CN110110476A - 基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法，包括以下步骤：1)确定研究对象服从三参数威布尔分布以及形状参数；2)利用产品失效概率中位秩与样本量之间关系估计三参数威布尔分布中位置参数与尺度参数；3)根据研究对象具体情况利用三参数威布尔分布的形状参数、位置参数以及尺度参数建立产品寿命概率分布的右截尾数据截断原则。本发明方法丢弃较短的观测样本，以最大限度地提高在观测寿命时间内估计产品的可靠性分析效率，减小实际应用样本数量，提高基于右截尾数据对产品进行可靠性分析效率，尤其适用于小样本右截尾数据产品可靠性分析，方法简单，操作性强，对具体研究对象的产品种类没有特殊要求，适用性广泛。

Description

基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法

技术领域

本发明涉及一种样本取舍方法，具体为一种基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法。

背景技术

对于高质量长寿命产品来说，若要获取产品的故障数据将花费较长的试验或运行时间进行观测。因此，很多时候利用产品的寿命数据进行可靠性评估往往只能依赖右截尾寿命数据。通常情况下，传统的寿命估计方法适用于全样本寿命数据处理，而对于只包含右截尾寿命数据不再适用。目前，基于非失效寿命数据的产品可靠性估计方法研究越来越受到重视，包括可靠性试验法、寿命分布参数估计法、最优置信限分析法、修正似然函数法和退化型失效模型统计分析法等等。Martz和Waller最早提出了非失效寿命数据在指数分布条件下的失效概率估计方法。Zhao等人提出了关于威布尔分布和正态分布的失效概率的最小Squire和Bayes估计方法。Niu等人还研究了置信极限法在可靠性估计中的应用。

在当前的产品可靠性的参数估计方法中，威布尔分布因其本身特点得到了广泛应用。然而，常用的可靠性评估研究中往往是基于两参数威布尔分布，即位置参数被指定为零，这意味着寿命数据的随机变量从零到无限分散分布。显然，对于大多数现代电气或机械产品来说，故障不会在服役开始时发生。也就是说，可能的产品最小生命值是远大于零的。当根据观察到的寿命数据，特别是右截尾寿命数据来估计产品寿命分布时，产品寿命分布的尺度参数直接受到位置参数估计值影响。也就是说，使用三参数威布尔分布或两参数威布尔分布，估计寿命分布不仅具有不同的位置参数，也将具有不同的尺度参数。因此，利用三参数威布尔分布估计产品寿命分布更贴近工程实际情况。

发明内容

针对现有技术中产品寿命分布的尺度参数不足以贴近工程实际情况与低估产品的可靠性水平等缺陷，本发明要解决的问题是提供一种适用性广泛、效率高的产品可靠性分析的基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法。

为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是：

本发明一种基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法，包括以下步骤：

1)确定研究对象服从三参数威布尔分布的形状参数；

2)利用产品失效概率中位秩与样本量之间的关系估计三参数威布尔分布中位置参数与尺度参数；

3)根据研究对象具体情况利用三参数威布尔分布形式、形状参数、位置参数以及尺度参数建立产品寿命概率分布的右截尾数据截断原则。

步骤1)中确定三参数威布尔分布的形状参数，具体为：

101)相同批次产品在工作环境条件下失效机理相似，对应的寿命服从三参数威布尔分布中形状参数假设为相同；

102)假设伺服电机的寿命服从威布尔分布，采用三参数威布尔分布来表征产品寿命时，概率密度函数f(t)、累积概率函数F(t)和可靠性函数R(t)分别为：

式中，t为产品寿命时间，β为形状参数，β>0，η为尺度参数，η>0)，γ为位置参数，γ≥0。

步骤2)中利用产品失效概率中位秩与样本量之间的关系估计三参数威布尔分布中位置参数与尺度参数，具体为：

201)当样本容量为n时，代表寿命样本进行排序，ti代表第i个样本的寿命，估计失效概率的中位秩为

式中，i为n个样本中寿命为ti的第i个样本的秩，F2(n+1-i),2i,0.5为自由度为2(n+1-i)和2i的F分布的中位数；

202)在实际的工程应用中，式(4)近似为

通过式(5)，估算出样本量容np，其中寿命随机变量小于t(1,n)的概率为p，作为威布尔分布的p×100th百分位tp的估计量。

步骤201)中，若观测值中有部分寿命数据ti(i＝1,2,…,r)和部分截尾数据ti+(i＝r+1,r+2,…,n)，则通过修正秩来近似估计寿命大于各ti值的概率；若只有n个截尾寿命数据ti+(i＝1,2,…,n)，也可估计出寿命大于t1+的概率。

步骤201)中，估计失效概率为性能指标小于ti的概率。

还包括步骤203)：从实际工程应用的角度出发，若样本容量足够大，将最小的观测寿命t(1,nb)作为位置参数的估计值，即多项式函数的一阶近似，应用线性模型描述样本量与位置参数估值之间的关系为：

γ＝t_(1,n)n/n_b (6)

式中，nb为基准样本容量；

对应的威布尔分布尺度参数与位置参数的估计表达式为：

式中，C为显著水平。

步骤3)中，根据研究对象具体情况利用三参数威布尔分布形式、形状参数、位置参数以及尺度参数建立产品寿命概率分布的右截尾数据截断原则包括以下步骤：

301)判断样本容量是否小于基准样本容量nb；

302)当样本容量小于nb时，根据失效概率与样本容量之间关系确定位置参数的估值；

303)根据位置参数估值得到威布尔分布尺度参数估计值，进而得到产品可靠度估计值；

304)从全样本开始依次减小最小截尾时间对应样本计算产品寿命分布参数估值与可靠度估值，将最终结果绘制成图表进行分析，根据最大尺度参数估值与最高可靠度估值与样本容量之间关系，选取适当的右截尾数据截断原则。

当样本容量不小于nb时，将最小的观测寿命t(1,nb)作为位置参数的估计值。

本发明具有以下有益效果及优点：

1.本发明提出了一种规则来截短一个多重右截尾的寿命样本：丢弃较短的观测寿命值(右截尾数据)，以最大限度地提高在观测寿命时间内估计产品的可靠性分析效率。

2.通过分析三参数威布尔分布、两参数威布尔分布和指数分布的估计产品寿命概率密度函数与可靠性之间的差异，根据本发明给出的三参数威布尔分布进行产品寿命概率分布的右截尾数据截断原则，可减小实际应用样本数量，提高基于右截尾数据对产品进行可靠性分析效率。

3.本发明在三参数威布尔分布条件下，右截尾数据位置参数估计方法，可以方便得到位置参数估计值与样本容量之间关系，尤其适用于小样本右截尾数据产品可靠性分析，方法简单，操作性强，对具体研究对象的产品种类没有特殊要求，适用性广泛。

附图说明

图1为本发明位置参数与样本量之间关系图示；

图2为本发明三参数威布尔分布尺度参数、位置参数估值与样本量之间关系图示；

图3为本发明三参数威布尔分布条件下可靠度估值与样本量之间关系图示；

图4为本发明两参数威布尔分布尺度参数估值与样本量之间关系图示；

图5为本发明两参数威布尔分布条件下可靠度估值与样本量之间关系图示。

具体实施方式

下面结合说明书附图对本发明作进一步阐述。

本发明一种基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法，包括以下步骤：

1)确定研究对象服从三参数威布尔分布形状参数；

2)利用产品失效概率中位秩与样本量之间的关系估计三参数威布尔分布中位置参数与尺度参数；

3)根据研究对象具体情况利用三参数威布尔分布的形状参数、位置参数以及尺度参数建立产品寿命概率分布的右截尾数据截断原则。

步骤1)中确定三参数威布尔分布的形状参数，具体为：

101)相同批次产品在工作环境条件下失效机理相似，对应的寿命服从三参数威布尔分布中形状参数假设为相同；

102)假设伺服电机的寿命服从威布尔分布，形状参数β为2.0～3.5之间，形状参数具体数值给定依据实际情况。采用三参数威布尔分布来表征产品寿命时，概率密度函数f(t)、累积概率函数F(t)和可靠性函数R(t)分别为：

式中，t为产品寿命时间，β为形状参数，β>0，η为尺度参数，η>0)，γ为位置参数，γ≥0。

由于相同批次产品在一定的工作环境条件下失效机理相似，对应的寿命服从三参数威布尔分布中形状参数可假设为相同。根据以往相关内容研究的总结，在本发明中假设伺服电机的寿命服从威布尔分布时，形状参数β为3.0。

在样本容量充足的前提条件下容易得到位置参数的估计，小样本情况下需要采用新的方法进行估计。步骤2)中利用产品失效概率中位秩与样本量之间的关系估计三参数威布尔分布中位置参数与尺度参数，具体为：

201)当样本容量为n时，代表寿命样本进行排序，ti代表第i个样本的寿命，估计失效概率的概率为

式中，i为n个样本中寿命为ti的第i个样本的秩(序数)，F2(n+1-i),2i,0.5为自由度为2(n+1-i)和2i的F分布的中位数；

202)式(4)近似为

步骤201)中，若观测值中有部分寿命数据ti(i＝1,2,…,r)和部分截尾数据ti+(i＝r+1,r+2,…,n)，则通过修正秩来近似估计寿命大于各ti值的概率；若只有n个截尾寿命数据ti+(i＝1,2,…,n)，也可估计出寿命大于t1+的概率；估计失效概率为性能指标小于ti的概率。

通过式(5)，可以估算出样本量容np，其中寿命随机变量小于t(1,n)的概率为p，因而t(1,n)可以作为威布尔分布的p×100th百分位tp的估计量。众所周知，对于威布尔分布来说，样本容量n越大，位置参数γ和最小观测寿命t(1,n)之间的差异越小。这种差异也依赖于威布尔分布参数，如形状参数和尺度参数。这意味着可以根据最小观测值、样本大小、威布尔形状参数和尺度参数之间的关系来确定位置参数估计的合理性。

步骤2)还包括步骤203)：从实际工程应用的角度出发，若样本容量足够大，将最小的观测寿命t(1,nb)作为位置参数的估计值，作为多项式函数的一阶近似，应用线性模型描述样本量与位置参数估值之间的关系为：

γ＝t_(1,n)n/n_b(6)

式中，nb为基准样本容量；

对应的威布尔分布尺度参数与位置参数的估计表达式为：

式中，C为显著水平。

若样本容量足够大，可将最小的观测寿命t(1,nb)作为位置参数的估计值。因此，有必要先确定最小样本容量nb的具体数值。在本发明中，当估计失效概率为0.01时，根据式(5)计算得到对应基准样本容量为n0.01＝70。因此，最小样本容量满足70时，可将最小的观测寿命t(1,nb)作为位置参数的估计值。当截尾时间t(1,n)＝2000时，图1显示了式(6)中估计的位置参数与样本大小n之间的关系。此时，对应的威布尔分布尺度参数与位置参数的估计表达式为式(7)。

步骤3)中，根据研究对象具体情况利用三参数威布尔分布形式、形状参数、位置参数以及尺度参数建立产品寿命概率分布的右截尾数据截断原则包括以下步骤：

301)判断样本容量是否小于基准样本容量nb(本实施例中基准样本容量nb为70)；

302)当样本容量小于70时，根据失效概率与样本容量之间关系确定位置参数的估值；

303)根据位置参数估值得到威布尔分布尺度参数估计值，进而得到产品可靠度估计值；

304)从全样本开始依次减小最小截尾时间对应样本计算产品寿命分布参数估值与可靠度估值，将最终结果绘制图表进行分析，根据最大尺度参数估值与最高可靠度估值与样本容量之间关系，选取适当的右截尾数据截断原则。

当样本容量不小于70时，将最小的观测寿命t(1,nb)作为位置参数的估计值。

下面以伺服电机的右截尾数据为例对本发明进行详细说明。

一组样本容量为52的伺服电机寿命观测值(右截尾寿命数据)如表1所示，产品运行到对应时间没有失效现象发生，属于未失效数据。利用本发明中的方法对这组右截尾数据进行产品的可靠性分析，验证所提出的右截尾寿命数据截断原则有效性与合理性。

表1伺服电机的右截尾数据

基于全样本的参数估计：

这组包含52个样本的伺服电机电机无失效数据(右截试验数据)，最小截尾时间为256小时，最长截尾时间为7200小时，根据本发明中的方法若将全部样本数据用于估计产品寿命服从威布尔分布的参数估计，可以得到相关参数的数值为：β＝3.0，n＝52，t(1,52)＝256，γ＝190.2，η＝10732.3根据式(3)可以得到，在产品寿命达到5000h时产品的可靠度估计值为

利用参数估计方法尽管可以得到产品的可靠度估计，通过实例中产品的右截尾数据容易得到产品的可靠度是不是最优情况，有待于利用三参数威布尔分布进行产品寿命概率分布的右截尾数据截断原则进行验证。由于右截尾寿命数据不包含产品寿命分布的完整信息，使用此类数据预测产品寿命或评估产品可靠性是相对保守。因此，有理由相信较短的截尾时间可能会严重影响可靠性评估结果。

基于截断样本的估计：

为了确定最优的右截尾数据截断原则，利用威布尔分布参数估计方法依次取舍较短的截尾数据，保留剩余较长截尾数据进行参数估计与可靠性评估以便确定合适的截尾数据选取方案，将利用伺服电机数据计算结果列于表2之中。具体过程为：在最短截尾时间确定为256h时，对应样本52个样本能够满足条件；当最短截尾时间为720时，对应50个样本满足条件；以此类推，依次计算。

表2原始/截断样本的三参数威布尔分布参数估计与可靠度估计

表2中的三参数威布尔参数估计结果表明，估计的位置参数对样本大小和样本中的最小截尾时间敏感。尺度参数的估值不仅与样本容量有关，还与位置参数估计值有关。通过以上分析可知，截尾时间较小时大量样本估计出较小的位置参数，截尾时间较大时小量样本同样估计出较小的位置参数。三参数威布尔分布参数的估计值与样本大小之间的关系如图2所示。从图2可以看出，通过本实例研究结果在样本容量为26时，对应位置参数估计最高。从图3可以看出，在样本容量为26时可靠度估值同样达到最高，取截尾时间不小于4240h的26个样本对应的右截尾数据作为最终可靠性评估所需要的样本将极大提高可靠性分析效率。通过本发明提出的基于三参数威布尔分布进行产品寿命概率分布的右截尾数据截断原则，在样本量减小50％的情况下，最终的产品可靠度估计值达到最理想状态。也就是说，即使删除26个较短记录后从原始记录中截短的样本有利于产品的可靠性估计，因此，截尾时间截尾截断原则是丢弃部分较短的截尾数据，以最大限度地提高估计的可靠性分析效率。

对两参数威布尔分布条件下的参数的估计值与样本大小之间的关系进行分析。同样利用伺服电机的实例，假设产品服从两参数威布尔分布，则尺度参数的估值与样本量之间变化与产品寿命达到5000h条件下可靠度估值，计算结果如表3所示。

表3原始/截断样本的两参数威布尔分布参数估计与可靠度估计

两参数威布尔分布尺度参数估值与样本容量之间关系如图4所示，可见在样本越多尺度参数的估值越高，在样本量达到30以后尺度参数估值增加开始趋于平缓。产品可靠度的估值与样本容量之间关系如图5所示，可见在样本越多产品可靠度的估值越高，在样本量达到30以后可靠度估值增加同样开始趋于平缓。可见对于两参数威布尔分布函数来说，样本量越大估计的效果越好，但是，存在这样的一个问题，就是产品的寿命分布的概率密度函数是从零开始的，显然不符合对伺服电机的寿命进行描述。通过以上分析，说明基于两参数威布尔分布作为前提假设明显低估了利用右截尾数据估计产品可靠性的水平。

因此，本发明提出的基于三参数威布尔分布进行产品寿命概率分布的右截尾数据截断原则是适用于对右截尾数据进行产品可靠性分析的一种有效方法。

Claims (7)

1.一种基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法，其特征在于包括以下步骤：

1)确定研究对象服从三参数威布尔分布的形状参数；

2)利用产品失效概率中位秩与样本量之间的关系估计三参数威布尔分布中位置参数与尺度参数；

3)根据研究对象具体情况利用三参数威布尔分布形式、形状参数、位置参数以及尺度参数建立产品寿命概率分布的右截尾数据截断原则。

2.根据权利要求1所述的基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法，其特征在于步骤1)中确定三参数威布尔分布的形状参数，具体为：

101)相同批次产品在工作环境条件下失效机理相似，对应的寿命服从三参数威布尔分布中形状参数假设为相同；

102)假设伺服电机的寿命服从威布尔分布，采用三参数威布尔分布来表征产品寿命时，概率密度函数f(t)、累积概率函数F(t)和可靠性函数R(t)分别为：

式中，t为产品寿命时间，β为形状参数，β>0，η为尺度参数，η>0)，γ为位置参数，γ≥0。

3.根据权利要求1所述的基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法，其特征在于步骤2)中利用产品失效概率中位秩与样本量之间的关系估计三参数威布尔分布中位置参数与尺度参数，具体为：

201)当样本容量为n时，代表寿命样本进行排序，ti代表第i个样本的寿命，估计失效概率的中位秩为

式中，i为n个样本中寿命为ti的第i个样本的秩，F2(n+1-i),2i,0.5为自由度为2(n+1-i)和2i的F分布的中位数；

202)根据工程经验在实际应用中，式(4)近似为

通过式(5)，估算出样本量容np，其中寿命随机变量小于t(1,n)的概率为p，作为威布尔分布的p×100th百分位tp的估计量。

4.根据权利要求3所述的基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法，其特征在于步骤201)中，若观测值中有部分寿命数据ti(i＝1,2,…,r)和部分截尾数据ti+(i＝r+1,r+2,…,n)，则通过修正秩来近似估计寿命大于各ti值的概率；若只有n个截尾寿命数据ti+(i＝1,2,…,n)，也可估计出寿命大于t1+的概率。

5.根据权利要求3所述的基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法，其特征在于步骤201)中，估计失效概率为性能指标小于ti的概率。

6.根据权利要求3所述的基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法，其特征在于还包括步骤203)：从实际工程应用的角度出发，若样本容量足够大，将最小的观测寿命t(1,nb)作为位置参数的估计值，即多项式函数的一阶近似，应用线性模型描述样本量与位置参数估值之间的关系为：

γ＝t_(1,n)n/n_b (6)

式中，nb为基准样本容量；

对应的威布尔分布尺度参数与位置参数的估计表达式为：

式中，C为显著水平。

7.根据权利要求3所述的基于威布尔分布及右截尾数据估计可靠度的样本取舍方法，其特征在于步骤3)中，根据研究对象具体情况利用三参数威布尔分布形式、形状参数、位置参数以及尺度参数建立产品寿命概率分布的右截尾数据截断原则包括以下步骤：

301)判断样本容量是否小于基准样本容量nb；

302)当样本容量小于nb时，根据失效概率与样本容量之间关系确定位置参数的估值；

303)根据位置参数估值得到威布尔分布尺度参数估计值，进而得到产品可靠度估计值；

304)从已经确定的研究对象样本开始依次减小最小截尾时间对应样本计算产品寿命分布参数估值与可靠度估值，将最终结果绘制成图表进行分析，根据最大尺度参数估值与最高可靠度估值与样本容量之间关系，选取适当的右截尾数据截断原则。

当样本容量不小于nb时，将最小的观测寿命t(1,nb)作为位置参数的估计值。