CN110355365A - 一种协同840d数控系统的ebm变方向成形动态切片方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，建立顶点数组对象VAO，在三维模型渲染时调整投影矩阵到切片高度，采用反向光线追踪算法，输出二维截面的二值图；采用二维轮廓提取方法从二值图中获得轮廓线的数据，输出首尾相接的闭合轮廓坐标，将所有相邻坐标连成直线，各直线首尾相接形成封闭曲线；当三角公差为1时，以夹角为140°的小直线起点作为分割点将轮廓数据分为直线部分和曲线部分，去除同一直线的邻近点、重复点和内部点，采用NURBS曲线对切片数据曲线部分进行分段拟合，然后通过840D数控系统进行动态切片。本发明减少了计算时间以及STL文件的转化误差，同时降低直线拐点的过堆积现象。

Description

一种协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法

技术领域

本发明属于快速成形技术领域，具体涉及一种协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法。

背景技术

电子束增材制造(EBM)广泛用于航空航天领域的精密毛坯件快速制造。

(1)传统的成形方法是在加工前将STL文件按指定高度进行切片，难以根据实际厚度调整切片高度，主要限制因素是单层切片时间过长，容易破坏成形步调；

(2)STL文件直接切片产生过多的小直线，成形过程电机频繁启停，导致电子枪“抖动”。

(3)当曲线曲率较大时，微直线逼近的成形方式会在拐点产生金属过堆积现象，如图2所示，导致成形无法继续。

(4)传统3轴机床无法根据模型曲率变化调成成形姿态，对于大曲率过渡零件或悬垂零件需要添加额外的支撑设计，而EBM成形中能量输入极大且单道熔池宽度为5mm左右，导致支撑结构无法轻易去除，因此并不适合添加支撑；

(5)由于成形层表面的凹凸轮廓多为曲线或曲面，即使采用精密的五轴机床要保证电子枪与当前成形层的距离恒定也需要3轴以上的联动配合。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于针对上述现有技术中的不足，提供一种协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，提高切片速度，实现成形过程中层厚动态调整，同时拟合轮廓数据，保证线速度恒定，减少金属过堆积，结合数控系统的姿态调整避免支撑结构的使用。

本发明采用以下技术方案：

一种协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，包括以下步骤：

S1、加载STL文件，建立顶点数组对象VAO，开启模板缓冲，在三维模型渲染时调整投影矩阵到切片高度，采用反向光线追踪算法，通过视点与体素的相交判断，依次遍历视野中的所有像素点，从设定高度处的像素点中读取图像数据，输出二维截面的二值图；

S2、采用二维轮廓提取方法从步骤S1得到的二值图中获得轮廓线的数据，输出首尾相接的闭合轮廓坐标，将所有相邻坐标连成直线，各直线首尾相接形成封闭曲线；

S3、当三角公差为1时，以夹角为140°的小直线起点作为分割点将轮廓数据分为直线部分和曲线部分，去除同一直线的邻近点、重复点和内部点，采用NURBS曲线对切片数据曲线部分进行分段拟合，然后通过840D数控系统进行动态切片。

具体的，步骤S1中，根据STL网格与空间中任意坐标点x间的位置关系，从摄像机位置发出的射线r(d)以及空间中任意三角网格的平面方程判断从视点发出指向像素点的射线与三维网格是否相交，依次遍历视野中的所有像素点，得到模型在指定高度处的二值图像。

进一步的，采用反向光线追踪算法，STL网格与空间中任意坐标点x间的位置关系表示为：

从摄像机位置发出的射线r(d)为：

r(d)＝c+dn

其中，d＞0，d为光线距离，c为摄像机位置坐标；

空间中任意三角网格的平面方程为：

[r(d)-o)]·N＝0

其中，o为三角网格坐标，N为该三角网格的法向量。

具体的，步骤S1中，使用OpenGL的模板缓冲进行三维切片，根据光线追踪方法，对模型进行三次渲染：当遇到外部网格时f(x)值+1；当遇到内部网格时f(x)值-1；删除缓冲区中值为0的区域。

具体的，步骤S2中，轮廓提取步骤如下：

S201、将位置坐标和标记存入特定的数组中；

S202、从网格中提取一个区块，成为当前激活区块并获得4个格点的坐标和凹凸信息；

S203、设搜索后的相邻坐标为p₁(x₁，y₁)和p₂(x₂，y₂)，对以中点为交点的坐标序列进行插值修正得到插值点p(x，y)，完成轮廓提取。

进一步的，插值点p(x，y)为：

具体的，步骤S3中，SINUMERIK 840D SL的BSPLINE插补功能通过控制点和权因子(BSPLINE X10 Y10 PW＝0.5)平滑连接分散的坐标点，成形过程中线速度始终恒定，设切片生成的轮廓坐标点为{V_k}，k＝0，1，...，n，节点矢量U＝{u₀u₁，...，u_m}，任意坐标点V_k对应的节点为根据n个坐标点构建n+1个线性方程组；用向心参数化方法对数据点进行参数化；采用3次样条曲线进行拟合。

进一步的，n+1个线性方程组如下：

其中，控制点C_i为待求量，节点值取值在[0，1]内；

对数据点进行参数化：

其中，k＝1，2，…，n-1，

为保证分割点两侧的曲线切线共线，设端点处的一阶导矢分别为F₀和F_n，曲线在端点处的重复为3：

其中，j＝1，2，…，n-p，

曲线端点的方程和控制曲线方向的一阶导矢方程为：

除端点外，每个内部节点的重复度为1，节点u_j的非零基函数最多有3个，除去端点外的n-1个方程为：

其中，k＝1，2，...，n-1，记系数为(n-1)×(n-1)的线性方程组计算如下：

具体的，步骤S3拟合完成后，根据模型各特征的成形方向调整840D数控系统工作台的角度，840D数控系统的第一电机1、第三电机3和第五电机5联动完成空间曲线成形，第一电机1通过旋转运动，840D数控系统的第二电机2通过直线运动，联动完成实现平面内的直线，整圆，圆弧和阿基米德螺旋线成形，用于曲线成形时的轮廓近似拟合，岛形轮廓填充、整圆成形，直线成形，圆弧成形，快速响应设置干伸长度，动态调整成形平面与电子枪的距离，进行切片。

进一步的，当实体模型特征分解后轴线为直线模型时，切片过程沿各特征的轴线方向进行切片，完成一个特征后，第五电机5旋转90°进行下一个特征成形；当模型特征分解后轴线为曲线时，以δ＝1°作为增量将模型分180次旋转180度，计算每次的最小包围盒，包围盒体积最小的位置即为模型的最佳摆放位置，以包围盒中面积最小的面P3作为初始切片面，以最长边作为切片方向，以面积最大的面作为试切平面P1；以P1剖切模型所得的切片轮廓曲率变化作为切片方向变化的调整依据，切片过程中按照设置的切片厚度计算曲线斜率与Z轴夹角θ，每次将模型旋转至θ角后沿着切片方向剖切；

变方向成形时，第五电机5根据曲率变化逐渐旋转，保证成形平面始终与工作台平行；当实际成形面出现凹凸起伏轮廓时，第五电机5根据反馈回来的电子枪位置数据左右摆动保证电子枪与工件的距离时刻稳定，此时第五电机5、第一电机1和第三电机3配合运动形成一条空间曲线，根据熔池表面的轮廓变化而变化。

与现有技术相比，本发明至少具有以下有益效果：

本发明一种协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，避免悬垂结构或大曲率部件在成形过程中的支撑结构设计；提高切片速度，在两成形层的加工间隙完成数据更新；拟合切片数据，保证成形过程平稳，实现数控系统对切片数据的快速响应。

进一步的，判断摄像机位置发出的射线是否与三角网格见存在相交关系1表示不可见，0表示0可见。

进一步的，根据三角网格的可见性，以(0，0，0)和(255，255，255)标记所有体素的颜色，将RGB值写入颜色缓冲器输出二值图像。

进一步的，MS搜索算法以网格顶点作为像素点与模型的交点，而实际上模型多与像素点的边相交。采用插值法优化提取的坐标数据，使轮廓过渡自然。

进一步的，采用NURBS曲线拟合二值图中提取的轮廓数据，转化为数控系统的曲线加工命令，保证成形过程线速度恒定，避免电机频繁启停，减少金属过堆积现象，提高模型可成形性。

进一步的，该硬件结构不仅可以在成形个过程中协同模型方向调整成形姿态，还能根据实际层厚的反馈信息，以三维螺旋线的插补方式对电子枪高度连续调整。

进一步的，根据模型的分解方向调整工作台的角度，保证实际成形平面绝对水平，提高模型的可成形性。

综上所述，本发明采用GPU切片算法并行加载体素信息，在三角网格数量较多时，可明显减少计算时间；在三维模型渲染时调整投影矩阵到切片高度，通过视点与体素的相交判断，输出截面二值图，采用MS算法输出手尾相接的闭合轮廓坐标；通过样条基函数对切片数据进行分段拟合，减少STL文件的转化误差，同时降低直线拐点的过堆积现象。

下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。

附图说明

图1为本发明GPU切片流程图；

图2为带角度成形示意图；

图3为本发明硬件结构图，其中，(a)为立体图，(b)为侧视图；

图4为电子枪距离动态调整图；

图5为拟合效果对比与误差分布图，其中，(a)为原始截线与轮廓拟合，(b)为切片数据和拟合数据的逼近误差；

图6为模型特征分类，其中，(a)为直线轴线，(b)为曲线轴线；

图7为试切截面轮廓；

图8为截面轮廓二值图。

其中，1.第一电机；2.第二电机；3.第三电机；4.第四电机；5.第五电机；6.转台；7.工作台。

具体实施方式

本发明提供了一种协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，采用显卡的并行计算技术对STL文件切片，提高数据获取速度，在前一层成形结束下一层开始成形之前这一短暂间隙，根据反馈数据调整层厚或成形姿态，不影响加工步调。配合硬件的基板旋转运动减少或避免支撑的使用。

请参阅图1，本发明一种协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，包括以下步骤：

S1、采用GPU切片方法并行加载体素信息，在三角网格数量多时，减少计算时间，建立顶点数组对象VAO，开启模板缓冲，在三维模型渲染时调整投影矩阵到切片高度，采用反向光线追踪算法，通过视点与体素的相交判断，从设定高度处的像素点中读取图像数据，输出截面二值图，如图8所示；

与物体照明不同，反向光线追踪算法的光线是从摄像机所在位置发出的，追踪并计算光线和模型相交处的光强与颜色并映射到对应的体素上，主要用于模型渲染等方面，整个过程需要沿着光线的折射或反射方向反复迭代，直到光线强度小于设定值或投射到环境中去时结束计算。而在轮廓截面获取中，只需考虑对应体素处有无模型，与颜色纹理等信息无关，因此计算过程中不考虑光线的折射和反射，当光线与模型相交，对应体素(像素点)设置为黑色，反之白色。为保证轮廓提取精度，根据成形过程对轮廓精度的要求初始化视野。

采用反向光线追踪算法，STL网格与空间中任意坐标点x间的位置关系表示为：

从摄像机位置发出的射线r(d)为：

r(d)＝c+dn

其中，d＞0，d为光线距离，c为摄像机位置坐标。

空间中任意三角网格的平面方程为：

[r(d)-o)]·N＝0

其中，o为三角网格坐标，N为该三角网格的法向量。

通过以上三个计算公式可判断从视点发出指向像素点的射线与三维网格是否相交，依次遍历视野中的所有像素点，即可得到模型在指定高度处的二值图像，不局限于三角网格类型的三维模型，只要可以与光线求得交点即可获取模型轮廓。

由于成形件尺寸较大，电子束成形往往与数控系统相结合，传统的STL切片产生的数据量过大，成形过程中电机频繁加减速运动，容易产生“抖刀”现象，因此需要对轮廓数据进行二次拟合，结合数控系统的B样条曲线或高次曲线的加工命令，减少G代码传输量的同时，保证曲线加工时的线速度恒定。

二维截面的动态高速获取具体为：

层厚和姿态动态调整需要在后续加工开始之前，快速计算出下层的填充方式甚至重新提取指定高度处的轮廓数据，GPU渲染加速和并行计算为这种方式的稳定可靠实现提供了可能。

使用OpenGL的模板缓冲进行三维切片，根据光线追踪方法，对模型进行三次渲染：

(1)当遇到外部网格时f(x)值+1；

(2)当遇到内部网格时f(x)值-1；

(3)删除缓冲区中值为0的区域。

S2、采用MS(Marching Square二维轮廓提取)方法从图像中获得轮廓线的数据，输出首尾相接的闭合轮廓坐标，将所有相邻坐标连成直线，则各直线首尾相接，形成一个封闭的曲线；

轮廓提取流程：

(1)将位置坐标和标记存入特定的数组中；

(2)从网格中提取一个区块，成为当前激活区块并获得4个格点的坐标和凹凸信息；

(3)设搜索后的相邻坐标为p₁(x₁，y₁)和p₂(x₂，y₂)，对以中点为交点的坐标序列进行插值修正，则插值点p(x，y)为：

S3、当三角公差为1时，通过样条基函数对切片数据进行分段拟合，采用NURBS曲线拟合将STL文件的转化误差减少29％，同时降低直线拐点的过堆积现象；

三维模型导出STL文件时，采用三角网格逼近原始的曲面，公差为1mm表示所有三角网格距离曲面的最大距离不超多1mm，如果采用直线连接形成轮廓则误差也是不超过1mm。当采用NURBS曲线拟合时，两点之间会根据之前点的变化趋势呈现出外凸或内凹的效果，因此拟合后的数据会更加逼近原始数据，误差减少情况如图5所示。

折线轮廓加工时每段直线都会经历“加速-匀速-减速”的过程，因此拐角处速度减到0，导致金属过堆积。采用曲线拟合后线速度始终恒定，因此单位时间内送入熔池的金属量也恒定。

NURBS轮廓拟合

STL切片产生的轮廓是由大量微段直线组成，且小直线间存在夹角，在成形过程中拐点速度减小导致单位时间送入熔池的金属量增加，随着夹角的减小过堆积现象越来越严重，如图2所示。通过实验发现当直线夹角大于140°时，过堆积现象明显改善。因此以夹角为140度的小直线起点作为分割点将轮廓数据分为直线部分和曲线部分，去除同一直线的邻近点、重复点和内部点，采用NURBS曲线拟合曲线部分，减少电机的启停次数，保证线速度恒定。

SINUMERIK 840D SL的BSPLINE插补功能可通过控制点和权因子(BSPLINE X10Y10 PW＝0.5)平滑连接分散的坐标点，成形过程中线速度始终恒定，设切片生成的轮廓坐标点为{V_k}，k＝0，1，...，n，节点矢量U＝{u₀，u₁，...，u_m}，任意坐标点V_k对应的节点为可根据n个坐标点构建n+1个线性方程组如下：

其中，控制点C_i为待求量，节点值取值在[0，1]内。

增材制造主要用于制造常规方法无法加工或难以加工的零件，模型大多含有复杂的曲线及曲面，其切片数据中C⁰连续的尖点或大曲率过渡的数据点所占比例较高，因此采用向心参数化方法对数据点进行参数化：

其中，k＝1，2，…，n-1，

为保证分割点两侧的曲线切线共线，设端点处的一阶导矢分别为F₀和F_n(通过端点与端点两侧坐标的连线近似求取)。采用3次样条曲线进行拟合，曲线在端点处的重复为3：

其中，j＝1，2，…，n-p，

曲线端点的方程和控制曲线方向的一阶导矢方程分别为：

除端点之外，每个内部节点的重复度为1，由3次样条曲线的性质可知，节点u_j的非零基函数最多有3个，因此除去端点外的n-1个方程为：

其中，k＝1，2，...，n-1，记系数为(n-1)×(n-1)的线性方程组计算如下：

S4、根据模型各特征的成形方向调整工作台7的角度，减少或避免支撑结构的使用；

请参阅图3和图6，通过第五电机5对工作台7进行角度调整，当实体模型特征分解后轴线为图6(a)所示的直线模型时，则切片过程沿着各特征的轴线方向进行切片，完成一个特征后，第五电机5旋转90°(两个特征轴线夹角)进行下一个特征成形。

当模型特征分解后轴线为曲线，如图6(b)所示。以δ＝1°作为增量将模型分180次旋转180度，计算每次的最小包围盒，包围盒体积最小的位置即为模型的最佳摆放位置，以包围盒中面积最小的面P3作为初始切片面，以最长边作为切片方向，以面积最大的面作为试切平面P1。

以P1剖切模型所得的切片轮廓曲率变化作为切片方向变化的调整依据，如图7所示。切片过程中按照设置的切片厚度计算图7中的曲线斜率与Z轴夹角θ，每次将模型旋转至θ角后沿着切片方向剖切。

成形过程中电机5根据每一层对应的θ角，转过相应的角度，始终保证成形平面处于绝对水平位置，避免支撑结构的使用。

S5、第一电机1、第三电机3、第五电机5联动可完成空间曲线成形，快速响应设置的干伸长度，动态调整成形平面与电子枪的距离。

请参阅图3，第一电机1通过皮带轮带动横梁旋转；第三电机3通过丝杠螺母副带动电子枪做往复运动，整个部件(第三电机3，丝杠螺母副和电子枪)固定在横梁上可随衡量旋转；电机2控制成形平面沿Z向升降；电机4控制成形平面沿Y向移动，电机5控制成形平面沿W方向旋转。

运动关系：第一电机1和第三电机3联动实现二维螺旋线；第一电机1，第二电机2和第三电机3联动实现三维螺旋线；横梁旋转至与Y轴平行，则第二电机2，第三电机3，第四电机4和第五电机5构成传统的笛卡尔坐标系，实现三轴半联动。。

第一电机1用于控制第一旋转轴，加工整圆时，只需第一电机1旋转一周即可完成，不需要多轴联动。第一电机1和第三电机3配合能够成形出阿基米德螺旋线，采用这种方式近似逼近曲线轮廓。

第二电机2用于控制Z轴，第三电机3用于控制变向X轴，具体方向受第一电机1决定，不完全沿X轴方向，第四电机4用于控制Y轴，第五电机5设置在工作台7上，用于控制第二旋转轴驱动转台6转动。

第一电机1通过旋转运动，第二电机2通过直线运动，联动完成实现平面内的直线，整圆，圆弧和阿基米德螺旋线成形，用于曲线成形时的轮廓近似拟合，岛形轮廓填充、整圆成形，直线成形，圆弧成形。在精度允许范围内提高数控系统对3D打印数据的响应速度。

变方向成形时，第五电机5根据曲率变化逐渐旋转，保证成形平面始终与工作台平行；当实际成形面出现图4所示的凹凸起伏轮廓时，第五电机5根据反馈回来的电子枪位置数据左右摆动保证电子枪与工件的距离时刻稳定，这一过程第五电机5、第一电机1和第三电机3配合运动形成一条空间曲线，根据熔池表面的轮廓变化而变化。

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。通常在此处附图中的描述和所示的本发明实施例的组件可以通过各种不同的配置来布置和设计。因此，以下对在附图中提供的本发明的实施例的详细描述并非旨在限制要求保护的本发明的范围，而是仅仅表示本发明的选定实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

请参阅图5，以STL文件为唯一的输入模型，生成以.out为后缀的数据信息，用于生成后期的数控加工代码。

采用直线和样条基函数对轮廓坐标二次拟合。NURBS曲线可根据原始数据的延伸趋势以凸轮廓或凹轮廓的形式逼近蓝色截线，还原原始数据。以图形包络矩形的形心为极点，设置极点增量Δθ＝π/360，计算三条曲线的极径，分别得出拟合数据和切片数据与原始数据的误差分布。切片数据的与原始数据的误差范围为[-0.22，0.2343]，而拟合数据与原始数据的误差范围为[0.1381，-0.1609]，误差减少29.9％。

以上内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、加载STL文件，建立顶点数组对象VAO，开启模板缓冲，在三维模型渲染时调整投影矩阵到切片高度，采用反向光线追踪算法，通过视点与体素的相交判断，依次遍历视野中的所有像素点，从设定高度处的像素点中读取图像数据，输出二维截面的二值图；

S2、采用二维轮廓提取方法从步骤S1得到的二值图中获得轮廓线的数据，输出首尾相接的闭合轮廓坐标，将所有相邻坐标连成直线，各直线首尾相接形成封闭曲线；

S3、当三角公差为1时，以夹角为140°的小直线起点作为分割点将轮廓数据分为直线部分和曲线部分，去除同一直线的邻近点、重复点和内部点，采用NURBS曲线对切片数据曲线部分进行分段拟合，然后通过840D数控系统进行动态切片。

2.根据权利要求1所述的协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，其特征在于，步骤S1中，根据STL网格与空间中任意坐标点x间的位置关系，从摄像机位置发出的射线r(d)以及空间中任意三角网格的平面方程判断从视点发出指向像素点的射线与三维网格是否相交，依次遍历视野中的所有像素点，得到模型在指定高度处的二值图像。

3.根据权利要求2所述的协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，其特征在于，采用反向光线追踪算法，STL网格与空间中任意坐标点x间的位置关系表示为：

从摄像机位置发出的射线r(d)为：

r(d)＝c+dn

其中，d＞0，d为光线距离，c为摄像机位置坐标；

空间中任意三角网格的平面方程为：

[r(d)-o)]·N＝0

其中，o为三角网格坐标，N为该三角网格的法向量。

4.根据权利要求1所述的协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，其特征在于，步骤S1中，使用OpenGL的模板缓冲进行三维切片，根据光线追踪方法，对模型进行三次渲染：当遇到外部网格时f(x)值+1；当遇到内部网格时f(x)值-1；删除缓冲区中值为0的区域。

5.根据权利要求1所述的协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，其特征在于，步骤S2中，轮廓提取步骤如下：

S201、将位置坐标和标记存入特定的数组中；

S202、从网格中提取一个区块，成为当前激活区块并获得4个格点的坐标和凹凸信息；

S203、设搜索后的相邻坐标为p₁(x₁，y₁)和p₂(x₂，y₂)，对以中点为交点的坐标序列进行插值修正得到插值点p(x，y)，完成轮廓提取。

6.根据权利要求5所述的协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，其特征在于，插值点p(x，y)为：

。

7.根据权利要求1所述的协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，其特征在于，步骤S3中，SINUMERIK 840D SL的BSPLINE插补功能通过控制点和权因子(BSPLINE X10Y10 PW＝0.5)平滑连接分散的坐标点，成形过程中线速度始终恒定，设切片生成的轮廓坐标点为{V_k}，k＝0，1，...，n，节点矢量U＝{u₀，u₁，...，u_m}，任意坐标点V_k对应的节点为根据n个坐标点构建n+1个线性方程组；用向心参数化方法对数据点进行参数化；采用3次样条曲线进行拟合。

8.根据权利要求7所述的协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，其特征在于，n+1个线性方程组如下：

其中，控制点C_i为待求量，节点值取值在[0，1]内；

对数据点进行参数化：

其中，k＝1，2，…，n-1，

为保证分割点两侧的曲线切线共线，设端点处的一阶导矢分别为F₀和F_n，曲线在端点处的重复为3：

其中，j＝1，2，…，n-p，

曲线端点的方程和控制曲线方向的一阶导矢方程为：

除端点外，每个内部节点的重复度为1，节点u_j的非零基函数最多有3个，除去端点外的n-1个方程为：

其中，k＝1，2，...，n-1，记系数为(n-1)×(n-1)的线性方程组计算如下：

9.根据权利要求1所述的协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，其特征在于，步骤S3拟合完成后，根据模型各特征的成形方向调整840D数控系统工作台的角度，840D数控系统的第一电机、第三电机和第五电机联动完成空间曲线成形，第一电机通过旋转运动，840D数控系统的第二电机通过直线运动，联动完成实现平面内的直线，整圆，圆弧和阿基米德螺旋线成形，用于曲线成形时的轮廓近似拟合，岛形轮廓填充、整圆成形，直线成形，圆弧成形，快速响应设置干伸长度，动态调整成形平面与电子枪的距离，进行切片。

10.根据权利要求9所述的协同840D数控系统的EBM变方向成形动态切片方法，其特征在于，当实体模型特征分解后轴线为直线模型时，切片过程沿各特征的轴线方向进行切片，完成一个特征后，第五电机旋转90°进行下一个特征成形；当模型特征分解后轴线为曲线时，以δ＝1°作为增量将模型分180次旋转180度，计算每次的最小包围盒，包围盒体积最小的位置即为模型的最佳摆放位置，以包围盒中面积最小的面P3作为初始切片面，以最长边作为切片方向，以面积最大的面作为试切平面P1；以P1剖切模型所得的切片轮廓曲率变化作为切片方向变化的调整依据，切片过程中按照设置的切片厚度计算曲线斜率与Z轴夹角θ，每次将模型旋转至θ角后沿着切片方向剖切；

变方向成形时，第五电机根据曲率变化逐渐旋转，保证成形平面始终与工作台平行；当实际成形面出现凹凸起伏轮廓时，第五电机根据反馈回来的电子枪位置数据左右摆动保证电子枪与工件的距离时刻稳定，此时第五电机、第一电机和第三电机配合运动形成一条空间曲线，根据熔池表面的轮廓变化而变化。