CN110223360A - 一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法，将电阻抗层析成像问题看作求解一个线性不适定问题，确定目标函数；重建方法为：获取重建所需的相对边界测量值电压和雅可比矩阵；将电阻抗层析成像的非线性逆问题转化为线性逆问题；确定目标函数，并将其最小化；根据推导出的对偶形式更新解；判断迭代是否结束；根据求解所得最优灰度值，利用正方形网格剖分的方法进行成像。本发明同时兼顾了对重建图像锐利边缘的保留和对阶梯效应的减弱，提高了算法的适用性和重建图像的质量。

Description

一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法

背景技术

本发明涉及电阻抗层析成像图像重建方法，具体涉及一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法，属于电学层析成像技术领域。

背景技术

电学层析成像技术(Electrical Tomography，ET)出现于20世纪80年代后期，是过程层析成像技术的重要分支。它基于边界测量值对测量区域内介质的电特性分布信息进行成像。电学层析成像技术主要包括电阻抗层析成像(Electrical Impedance Tomography，EIT)、电阻层析成像(Electrical Resistance Tomography， ERT)、电容层析成像(Electrical Capacitance Tomography，ECT)和电磁层析成像 (Electrical MagneticTomography，EMT)。该技术具有安全、低成本、高速、无入侵、无辐射等优点，被广泛应用在生物医学及工业测量等领域。

电学层析成像图像重建是一个非线性的不适定逆问题。通过线性化处理，可以将此非线性问题转化为线性问题求解。针对逆问题求解的不适定性，通常采用正则化方法去寻找一个由先验信息约束的解来逼近真实解。先验信息选取的不同和正则化函数形式的不同使得正则化方法具有不同的应用形式。正则化方法目标函数一般形式为：其中λ是一个正标量的正则化因子，它控制数据保真项(又称为最小二乘项)和正则项(又称为惩罚项)R(u)之间的权衡。

在正则化方法中，Tikhonov正则化方法由于其良好的稳定性得到了广泛的应用，通过在目标函数中加入一个罚函数来实现对解的阻尼作用，达到使解稳定的目的。例如J ZLiu等人2013年发表于《生理测量》(Physiological Measurement) 第34卷，第823-838页，题为《一种新的全变分和Tikhonov正则化的开放电阻抗层析成像联合正则化算法》(Anovelcombined regularization algorithm of total variation and Tikhonovregularization for open electrical impedance tomography)；B Y Sun等人2019年发表于《IEEE传感器杂志》(IEEE Sensors Journal)第19期，第3049-3057页，题为《一种改进的Tikhonov正则化电阻抗层析成像在肺癌检测方面的应用》(An improved Tikhonovregularization method for lung cancer monitoring using electrical impedancetomography)。由于Tikhonov正则化方法以 L₂范数为正则项，因此当被测介质连续分布时具有良好的性能，当被测介质不连续分布时，在边界上施加了过度的平滑性，从而降低了重建图像的分辨率。

为了保持锐利的边缘，全变分(Total Variation,TV)正则化方法提供了一种解决方案。由于它保留了边界的不连续性，并允许重建锐利的边缘，以产生更清晰的图像，在电学层析成像领域方面受到了广泛的关注。例如G Gonzalez等人发表于《计算机和数学及其应用》(Computers and Mathematics with Applications) 第74卷，第564-576页，题为《电阻抗层析成像中的各向同性和各向异性全变分正则化》(Isotropic and anisotropictotal variation regularization in electrical impedance tomography)；L L Hao等人发表于《生物医学材料与工程》(Bio-Medical Materials and Engineering)第24卷，第2857-2864页，题为《全变分正则化磁检测电阻抗层析成像》(Magnetic detectionelectrical impedance tomography with total variation regularization)。它避免了重建图像的边缘过度平滑，保留了重建图像的锐利边缘。然而，TV正则化方法产生了严重的阶梯效应。

针对TV正则化方法在重建图像时产生的阶梯效应问题，本发明提出了一种将混合阶导数项作为正则项的方法，既能够有效抑制阶梯效应，又能够很好的对重建图像的锐利边缘进行保留。

发明内容

本发明解决的技术问题是提供了一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法，该方法在TV正则化方法以一阶导数项作为正则项的基础上增加二阶导数项作为目标函数的正则项，并在一阶导数项与二阶导数项前面引入权重因子来控制两者之间的权重。与Tikhonov正则化方法和TV正则化方法相比，本发明提出的混合阶正则化方法在改善电阻抗层析成像图像质量方面有明显的效果。该方法实际上是TV正则化方法的广义化，保留了原来TV正则化的一阶导数项，又在正则项中引入了二阶导数项。因此，该方法不仅继承了TV正则化方法在保留图像锐利边缘方面的特性，还能够有效的抑制重建图像的阶梯效应。

本发明为解决上述技术问题采用如下技术方案，一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法，该方法将电学层析成像看作一个线性问题Au＝b。其中，A为雅可比矩阵，b为相对边界测量电压，u为所求成像灰度值。本发明的混合阶正则化方法目标函数设计为：

式中，β₁和β₀为控制着一阶导数项与二阶导数项之间权重的权重因子。

在电阻抗层析成像中，将目标函数最小化求其最优解，并将其表示为：

式中，表示最优的灰度值。

为了求解上式，本发明中采用了Chambolle-Pock算法进行求解。该算法能够同时解决优化问题和对偶问题，且具有数值实现简单，收敛速度快的特点。

图像重建包含以下步骤：

(1)根据被测场域，获取重建所需的相对边界测量电压b和雅可比矩阵A；

(2)将电阻抗层析成像的非线性逆问题转化为线性逆问题；

(3)确定求解电阻抗层析成像的目标函数，并将目标函数最小化求其最优值；

(4)推导出目标函数的对偶形式；

(5)求解获得最优的灰度值；判断u^k+1是否收敛，若否，设置k＝k+1继续迭代求解；

(6)根据求解得到的灰度值，利用正方形网格剖分的方式进行图像重建；

本发明的有益效果是：一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法，在TV正则化方法以一阶导数项为正则项的基础上引入二阶导数项，并且在两项之前分别乘以权重因子α₁和α₀，以便根据不同的边缘重建模型控制一阶导数项与二阶导数项之间的权重；从而达到既可以对重建图像的边缘进行保留的，又能有效减弱阶梯效应的目的；且本发明在逆问题中采用了正方形网格剖分的方式，进一步加强了对重建图像锐利边缘的保留；如果在逆问题中仍然使用传统的三角形网格剖分的方式重建图像，就会使得锐利边缘过度光滑，从而很难展现出 TV正则化方法重建的图像中出现的阶梯效应实际的样子。采用正方形网格剖分的方式进行反演，可以更加直观地显示阶梯效应，便于清晰的对比出混合阶正则化方法相对于TV正则化方法在减弱阶梯效应方面的明显效果；又有利于提高重建图像的分辨率，改善成像质量。结果表明，本发明提出的一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法在减弱重建图像的阶梯效应方面是有效的，重建后的图像具有更高的质量。

附图说明

图1为本发明一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法的流程图；

图2为本发明的电阻抗层析成像系统圆形单截面被测场以及电极分布；

图3为逆问题用于图像重建的正方形网格剖分图；

图4为用Tikhonov正则化方法、TV正则化方法和本发明的一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法重建的六种真实模型的结果图；

图5为六种真实模型重建图像的相对误差,相关系数；

图6为不同噪音水平下平滑边缘模型的相对误差及相关系数；

图7为不同噪音水平下锐利边缘模型的相对误差及相关系数。

图中：1-激励电流，2-被测域，3-测量电压，4-电极。

具体实施方式

结合附图和实施例对本发明的一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法加以说明。

本发明为了解决在使用TV正则化方法对图像进行重建时，重建图像的边缘出现明显的阶梯效应的问题。本发明在保留原来TV正则化方法中数据保真项的基础上，使用了一种混合阶的正则项替代原来的仅一阶导数的正则项。该方法是在原来TV正则化一阶导数项的基础上引入了二阶导数项，并分别在一阶导数项与二阶导数项的前面施加一个权重因子。通过调节权重因子来控制一阶导数项和二阶导数项之间的权重，达到适应不同边缘重建模型的目的。混合阶正则化方法同时兼顾了图像边缘的保留和减少阶梯效应的功能，对提高重建图像的质量有很大的帮助。

如图1所示，为本发明的一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法流程图。

如图2所示，为本发明的电阻抗层析成像系统圆形单截面被测场以及电极分布，16电极4均匀的安装在被测物体的外部表面上，并采用了相邻电极对电流激励即激励电流1和相邻电极对电压测量即测量电压3的模式，最后根据实测数据重构被测域2内部电导率的分布情况。

如图3所示，为本发明在逆问题中图像重建时采用的正方形网格剖分图；

如图4所示，选取六种典型的介质模型为实施例，真实模型如图中最左侧一竖列所示，图中的Tikhonov、TV、混合阶分别表示Tikhonov正则化方法、TV 正则化方法和一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法。为了较好地体现本发明中一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法与其它两种算法的不同，分别给出了六种模型在这三种正则化算法下的求解结果。在图像重建中，夹杂物和背景的电导率分别归一化为1和0。此外，为了便于进行比较分析，本发明采取了对两类不同边缘模型进行重建的方式；两类不同边缘模型分别是平滑边缘模型(a-c)和锐利边缘模型(d-f)。

具体实施包括以下步骤：一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法，该方法将电阻抗层析成像看作一个线性不适定问题Au＝b。其中，A为雅可比矩阵，b为边界电压测量值向量，u为所求成像灰度值。

电阻抗层析成像的逆问题是不适定性的。正则化方法是解决这个问题的有效方法，通过在数据保真项的基础上增加正则项，提高解的稳定性。数据保真项最小化形式的目标函数表示：其中F(u)为目标函数。理论上，当F(u)最小化时，可以找到最优解。正则化方法的一般形式可以描述为：其中λ是正则化因子，它控制数据保真项和正则项R(u)之间的权衡。

Tikhonov正则化算法在电学层析成像图像重建中得到了广泛的应用，它将正则项R(u)替换为正则项可以述为：该算法有良好的稳定性。然而，由于其正则项是L₂范数，在图像边缘施加了过度的平滑。因此，重建图像的图像质量较差。

为了保留重建图像的锐利边缘，提出了一种TV正则化方法，可表示为：该方法基于具有L₁范数的正则项，有利于边缘的保留。然而，该方法在重建图像的平滑区域会产生明显的阶梯效应。虽然重建图像的锐利边缘得到了很好的保留，但总体的分辨率仍待提高。

本发明研究了一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法，具体实施步骤为：

(1)根据被测场域，获取重建所需的相对边界测量电压b和雅可比矩阵A，本发明的检测系统是n电极系统，并采用相邻电极对之间电流激励和电压检测的模式。

在循环激励循环测量的方式下采集检测的数据，共获得个边界测量电压；相对边界测量电压b为不含内含物的空场边界测量电压b₁与含有内含物的有物场边界测量电压b₂之差，即：b＝b₁-b₂。

雅可比矩阵是根据不含内含物的空场边界测量电压，结合雅可比理论计算得出，其计算公式为：其中A_ij是第j个电极对对第i个电极对的雅可比系数；分别表示φ_i和φ_j的梯度算子；φ_i,φ_j分别为第i个电极对及第j个电极对在激励电流为I_i，I_j时的场域电势分布。

(2)将电阻抗层析成像的非线性逆问题转化为线性逆问题，相对边界测量电压与电导率分布的关系是非线性的f(σ)＝b，式中σ是电导率。对于变化不大的电导分布，f(σ)＝b可将边界测量电压的变化简化为线性形式其中Δσ是电导率分布的扰动，Δb是电导率变化引起的边界测量电压的变化。最后导出的线性化形式Au＝b，式中u为所求成像的灰度值。

(3)确定求解电阻抗层析成像的目标函数，设计为：式中为一阶导数项，β₀||ε(v)||₁为二阶导数项，β₁和β₀为权重因子用于调节一阶导数项和二阶导数项之间的权重，在正则项之前设置正则化参数λ保证了在调节正则项权重的同时不改变一阶导数项与二阶导数项之间的权重关系。将目标函数最小化，求解出最优的灰度值。

(4)推出模型式的对偶形式为:其中P＝{p＝(p₁,p₂)|||p||_∞≤α₁}，

(5)根据对偶形式得出式的Chambolle-Pock算法。利用来更新解，直到满足u^k+1收敛为止；求解的过程如下：

1)初始化：

2)

3)

4)

5)

6)

7)v^k+1＝v^k+τ(p^k+1+divεq^k+1)；

8)

9)直到满足u^k+1收敛为止；

(6)根据最终求解所得灰度值，采用正方形网格剖分的方式进行成像；正方形网格的剖分需要在重建区域对应的位置选取和被测区域的直径等大的正方形区域，并在正方形区域内根据需要选取n×n个等间距的点进行连接，最后得到 (n-1)×(n-1)个正方形像素。

图4为本发明的实例，对六种具有代表性的模型,由Tikhonov、TV和混合阶正则化方法进行图像重建的结果图。由图中可知，在三种方法重建的图像中， Tikhonov正则化方法重建的图像边缘过于平滑，且图像质量不高；TV正则化方法重建的图像相对于由Tikhonov正则化方法重建的图像，边界更加清晰，但阶梯效应严重；本发明所提出一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法，同时兼顾了保留重建图像的边缘和减弱阶梯效应的功能，在很大程度上提高了重建图像的整体质量。

为了进一步评价算法的性能，利用相对误差(Relative Error，RE)和相关系数(Correlation Coefficient，CC)定量地评价重建图像的质量。重建图像的相对误差越小，相关系数越大，表明图像重建质量越好。表达式如公式①、②所示：

其中，σ是重建区域的计算电导率，σ^*是实际电导率，t表示单元数，和表示σ和σ^*的平均值，σ_i和σ_i ^*表示的是σ和σ^*的第i个单元。

用三种正则化方法重建的图像的相对误差和相关系数如图5所示。与 Tikhonov正则化和TV正则化相比，当使用混合阶正则化方法时对具有平滑边缘模型(a-c)的相对误差值最小，相关系数值最大，这表明了重建图像的质量很好。然而，用混合阶正则化方法计算的锐利边缘模型(d-f)的相对误差和相关系数的值与TV正则化方法基本相同。这是因为对于平滑边缘模型(a-c)，不需要过度考虑对重建图像边缘的保留，主要考虑对阶梯效应的减弱，因此重建图像的质量比较高。然而，对于锐利边缘的模型(d-f)需要两者都兼顾到，需要在两者之间得到一个好的折中。因此，混合阶正则化方法对重建图像边缘的保留能力可能会比TV 正则化方法略差。

为了测试混合阶正则化方法在不同噪声水平下的性能，在0％、2.5％、5％、 7.5％和10％的噪声水平下，研究了具有代表性的平滑边缘模型(a)和锐利边缘模型(e)。从图6和图7可以看出，随着噪声水平的增加，RE值增加，CC值减小。图6中示出了用三种正则化方法获得的平滑边缘模型(a)相关误差和相关系数的值。图7中示出了用三种正则化方法获得的锐利边缘模型(e)相关误差和相关系数的值。

与Tikhonov和TV正则化方法相比，用本发明的混合阶正则化方法重建的平滑边缘模型(a)具有图6中最小的相对误差值和最大的相关系数值。在图7中，对于边缘锐利模型(e)，在噪声水平较低的情况下，用混合阶正则化方法得到的相对误差和相关系数的值与用TV正则化方法得到的值基本一致，优于Tikhonov 方法。然而，在高噪声水平下，混合阶正则化方法显示出最小的相对误差和最大的相关系数的值。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种应用于减弱图像重建中阶梯效应的混合阶正则化方法，其特征在于具体步骤为：

(1)根据被测场域获取重建所需的边界测量电压b和雅可比矩阵A，检测系统是n电极系统，并采用相邻电极对之间电流激励和电压检测的模式；

在循环激励循环测量的方式下采集检测的数据，共获得个边界测量电压，边界测量电压b为不含内含物的空场边界测量电压b₁与含有内含物的有物场边界测量电压b₂之差，即：b＝b₁-b₂；

雅可比矩阵是根据不含内含物的空场边界测量电压，结合雅可比理论计算得出，其计算公式为：其中A_ij是第j个电极对对第i个电极对的雅可比系数，分别表示φ_i和φ_j的梯度算子；φ_i,，φ_j分别为第i个电极对及第j个电极对在激励电流为I_i，I_j时的场域电势分布；

(2)将电阻抗层析成像的非线性逆问题转化为线性逆问题，边界测量电压与电导率分布的关系是非线性的f(σ)＝b，式中σ是电导率，对于变化不大的电导分布，f(σ)＝b可将边界测量电压的变化简化为线性形式其中Δσ是电导率分布的扰动，Δb是电导率变化引起的边界测量电压的变化，最后导出的线性化形式Au＝b，式中u为所求成像的灰度值；

(3)确定求解电阻抗层析成像的目标函数，设计为：式中为一阶导数项，β₀||ε(v)||₁为二阶导数项，β₁和β₀为权重因子用于调节一阶导数项和二阶导数项之间的权重，在正则项之前设置正则化参数λ保证了在调节正则项权重的同时不改变一阶导数项与二阶导数项之间的权重关系，将目标函数最小化，求解出最优的灰度值；

(4)推出模型式的对偶形式为：其中P＝{p＝(p₁,p₂)|||p||_∞≤α₁}，

(5)根据对偶形式得出式的Chambolle-Pock算法，利用来更新解，直到满足u^k+1收敛为止，求解的过程如下：

1)初始化：

2)

3)

4)

5)

6)

7)v^k+1＝v^k+τ(p^k+1+divεq^k+1)；

8)

9)直到满足g^k+1收敛为止；

(6)根据最终求解所得灰度值，采用正方形网格剖分的方式进行成像，正方形网格的剖分需要在重建区域对应的位置选取和被测区域的直径等大的正方形区域，并在正方形区域内根据需要选取n×n个等间距的点进行连接，最后得到个(n-1)×(n-1)正方形像素。