CN108491637A - 基于无失效数据超小样本的产品寿命分布评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于无失效数据超小样本的产品寿命分布评估方法，步骤为：产品寿命服从Weibull分布的形状参数估计从1.5～2.5中选取；位置参数估计，根据寿命样本值得到参数估计成功概率的中位秩，再得到规定置信水平下样本量与位置参数的关系；尺度参数估计，用二项分布表达可靠度、置信水平、样本量与失效数之间的关系：式中，n为样本量，r为失效样本数，R为可靠度，C为置信水平，j为失效样本序号，存在这样的等式可以得到给定置信水平下尺度参数估计式本发明根据产品寿命Weibull分布形状参数的经验值以及估计出位置参数，应用单侧区间估计方法估计置信度为95％的寿命分布，验证了本发明方法的有效性。

Description

基于无失效数据超小样本的产品寿命分布评估方法

技术领域

本发明涉及一种产品寿命分布评估方法，具体为一种基于无失效数据超小样本的产品寿命分布评估方法。

背景技术

无失效数据的情形是指在规定的试验时间内没有试样发生失效(因而没有确切的寿命数据)，属于可靠性试验中定时截尾试验的一种特殊情况。早前，非失效数据常被作为异常数据剔除，或简单地作保守处理。对于长寿命、高可靠性产品，若要获得其失效数据，要花费相当长的试验时间。随着高可靠性、长寿命产品越来越多，在时间有限的定时截尾试验中，也会越来越多地遇到无失效数据的情况。于是，如何对无失效数据时的试验结果进行统计处理，尤其当样本数量很小时，引起了国内外许多学者的日益重视。

为了节省试验时间，通行的做法是强化试验载荷。然而，载荷强化试验涉及到寿命及其分散性等效等复杂问题，很难满足一些具体工程问题的需求。对于尚处于开发阶段的产品，可用样品数量及允许的试验时间都十分有限，无法得到利用强化试验方法所需要的载荷-寿命关系。对于造价昂贵的材料和复杂的产品，如飞机、船舶、武器装备等，进行大样本量的试验通常也是不现实的。对于这些种类的产品，可靠性评估通常只能依赖数量有限的非失效数据。所以，发展在无失效数据情况下基于小样本的可靠性评估理论的意义与价值都非常显著。

关于产品寿命及可靠性统计，传统统计理论与方法针对的多是大样本情况。根据寿命数据(失效数据)，尤其是大样本寿命数据评估产品的可靠性，已有比较成熟的方法。在小样本方面，Hanson和Koopmans等人提出小样本统计的非参数方法[3]，Scholz和Stephense[4]提出了连续和离散情况下的分布拟合检验方法，该检验理论可以对样本分布形式进行拟合检验、对样本进行单因素方差检验，对于小样本也有较好的效果。

目前针对小样本提出的统计推断分析评估方法可以分为两大类：一类为综合利用历史信息和当前实验数据的统计方法，另一类是只利用当前实验数据的方法，主要对现有大样本统计计算方法进行改进，使之能够适用于小样本情形，从而使得参数估计的精度得以提高。

目前关于无失效数据可靠性研究的方法主要有无失效可靠性(抽样)检验方法，置信限法，配分布曲线法，修正似然函数法，极小χ2—法，等效失效数法，参数综合估计法，二项分布—非参数方法，退化型失效模型统计分析方法等。

Bayes统计理论在近几十年来迅速发展，在小样本问题中得到了越来越多的认可。该方法能充分利用产品现有的全部有关信息，包括经验信息和样本信息，可以在一定程度上减少因样本量较少带来的统计误差。但由于验前信息的来源各异，先验分布的选择带有很大的主观性，常常引起争议。

Weibull分布在轴承等多种机电产品寿命及可靠性评估方面已经非常成熟，但是主要是基于两参数威布尔分布。然而，对于长寿命产品而言，两参数Weibull分布明显低估了产品的寿命与可靠性。

发明内容

针对现有技术中产品寿命分布评估存在两参数威布尔分布表达精度不高，不能准确表达产品寿命分布真实情况等不足，本发明要解决的问题是提供一种更加可靠的基于无失效数据超小样本的产品寿命分布评估方法。

为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是：

本发明一种基于无失效数据超小样本的产品寿命分布评估方法，包括以下步骤：

1)形状参数确定，待估计的产品寿命服从Weibull分布的形状参数β为1.5～2.5；

2)位置参数估计，若有n个寿命样本，根据寿命样本值由小到大排列，其中第i个样本的寿命为t_i，位置参数大于t_i估计成功概率的中位秩为：

式中，i为全部n个样本中未失效样本数，F_{2(n+1-i),2i,0.5}为自由度为2(n+1-i)和2i的F分布中位数；

3)尺度参数估计，对于成功/失效型统计分析问题，用二项分布表达可靠度、置信水平、样本量与失效数之间的关系：

式中，n为样本量，r为失效样本数，R为可靠度，C为置信水平，j为失效样本的序号。

步骤3)中，当失效样本数r＝0时，有Rⁿ＝1-C；对于Weibull分布，得到给定置信水平的尺度参数估计式为：

其中，t为寿命时间，γ为位置参数。

步骤2)中，中位秩公式近似表达为：

步骤2)中，对于置信水平小于0.95时的样本量场合的n’满足等式

其中，t₉₅为置信水平为0.95的位置参数，n₉₅为置信水平为0.95的样本量，t₀为指定寿命时间，β为形状参数。

本发明具有以下有益效果及优点：

1.本发明从产品寿命分布的实际角度入手，基于三参数Weibull寿命分布的产品寿命及可靠性统计分析方法，采用中位秩估计公式，反映可靠性估计的置信度要求，由产品截尾寿命数据计算出其三参数Weibull寿命分布位置参数值；根据产品寿命Weibull分布形状参数的经验值以及估计出的位置参数，应用单侧区间估计方法估计置信度为95％的寿命分布(尺度参数)验证了本发明方法的有效性。

2.本发明修正了位置参数估计方法，在给定置信水平下，估计出三参数Weibull分布位置参数的原理，并得到更合理的结果。

附图说明

图1为本发明中的样本数量曲线图；

图2为两参数/三参数Weibull估计的概率密度函数图。

具体实施方式

下面结合说明书附图对本发明作进一步阐述。

本发明一种基于无失效数据超小样本的产品寿命分布评估方法，包括以下步骤：

1)形状参数确定，假设待估计的产品寿命服从Weibull分布的形状参数β为1.5～2.5；

2)位置参数估计，若有n个寿命样本，根据寿命样本值由小到大排列，其中第i个样本的寿命为ti，估计成功概率的中位秩公式为

式中，i为全部n个样本中未失效样本数，F_{2(n+1-i),2i,0.5}为自由度为2(n+1-i)和2i F分布的中位数；

3)尺度参数估计，对于成功/失效型统计分析问题，用二项分布表达可靠度、置信水平、样本量与失效数之间的关系：

式中，n为样本量，r为失效样本数，R为可靠度，C为置信水平，j为失效样本的序号，对于Weibull分布而言，可以得到给定置信水平的尺度参数估计式

本发明中，超小样本是指3～5个样本。

步骤1)中，形状参数确定，根据工程实际和专家经验，大多数产品如轴承寿命概率分布的形状参数β值在1.5～2.5之间。在以下统计分析中，假设待估计的轴承Weibull寿命分布的β值为2.0.

步骤2)中，估计成功概率的中位秩公式可近似表达为

Weibull分布的位置参数的意义是寿命样本的最小值。也就是说，全部样本值都将大于该值。若通过试验获得了n个截尾时间为t的右截尾试验数据，可知寿命分布的位置参数大于t的概率的中位秩估计为

由此，使估计值达到95％置信度所需要的样本量可由下式计算即，n95≈13.6。同理，使估计值达到97.5％置信度所需要的样本量可由下式计算即，n97.5≈27.6。

对于置信水平小于0.95时的样本量场合的n’，满足等式其中，t₉₅为置信水平为0.95的位置参数，n₉₅为置信水平为0.95的样本量，t₀为指定寿命时间，β为形状参数。

该表达式根据n’个在t₀＝2000h截尾的样本估计出的Weibull分布的位置参数t₉₅与n’之间的关系如附图1所示。

步骤3)中，尺度参数估计，对于成功/失效型统计分析问题，可用二项分布表达可靠度、置信水平、样本量与失效数之间的关系：式中，n为样本量，r为失效样本数，R为可靠度，C为置信水平。对于r＝0的特殊情形，有Rⁿ＝1-C。对于Weibull分布而言，可以得到给定置信水平的尺度参数估计式：

其中，t为寿命时间，γ为位置参数，β为形状参数。

本实施例中，令样本量n＝3，假设寿命所服从的Weibull分布的形状参数β等于2，试验载截止时间为2000h，由尺度参数估计式得出位置参数等于939.3h，估计得到尺度参数为1061.5h。由式和得到均值和标准差分别为1880.0和491.7，变异系数为0.262。若采用两参数Weibull分布，依据以上试验数据及相关信息进行估计，则得出尺度参数为2001.4h，其均值、标准差和变异系数分别为1773.3、926.0和0.523。二者的差别如附图2所示。直观判断，三参数Weibull分布的估计结果优于两参数Weibull分布的估计结果。因为两参数Weibull分布得到的寿命变异系数远大于绝大多数工程问题的范围(通常为5％～10％)。

应用Weibull分布拟合寿命分布，若没有失效发生，可以根据已知的形状参数，应用下式估计其尺度参数：式中，为自由度为2r+2的χ²分布的C分位数。应用该式及上述数据信息，尺度参数的估计结果为＝2001.5，与两参数Weibull分布估计结果相同。

Claims (4)

1.一种基于无失效数据超小样本的产品寿命分布评估方法，其特征在于包括以下步骤：

1)形状参数确定，待估计的产品寿命服从Weibull分布的形状参数β为1.5～2.5；

2)位置参数估计，若有n个寿命样本，根据寿命样本值由小到大排列，其中第i个样本的寿命为t_i，位置参数大于t_i估计成功概率的中位秩为：

式中，i为全部n个样本中未失效样本数，F_{2(n+1-i),2i,0.5}为自由度为2(n+1-i)和2i的F分布中位数，再得到规定置信水平1-α下样本量与位置参数的关系式为

3)尺度参数估计，对于成功/失效型统计分析问题，用二项分布表达可靠度、置信水平、样本量与失效数之间的关系：

式中，n为样本量，r为失效样本数，R为可靠度，C为置信水平，j为失效样本的序号，对于Weibull分布而言，得到给定置信水平的尺度参数估计式

2.根据权利要求1所述的基于无失效数据超小样本的产品寿命分布评估方法，其特征在于：步骤3)中，当失效样本数r＝0时，有Rⁿ＝1-C；对于Weibull分布，得到给定置信水平的尺度参数估计式为：

其中，t为寿命时间，γ为位置参数。

3.根据权利要求1所述的基于无失效数据超小样本的产品寿命分布评估方法，其特征在于：步骤2)中，中位秩公式近似表达为：

。

4.根据权利要求3所述的基于无失效数据超小样本的产品寿命分布评估方法，其特征在于：步骤2)中，对于置信水平小于0.95时的样本量场 合的n’满足等式

其中，t₉₅为置信水平为0.95的位置参数，n₉₅为置信水平为0.95的样本量，t₀为指定寿命时间，β为形状参数。