CN110311392B - 一种基于spdmd的电力系统振荡模式及模态辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法，包括：利用时间振幅系数表征各振荡模式对应的能量权重，筛选出能量权重较大的振荡模式与振荡模态；对前N‑1列量测数据序列构成的矩阵进行变换计算初始振幅系数，在Frobenius范数项上引入罚函数项并结合ADMM确定初始振幅系数内部非零元素的位置，对初始振幅系数进行矩阵编码，采用拉式乘子法调整其内部非零元素数值大小以得到最优振幅系数；通过最优振幅系数中非零元素与各振荡模式间的对应关系确定主导振荡模式，完成主导振荡模态、主导参与因子与同调机群的协同辨识评估。本发明实现了电力系统振荡模式及模态辨识，弥补了DMD算法无法确定主导振荡模式数量的缺陷。

Description

一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法

技术领域

本发明涉及电力系统领域，尤其涉及一种基于稀疏增强动态模态分解(Sparsity-Promoting Dynamic Mode Decomposition，SPDMD)的电力系统振荡模式及模态辨识方法。

背景技术

区域间电网互联规模的不断扩大，电力负荷的日益增加，各电力电子化设备的广泛应用，远距离大容量输电线路的不断投切使用，使得电力系统的工作状态日趋饱和。同时，在电力系统运行过程中或多或少的会受到外界干扰，有些干扰会通过网络自身逐渐消失，而有些扰动可能会逐步扩大进而影响电力系统的安全稳定运行，严重时会造成全网解列甚至大规模停电事故。因此，准确识别出隐含在电力系统中的扰动信息用以对电网后续动态稳定性的评估及调整具有广泛而又深远的意义。

现如今，电力系统的小扰动稳定问题已成为限制区域间功率传输，影响电网稳定可靠运行的重要因素之一。电力系统的主导振荡模式、主导振荡模态、主导参与因子以及同调机群的协同辨识评估是小扰动稳定分析的主要内容。传统用于小扰动稳定分析的方法主要为特征值分析法，该方法虽然能够计算出电力系统所有的机电振荡模式，给出各振荡模式下各发电机组的可观性、可控性、参与因子以及灵敏度，但由于无法对系统进行较为精确的数学建模且随着状态矩阵维数的增加易出现“维数灾”问题。因此无法对电力系统进行实时稳定追踪控制从而导致该方法常用于电力系统的离线稳定分析。

目前，常用基于广域量测信息的分析方法并通过系统辨识的角度来分析电力系统的小扰动稳定性。而该分析方法多半聚焦于电力系统的主导振荡模式辨识，而对电力系统的主导振荡模态、主导参与因子及同调机群的辨识尚未开展有效的研究。该方法的核心在于通过相量量测单元(Phasor Measurement Unit，PMU)实时采集电力系统的量测信息并结合相关数据分析算法，提取出与PMU量测信息强相关的主导振荡模式。实现完全基于广域量测信息即可反应当前运行状态下电力系统的小扰动稳定性，进而在电网的广域在线监测、实时协调控制中有着广泛的应用。

常用的基于广域量测信息的分析方法主要有经验模态分解(EMD)算法、普罗尼(Prony)算法、连续小波变换(CWT)以及自回归滑动平均(ARMA)算法。其中，以EMD算法最为经典，其优势在于可以对任意非线性、非平稳信号进行分解并结合希尔伯特黄变换(HHT)算法提取出系统中丰富的动态信息。但该算法不能从多通道角度全面分析系统的振荡特性，从而不能对系统的整体性进行充分考量，在影响计算效率的同时也极大地降低了计算精度。因此，对一般电力系统广域量测信息的普适性分析仍有待提高^[1-3]。

发明内容

本发明提供了一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法，本发明实现了基于PMU实测数据的电力系统振荡模式及模态辨识，不仅从多通道角度更加全面的分析系统的振荡特性，而且弥补了DMD算法无法确定主导振荡模式数量的缺陷，详见下文描述：

一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法，所述方法包括：

利用时间振幅系数表征各振荡模式对应的能量权重，筛选出能量权重较大的振荡模式与振荡模态；

对前N-1列量测数据序列构成的矩阵进行变换计算初始振幅系数，在Frobenius范数项上引入罚函数项并结合ADMM确定初始振幅系数内部非零元素的位置，进一步对初始振幅系数进行矩阵编码，采用拉式乘子法调整其内部非零元素数值大小以得到最优振幅系数；

通过最优振幅系数中非零元素与各振荡模式间的对应关系来确定主导振荡模式，进而完成主导振荡模态、主导参与因子与同调机群的协同辨识评估。

进一步地，所述方法还包括：对多通道量测信号x(t)进行DMD算法预处理，借助囊括电力系统绝大部分动态信息的矩阵F并引入SVD提取系统的振荡模式与振荡模态。

其中，所述方法还包括：利用初始振幅系数来确定主导振荡模式的数量，并对虚假振荡模式进行剔除。

进一步地，所述采用拉式乘子法调整其内部非零元素数值大小以得到最优振幅系数具体为：

初始振幅系数为：

α＝[0 α₂ 0 α₄]^Τ

矩阵E定义为：

对含有等式约束的最小值问题，引入拉式乘子法对其进行计算：

L(α,μ)＝J(α)+μ^*E^Τα+(E^Τα)^*μ

式中，μ为拉式乘子。

其中，同调机群的辨识评估为：

式中，

代表振荡相位，ε代表振荡相位间5-10°的偏差。

在所述对多通道量测信号x(t)进行DMD算法预处理之前，所述方法还包括：标准化处理流程，具体为：

x_i,new＝(x_i-mean(x_i))./std(x_i)

式中，x_i为某一量测通道的量测数据，mean和std分别代表对该数据向量求取均值和标准差。

其中，所述借助囊括电力系统绝大部分动态信息的矩阵F并引入SVD提取系统的振荡模式与振荡模态具体为：

f_i＝Im(ln(λ_i))/2π/Δt

ζ_i＝-Re(ln(λ_i))/|λ_i|/Δt

式中，Re、Im代表取复数的实部与虚部，Δt为量测时间步长。

所述采用拉式乘子法调整其内部非零元素数值大小以得到最优振幅系数具体为：

采用ADMM对α与β进行迭代，当迭代到所要求的误差精度范围内，停止迭代并获取初始振幅系数中非零元素的位置，α为初始振幅系数所构成的向量；β为中间变量。

所述误差精度范围具体为：

||r_dual||₂＝||α^k+1-β^k+1||₂≤ε₁

||r_prim||₂＝||β^k+1-β^k||₂≤ε₂

其中，r_dual和r_prim为对偶残差和原始残差，ε₁和ε₂为迭代误差精度所允许的最大值，所述表达式为：

式中，r为量测通道个数，eps_abs与eps_rel为预设的参数值。

本发明提供的技术方案的有益效果是：

1、本发明基于DMD算法对PMU实测数据进行分解，以奇异值分解(SVD)为核心并引入矩阵F涵盖量测信息的固有振荡特性，进一步分别从时间和空间层面诠释系统的动态振荡过程，为电网运行调度人员提供更为丰富的振荡信息以提高系统动态稳定的实时监测能力；

2、本发明所提SPDMD算法以DMD算法为基础，一方面弥补了DMD算法无法确定主导振荡模式数量的缺陷，另一方面引入交替方向乘子法(ADMM)与拉式乘子法为电力系统提供更为准确、完善的理论数据体系，防止因错误信息而延误采取有效措施的时间而造成全网解裂甚至大停电事故的发生；

3、本发明所提SPDMD算法既可及时的对低频振荡现象进行实时分析计算，有效提高系统辨识参数的效率，又可从多通道角度全面分析系统量测信息的动态振荡情况并对振荡区域内的整体性质进行充分考量，进一步实时追踪电力系统运行方式的变化状况，为电网提供丰富的运行状态信息并采取合理的控制措施以改善系统的动态稳定性。

附图说明

图1为一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法的流程图；

图2为16机68节点测试系统拓扑图；

图3为支路46-49故障各发电机转子功角摇摆曲线图；

图4为支路46-49故障各发电机转子角速度摇摆曲线图；

图5为各量测通道对应能量权重图；

图6为SPDMD算法所筛选各主导振荡模式对应的振荡模态示意图；

其中，(a)为模式1的振荡模态；(b)为模式2的振荡模态；(c)为模式3的振荡模态；(d)为模式4的振荡模态。

图7为特征值分析方法各主导振荡模式对应的振荡模态示意图；

其中，(a)为模式1的振荡模态；(b)为模式2的振荡模态；(c)为模式3的振荡模态；(d)为模式4的振荡模态。

图8为两种方法主导振荡模式对应的参与因子对比示意图。

其中，(a)为模式1的参与因子；(b)为模式2的参与因子；(c)为模式3的参与因子；(d)为模式4的参与因子。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面对本发明实施方式作进一步地详细描述。

为了解决背景技术中传统算法不能从多通道角度全面分析系统的振荡特性以及计算效率和精度低下等问题。本发明实施例基于DMD算法进而提出SPDMD算法，该算法不仅结合DMD算法从时间层面和空间层面分别辨识系统主导振荡参数的优势，而且采用ADMM与拉式乘子法来弥补DMD算法无法确定主导振荡模式数量的不足。进而实现基于广域量测信息的电力系统主导振荡模式及模态的高效、准确辨识，并进一步为电网运行调度人员提供更为丰富的理论分析依据从而为电网后续的动态稳定控制提供充足的数据支持。

实施例1

一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法，参见图1，该方法包括以下步骤：

101：对多通道量测信号x(t)进行DMD算法预处理，借助囊括电力系统绝大部分动态信息的矩阵F并引入SVD提取系统的振荡模式与振荡模态，进而利用时间振幅系数表征各振荡模式对应的能量权重，筛选出能量权重较大的振荡模式与振荡模态；

其中，上述多通道量测信号x(t)即所有PMU采集的量测数据，例如：一台PMU采集一台发电机的量测信号，n台PMU采集的数据即为广域量测数据。

102：对前N-1列量测数据序列构成的矩阵进行变换计算初始振幅系数，在Frobenius范数项上引入罚函数项并结合ADMM确定初始振幅系数内部非零元素的位置，进一步对初始振幅系数进行矩阵编码，采用拉式乘子法调整其内部非零元素数值大小以得到最优振幅系数；

其中，ADMM是一种解决大规模和分布式优化问题的经典算法，其巧妙结合对偶上升法与乘数法的优势，通过迭代运算使引入的增广拉格朗日量最小化的同时对初始振幅系数进行调整。

103：通过最优振幅系数中非零元素与各振荡模式间的对应关系来确定主导振荡模式，进而完成主导振荡模态、主导参与因子与同调机群的协同辨识评估。

综上所述，本发明实施例通过上述步骤101-步骤103以DMD算法为基础并结合相关优化算法可准确甄别出系统内各主导振荡参数，实现了完全基于PMU实测信号即可完成电力系统动态稳定性的有效评估。

实施例2

下面结合具体的计算公式、实例对实例1中的方案进行进一步地介绍，详见下文描述：

201：利用PMU设备获取多通道广域量测数据，对其进行标准化处理后，利用DMD算法对标准化后的数据进行预处理；

1)对量测数据进行标准化处理具体为：

x_i,new＝(x_i-mean(x_i))./std(x_i) (1)

式中，x_i为某一量测通道的量测数据，mean和std分别代表对该数据向量求取均值和标准差。对多通道量测数据进行标准化处理的目的在于，使各量测数据处于同一数量级并使之具备可比性，更易于数据间的比较并保留量测数据的固有振荡信息。

2)对经标准化处理的量测数据进行DMD算法预处理；

由于广域量测数据各量测时间点的时间步长很短，因此可以假设系统具有缓慢的变化趋势，即在每两个相邻的量测时间点间存在某种相同的映射关系A，可表示为：

x_i+1＝Ax_i+r_i (2)

式中，x_i、x_i+1为某两个相邻时间点的量测数据，r_i为残差向量。

从量测数据中提取前N-1列和后N-1列数据序列构造新的量测数据矩阵，其对应关系为：

式中，

和

为新构造的量测数据矩阵，r为残差矩阵，e_N-1为N-1阶单位矩阵。

对多通道量测数据

进行SVD，将复杂矩阵用几个更小更简单的子矩阵相乘的形式来表示，并用其来描述复杂矩阵的振荡特性：

式中，U为左奇异向量矩阵，Σ为奇异值矩阵，V^*为右奇异向量矩阵的复共轭转置。

根据SVD的数学原理，可将其广泛应用于二维矩阵的分解中以提取量测数据的振荡特性。本发明实施例将其应用于DMD算法中，一方面可对全部通道的量测数据进行整合，将计算复杂、缓慢的单通道辨识拓展为考虑整体性的多通道辨识，可更好的体现系统的整体振荡趋势；另一方面，可对高维度的量测数据矩阵进行降维处理，使振荡参数的辨识更为简单快捷，同时，也可将由于系统误差存在而出现的虚假振荡信息进行剔除，实现振荡参数的精确辨识。

引入奇异值分解与映射关系A重构量测数据矩阵

可表示为：

其中，

对后N-1列量测数据序列进行重构。

通过求逆运算直接求解映射关系A会在降低计算效率的同时影响计算精度，因此引入矩阵F来近似估计矩阵A中所蕴含的振荡信息。

基于左奇异向量矩阵U可实现一组新的数据序列在空间上的解耦过程：

式中，x_ik为第i行第k列量测数据，u_ij为左奇异向量矩阵U中各元素，v_ik为新构建的第i行第k列数据，即对新构建的数据序列中的每一个元素进行加权计算则可得出任意一组量测数据序列。

根据式(2)，对其进行变形，可得：

式中，a_ij为映射关系A中各第i行第k列元素。

将式(6)代入至式(7)中，可表示为：

基于上述推论，引入元素f_ik可获取新构建数据间的映射关系：

可将上式等效为：

F＝U^*A U (10)

式中，U*为左奇异向量矩阵的复共轭转置矩阵，矩阵F涵盖映射关系A的绝大部分振荡信息，可分析其内部动态信息来辨识系统振荡参数。

基于式(5)和式(10)，通过计算Frobenius范数的最小值对矩阵F进行求解：

将式(10)代入至式(5)中可将重构后的量测数据序列表示为：

式中，U蕴含动态系统大量的空间信息，ΣV^*蕴含动态系统大量的时间信息。

202：辨识系统振荡模式与振荡模态，计算各量测通道的能量权重；

采用特征值分解对矩阵F进行分析：

F＝YΛY^-1(13)

式中，Λ＝[λ₁ λ₂ … λ_m]为特征值所构成的对角矩阵，Y＝[y₁ y₂ … y_m]为特征向量所构成的向量矩阵。

根据上述计算出的特征值，可从其虚部提取振荡频率并从实部提取阻尼比，以便更好的分析系统的振荡频率信息与阻尼衰减特性，提取振荡频率与阻尼比表达式为：

f_i＝Im(ln(λ_i))/2π/Δt (14)

ζ_i＝-Re(ln(λ_i))/|λ_i|/Δt (15)

式中，Re、Im代表取复数的实部与虚部，Δt为量测时间步长。

结合式(12)与式(13)，可将重构后的量测数据

表示为：

式中，Φ＝[φ₁ φ₂ … φ_m]为辨识出的振荡模态，其代表在各振荡模式下状态变量的相对活跃程度，反应了各状态变量所对应发电机在系统中的相互振荡关系。Γ(t)＝[a₁(t) a₂(t) … a_m(t)]^Τ为时间振幅系数，可根据其计算能量权重进而辨识主导振荡参数。

由于DMD算法自身存在缺陷或量测数据中存在噪声，此时辨识出的振荡模式会伴有虚假振荡模式产生，因此利用时间振幅系数Γ(t)估计各振荡模式的能量权重，将Γ(t)中所有采样点的数值累加求和可得各振荡模式的对应能量E_i，并计算各振荡模式的能量权重。

式中，a_i(t_j),j＝1,2,…,N为各量测时间点对应的振幅系数，M_i为各振荡模式所对应的能量权重。

203：利用量测时间点数据构造初始振幅系数；

基于式(6)和(13)并根据递推关系得出第k+1个量测点数据与第1个量测点数据间的关系：

式中，将量测数据矩阵近似定义为各DMD模态线性组合的加权，α_i为初始振幅系数，其代表第一个量测点数据在第i个DMD模态中的参与程度。

根据式(19)，量测数据矩阵

可展开为：

式中，Λ_α为初始振幅系数所构成的对角矩阵，V_and为特征值构成的范德蒙德矩阵。

可根据计算Frobenius范数的最小值来确定初始振幅系数：

基于SVD与DMD模态可将上式等效为：

根据Frobenius范数的定义，可将上式变换为：

其中，

s＝trace(Σ^*Σ) (26)

式中，*代表复共轭转置，

代表两个矩阵的对应元素相乘。

当式(23)取得最小值时，初始振幅系数为：

上述最小化问题的实质为对初始振幅系数进行适当的加权并随着时间的演化最优近似于整个量测数据矩阵。该问题的核心在于利用初始振幅系数来确定主导振荡模式的数量，并对虚假振荡模式进行剔除。

204：引入罚函数项并结合ADMM确定初始振幅系数中非零元素的位置^[4]；

引入一种稀疏结构使各DMD模态加权的叠加与量测数据序列实现更好的平衡，增加具有稀疏性质的罚函数项，可表示为：

式中，card(α)为正则化惩罚函数，可对初始振幅系数α中的某些特定元素添加特定的约束条件以此来消除其模糊性，最常用的正则化惩罚函数为1-范数和2-范数。

用向量的1-范数对罚函数项进行替换，以便对问题进行更好的分析：

式中，γ为正则化参数，该变量可反映罚函数项稀疏性的强弱，γ值越大，则代表该式稀疏性越强，通过逐渐增大γ的取值来增加初始振幅系数中的零元素的数量。

为了方便问题的分析，将该问题转化为易于ADMM运用的形式，用β向量取代罚函数中的α向量，并引入等式约束：

式中，变量的数量虽然变为式(28)的两倍，降低了计算效率，但可分别对两项进行计算，降低计算的复杂程度。

引入增广拉格朗日乘子法对上述问题进行等效变形：

式中，λ为拉格朗日乘子向量，ρ引入α与β间偏差的惩罚项，其值为一个正参数，

一般取值为1。

采用ADMM对式(31)中的α与β进行迭代，当迭代进行到所要求的误差精度范围内，停止迭代并获取初始振幅系数中非零元素的位置。

对α进行迭代，对式(30)第一项进行变形：

式中，u^k＝β^k-(1/ρ)λ^k，k为迭代次数，式(22)可等效为无约束正则化二次规划问题：

当上式最小时，可获得α的迭代公式为：

α^k+1＝(P+(ρ/2)I)^-1(q+(ρ/2)u^k) (34)

对β进行迭代，对式(30)第二项进行变形：

式中，v^k＝α^k+1+(1/ρ)λ^k，并引入软阈值算子近似β的迭代步骤：

式中，

称为软阈值算子。

根据上述获得的α与β的迭代公式，可得拉格朗日乘数λ的迭代步骤如下：

λ^k+1＝λ^k+ρ(α^k+1-β^k+1) (38)

假设迭代初始值为(β⁰，λ⁰)，将迭代进行至所要求的误差精度范围内，所述表达式为：

||r_dual||₂＝||α^k+1-β^k+1||₂≤ε₁ (39)

||r_prim||₂＝||β^k+1-β^k||₂≤ε₂ (40)

其中，r_dual和r_prim为对偶残差和原始残差，ε₁和ε₂为迭代误差精度所允许的最大值，所述表达式为：

式中，r为系统中量测通道个数，一般将eps_abs与eps_rel的参数值设置为10^-6与10^-4。

综上所述，通过上述ADMM的迭代过程，可准确获取初始振幅系数中非零元素的位置，以便运用拉式乘子法进一步得到最优振幅系数。

205：采用拉式乘子法调整初始振幅系数中非零元素数值大小以获得最优振幅系数；

为了使DMD模态加权的叠加与量测数据序列实现更好的平衡，确定初始振幅系数稀疏结构的表达式如下：

式中，通过矩阵E编码初始振幅系数的稀疏结构，其每一列向量均为单位向量且只有0和1两种取值，其零元素对应初始振幅系数的非零元素，假设初始振幅系数为：

α＝[0 α₂ 0 α₄]^Τ (44)

则矩阵E定义为：

对式(43)含有等式约束的最小值问题，引入拉式乘子法对其进行计算：

L(α,μ)＝J(α)+μ^*E^Τα+(E^Τα)^*μ (46)

式中，μ为拉式乘子。通过上述变换可将约束优化问题转化为无约束优化问题以计算式(43)的最优解。

通过拉格朗日函数可将上式等效为：

最优振幅系数

为：

式中，I为单位向量。

综上所述，通过拉式乘子法可有效调整初始振幅系数中非零元素的数值大小，进而通过非零元素与振荡模式间的对应关系辨识主导振荡模式。

206：确定主导振荡模式，实现主导振荡模态、主导参与因子与同调机群的协同辨识[^5-6]。

通过振荡模式和振荡模态间的对应关系，即可确定主导振荡模态，通过主导振荡模态，可准确描绘系统各状态变量所对应发电机组的相互振荡趋势。假设提取出k个主导振荡模态，表示如下：

φ₁ φ₂ … φ_k (49)

为了表征振荡模式的灵敏程度以及状态变量所对应的发电机在该振荡模式下的参与程度，引入一个参量可以准确对上述关系进行表征和度量。依照特征值分析法，右特征向量度量状态变量在该振荡模式下的活动状况，而左特征向量加权该活动对振荡模式的贡献。类比到该发明中，主导参与因子的数学表达式为：

p_k＝(φ_k)^-1φ_k (50)

式中，p_k为参与因子，其中每一个元素代表状态变量所对应发电机对该振荡模式的参与程度，亦表明了在该振荡模式下起主要影响作用即处于主导振荡地位的发电机。

为了更好的判别电力系统中各发电机间的相对振荡趋势，进行同调机群的辨识是十分必要的。通常把振荡相位相差在5-10°的发电机作为一组同调机群，而一般在电力系统中，会存在两组同调机群，其间的振荡相位大约在180°左右。极少数情况下会存在三组同调机群，其间的振荡相位大约在120°左右。则判别发电机是否同调表达式为：

式中，

代表振荡相位，ε代表振荡相位间5-10°的偏差。若发电机的振荡相位满足上述公式，则代表发电机是同调的，即可完成同调机群的辨识估计。

综上所述，本发明实例通过上述步骤201-步骤206实现完全基于PMU量测数据的电力系统主导振荡模式及模态的辨识估计，可以更好的分析与评估电力系统在受到干扰时的动态稳定性，为电网运行调度人员提供了准确有效的理论依据。

实施例3

下面结合具体的实例，针对本发明实施例所提的基于SPDMD算法的电力系统振荡模式及模态辨识方法，本例以IEEE-68节点系统为例进行仿真分析与验证，IEEE-68节点系统的拓扑图如图2所示，详见下文描述：

本算例在0.1s时支路46-49近节点49侧设置三相短路故障，0.26s时节点49侧断路器跳开，0.28s时节点46侧断路器跳开。以发电机G1作为参考电机，其他发电机相对于第一台发电机的相对转子功角与相对转子角速度作为待辨识信号，16台发电机一共产生15组相对转子功角信号与15组相对转子角速度信号，采样频率为100Hz。图3为发生故障后各发电机的相对功角摇摆曲线。图4为发生故障后各发电机的相对转子角速度摇摆曲线。由于30s后辨识信号趋于稳定，本例选取前30s的相对转子功角信号与相对转子角速度信号作为辨识信号进行算例分析。

将15组相对转子功角与15组相对转子角速度进行SPDMD算法分解。首先对输入信号进行DMD算法预处理，得到蕴含系统丰富动态信息的矩阵F，进而引入SVD重构量测数据序列，结合特征值分解辨识系统振荡参数，计算时间振幅系数的能量权重从而筛选主导振荡参数。图5为各振荡模式所对应的能量权重图。由于上述操作不能根据能量权重确定主导振荡参数的数量，进一步对时间振幅系数进行变换得到初始振幅系数，结合ADMM与拉式乘子法对其进行优化得到最优振幅系数，通过其内部非零元素与振荡参数的对应关系来确定主导振荡参数。

根据最优振幅系数中的非零元素确定主导振荡参数，下表1为各振荡模式、各振荡模式的能量权重、初始振幅系数与最优振幅系数所得数值对比。其中，γ取值为2322。

表1每次优化后最优振幅向量取值

通过表1可知：振荡模式1、2、4、10和11所对应的能量权重较大，且其最优振幅系数中元素均为非零元素。其中，振荡模式10和11为同一组振荡模式，因此则确定4组主导振荡模式，从而主导振荡模式所对应的主导振荡模态数量为4。

为了验证本发明辨识结果的准确性，下表2将SPDMD算法与特征值分析方法所辨识的主导振荡模式进行对比，以其理论参考值与本发明所辨识的结果相比较可知：本发明实例可准确有效的辨识出电力系统的主导振荡模式，体现了该方法的可行性与准确性。

表2不同方法主导振荡模式辨识结果对比

依据本发明实施例的主导振荡模态估计方法，可有效筛选出4组主导振荡模式所对应的主导振荡模态，并以特征值分析法所辨识的振荡模态结果与其进行对比。图6为本发明所辨识的主导振荡模态图，图7为特征值分析法所辨识的振荡模态图。

根据本发明实施例辨识出的主导振荡模态，可完成对主导参与因子的辨识估计，计算所得主导参与因子如图8所示，为了验证本发明辨识结果的正确性，在图中进一步给出了特征值分析方法所辨识的参与因子。

根据上述所辨识出的主导振荡模态与主导参与因子，可完成对同调机群的辨识估计。由图6与图8辨识结果可知：振荡模式1主要体现在位于区域一的发电机G2-G9、其他区域的发电机G10-16同调，而无相对振荡的发电机。实际上，参考电机G1与其他发电机发生相对振荡，且发电机G8处于主导振荡地位；振荡模式2主要体现在位于区域一中的发电机G2-G7和G9与其他区域中的发电机G12-G16同调，而与发电机G8、G10、G11发生相对振荡，且由在该振荡模式下的参与因子图可知，发电机G10的参与因子明显较大，对于该模式下振荡的参与程度最高，因此处于主导振荡地位；振荡模式3主要体现在位于区域1的发电机G2-G9同调，而与其他区域的发电机G10-G16发生相对振荡，且由在该振荡模式下的参与因子图可知，发电机G14-G16的参与因子明显较大，对于该模式下振荡的参与程度最高，因此处于主导振荡地位；振荡模式4主要体现在位于区域1的发电机G2-G9和区域2的发电机G10与其他区域的发电机G12-G16同调，而与发电机G11发生相对振荡，且由在该振荡模式下的参与因子图可知，发电机G11的参与因子明显较大，对于该模式下振荡的参与程度最高，因此处于主导振荡地位。

进一步，为了验证本发明辨识同调机群的准确性，下表3将SPDMD算法与特征值分析方法所辨识的同调机群进行对比，以其理论参考值与本发明所辨识的结果相比较可知：本发明实例可准确有效的辨识出电力系统的同调机群状况，体现了该方法的可行性与准确性。

表3不同方法同调机群辨识结果

上述结果表明：在对输入量测信号进行DMD算法预处理后，通过对时间振幅系数进行变换优化得到最优振幅系数，进而确定各主导振荡模式，并根据对应关系确定其余主导振荡参数。一方面可以更好的添补DMD算法无法确定主导振荡模式数量的技术空缺；另一方面提取出的主导振荡参数可为电力系统安全可靠运行提供更好的实时监测与在线预警，体现了本发明的实用性。

参考文献

[1]Jim Follum，John W.Pierre，Russell Martin.Simultaneous Estimation ofElectromechanical Modes and Forced Oscillations[J].IEEE Transactions on PowerSystems，2017，32(5)：3958-3967.

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[6]Dosiek L.，Pierre J.W.，Trudnowski D.J.，et al.A channel matchingapproach for estimating electromechanical mode shape and coherence[J].Proceedings of IEEE PES General Meeting，Calgary，Canada，2009：1-8.

本领域技术人员可以理解附图只是一个优选实施例的示意图，上述本发明实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法，其特征在于，所述方法包括：

基于DMD算法对PMU实测数据进行分解，借助囊括电力系统绝大部分动态信息的矩阵F并引入SVD提取系统的振荡模式与振荡模态，利用时间振幅系数表征各振荡模式对应的能量权重，筛选出能量权重大的振荡模式与振荡模态；

对前N-1列量测数据序列构成的矩阵进行变换计算初始振幅系数，在Frobenius范数项上引入罚函数项并结合ADMM确定初始振幅系数内部非零元素的位置，进一步对初始振幅系数进行矩阵编码，采用拉式乘子法调整其内部非零元素数值大小以得到最优振幅系数；

通过最优振幅系数中非零元素与各振荡模式间的对应关系来确定主导振荡模式，进而完成主导振荡模态、主导参与因子与同调机群的协同辨识评估。

2.根据权利要求1所述的一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法，其特征在于，所述方法还包括：

对多通道量测信号x(t)进行DMD算法预处理，借助囊括电力系统绝大部分动态信息的矩阵F并引入SVD提取系统的振荡模式与振荡模态。

3.根据权利要求1所述的一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法，其特征在于，所述方法还包括：利用初始振幅系数来确定主导振荡模式的数量，并对虚假振荡模式进行剔除。

4.根据权利要求1所述的一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法，其特征在于，所述采用拉式乘子法调整其内部非零元素数值大小以得到最优振幅系数具体为：

初始振幅系数为：

α＝[0 α₂ 0 α₄]^T

矩阵E定义为：

对含有等式约束的最小值问题，引入拉式乘子法对其进行计算：

L(α,μ)＝J(α)+μ^*E^Tα+(E^Tα)^*μ

式中，μ为拉式乘子。

5.根据权利要求1所述的一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法，其特征在于，同调机群的辨识评估为：

式中，

代表振荡相位，ε代表振荡相位间5-10°的偏差。

6.根据权利要求2所述的一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法，其特征在于，在所述对多通道量测信号x(t)进行DMD算法预处理之前，所述方法还包括：标准化处理流程，具体为：

x_i,new＝(x_i-mean(x_i))/std(x_i)

式中，x_i为某一量测通道的量测数据，mean和std分别代表对该数据向量求取均值和标准差。

7.根据权利要求2所述的一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法，其特征在于，所述借助囊括电力系统绝大部分动态信息的矩阵F并引入SVD提取系统的振荡模式与振荡模态具体为：

f_i＝Im(ln(λ_i))/2π/Δt

ζ_i＝-Re(ln(λ_i))/|λ_i|/Δt

式中，Re、Im代表取复数的实部与虚部，Δt为量测时间步长。

8.根据权利要求1所述的一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法，其特征在于，所述采用拉式乘子法调整其内部非零元素数值大小以得到最优振幅系数具体为：

采用ADMM对α与β进行迭代，当迭代到所要求的误差精度范围内，停止迭代并获取初始振幅系数中非零元素的位置，α为初始振幅系数所构成的向量；β为中间变量。

9.根据权利要求8所述的一种基于SPDMD的电力系统振荡模式及模态辨识方法，其特征在于，所述所要求的误差精度范围内具体为：

||r_dual||₂＝||α^k+1-β^k+1||₂≤ε₁

||r_prim||₂＝||β^k+1-β^k||₂≤ε₂

其中，r_dual和r_prim为对偶残差和原始残差，ε₁和ε₂为迭代误差精度所允许的最大值，表达式为：

式中，r为量测通道个数，eps_abs与eps_rel为预设的参数值，k为迭代次数。

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