纹体的平均离面约束因子，f(T′_Z)为T′_Z的三轴应力约束函数，/>为/>的三轴应力约束函数，r是指沿裂纹切线方向与三维裂纹体自由表面之间的距离，/>是裂纹尖端塑性区贯穿厚度的平均半径，A、B₁、B₂是关于z/B的拟合函数；

式(2)、式(3)与式(4)中的负号表示三维弯曲裂纹尖端动态塑性区边界上的正应力与剪应力的作用与外应力的作用是相反的；

三维动态塑性区边界上的均布正应力σ_1Z(t)与剪应力σ_2Z(t)在假想三维弯曲裂纹尖端产生的I型、II型应力强度因子分别为K_IPZ(t)、K_IIPZ(t)，依据三维断裂理论和定量分析过程，推导可得：

步骤S2中三维弯曲裂纹尖端动态塑性区最大值于裂纹直线部分延长线上的投影长度的数值求解方法包括：

因为点O′是三维弯曲裂纹尖端塑性区的端点，应无奇异性，故其而

所以，

又因为三维弯曲裂纹尖端塑性区存在于均一同类物质的弹性区域中，故裂纹路径的预测取决于局部对称准则，此准则要求在弯曲裂纹扩展过程中，三维塑性区边界上的均布正应力σ_1Z与剪应力σ_2Z在假想三维弯曲裂纹尖端产生的应力强度因子K_IIPZ＝0，而由假想三维弯曲裂纹尖端的无奇异性还可知而/>所以

于是，可以得到：

将式(9)、式(14)及式(15)带入式(11)，并辅以式(13)，用数值解法可以计算出三维弹塑性弯曲裂纹尖端动态塑性区尺寸最大值的投影长度；同理，由形状参数α_Z、β_Z、γ_Z可以确定出三维冲击载荷作用下弯曲裂纹的扩展路径。