CN110060307A - 利用球投影的对拓关系标定抛物折反射摄像机的方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及一种利用球投影的对拓关系标定抛物折反射摄像机的方法，该方法充分利用标靶在单位球模型下的投影性质，其包括步骤：分别从3幅图像中提取镜面轮廓投影的边缘点和靶标图像边缘点；根据像点与其对拓像点的关系获得对拓像点，且任意2对对拓点决定1个包含大圆的平面，由交比调和共轭性得到任意1对对拓点方向上的无穷远点，由此构造出无穷远直线；根据无穷远直线所在平面大圆上的2对对拓点计算出平行方向的无穷远点，通过交比调和共轭性和对拓关系计算出圆上另外2点，则利用这6点可以获得大圆方程；最后投影得到无穷远直线和大圆的像，从而得到圆环点的像。通过圆环点的像和摄像机内参数的关系求解得到摄像机参数。

Description

利用球投影的对拓关系标定抛物折反射摄像机的方法
技术领域
本发明属于计算机视觉领域，涉及一种利用球在单位球投影模型下的对拓性质标定抛物折反射摄像机的方法。
背景技术
人工智能在视觉领域的发展要求计算机有更精确的从2维图像中识别、处理、应用空间中的3维信息。摄像机系统的标定是计算机视觉研究中基础的一步。标定方法的准确性，直接决定计算机视觉系统中三维分层重构的精确性。计算机标定就是需要利用2维的图像信息获得对应的3维空间信息，如根据图像信息进行测量对应3维信息，得到空间中物体的形状、位置、大小、运动姿态等信息，对应的就需要对摄像机系统中的参数进行测量，这个测量的过程就称为摄像机的标定。摄像机标定结果的准确性直接决定测量得到3维空间中物体信息与真实值之间的误差，比如需要得到3维空间中3维点的坐标，需要用到摄像机系统的主点和焦距，标定得到的主点和焦距的准确性决定了得到3维点的准确性，决定后续3维重构和3维测量结果的准确性。所以，提出准确合理的摄像机标定方法具有实际应用价值。
中心折反射摄像机的成像模型应用最为普遍的是一般化的单位视球投影模型，这个模型由文献“Catadioptric Projective Geometry”，(Geyer C,Daniilidis K.,International Journal of Computer Vision,2001,45(3):223-243.)提出，并证明此模型把中心折反射系统成像过程等价为单位视球的两步投影。基于Geyer和Daniilidis提出的一般化投影模型，出现了许多关于中心折反射摄像机的标定方法，从标定类型上区分可以分为自标定和标定两类。另外，中心折反射摄像机系统下提出了许多基于标定标靶的标定方法：目前为止，除文献“Catadioptric self-calibration”，(Kang,S.B.,InProceedings of IEEE International Conference on Computer Vision and PatternRecognition,2000,1:201-207.)和文献“Epipolar geometry for central catadioptriccameras”，(Sobver T,Pajdla T.,International Journal of Computer Vision,2002,49(1):23–37.)提出的基于图像点之间的对应关系完成自标定的方法外，利用实体标定标靶提出中心折反射摄像机的标定方法可以分为三类。第一类为文献“A flexible techniquefor accurate omnidirectional camera calibration and structure from motion”，(Scaramuzza,D.,Martinelli,A.,Siegwart,R.,In Proceedings of IEEE InternationalConference on Computer Vision Systems,2006:45-45.)提出的基于控制点的标定方法，通过建立2维图像平面与3维空间之间的单应矩阵，代数的方法完成摄像机的标定；第二类为文献“Geometric properties of central catadioptric line images and theirapplication in calibration”，(Barreto J,Araujo H.,IEEE Transactions on PatternAnalysis and Machine Intelligence,2005,27(8):1327–1333.)提出的基于直线的标定方法，通过3条或5条直线的像在图像平面上的几何性质完成摄像机内参数以及镜面参数的求解；第三类为文献“Catadioptric camera calibration using geometricinvariants”，(Ying X,Hu Z.,IEEE Transactions on Pattern Analysis and MachineIntelligence,2004,26(10):1260–1271.)中首次提出球像与摄像机内参数和提供的约束个数之间的关系。
文献“A calibration method for paracatadioptric camera from sphereimages”，(Duan H,Wu Y.,Pattern Recognition Letters,2012,33(6):677–684.)利用空间球在一般化的单位视球模型下的成像性质完成标定，在此基础上文献“Cameracalibration from the quasi–affine invariance of two parallel circles”，(Wu Y,Zhu H,Hu Z,et al.,Proc of European Conference of Computer Vision,2004,3021:190–202.)中提出的空间球在单位视球模型上的平行对拓小圆得到图像平面上的对拓球像(可视球像与对拓球像)，利用对拓球像之间的关系完成标定。本文在此基础上，利用文献“高等几何”，(梅向明，刘增贤，北京：高等教育出版社，2008)中圆上交比的调和共轭性与对拓点知识，通过2对对拓点计算圆上另外对拓点，从而得到圆方程。再利用无穷远直线和圆之间的关系得到圆环点，由此获得3组圆环点的像，从而完成摄像机的标定。
发明内容
本发明提供了一种制作简单，普遍适用，稳定性好的空间球为标靶的标定抛物折反射摄像机的方法。该方法通过3副标靶图就可线性求解出摄像机的5个内参数.
本发明采用如下技术方案：
由抛物折反射摄像机从不同的角度拍摄得到3幅标靶图像。本发明是由空间中单个球作为标定标靶求解摄像机5个内参数的方法，其特征在于充分利用标靶在单位球模型下的投影性质：第一，分别从3幅图像中提取镜面轮廓投影的边缘点和靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影和球像投影；第二，根据像点与其对拓像点的关系获得对拓像点，且任意2对对拓点决定1个包含大圆的平面，由交比调和共轭性得到任意1对对拓点方向上的无穷远点，由此构造出无穷远直线；第三，根据无穷远直线所在平面大圆上的2对对拓点计算出平行方向的无穷远点，通过交比调和共轭性和对拓关系计算出圆上另外2点，则利用这6点可以获得大圆方程；最后投影得到无穷远直线和大圆的像，从而得到圆环点的像。通过圆环点的像和摄像机内参数的关系求解得到摄像机参数。
1.获得镜面轮廓和球像方程
基于MATLAB平台，利用最小二乘法从Edge函数提取的镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点像素坐标拟合出镜面轮廓投影方程和球像方程。
2.获得消失线
单位球投影模型下，空间球Q在拋物折反射摄像机下的成像分为两步。第一步，球Q投影为单位视球上的平行小圆Sn+和Sn-(n＝1,2,3表示拍摄的第n幅图像)，其中一个可见(下标“+”表示)一个不可见(下标“-”表示)，M+和M-分别对应于平行小圆上的2个点，且为单位视球直径的2个端点。单位视球直径的两个端点为一对对拓点，则Sn+与Sn-为一对对拓平行小圆。第二步，通过单位视球表面的虚拟摄像机光心Oc把平行一对对拓小圆Sn+和Sn-投影到图像平面Π上，得到一对二次曲线Cn+和Cn-，其中称Cn-为可见二次曲线Cn+的对拓球像，图像平面Π与单位视球球心Ow所在直线OcOw垂直。设以Oc为光心的虚拟摄像机内参数矩阵为其中fu，fv为摄像机在u轴和v轴方向上的尺度因子，摄像机主点坐标齐次坐标矩阵式p＝[u0 v0 1]T，s为u轴和v轴方向的倾斜因子(也称畸变因子)，fu,fv,u0,v0,s为标定过程中需要求解的摄像机的5个内参数。利用最小二乘法从Edge函数提取的镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点像素坐标拟合出镜面轮廓投影方程和球像方程。设C0为第1幅图像镜面轮廓投影曲线的系数矩阵，通过C0可获得摄像机内参数矩阵K的一个初始矩阵值K0，则由初始化内参数K0得到ω0。再利用方程通过成像点计算对拓像点下标j表示拍摄的第j幅图像，上标n＝1,2,3表示第取的第n个像点，“+,-”分别表示可见与不可见。根据投影模型，在S+和S-上任取2对对拓点M1+,M1-和M2+,M2-，由对拓点的定义知道M1+,M1-,M2+,M2-为单位视球直径的端点，根据直线和平面的关系M1+,M1-,M2+,M2-四点决定唯一1个平面Π0，且这4点在圆心为Ow的大圆OI上。由交比调和共轭性得到M1+,M1-,M2+,M2-和圆心Ow的约束方程其中M1∞和M2∞表示直径M1+M1-与M2+M2-方向上的无穷远点。则由M1∞和M2∞得到平面Π0上的1条无穷远直线L∞。根据单位球成像模型，平面Π0中的4点M1+,M1-,M2+,M2-投影到图像平面Π上得到对应4点m1+,m1-,m2+,m2-，由射影变换过程中结合不变性知道4点m1+,m1-,m2+,m2-在单位圆OI的像Om上，则4点m1+,m1-,m2+,m2-和大圆圆心Ow的像满足交比调和共轭，即满足约束方程(m1+m1-,pm1∞)＝-1，,(m2+m2-,pm2∞)＝-1，p为大圆圆心Ow的像，由此可以得到无穷远点M1∞和M2∞的像m1∞和m2∞，称为消失点。根据消失点可以得到无穷远直线L∞的像l∞，称为消失线。为了简化描述，相同的字母即表示几何元素，也表示它所对应的系数矩阵。
3.获得大圆OI的像Om
由二次曲线的定义知道，至少需要5个点才能确定Om的方程，即图像平面Π上需要5个点才能得到Om的方程。若小圆S+上存在2个点M1+和M2+，则在对拓小圆S-上分别存在对应的2个对拓点M1-和M2-，且M1+,M1-,M2+,M2-在大圆OI上。根据对拓点定义知道M1+,M2+方向与M1-,M2-方向平行，则可以确定出平行方向上的无穷远点M3∞。在平面Π0上，连接M3∞与大圆OI的圆心Ow构成直线LM，则直线LM与单位圆OI相交于2个点，记相交的点为M3+与M3-，根据对拓点定义知道M3+与M3-为1对对拓点。对应得到M3+,M3-,M3∞在图像平面Π上的像m3∞,m3+,m3-。则m3∞,m3+,m3-,p四点满足交比调和共轭性，即满足约束方程(m3+m3-,pm3∞)＝-1。另一方面，m3+与m3-为1对对拓像点，则满足方程根据Om上的6个点mj+与mj-(j＝1,2,3)得到Om的方程。最后，联立消失线l∞与像平面Π上Om得到1对圆环点的像mI和mJ，由圆环点和摄像机内参数之间的关系，3对圆环点的像即可完成摄像机内参数的求解。
4.求解抛物折反射摄像机内参数
消失线l∞和大圆的像Om相交得到1对圆环点，即得到1对共轭虚点。根据圆环点I,J的像mI,mJ和绝对二次曲线的像ω之间的约束关系得到ω,其中Re与Im分别表示复数的实部和虚部，表示第n幅图像对应得到的圆环点的像。最后，对ω进行Cholesky分解得到摄像机内参数相关矩阵K-1，对K-1求逆即得到摄像机内参数K。
本发明优点：
(1)该靶标制作简单，只需1个球即可。
(2)该靶标不需要考虑球的物理尺度和位置信息。
(3)该靶标自身无遮挡的几何性质使得标定过程中有丰富完整的轮廓点源。
附图说明
图1是用于求解中心折反射摄像机内参数的靶标示意图。
图2是靶标在单位视球上的投影。
图3是标靶在抛物折反射系统平面上的投影。
具体实施方式
本发明提供了一种用于求解抛物折反射摄像机内参数的方法，它是由空间中的1个球构成，如图1。用此靶标完成抛物折反射摄像机的标定需要经过以下步骤：第一，分别从3幅图像中提取镜面轮廓投影的边缘点和靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影和球像投影；第二，由像点和其对拓像点的关系获得对拓像点，且任意2对对拓点决定1个包含大圆的平面，由交比调和共轭性得到任意1对对拓点方向上的无穷远点，由此构造出无穷远直线；第三，根据得到无穷远直线所在平面大圆上的2对对拓点计算出平行方向的无穷远点，通过交比调和共轭性和对拓关系计算出圆上另外2点，那么6点得到大圆方程；最后投影得到无穷远直线与大圆的像，从而得到圆环点的像。通过圆环点的像和摄像机内参数的关系求解得到摄像机参数。具体操作步骤如下：
1.获得镜面轮廓和球像方程
利用最小二乘法从MATLAB中的Edge函数提取的镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点像素坐标拟合出镜面轮廓投影方程和球像方程。
2.获得消失线
如图1所示，图中二次曲线的下标n省略，单位球投影模型下的空间球Q在拋物折反射摄像机下的成像分为两步。第一步，球Q投影为单位视球上的平行小圆Sn+和Sn-(n＝1,2,3表示拍摄的第n幅图像)，其中，投影中心为单位视球球心Ow，以单位视球球心Ow建立世界坐标系Ow-xwywzw，M+和M-分别对应于平行小圆上的2个点，且为单位视球直径的2个端点，单位视球直径的两个端点为对拓点，则Sn+与Sn-为1对对拓平行小圆。第二步，通过单位视球表面的虚拟摄像机光心Oc把平行一对对拓小圆Sn+和Sn-投影到图像平面Π上，其中以Oc为原点建立虚拟摄像机坐标系Oc-xcyczc，xc,yc轴分别与xw,yw平行，zc轴和zw重合垂直于像平面Π，并相交于主点p。得到二次曲线Cn+和Cn-，其中称Cn-为可见二次曲线Cn+的对拓球像，图像平面Π与单位视球球心Ow所在直线OcOw垂直。设以Oc为光心的虚拟摄像机内参数矩阵为其中fu，fv为摄像机在u轴和v轴方向上的尺度因子，摄像机主点齐次坐标矩阵式p＝[u0 v0 1]T，s为u轴和v轴方向的倾斜因子(畸变因子)，fu,fv,u0,v0,s为标定过程中需要求解的5个内参数。利用最小二乘法从Edge函数提取的镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点像素坐标拟合出镜面轮廓投影方程和球像方程。设C0为第1幅图像镜面轮廓投影曲线的系数矩阵，其参数表示为：
则通过C0可获得摄像机内参数矩阵K的一个初始矩阵值K0，计算方法如下
从而得到绝对二次曲线的像ω的初始值ω0，由得到的初始值K0，可以得到绝对二次曲线的像的初始值
若对拓球像Cn+和Cn-上的点分别为和其中n＝1,2,3，j＝1,2,…N(N≥3)表示第j幅图像，则由初始化内参数K0得到ω0，在此基础上，通过成像点计算对拓像点约束方程如下：
如图2所示，在S+和S-上任取2对对拓点M1±和M2±，“±”为“+”和“-”的缩写。由对拓点的定义知道M1+,M1-,M2+,M2-为单位视球直径的端点，根据直线和平面的关系M1+,M1-,M2+,M2-四点决定唯一1个平面Π0，且这4点在圆心为Ow的大圆OI上。根据交比调和共轭性构造关于M1+,M1-,M2+,M2-和圆心Ow的约束方程：
其中M1∞和M2∞分别表示直径M1+M1-方向和直径M2+M2-方向上的无穷远点。则由M1∞和M2∞得到平面Π0上的1条无穷远直线L∞。如图3所示，图2中平面Π0上的4点M1+,M1-,M2+,M2-投影到图像平面Π上得到对应4点m1+,m1-,m2+,m2-，由射影变换过程中结合不变性知道4点m1+,m1-,m2+,m2-在单位圆OI的像Om上，则4点m1+,m1-,m2+,m2-和大圆心Ow的像p满足交比调和共轭，即满足约束方程：
其中p为大圆圆心Ow的像，计算方法如下：
p＝(m1-×m1+)×(m2-×m2+)， (7)
其中×表示点与点的连接或者线与线的相交，由此可以得到无穷远点M1∞和M2∞的像m1∞和m2∞，称为消失点。根据消失点可以得到无穷远直线L∞的像l∞，称为消失线：
l∞＝m1∞×m2∞。 (8)
3.获得大圆OI的像Om
由二次曲线的定义知道，至少需要5个点才能确定Om的方程，即图像平面Π上需要5个点才能得到Om的方程。如图2所示，若小圆S+上存在2个点M1+和M2+，则对拓小圆S-上存在对应的2个对拓点M1-和M2-，且M1+,M1-,M2+,M2-在大圆OI上，由对拓点定义知道M1+,M2+方向与M1-,M2-方向平行，则可以确定出平行方向上的无穷远点M3∞。在平面Π0上，连接M3∞与大圆OI的圆心Ow构成直线LM，则直线LM与单位圆OI相交于2个点，记相交的点为M3+与M3-，根据对拓点定义知道M3+与M3-为1对对拓点。如图3所示，对应得到M3+,M3-,M3∞在图像平面Π上的像m3+,m3-,m3∞，则m3∞,m3+,m3-,p四点满足交比调和共轭性，即满足约束方程：
(m3+m3-,pm3∞)＝-1。 (9)
另一方面，m3+与m3-为1对对拓像点，则满足方程：
根据方程(9)和方程(10)计算出Om上另外2点m3+,m3-，利用m1+,m1-,m2+,m2-,m3+,m3-在Om上即可得到Om的方程，记Om方程参数的系数矩阵为C：
最后联立消失线l∞与C得到1对圆环点的像mI和mJ，设圆环点的像素齐次坐标矩阵为[uv 1]T，则通过下列式子计算出对应值：
由圆环点和摄像机内参数之间的关系知道，3对圆环点的像即可完成摄像机内参数的求解。
4.求解抛物折反射摄像机内参数
联立消失线l∞和大圆的像Om的系数矩阵C得到1对圆环点，即得到1对共轭虚点。根据圆环点I,J的像mI,mJ和绝对二次曲线的像ω之间的约束关系：
得到ω，其中Re与Im分别表示复数的实部和虚部，mnI,mnJ(n＝1,2,3)表示第n幅图像对应得到的圆环点的像。最后，根据ω和摄像机内参数的关系：
ω＝K-TK-1， (14)
通过对ω进行Cholesky分解得到摄像机内参数相关矩阵K-1，对K-1求逆得到摄像机内参数K。
实施例
本发明提出了一种利用空间球为靶标标定抛物折反射摄像机的方法。本发明采用的实验模板结构示意图如图1所示。下面以1实例对本发明的实施方案做出更为详细的描述。
基于空间中球的抛物折反射摄像机标定采用的实验模板是空间中的1个球，如图1所示。利用本发明中的方法对用于实验的抛物折反射摄像机进行标定，具体步骤如下：
1、拟合镜面轮廓和球像方程
本实例中所用图像大小为1063×1033。通过抛物折反射摄像机系统拍摄5幅靶标图像，利用MATLAB a2016对靶标图像进行Canny算子边缘检测和二值化处理，通过最小二乘法拟合镜面轮廓方程和空间球的像的方程。其中，镜面轮廓为图像的边界，用于初始化摄像机内参数，1幅图像的边界可以完成摄像机内参数的估计。记镜面轮廓投影方程的系数矩阵为C0，球像方程的系数矩阵为Cn+(n＝1,2,3)，具体数值如下：
2.获得消失线
把(15)式代入(2)得到内参数的初始值K0，参数矩阵值如下：
将(19)代入(3)式可以得到绝对二次曲线初始值ω0，矩阵结果如下：
在C1+上取2个点在C2+上取2个点在C3+上取2个点矩阵结果如下：
根据(19)式中得到摄像机主点的初始值p0，齐次坐标矩阵参数结果如下：
把(20)式、(21)式和(24)式代入(4)式得到C1+上2个点对应的对拓点同理，把(20)式、(22)式和(24)式代入(4)式得到C2+上2个点对应的对拓点把(20)式、(23)式和(24)式代入(4)式得到C3+上2个点对应的对拓点得到的对拓点矩阵结果如下：
根据(7)式知道，球像上的点和对拓点可以计算出对应的点p，所以把(21)式和(25)式代入(7)式得到第1幅图像中的p，记为p1。同理可以得到另外2幅图像中的p2和p3，矩阵结果如下：
把p1和(21)式、(25)式代入(6)式可以得到对应的消失点同理可以得到和矩阵结果如下：
把和的结果分别代入(8)式可以得到对应的消失线和矩阵结果如下：
3.获得大圆OI的像Om
由对拓关系知道点所在直线方向和所在直线方向平行，由此得到平行方向上的消失点，记为同理得到和方向的消失点和方向的消失点矩阵结果如下：
把(20)式、(28)式p1和(33)式代入方程(9)和方程(10)，联立(9)式和(10)式得到1对对拓点同理通过p2和的结果和p3和的结果可以得到另外2对对拓点和矩阵结果如下：
通过(21)式、(25)式、(34)式中的六点，得到1幅图像中大圆Om的方程，系数矩阵为C1。同理，通过(22)式、(26)式、(35)式中六点和通过(23)式、(27)式、(36)式中六点可以得到另外2幅图像中大圆Om的系数矩阵C2和C3，所得结果矩阵如下：
4.求解抛物折反射摄像机内参数
把(32)式中的和(37)式代入(12)式获得第1幅图像上圆环点的像m1I和m1J。同理，和(38)式代入(12)式得到第2幅图像中圆环点的像m2I和m2J，和(39)式代入(12)式得到第3幅图像中圆环点的像m2I和m2J(其中i表示复数)，所得圆环点像的矩阵结果如下所示：
将(40)式，(42)式和(44)式代入(13)式中，得到关于绝对二次曲线的像ω元素的约束方程组，通过最小二乘法计算得到绝对二次曲线ω的系数矩阵，结果如下：
最后，对ω进行Cholesky分解，然后求逆可获得摄像机内参数矩阵K，结果如下：
由(47)式中可以得到摄像机5个内参数的值：为摄像机在u轴和v轴方向上的尺度因子fu＝600.1617222340176，fv＝550.0942661872078，u轴和v轴方向的倾斜因子(畸变因子)s＝1.132831155571257，摄像机主点u0＝450.2993743492787，v＝350.2564180102125。

Claims (1)

1.一种利用球投影的对拓关系标定抛物折反射摄像机的方法，其特征在于用空间中单个球作为求解摄像机5个内参数的标定标靶；所述方法包括步骤：第一，分别从3幅图像中提取镜面轮廓投影的边缘点和靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影和球像投影；第二，根据像点与其对拓像点的关系获得对拓像点，且任意2对对拓点决定1个包含大圆的平面，由交比调和共轭性得到任意1对对拓点方向上的无穷远点，由此构造出无穷远直线；第三，根据无穷远直线所在平面大圆上的2对对拓点计算出平行方向的无穷远点，通过交比调和共轭性和对拓关系计算出圆上另外2点，则利用这6点以获得大圆方程；最后投影得到无穷远直线和大圆的像，从而得到圆环点的像；通过圆环点的像和摄像机内参数的关系求解得到摄像机参数；
(1)获得消失线
单位球投影模型下，空间球Q在拋物折反射摄像机下的成像分为两步；第一步，球Q投影为单位视球上的平行小圆Sn+和Sn-，n＝1,2,3表示拍摄的第n幅图像，其中一个见到，下标“+”表示；一个见不到，下标“-”表示；M+和M-分别对应于平行小圆上的2个点，且为单位视球直径的2个端点；单位视球直径的两个端点为一对对拓点，则Sn+与Sn-为一对对拓平行小圆；第二步，通过单位视球表面的虚拟摄像机光心Oc把平行一对对拓小圆Sn+和Sn-投影到图像平面Π上，得到一对二次曲线Cn+和Cn-，其中称Cn-为见到二次曲线Cn+的对拓球像，图像平面Π与单位视球球心Ow所在直线OcOw垂直；设以Oc为光心的虚拟摄像机内参数矩阵为其中fu，fv为摄像机在u轴和v轴方向上的尺度因子，摄像机主点坐标齐次坐标矩阵式p＝[u0 v0 1]T，s为u轴和v轴方向的倾斜因子(也称畸变因子)，fu,fv,u0,v0,s为标定过程中需要求解的摄像机的5个内参数；利用最小二乘法从Edge函数提取的镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点像素坐标拟合出镜面轮廓投影方程和球像方程；设C0为第1幅图像镜面轮廓投影曲线的系数矩阵，通过C0获得摄像机内参数矩阵K的一个初始矩阵值K0，则由初始化内参数K0得到ω0；再利用方程通过成像点计算对拓像点下标j表示拍摄的第j幅图像，上标n＝1,2,3表示第取的第n个像点，“+,-”分别表示见到与见不到；根据投影模型，在S+和S-上任取2对对拓点M1+,M1-和M2+,M2-，由对拓点的定义知道M1+,M1-,M2+,M2-为单位视球直径的端点，根据直线和平面的关系M1+,M1-,M2+,M2-四点决定唯一1个平面Π0，且这4点在圆心为Ow的大圆OI上；由交比调和共轭性得到M1+,M1-,M2+,M2-和圆心Ow的约束方程其中M1∞和M2∞表示直径M1+M1-与M2+M2-方向上的无穷远点；则由M1∞和M2∞得到平面Π0上的1条无穷远直线L∞；根据单位球成像模型，平面Π0中的4点M1+,M1-,M2+,M2-投影到图像平面Π上得到对应4点m1+,m1-,m2+,m2-，由射影变换过程中结合不变性知道4点m1+,m1-,m2+,m2-在单位圆OI的像Om上，则4点m1+,m1-,m2+,m2-和大圆圆心Ow的像满足交比调和共轭，即满足约束方程(m1+m1-,pm1∞)＝-1，,(m2+m2-,pm2∞)＝-1，p为大圆圆心Ow的像，由此以得到无穷远点M1∞和M2∞的像m1∞和m2∞，称为消失点；根据消失点以得到无穷远直线L∞的像l∞，称为消失线；为了简化描述，相同的字母即表示几何元素，也表示它所对应的系数矩阵；
(2)获得大圆OI的像Om
由二次曲线的定义知道，至少需要5个点才能确定Om的方程，即图像平面Π上需要5个点才能得到Om的方程；若小圆S+上存在2个点M1+和M2+，则在对拓小圆S-上分别存在对应的2个对拓点M1-和M2-，且M1+,M1-,M2+,M2-在大圆OI上；根据对拓点定义知道M1+,M2+方向与M1-,M2-方向平行，则以确定出平行方向上的无穷远点M3∞；在平面Π0上，连接M3∞与大圆OI的圆心Ow构成直线LM，则直线LM与单位圆OI相交于2个点，记相交的点为M3+与M3-，根据对拓点定义知道M3+与M3-为1对对拓点；对应得到M3+,M3-,M3∞在图像平面Π上的像m3∞,m3+,m3-；则m3∞,m3+,m3-,p四点满足交比调和共轭性，即满足约束方程(m3+m3-,pm3∞)＝-1；另一方面，m3+与m3-为1对对拓像点，则满足方程根据Om上的6个点mj+与mj-，其中j＝1,2,3，得到Om的方程；最后，联立消失线l∞与像平面Π上Om得到1对圆环点的像mI和mJ，由圆环点和摄像机内参数之间的关系，3对圆环点的像即完成摄像机内参数的求解。
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