CN110362928B - 确定超弹性薄壁圆柱壳的内共振特性的方法 - Google Patents

Abstract

确定超弹性薄壁圆柱壳的内共振特性的方法，属于材料领域。为了解决外激励下壳体的内共振行为，考虑几何和材料非线性以确定其运动行为的问题。建立描述薄壁圆柱壳运动的数学模型：确定满足边界条件的中表面位移函数，推导出描述径向简谐激励作用下薄壁圆柱壳运动的耦合非线性微分方程组；根据不同模态响应的固有频率，确定壳体产生2:1内共振的存在条件并得到幅频响应关系，分析稳态响应的稳定性；验证稳态响应中存在双跳现象，确定外部激励幅值、阻尼系数和结构对其影响，能够对于超弹性薄壁圆柱壳进行其内共振特性的数值分析，得到准确的模型，实现了准确的运动行为分析。

Description

确定超弹性薄壁圆柱壳的内共振特性的方法

技术领域

本发明属于材料领域，涉及一种确定超弹性薄壁圆柱壳的内共振特性的方法。

背景技术

所指的超弹性材料，在许多经典的教材中都有定义，如文献^[1]，即：“如果存在一个与对称应变度量有关的应变能密度函数，使得应力度量等于应变能密度对对称应变度量的微分，这样的材料是超弹性的”。随着材料科学的发展，由超弹性材料(如橡胶、类橡胶材料)组成的壳体结构在机械制造以及航空航天领域得到了广泛的应用。因此，对壳体结构的动力学行为的研究有非常重要的意义。

对壳体的非线性振动问题已经有了广泛的研究。许多研究大都基于Donnell非线性浅壳理论进行的。如Sofiyev^[2]研究了基于剪切变形的正交功能梯度圆柱壳的非线性自由振动问题，并讨论了剪切应力、材料梯度以及圆柱壳特性对非线性频率的影响。Bich等^[3]基于改进的Donnell非线性浅壳理，伽辽金法以及四阶Runge-Kutta法，研究了功能梯度材料组成圆柱壳的非线性振动问题，并分析了材料特性、预加轴向压缩载荷和结构参数对壳的动力学行为的影响。Zhang等^[4]提出了一种用于带有弹性约束的硬涂层圆柱壳的非线性振动分析的统一的有限元迭代法。Hamzah等^[5]利用有限元法分析了不同环境温度下圆柱壳的动力学特性。Hasrati等^[6]提出了一种有效的数值解法用于描述圆柱壳的自由和受迫振动。Ma等^[7]基于改进的Fourier-Ritz法，分析了在任意边界条件下耦合圆锥-圆柱壳的自由和受迫振动问题。Guo等^[8]研究了增强纤维复合材料组成的层合壳的非线性振动，讨论了横向激励和压电性能对层合壳动力稳定性的影响。近些年，由新型复合材料组成的壳体振动问题也有了广泛的研究。Shen^[9]在热环境下研究了纳米增强复合材料圆柱壳的非线性振动问题。Wang等^[10]发现石墨烯增强的泡沫金属圆柱壳具有硬弹簧振动特性，壳体的非线性与线性频率比与孔隙率分布和石墨烯的形态有关。

内共振是有别于线性振动的一种特殊的非线性振动。在多自由度系统中，系统参数的不同导致固有频率可约或近似可约，不同模态之间产生能量转换^[11]。多年来，许多学者对内共振下结构的动力学行为进行了研究，其中一些学者对板的内共振特性进行了研究。Sun等^[12]研究了在1:3内共振下矩形板不同模态间的能量传递问题，证明了当不同模态之间产生内共振时，其能量传递模式是不同的。Tang等^[13]研究了3:1内共振下面内平移粘性板的非线性受迫振动问题。特别地，Sayed等^[14]研究了在1∶1∶3内共振和主共振两种情况下复合压电层合板的非线性振动响应，并讨论了系统的稳定性。同时，一些学者研究了壳的内共振问题。Du等^[15]在Lagrange理论和多尺度法的基础上，研究了无限长功能梯度圆柱壳的非线性振动问题，利用数值延续算法，分析了在1:2内共振下的幅频响应曲线和分岔行为，并说明了幂律指数的影响。Yang等^[16]研究了具有1:2内共振的碳纤维增强聚合物层合圆柱壳的非线性振动，给出了径向线荷载、失谐参数和轴向激励对共振行为的影响。Zhang等^[17]讨论了厚度半径和转速对旋转圆柱壳的非线性强迫共振响应的影响。Liu等^[18]分析了复合材料层合圆柱壳在两端存在径向预加载荷作用下的非线性振动问题，基于渐近摄动法，导出了在1:2内共振下和主参数共振-1/2亚谐波共振下的四维非线性平均方程，同时，作者发现该系统存在周期性和混沌交替运动。特别地，Breslavsky等^[19]研究了在多频激励下充水圆柱壳的1:1:2:2内共振问题。此外，一些学者也对于其他结构的内共振问题的进行了研究。如，Chen等^[20]研究了轴向加速粘弹性梁的组合共振和主参数共振问题。Ding等^[21]利用实函数结合直接多尺度法，揭示了运动粘弹性梁在3:1内共振条件下的稳态周期响应问题，确定稳态响应幅值并讨论了粘性行为的影响。Mao等^[22]分析了超临界状态下下3:1内共振流体输送管道的强迫振动问题。此外,为了提高振动能量采集，Chen等^[23]提出了一种具有贯穿非线性的电磁作为内共振能量采集器原型，利用多尺度的方法导出了2:1内共振下幅频响应关系。结果表明，响应有两个分别向左、向右弯曲的峰。到目前为止，相关的文献已经非常丰富，由于篇幅限制，此处不再赘述。

对于由超弹性材料组成的相关结构，有一些有意义的研究。Breslavsky等^[24]研究了由超弹性材料组成的方形薄板非线性振动问题。Tripathi等^[25]讨论了非线性材料参数对1:2内共振下Mooney-Rivlin材料组成的板的平面振动的影响。Wang等^[26]研究了由一类经典的可压缩neo-Hookean材料组成的圆柱管的径向和轴向对称运动。Yuan等^[27]给出了由Ogden材料组成的圆柱管径向有限振动的控制条件。利用推广的Hamilton原理和Galerkin方法，Wang等^[28]揭示了平面泊松比对轴向加速超弹性梁的主参数共振响应的影响。

发明内容

为了解决橡胶圆柱壳的内共振行为下，考虑几何和材料非线性以确定其运动行为的问题，本发明提出如下技术方案：一种确定超弹性薄壁圆柱壳的内共振特性的方法，包括：建立描述薄壁圆柱壳运动的数学模型：确定满足边界条件的中表面位移函数，推导出描述径向简谐激励作用下薄壁圆柱壳运动的耦合非线性微分方程组；根据壳体不同模态响应的固有频率，确定2:1内共振的存在条件并得到幅频响应关系，分析稳态响应的稳定性；验证壳体的稳态响应中存在双跳现象，确定外部激励幅值、阻尼系数和结构对其影响。

有益效果：本发明通过建立描述薄壁圆柱壳运动的数学模型，能够对于超弹性薄壁圆柱壳进行其内共振特性的数值分析，得到准确的模型，实现了准确的运动行为分析，该发明能够确定外部激励幅值、阻尼系数和结构对稳态响应中存在的双跳现象影响，而该影响能够体现材料行为特征，从而对于几何和材料非线性能够加以利用。

附图说明

图1圆柱壳的草图和坐标系，(a)示意图；(b)壳的表面的横截面；

图2不同模态(m,n)下圆柱壳的径向固有频率，α＝0.018，η＝2.2572，R＝100×10^{- 3}m；

图3薄壁圆柱壳对称模态与非对称模态的幅频响应曲线；

图4不同激励幅值下幅频响应曲线，(a)对称模态(b)非对称模态；

图5不同阻尼下幅频响应曲线，(a)不同c₁下对称模态的幅值；(b)不同c₁下非对称模态的幅值；(c)不同c₂下对称模态的幅值；(d)不同c₂下非对称模态的幅值；

图6不同径长比下幅频相应曲线，(a)对称模态，(b)非对称模态；

图7不同厚径比下幅频响应曲线，(a)对称模态，(b)非对称模态。

具体实施方式

1.技术概要

本发明的主要目的是研究超弹性薄壁圆柱壳的内共振特性。目前为止，对内共振下的壳体的内共振行为，很少文献考虑几何和材料非线性。本发明主要研究由超弹性Mooney-Rivlin材料组成的薄壁圆柱壳的非线性振动问题并发现一些有意义的特性，如2:1内共振。第二节主要建立了描述薄壁圆柱壳运动的数学模型，包括几何关系、超弹性本构关系、边界条件和控制方程。第三节给出了满足边界条件的中表面位移函数，推导了描述径向简谐激励作用下薄壁圆柱壳运动的耦合非线性微分方程组。第四节通过对不同模态固有频率的分析，给出了壳体产生2:1内共振的存在条件，利用多尺度法得到了幅频响应关系，并进一步讨论了稳态响应的稳定性。第5节给出了相应趣的数值算例，如2:1内共振下薄壁圆柱壳的响应曲线。此外，还分析了外部激励幅值、阻尼系数和结构参数对响应的影响。

2.数学模型

2.1几何关系

假设该薄壁圆柱壳的由不可压缩材料组成的。如图1(a)所示，(x,θ,r)表示在壳的中面建立的柱坐标系，u₁,u₂,u₃是壳上任意一点的位移，R,h,l分别是壳的中面半径、厚度和长度。u,v,w壳的中面上一点在轴向、环向和径向的位移。

根据Kirchhoff-Love假设^[29]，壳上任意一点的位移(u₁,u₂,u₃)与壳上中面上一点的位移(u,v,w)的关系如下

其中，z是壳上任意一点到中面的距离，如图1(b)所示。

基于Donnell非线性浅壳理论^[30]，可得圆柱壳的中面应变与位移的关系，即

2.2超弹性本构关系

众所周知，超弹性材料的本构关系可完全由其应变能函数表示。此外，超弹性结构一般具有材料非线性和几何非线性。由于物体在变形或运动过程中体积的变化，超弹性材料主要分为两大类，即可压缩以及不可压缩^[31]。不失一般性，常见的应变能函数可以表示为以下两种形式，即：

Φ＝Φ(F)＝Φ(λ₁,λ₂,λ₃) (3)

或

Φ＝Φ(C)＝Φ(I₁,I₂,I₃) (4)

其中，λ₁,λ₂,λ₃的变形梯度张量F的主值，I₁,I₂,I₃是右Cauchy-Green变形张量C的主不变量。常见的经典超弹性本构模型包括Mooney-Rivlin模型,neo-Hookean模型，Ogden模型^[31]等。更多的可见文献Refs.[32,33]。

一般而言，右Cauchy-Green变形张量C可表示为C＝2E+I，此处E是Lagrange变形张量。在柱坐标系(x,θ,r)中，E和C的表达式如下所示：

根据Cauchy-Green变形张量，三个主不变量可由下式给出，

I₁＝tr C,I₂＝[(tr C)²-tr C²]^1/2,I₃＝det C (6)

即：

对于不可压缩超弹性材料，基于薄壳理论以及不可压缩条件I₃＝det C＝1^[31]，可得ε_rr关于ε_xx,ε_θθ,ε_xθ的表达式。将小应变ε_rr在ε_xx,ε_θθ,ε_xθ处展开到二阶，则有：

在本发明中，假设薄壁圆柱壳的由不可压缩Mooney-Rivlin材料组成，其相应的应变能函数如下所示：

其中，μ₁,μ₂是材料参数。

将式(7)和(8)代入到式(9)，则应变能函数Φ可变为：

2.3能量变分原理与边界条件

由于薄壁圆柱壳受到径向简谐激励作用，其相应的动能T与势能P表达式如下:

其中，“·”表达对时间t的导数，ρ,h分别为壳的材料密度与厚度

令W_e为周期外力所做的虚功，引入Rayleigh耗散函数描述非保守阻尼力做功W_d ^[34]，则有：

其中，F_x，F_θ，F_z分别为作用在壳体x,θ和r方向的分布载荷，c是与模态展开有关的参数，通过计算W_d可记为^[35]：

其中，

阻尼系数c_m,n是模态阻尼比有关，可以从实验得到。

广义力Q_i(i＝1,2，…)由Rayleigh耗散函数与外力所做虚功的微分得到，即

其中，q_i表示广义坐标，i是该系统的自由度。

为得到描述圆柱壳运动的非线性微分方程，现引入Lagrange函数，即L＝T-P。相应的Lagrange方程如下所示：

对于两端简支的薄壁圆柱壳，其边界条件为：

v＝w＝0 x＝0，l (17)

其中，v,w分别表示一点的环向和径向位移

3.圆柱壳的径向运动方程

在柱壳的非线性振动中，各模态之间将发生非常复杂的相互作用，表现出极其丰富多变的振动行为。下述给出了中面上满足边界条件的一点的位移函数^[36]，即：

其中，m为轴向半波数，n为环向波数，λ_m＝mπ/L，t为时间，u_mn(t),v_mn(t),w_mn(t)是广义坐标，且为与时间t有关的函数。

在应用中，常用的方法是基于频率关系研究式(18)中的几项。由于本发明研究的是在径向简谐激励作用下圆柱壳的非线性内共振问题，因此需要考虑由外激励频率直接激活的模态自己由内共振激活的模态，此外，因为对称模态在壳的非线性动力学行为中起着十分重要的作用，则提取的位移函数如下：

其中，(u₁,v₁,w₁)、(u₂,v₂,w₂)分别为对称模态与非对称模态的广义模态位移。

令q＝[u₁,u₂,v₁,v₂,w₁,w₂]^T。将式(19)代入到式(16)，进一步化简可得：

其中，M为一般质量矩阵，C为阻尼矩阵，K为线性刚度矩阵，K₂和K₃分别为二次和三次非线性刚度矩阵，F＝[F₁,F₂,F₃,F₄,F₅,F₆]^T表示激励幅值。一般质量矩阵与线性刚度矩阵详见附录A。

由于薄壁圆柱壳受到径向简谐激励作用，即有F₁＝F₂＝F₃＝F₄＝0。由于面内位移相对于径向位移较小，相应的面内惯性与阻尼可以忽略不计。基于自由度凝聚法^[37]，[u₁,u₂,v₁,v₂]^T，[w₁,w₂]^T和

的关系如下所示：

其中

进一步可得下述方程组：

根据式(21)的最后两行，可以提取如下的非线性微分方程，即：

将式(23)代入式(24)可得：

上述耦合的非线性微分方程可描述圆柱壳径向运动，根据文献[23]，方程组(25)包含2次和3次非线性项，则该系统可能存在内共振，在第四节中进一步验证这种可能性。

4.幅频响应

4.1内共振条件

为验证系统(25)内共振的存在条件，利用相应的线性方程得到不同模态的固有频率。忽方程组(25)的阻尼项以及非线性项，可得：

通过计算式(26)可得固有频率的表达式，即

对于不可压缩Mooney-Rivlin材料组成的薄壁圆柱壳，材料参数可从文献[21]中得到，即，μ₁＝416185.5Pa,μ₂＝-498.8Pa,ρ＝1100kgm^-3，定义结构参数α＝h/R，η＝2R/l，此处α表示厚径比，η表示径长比。不同的模态其对应的固有频率不同，模态以及相应的频率的变化趋势如图1所示。

如图2所示，对称模态(n＝0)的固有频率随着轴向半波数m的增大而增大。此外，通过比较不同轴向半波数m下的固有频率，可知当m＝1，频率最小。(m,n)＝(1,6)对应的线性频率达到最小值，此为薄壁圆柱壳的结构基频。此时对称模态(m,n)＝(1,0)频率与非对称模态(m,n)＝(1,6)频率的比值为ω₁:ω₂≈2:1，也即说明，壳体存在2:1内共振。

4.2多尺度分析

在本节中，利用多尺度法得到了方程组(25)的稳态解。为方便，现引入下列无量纲变量，

将式(28)代入到式(25)，这样

进一步引入下述变换，

则式(29)可变为：

式(31)给出了无量纲的壳体径向运动方程。

首先引入一个无量纲的小参数ε＝h/R衡量径向运动为小幅值，并将阻尼和外激励幅值表征为小参数，即

在该情况下，则式(31)可转换为

假设方程组(33)的解可以表示为关于小参数ε的幂级展开式，即有如下形式：

其中，T₀＝τ,T₁＝ετ表示为时间尺度，则展开式对新时间尺度的导数如下

其中，D_j,j＝0,1表示偏微分算子

将式(34)和(35)代入方程组(33)，令等式两边小参数ε的相同幂次的系数相等，可得：ε的零阶算子：

ε的一阶算子：

方程组(36)的解记作如下形式：

其中，A₁(T₁),A₂(T₁)为待确定的复数形式的幅值函数，cc为所在方程的左边各项的共轭复数，将式(38)代入方程组(37)可得：

其中，A₁，A₂的共轭复数为

在4.1节中验证了系统存在2:1内共振。现引入协调参数σ₁和σ₂分别描述Ω与1，λ与2的接近程度，给出了如下频率关系，即：

Ω＝1+σ₁ε,λ＝2+σ₂ε (40)

将式(40)代入方程组(39)消除永期项可得：

令幅值函数为：

其中，a_i和β_i(i＝1,2)分别是与时间T₁有关的幅值和相位。

将式(42)代入方程组(41)实虚部分离可得

其中

γ₁＝2β₂-σ₂T₁-β,γ₂＝σ₁T₁-β₂ (44)

对于稳态响应，a_i,γ_i(i＝1,2)与时间T₁无关，则有

对方程组(45)，消除γ₁,γ₂以及a₂，可得对称模态的幅频关系，即：

其中，

结合式(46)和式(47)可得幅值a₁。因此非对称模态的幅频关系为：

4.3稳定性分析

在本节中，通过Lynapunov理论讨论稳态响应解的稳定性。方程组(43)所对应的扰动方程如下所示：

其中，“T”表示向量的转置，J为Jacobian矩阵，J＝(J_ij)_4×4(i,j＝1,2,3,4)的具体的表达式详见附录B。如果J的所有特征值的实部均为负数，则对应的解是稳定的，如果J的特征值的至少有一个实部，则其解是不稳定的。在下一节中，通过数值算例中给出解的稳定性的判断。

5.数值算例

在第四节中，利用多尺度法得到了由不可压缩Mooney-Rivlin材料组成的薄壁圆柱壳的共振响应关系。相应的材料参数可从文献[21]中得到，且圆柱壳壳的中面半径为R＝100×10^-3m。所给的几何参数满足对称模态(m,n)＝(1,0)与非对称模态(m,n)＝(1,6)之间的2:1内共振条件。接下来将进一步讨论不同参数下的幅频响应关系，并分析共振响应的稳定性。在下述的图中，实线表示稳定的响应，虚线表示不稳定的响应。

5.1 2:1内共振响应

对于给定的参数P₂＝0.03，c₁＝0.06,c₂＝0.03,α＝0.018和η＝2.2572，下图给出了对称模和非对称模2:1内共振的响应曲线。

图3展示了在定参数下圆柱壳结构的幅频曲线，出现了典型的双跳现象，即曲线有两个分开的多值区间，以至于有两个分别向左、向右的共振峰，表明硬化型和软化型的非线性共存在超弹性薄壁圆柱壳中。虽然激励频率仅与非轴对称模态的自然频率接近，但是，由于内共振的作用，同样的也激发了轴对称模态的响应。这也证明了由外激励输入系统的能量可以在不同模态之间传递，而这是线性振动所不能实现的。通过比较响应幅值可知大部分能量仍然存储在直接激发的模态中。此外，通过对解的稳定性分析可知，在σ₁＝0附近，结构响应无稳定的解，这与文献[23]的结果一致。

5.2不同参数的影响

综上所述，2:1内共振存在特定的参数组合中，在下述小节中将详细讨论不同参数对共振响应的影响。此外，也对共振响应的稳定性进行分析。

5.2.1外激励幅值

一般情况下，激振振幅对壳体的响应有直接影响。因此，在本节中讨论不同激励幅值对幅频响应的影响，即P₂＝0.01,0.03和0.05

图4展示了在不同激励幅值对圆柱壳结构响应曲线的影响。对足够大的激励幅值P₂，出现了典型的双跳现象。对于不同的激励，曲线有两个分开的多值区间，以至于有两次跳跃，表明了壳的非线性软化和硬化特性。这一特性显著拓宽了壳体的振动响应范围，对内共振能量采集的应用具有重要意义。此外，它还有助于克服线性能量采集装置频段窄的缺点。

5.2.2阻尼系数

接下来讨论不同阻尼系数对圆柱壳共振响应的影响，此处有c₁,c₂＝0.03，0.06和0.08

图5给出了在不同阻尼系数对圆柱壳结构共振响应的影响。观察曲线可知，阻尼越小，其非线性越明显。随着阻尼系数的增大，幅值、共振区间、不稳定解的区间以及多值区间逐渐减小。可以推测当阻尼系数达到一定值时，多值区间将消失。通过比较图5(a-d)的幅值可知对称模态阻尼c₁相较于非对称模态阻尼c₂对幅值的影响较为明显。

5.2.3结构参数

在本节中，结构参数(即：径长比和厚径比)对圆柱壳的非线性响应有重要影响。在下述图中，首先讨论长径比对响应的影响，此处η＝2.2512，2.2552和2.2572

图6展示了不同径长比η下幅频响应曲线。当η＝2.2572时，通过计算可知协调参数σ₂足够小，也即说明对称模态的固有频率与非对称模态的固有频率的比值几乎等于2:1。两个模态的曲线中出现的两个共振峰近似对称。随着结构参数径长比η的减小，向右弯曲的峰逐渐消减直至消失，但向左弯曲的峰在一定程度上得到了加强。此外，通过比较Fig.6(a-b)可以发现，径长比η对非对称模态的影响更为明显，这导致了非对称模态所分配的能量更多。这种现象进一步说明了径长比的减小会抑制其非线性动力学行为的硬化特性，并对其非轴对称模态软化特性有所增强。与此同时，在截断参数σ₁＝0邻域中，随着η的减小，不稳定解的区间逐渐左移，当η增加到一定值时，不稳定解的区间将会消失。

接下来讨论厚径比对圆柱壳共振响应的影响，此处有α＝0.0179，0.01795和0.018。

图7展示了不同厚径比α下的幅频响应关系。厚径比α对圆柱壳的非线性振动响应的影响与径长比η类似，即随着厚径比α的减小，向右弯曲的共振峰将逐渐减小直至消失，同时向左弯曲的共振峰得到了一定的加强。并且对非轴对称模态的影响也是更加明显的。此外，厚径比α对不稳定区域变化的影响与径长比η一致。

6.结论

本发明主要研究了由不可压缩Mooney-Rivlin材料组成的薄壁圆柱壳在径向简谐激励作用下内共振问题。验证了由超弹性材料组成的薄壁圆柱壳存在2:1内共振现象。然后讨论了激励幅值、阻尼系数以及结构参数对圆柱壳非线性共振响应的影响。有如下结论：

(1)利用自由度凝聚法得到了描述圆柱壳径向运动的耦合微分方程。通过分析不同模态的固有频率给出了2:1内共振的存在条件。基于多尺度法得到了稳态解。

(2)在稳态响应中发现了典型的双跳现象。结构参数、激励幅值和阻尼系数对该现象有显著影响。(i)径长比和厚径比对共振响应的影响几乎相同。随着结构参数的减小，向右弯曲的共振峰被抑制直至消失。结构参数对非对称模态响应幅值的影响较对称模态更为明显。(ii)响应范围随激幅值的增大而增大，随阻尼系数的增大而减小。此外，激励幅值和阻尼系数对非对称模态响应的影响比轴对称模态响应的影响更为显著。

致谢本研究得到了国家自然科学基金(Nos.11672069,11702059,11672062)的支持.

附录A

一般质量矩阵：

M＝(M_ii)_6×6 i＝1,2,…,6

M₁₁＝M₃₃＝πlRhρ

线性刚度矩阵：

K＝(K_ij)_6×6 i,j＝1,2,…,6

K₁₂＝K₁₃＝K₁₄＝K₁₆＝0

K₂₆＝K₆₂＝-mπ²h(μ₁+μ₁),K₂₃＝K₂₅＝0

K₄₁＝K₄₃＝K₄₆＝0

附录B

J＝(J_ij)_4×4,i,j＝1,2,3,4

参考文献

[1]Bigoni,D.:Nonlinear solid mechanics:bifurcation theory andmaterial instability.Cambridge University Press(2012)

[2]Sofiyev,A.H.:Nonlinear free vibration of shear deformableorthotropic functionally graded cylindrical shells.Compos.Struct.142,35-44(2016)

[3]Bich,D.H.,Nguyen,N.X.:Nonlinear vibration of functionally gradedcircular cylindrical shells based on improved Donnell equations.J.SoundVib.331(25),5488-5501(2012)

[4]Zhang,Y.,Sun,W.,Yang,J.,Han,Q.:Nonlinear vibration analysis of ahard-coating cylindrical shell with elastic constraints by finite elementmethod.Nonlinear Dyn.90(4),2879-2891(2017)

[5]Hamzah,A.A.,Jobair,H.K.,Abdullah,O.I.,Hashim,E.T.,Sabri,L.A.:Aninvestigation of dynamic behavior of the cylindrical shells under thermaleffect.Case Stud.Therm.Eng.12,537-545(2018)

[6]Hasrati,E.,Ansari,R.,Torabi,J.:A novel numerical solution strategyfor solving nonlinear free and forced vibration problems of cylindricalshells.Appl.Math.Model.53,653-672(2018)

[7]Ma,X.,Jin,G.,Xiong,Y.,Liu,Z.:Free and forced vibration analysis ofcoupled conical-cylindrical shells with arbitrary boundaryconditions.Int.J.Mech.Sci.88,122-137(2014)

[8]Guo,X.,Liu,D.,Zhang,W.,Sun,L.,Chen,S.:Nonlinear dynamic analysisof macrofiber composites laminated shells.Adv.Mater.Sci.Eng.2017,1-17(2017)

[9]Shen,H.S.,Xiang,Y.:Nonlinear vibration of nanotube-reinforcedcomposite cylindrical shells in thermal environments.Comput.Meth.Appl.Mech.Eng.213,196-205(2012)

[10]Wang,Y.Q.,Ye,C.,Zu,J.W.:Nonlinear vibration ofmetal foamcylindrical shells reinforced with graphene platelets.Aerosp.Sci.Technol.85,359-370(2019)

[11]Nayfeh,A.H.,Mook,D.T.:Nonlinear oscillations.Wiley-Interscience,New York(1979)

[12]Sun,M.,Quan,T,Wang,D.:Nonlinear oscillations of rectangular platewith 1:3internal resonance between different modes.Results Phys.11,495-500(2018)

[13]Tang,Y.Q.,Chen,L.Q.:Primary resonance in forced vibrations of in-plane translating viscoelastic plates with 3:1 internal resonance.NonlinearDyn.69(1-2),159-172(2012)

[14]Sayed,M.,Mousa,A.A.,Mustafa,I.H.:Stability analysis of acomposite laminated piezoelectric plate subjected to combinedexcitations.Nonlinear Dyn.86(2),1359-1379.(2016)

[15]Du,C.,Li,Y.,Jin,X.:Nonlinear forced vibration of functionallygraded cylindrical thin shells.Thin-Walled Struct.78(78),26-36(2014)

[16]Yang,S.W.,Zhang,W.,Mao,J.J.:Nonlinear vibrations of carbon fiberreinforced polymer laminated cylindrical shell under non-normal boundaryconditions with 1:2 internal resonance.Eur.J.Mech.A-Solids.74,317-336(2019)

[17]Zhang Y,Liu J,Wen B.Nonlinear Dynamical Responses of RotaryCylindrical Shells with Internal Resonance.Acta Mech.Solida Sin.32(2):186-200(2019)

[18]Liu,T.,Zhang,W.,Wang,J.F.:Nonlinear dynamics of compositelaminated circular cylindrical shell clamped along a generatrix and withmembranes at both ends.Nonlinear Dyn.90(2),1393-1417(2017)

[19]Breslavsky,I.D.,Amabili,M.:Nonlinear vibrations of a circularcylindrical shell with multiple internal resonances under multi-harmonicexcitation.Nonlinear Dyn.1-10(2018)

[20]Chen,L.Q.,Tang,Y.Q.:Combination and principal parametricresonances of axially accelerating viscoelastic beams:recognitionoflongitudinally varying tensions.J.Sound Vib.330(23),5598-5614(2011)

[21]Ding,H.,Huang,L.,Mao,X.,Chen,L.Q.:Primary resonance oftravelingviscoelastic beam under internal resonance.Appl.Math.Mech.38(1),1-14(2017)

[22]Mao,X.Y.,Ding,H.,Chen,L.Q.:Steady-state response of a fluid-conveying pipe with 3:1internal resonance in supercritical regime.NonlinearDyn.86(2),795-809(2016)

[23]Chen,L.Q.,Jiang,W.A.:Internal Resonance EnergyHarvesting.J.Appl.Mech.82(3),031004(2015)

[24]Breslavsky.I.D.,Amabili,M.,Legrand,M.:Nonlinear vibrations ofthinhyperelastic plates.J.Sound Vib.333(19),4668-4681(2014)

[25]Tripathi,A.,Bajaj,A.K.:Design for 1:2 internal resonances in in-plane vibrations of plates with hyperelastic materials.J.Vib.Acoust.136(6),061005(2014)

[26]Wang,R.,Zhang,W.,Zhao,Z.T.,Zhang,H.W.,Yuan,X.G.:Radially andaxially symmetric motions of a class of transversely isotropic compressiblehyperelastic cylindrical tubes.Nonlinear Dyn.90(4),2481-2494(2017)

[27]Yuan,X.G.,Zhang,R.J.,Zhang,H.W.:Controllability conditions offinite oscillations of hyper-elastic cylindrical tubes composed of a class ofOgden material models.CMC:Computers,Materials and Continua.7(3),155-156(2008)

[28]Wang,Y.,Ding,H.,Chen,L.Q.:Nonlinear vibration of axiallyaccelerating hyperelastic beams.Int.J.Non-Linear Mech.,99,302-310(2018)

[29]Donnell,L.H.:A new theory for the buckling ofthin cylinders underaxial compression and bending.Trans.Asme.56(11),795-806(1934)

[30]Yamaki,N.:Elastic stability ofcircular cylindricalshells.Elsevier(1984)

[31]Fu Y.B.,Ogden R.W.:Nonlinear elasticity:theory andapplications.Cambridge University Press Cambridge(2001)

[32]Xin-Chun,S.,Chang-Jun,C.:Exact solution for cavitated bifurcationfor compressible hyperelastic materials.Int.J.Eng.Sci.39(10),1101-1117(2001)

[33]Amabili,M.:Nonlinear Mechanics of Shells and Plates in Composite,Soft and Biological Materials.Cambridge University Press(2018)

[34]Goldstein,H.:Classical Mechanics,Addison-Wesley PublishingCompany,Reading,MA(1980)

[35]Amabili,M.:Nonlinear vibrations and stability of shells andplates.Cambridge University Press(2008)

[36]Zhou,X.:Vibration and stability of ring-stiffened thin-walledcylindrical shells conveying fluid.Acta Mech.Solida Sin.25(2),168-176(2012)

[37]Zienhiewics,O.C.,Taylor,R.L.:The finite element method.McGraw-Hill,New York(1991)

以上所述，仅为本发明创造较佳的具体实施方式，但本发明创造的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明创造披露的技术范围内，根据本发明创造的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明创造的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种确定超弹性薄壁圆柱壳的内共振特性的方法，其特征在于：

建立描述薄壁圆柱壳运动的数学模型：确定满足边界条件的中表面位移函数，推导出描述径向简谐激励作用下薄壁圆柱壳运动的耦合非线性微分方程组；

根据不同模态响应的固有频率，确定壳体产生2:1内共振的存在条件并得到幅频响应关系，进而分析稳态响应的稳定性；

验证壳体的稳态响应中存在双跳现象，确定外部激励幅值、阻尼系数和结构对其影响；

假设该薄壁圆柱壳的由不可压缩材料组成的，(x,θ,r)表示在壳的中面建立的柱坐标系，u₁,u₂,u₃是壳上任意一点的位移，R,h,l分别是壳的中面半径、厚度和长度；u,v,w壳的中面上一点在轴向、环向和径向的位移；

根据Kirchhoff-Love假设，壳上任意一点的位移(u₁,u₂,u₃)与壳上中面上一点的位移(u,v,w)的关系如下：

u₃＝w(x,θ) (1)

其中，z是壳上任意一点到中面的距离；

基于Donnell非线性浅壳理论，可得圆柱壳的中面应变与位移的关系，即

常见的应变能函数可以表示为以下两种形式，即：

Φ＝Φ(F)＝Φ(λ₁,λ₂,λ₃) (3)

或

Φ＝Φ(C)＝Φ(I₁,I₂,I₃) (4)

其中，λ₁,λ₂,λ₃的变形梯度张量F的主值，I₁,I₂,I₃是右Cauchy-Green变形张量C的主不变量；

右Cauchy-Green变形张量C可表示为C＝2E+I，此处E是Lagrange变形张量；在柱坐标系(x,θ,r)中，E和C的表达式如下所示：

根据Cauchy-Green变形张量，三个主不变量可由下式给出，

I₁＝trC,I₂＝[(trC)²-trC²]^1/2,I₃＝detC (6)

即：

对于不可压缩超弹性材料，基于薄壳理论以及不可压缩条件I₃＝det C＝1，可得ε_rr关于ε_xx,ε_θθ,ε_xθ的表达式，将小应变ε_rr在ε_xx,ε_θθ,ε_xθ处展开到二阶，则有：

假设薄壁圆柱壳的由不可压缩Mooney-Rivlin材料组成，其相应的应变能函数如下所示：

其中，μ₁,μ₂是材料参数；

将式(7)和(8)代入到式(9)，则应变能函数Φ可变为：

由于薄壁圆柱壳受到径向简谐激励作用，其相应的动能T与势能P表达式如下:

其中，“·”表达对时间t的导数，ρ,h分别为壳的材料密度与厚度；

令W_e为周期外力所做的虚功，引入Rayleigh耗散函数描述非保守阻尼力做功W_d，则有：

其中，F_x，F_θ，F_z分别为作用在壳体x,θ和r方向的分布载荷，c是与模态展开有关的参数，通过计算W_d可记为：

其中，

阻尼系数c_m,n是模态阻尼比有关，可以从实验得到；广义力Q_i(i＝1,2，…)由Rayleigh耗散函数与外力所做虚功的微分得到，即

其中，q_i表示广义坐标，i是该系统的自由度；

为得到描述圆柱壳运动的非线性微分方程，现引入Lagrange函数，即L＝T-P，相应的Lagrange方程如下所示：

(1)对于两端简支的薄壁圆柱壳，其边界条件为：

v＝w＝0 x＝0，l (17)

其中，v,w分别表示一点的环向和径向位移；

在柱壳的非线性振动中，各模态之间将发生非常复杂的相互作用，表现出极其丰富多变的振动行为，下式给出中面上满足边界条件的位移函数：

其中：m为轴向半波数，n为环向波数，λ_m＝mπ/L，t为时间，u_mn(t),v_mn(t),w_mn(t)是广义坐标，且为与时间t有关的函数；

提取的位移函数如下：

其中，(u₁,v₁,w₁)、(u₂,v₂,w₂)分别为对称模态与非对称模态的广义模态位移；

令q＝[u₁,u₂,v₁,v₂,w₁,w₂]^T，可以得到

其中，M为一般质量矩阵，C为阻尼矩阵，K为线性刚度矩阵，K₂和K₃分别为二次和三次非线性刚度矩阵，F＝[F₁,F₂,F₃,F₄,F₅,F₆]^T表示激励幅值；

由于薄壁圆柱壳受到径向简谐激励作用，即有F₁＝F₂＝F₃＝F₄＝0，由于面内位移相对于径向位移较小，相应的面内惯性与阻尼可以忽略不计，基于自由度凝聚法，[u₁,u₂,v₁,v₂]^T，[w₁,w₂]^T和

的关系如下所示：

其中

进一步可得下述方程组：

根据式(21)的最后两行，提取如下的非线性微分方程，即：

将式(23)代入式(24)得：

上述耦合的非线性微分方程可描述圆柱壳径向运动；

(2)利用相应的线性方程得到不同模态的固有频率，忽方程组(25)的阻尼项以及非线性项，得：

通过计算式(26)得固有频率的表达式：

对于不可压缩Mooney-Rivlin材料组成的薄壁圆柱壳，材料参数μ₁＝416185.5Pa,μ₂＝-498.8Pa,ρ＝1100kgm^-3，定义结构参数α＝h/R，η＝2R/l，此处α表示厚径比，η表示径长比，不同的模态其对应的固有频率不同，对称模态的固有频率随着轴向半波数m的增大而增大；通过比较不同轴向半波数m下的固有频率，当m＝1，频率最小；(m,n)＝(1,6)对应的线性频率达到最小值，此为薄壁圆柱壳的结构基频，此时对称模态(m,n)＝(1,0)频率与非对称模态(m,n)＝(1,6)频率的比值为ω₁:ω₂≈2:1，也即说明，壳体存在2:1内共振；

(3)引入下列无量纲变量，

τ＝ω₂₀t,

将式(28)代入到式(25)，这样

进一步引入下述变换，

则式(29)可变为：

式(31)给出了无量纲的径向运动方程；

首先引入一个无量纲的小参数ε＝h/R衡量径向运动为小幅值，并将阻尼和外激励幅值表征为小参数，即

P₁＝ε²p₁,P₂＝ε²p₂ (32)

在该情况下，则式(31)可转换为

假设方程组(33)的解可以表示为关于小参数ε的幂级展开式，即有如下形式：

其中，T₀＝τ,T₁＝ετ表示为时间尺度，则展开式对新时间尺度的导数如下

其中，D_j,j＝0,1表示偏微分算子

将式(34)和(35)代入方程组(33)，令等式两边小参数ε的相同幂次的系数相等，可得：

ε的零阶算子：

ε的一阶算子：

方程组(36)的解记作如下形式：

其中，A₁(T₁),A₂(T₁)为待确定的复数形式的幅值函数，cc为所在方程的左边各项的共轭复数，将式(38)代入方程组(37)可得：

其中，A₁，A₂的共轭复数为

现引入协调参数σ₁和σ₂分别描述Ω与1，λ与2的接近程度，给出了如下频率关系，即：

Ω＝1+σ₁ε,λ＝2+σ₂ε (40)

将式(40)代入方程组(39)消除永期项可得：

令幅值函数为：

其中，a_i和β_i(i＝1,2)分别是与时间T₁有关的幅值和相位；

将式(42)代入方程组(41)实虚部分离可得

其中

γ₁＝2β₂-σ₂T₁-β,γ₂＝σ₁T₁-β₂ (44)

对于稳态响应，a_i,γ_i(i＝1,2)与时间T₁无关，则有

对方程组(45)，消除γ₁,γ₂以及a₂，可得对称模态的幅频关系，即：

其中，

结合式(46)和式(47)可得幅值a₁；因此非对称模态的幅频关系为：

2.如权利要求1所述的确定超弹性薄壁圆柱壳的内共振特性的方法，其特征在于：利用多尺度法得到由不可压缩Mooney-Rivlin材料组成的薄壁圆柱壳的共振响应关系，圆柱壳的中面半径为R＝100×10^-3m，所给的几何参数满足对称模态(m,n)＝(1,0)与非对称模态(m,n)＝(1,6)之间的2:1内共振条件，给出不同参数下的幅频响应关系，并分析共振响应的稳定性：

不同激励幅值对圆柱壳结构响应曲线的影响，对足够大的激励幅值P₂，出现了典型的双跳现象；对于不同的激励，曲线有两个分开的多值区间，以至于有两次跳跃，表明了壳的非线性软化和硬化特性；

不同阻尼系数对圆柱壳共振响应的影响，阻尼越小，其非线性越明显；随着阻尼系数的增大，幅值、共振区间、不稳定解的区间以及多值区间逐渐减小；推测当阻尼系数达到一定值时，多值区间将消失；对称模态阻尼c₁相较于非对称模态阻尼c₂对幅值的影响较为明显；

结构参数对圆柱壳的非线性响应的影响，分析不同径长比η下幅频响应曲线：当η＝2.2572时，通过计算可知协调参数σ₂足够小，说明对称模态的固有频率与非对称模态的固有频率的比值几乎等于2:1；两个模态的曲线中出现的两个共振峰近似对称，随着结构参数径长比η的减小，向右弯曲的峰逐渐消减直至消失，但向左弯曲的峰在一定程度上得到了加强；此外，径长比η对非对称模态的影响更为明显，这导致了非对称模态所分配的能量更多，这种现象进一步说明了径长比的减小会抑制其非线性动力学行为的硬化特性，并对其非轴对称模态软化特性有所增强；与此同时，在截断参数σ₁＝0邻域中，随着η的减小，不稳定解的区间逐渐左移，当η增加到一定值时，不稳定解的区间将会消失；

结构参数对圆柱壳的非线性响应的影响，分析不同厚径比α下的幅频响应关系：随着厚径比α的减小，向右弯曲的共振峰将逐渐减小直至消失，同时向左弯曲的共振峰得到了一定的加强，并且对非轴对称模态的影响也是更加明显的。

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