CN109946631B - 最小化最大温度值的盘式梯度线圈 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种最小化最大温度值的盘式梯度线圈，由以下方法设计而成，包括以下步骤：1)构建盘式梯度线圈模型；2)得到热方程；3)分别获得热传导热传递系数、对流热传递系数和辐射热传递系数，以得到总的热传递系数ht；4)对方程

进行傅里叶分析，得到在极坐标系下，T^*在点(r，θ)的温度表达式；5)最小化最大温度值的盘式梯度线圈。本发明通过最小化最大温度值设计了梯度线圈，降低了线圈的最大温度值，改善了梯度线圈的成像性能。

Description

最小化最大温度值的盘式梯度线圈

技术领域

本发明涉及磁共振成像技术领域，具体涉及一种最小化最大温度值的盘式梯度线圈。

背景技术

磁共振成像是基于核磁共振现象进行成像的技术。梯度线圈是磁共振成像系统的重要组成部分，用于在成像区内沿空间三个正交方向产生线性变化的磁场，分别应用于层面选取、相位编码和频率编码，以便为图像重建提供定位依据。

磁共振成像系统中，梯度线圈的性能决定了图像分辨率。梯度线圈的设计，除了线性度外，还有涡流和磁场储能等设计指标。梯度线圈工作的时候，由于线圈材料的电阻特性在线圈产生的局部热，会导致图像失真，特别是在要求梯度场强比较大的时候。因此在设计梯度线圈的时候，温度是一个重要的参数，如何降低最大温度值可以提升磁共振成像的性能。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种降低最大温度值的最小化最大温度值的盘式梯度线圈，用以解决现有技术存在的因温度过高导致图像失真的技术问题。

本发明的技术解决方案是，提供一种最小化最大温度值的盘式梯度线圈，由以下方法设计而成，包括以下步骤：

1)构建盘式梯度线圈模型，其包括两个半径为R，厚度为w的盘式铜板；主磁场方向为z轴方向，两块梯度线圈铜板的中心位于z＝±z₀平面，上下两个线圈铜板的电流密度相同；梯度线圈铜板嵌在相同半径的环氧树脂层里面，令上半部分的梯度线圈铜板，其上面的环氧树脂层厚度为w_u，下面的厚度为w_d，下半部分铜板与上半部分梯度线圈铜板相反；

2)线圈的内部能量包括电流通过电阻材料在铜板产生的欧姆热，通过绝缘环氧树脂层的z方向的传导热以及对流和辐射到线圈周围的热，得到热方程为

其中，T^*＝T-T_env(K)是铜板与周围环境的温度差，ρ_d(kg/m³)为铜板密度，c_h(J/kg/K)为铜板比热，k_c(W/m/K)和ρ_r(Ωm)分别为铜板的电导率和电阻率；J(A/m)为电流密度矢量，h_t为热传递系数；

3)分别获得热传导热传递系数、对流热传递系数和辐射热传递系数，以得到总的热传递系数ht；为了得到热方程(1)的稳态解，令方程的右端为零，则方程改写为

进一步写为如下形式，

其中，

f＝T^*，u＝J·J；

4)对方程

进行傅里叶分析，得到在极坐标系下，T^*在点(r，θ)的温度表达式为：

5)最小化最大温度值的梯度线圈设计：根据梯度线圈的对称性，在1/4成像区的球面取点，取一个线圈平面的1/4进行网格划分，角度方向[0，π/2]区间内划分Nf份，半径方向划分Nr份，进行温度计算；

最小化梯度线圈温度峰值的设计归为最小最大优化问题，是一个非线性最优化问题，即

min max T^*(r，θ)

约束条件：

其中，ε＝0.05为给定的梯度磁场非线性度误差限。

上式非线性约束条件可写为线性约束条件：

AX≤(1+ε)B_zdes

-AX≤(ε-1)B_zdes；A为系数矩阵，X为自变量列向量，Bzdes为理想目标磁场列向量；

求解得到X，然后得到电流密度表达式，用流函数技术进行离散，得到最小化最大温度值的梯度线圈形状。

可选的，在步骤5)前设置最小功耗梯度线圈设计步骤：

在极坐标系下，电流密度只有r和θ分量，因为电流密度可以展开成傅里叶级数的形式，

其中，N为傅里叶级数的个数，a_n(n＝1：N)为待求系数；流函数S_z用来得到线圈的绕线形式，

根据Biot-Savart定律，得到空间点(x，y，z)的磁场z分量，

其中

上式中，

在成像区选择M个点，建立目标函数：

Γ＝Φ+λΠ；

其中，Φ为M个点的计算值与理想值的误差平方和，λ为正则化因子，Π为惩罚函数，可以表示为功耗，储能等。为了控制温度分布，这里写为功耗的表达式

最小化目标函数，可以得到线性方程组，写成矩阵形式为

(A+λP)X＝b；

其中，X＝{x₁，x₂，...x_N}^T为待求傅里叶系数列向量，x_j＝a_j(j＝1：N)；A＝α^Tα，矩阵α的元素为K_ij(i＝1：M；j＝1：N)；b＝α^TB_zdes，B_zdes的元素为

G_x为梯度场强，

为第i个点的x轴坐标。矩阵P的元素P_ij(i，j＝1：N)为

得到方程(A+λP)X＝b的解后，就得到线圈的电流密度，并根据温度表达式得到线圈的温度分布；所述线圈的电流密度用于最小化最大温度值的梯度线圈设计的计算；最小化最大温度值的梯度线圈设计中X的初值由最小功耗梯度线圈的解给定。

可选的，所述傅里叶分析的具体步骤为：假设频域(u，v)对应时域(x，y)，并且有

对式

进行变换，可以得到

其中，F和U分别为f，u的傅里叶变换。

根据下面的表达式

其中，F_q{}是频域到时域的汉克尔变换，K₀()是第二类修正的零阶贝塞尔函数。

根据卷积定理，得到f的表达式

因此，极坐标系下，T^*在点(r，θ)的温度表达式为

可选的，获得总的热传递系数ht的具体步骤为：假定上部分的热损耗为q_u，铜板中心层面温度为T_c，有一小面积A_c，相对应的上部平面面积为A_u，温度为T_u，如图2所示。记z＞z₀+w/2+w_u部分的温度为T_env，环氧树脂板的热电导是k_f(W/m/K)，对流热传递系数是h_u(W/m²/K)；使用傅里叶定律来决定传导热传递速率，

这个热与z＝z₀+w/2+w_u平面的对流热传递有关。根据牛顿冷却定律，有

q_u＝h_uA_u(T_u-T_env)；

得到

同理，可以得到通过z＝z₀-w/2-w_d平面的下面的热损耗。最后，得到传导和对流的热损耗表达式

其中，h_d是通过z＝z₀-w/2-w_d平面的热传递系数，A_d是环氧树脂板下平面对应的面积。把A_u＝A_c和A_d＝A_c带入，得到

通过Stefan-Boltzmann定律，可以得到z＝z₀-w/2-w_d和z＝z₀+w/2+w_u平面的辐射热损耗

其中σ＝5.67×10^-8(W/m²/K⁴)是Stefan-Boltzmann常数，ε_u和ε_d分别是两个表面的辐射率。

线性化上式，得到

q_rod＝h_r(T_c-T_env)(ε_uA_u+ε_dA_d)；

其中，辐射热传递系数

从h_r的表达式可以看出，h_r的值依赖于温度，因此，我们会根据梯度线圈的温度范围选择合适的值；结合A_u＝A_c和A_d＝A_c，得到由于冷却产生的总的热损耗

q_cooling＝h_t(T_c-T_env)A_c；

其中，总的热传递系数

采用本发明方法，与现有技术相比，具有以下优点：本发明通过最小化最大温度值设计了梯度线圈，降低了线圈的最大温度值，改善了梯度线圈的成像性能。

附图说明

图1为本发明的盘式梯度线圈设计模型示意图；

图2为盘式梯度线圈温度计算截面示意图；

图3为最小功耗线圈的形状示意图；

图4为hd＝hu＝10(W/m²/K)的最小化最大温度值的盘式梯度线圈形状示意图；

图5为hd＝hu＝100(W/m²/K)的最小化最大温度值的盘式梯度线圈形状示意图；

图6为hd＝hu＝1000(W/m²/K)的最小化最大温度值的盘式梯度线圈形状示意图；

图7为hd＝hu＝10(W/m²/K)的优化前后温度分布对比图；

图8为hd＝hu＝100(W/m²/K)的优化前后温度分布对比图；

图9为hd＝hu＝1000(W/m²/K)的优化前后温度分布对比图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的优选实施例进行详细描述，但本发明并不仅仅限于这些实施例。本发明涵盖任何在本发明的精神和范围上做的替代、修改、等效方法以及方案。

为了使公众对本发明有彻底的了解，在以下本发明优选实施例中详细说明了具体的细节，而对本领域技术人员来说没有这些细节的描述也可以完全理解本发明。

在下列段落中参照附图以举例方式更具体地描述本发明。需说明的是，附图均采用较为简化的形式且均使用非精准的比例，仅用以方便、明晰地辅助说明本发明实施例的目的。

参考图1所示，示意了盘式梯度线圈模型。模型如图1所示，并以x梯度线圈为例进行了设计。梯度线圈为两个半径为R，厚度为w的盘式铜板。主磁场方向为z轴方向，线圈铜板位于z＝±z₀平面，电流密度相同。梯度线圈铜板嵌在相同半径的环氧树脂层里面，以上半部分的铜板为例，假设其上面的环氧树脂层厚度为w_u，下面的厚度为w_d，下半部分铜板与上半部分相反。

在本模型中，线圈的内部能量包括电流通过电阻材料在铜板产生的欧姆热，通过绝缘环氧树脂板的z方向的传导热以及对流和辐射到线圈周围的热。这个热方程可以写为

其中，T^*＝T-T_env(K)是铜板与周围环境的温度差，ρ_d(kg/m³)为铜板密度，c_h(J/kg/K)为铜板比热，k_c(W/m/K)和ρ_r(Ωm)分别为铜板的电导率和电阻率。J(A/m)为电流密度矢量，h_t为热传递系数。下面给出h_t的推导过程。

首先，假定上部分的热损耗为q_u，铜板中心层面温度为T_c，有一小面积A_c，相对应的上部平面面积为A_u，温度为T_u，如图2所示。记z＞z₀+w/2+w_u部分的温度为T_env，环氧树脂板的热电导是k_f(W/m/K)，对流热传递系数是h_u(W/m²/K)。我们使用傅里叶定律来决定传导热传递速率，

这个热与z＝z₀+w/2+w_u平面的对流热传递有关。根据牛顿冷却定律，有

q_u＝h_uA_u(T_u-T_env) (3)

从式(2)和式(3)，我们可以得到

同理，可以得到通过z＝z₀-w/2-w_d平面的下面的热损耗。最后，得到传导和对流的热损耗表达式

其中，h_d是通过z＝z₀-w/2-w_d平面的热传递系数，A_d是环氧树脂板下平面对应的面积。把A_u＝A_c和A_d＝A_c带入式(5)，得到

通过Stefan-Boltzmann定律，可以得到z＝z₀-w/2-w_d和z＝z₀+w/2+w_u平面的辐射热损耗

其中σ＝5.67×10^-8(W/m²/K⁴)是Stefan-Boltzmann常数，ε_u和ε_d分别是两个表面的辐射率。

线性化式(7)，得到

q_rod＝h_r(T_c-T_env)(ε_uA_u+ε_dA_d) (8)

其中，辐射热传递系数

我们用分析对流的类似方法分析了辐射方式。然而，从h_r的表达式可以看出，h_r的值依赖于温度，因此，我们会根据梯度线圈的温度范围选择合适的值。根据式(6)和(8)，结合A_u＝A_c和A_d＝A_c，得到由于冷却产生的总的热损耗

q_cooling＝h_t(T_c-T_env)A_c (9)

其中，总的热传递系数

为了得到温度方程(1)的稳态解，令方程的右端为零，方程可以写为

上式可以进一步写为如下形式，

其中，

f＝T^*，u＝J·J。

傅里叶分析：

式(11)可以通过傅里叶变换进行分析。假设频域(u，v)对应时域(x，y)，并且有

对式(11)进行变换，可以得到

其中，F和U分别为f，u的傅里叶变换。

根据下面的表达式

其中，F_q{}是频域到时域的汉克尔变换，K₀()是第二类修正的零阶贝塞尔函数。

从式(13)和(14)，根据卷积定理，得到f的表达式

因此，极坐标系下，T^*在点(r，θ)的温度表达式为

最小功耗梯度线圈设计：

在极坐标系下，电流密度只有r和θ分量，因为电流密度可以展开成傅里叶级数的形式，

其中，N为傅里叶级数的个数，a_n，(n＝1：N)为待求系数；流函数S_z用来得到线圈的绕线形式，

根据Biot-Savart定律，得到空间点(x，y，z)的磁场z分量，

其中

上式中，

在成像区选择M个点，建立目标函数

Γ＝Φ+λΠ (23)

其中，Φ为M个点的计算值与理想值的误差平方和，λ为正则化因子，Π为惩罚函数，可以表示为功耗，储能等。为了控制温度分布，这里写为功耗的表达式

最小化目标函数，可以得到线性方程组，写成矩阵形式为

(A+λP)X＝b (25)

其中，X＝{x₁，x₂，...x_N}^T为待求傅里叶系数列向量，x_j＝a_j(j＝1：N)；A＝α^Tα，矩阵α的元素K_ij(i＝1：M；j＝1：N)通过把目标点的坐标带入式(22)得到；b＝α^TB_zdes，B_zdes的元素为

G_x为梯度场强，

为第i个点的x轴坐标。矩阵P的元素P_ij(i，j＝1：N)为

得到式(25)的解后，我们可以得到线圈的电流密度，并根据式(16)可以得到线圈的温度分布，根据式(19)对线圈进行离散。

其中，最小功耗梯度线圈的设计作为最小化最大温度值设计的优选前置步骤，若不进行最小功耗梯度线圈的设计而直接进行最小化最大温度值设计，则优化的效果不如基于前置步骤的最小功耗梯度线圈设计后再进行最小化最大温度值设计。

最小化最大温度值的梯度线圈设计：

根据梯度线圈的对称性，在1/4成像区的球面取点。取一个线圈平面的1/4进行网格划分，角度方向[0，π/2]区间内划分100份，半径方向划分100份，进行温度计算。

最小化梯度线圈温度峰值的设计归为最小最大优化问题，这是一个非线性最优化问题。

min max T^*(r，θ) (27)

约束条件：

其中，ε＝0.05为给定的梯度磁场非线性度误差限。

为了降低复杂性，上式非线性约束条件可写为线性约束条件：

AX≤(1+ε)B_zdes

-AX≤(ε-1)B_zdes (29)

为了减少迭代次数，X的初值由最小功耗梯度线圈的解给定。

本例的计算模型尺寸为：成像区半径rdsv＝0.19m，两个线圈间距220＝0.5m。线圈半径R＝0.43m，厚度w＝1.8mm，环氧树脂板厚度wu＝wd＝2mm。给定的梯度场强Gx＝12.5mT/m，铜板电导率k_c＝401(W/m/K)，电阻率ρ_r＝1.68×10^-8(Ωm)。辐射率ε_u＝ε_d，辐射热传递系数h_r＝7.8，环氧树脂板的热电导是k_f＝0.6(W/m/K)。改变冷却方式，即改变对流热传递系数h_u＝h_d。本例对h_u＝h_d＝10(W/m²/K)，h_u＝h_d＝100(W/m²/K)，h_u＝h_d＝1000(W/m²/K)三种情况进行了分析。

最小功耗的线圈形状和三种情况下的优化形状如图3-6所示。其中，最小功耗的线圈形状如图3所示，h_u＝h_d＝10(W/m²/K)，h_u＝h_d＝100(W/m²/K)，h_u＝h_d＝1000(W/m²/K)三种情况如图4-6所示。图7-9为三种情况下优化前后的温度分布图。图7示意了hd＝hu＝10(W/m²/K)的情况，最大温度从163.99(℃)降到57.42(℃)，功耗从5862.86(W)降到2217.84(W)。图8示意了hd＝hu＝100(W/m²/K)的情况，hd＝hu＝100(W/m²/K)，最大温度从67.34(℃)降到22.40(℃)，功耗从5862.86(W)降到2234.44(W)。图9示意了hd＝hu＝10(W/m²/K)的情况，hd＝hu＝1000(W/m²/K)，最大温度从37.72(℃)降到12.06(℃)，功耗从5862.86(W)降到2259.33(W)。可以发现，最小化最大温度值后，在满足线性度的前提下，最大温度值下降了很多，功耗也随着降低了。

虽然以上将实施例分开说明和阐述，但涉及部分共通之技术，在本领域普通技术人员看来，可以在实施例之间进行替换和整合，涉及其中一个实施例未明确记载的内容，则可参考有记载的另一个实施例。

以上所述的实施方式，并不构成对该技术方案保护范围的限定。任何在上述实施方式的精神和原则之内所作的修改、等同替换和改进等，均应包含在该技术方案的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种最小化最大温度值的盘式梯度线圈，包括以下步骤：

1)构建盘式梯度线圈模型，其包括两个半径为R，厚度为w的盘式铜板；主磁场方向为z轴方向，两块梯度线圈铜板的中心位于z＝±z₀平面，上下两个线圈铜板的电流密度相同；梯度线圈铜板嵌在相同半径的环氧树脂层里面，令上半部分的梯度线圈铜板，其上面的环氧树脂层厚度为w_u，下面的厚度为w_d，下半部分铜板与上半部分梯度线圈铜板相反；

2)线圈的内部能量包括电流通过电阻材料在铜板产生的欧姆热，通过绝缘环氧树脂层的z方向的传导热以及对流和辐射到线圈周围的热，得到热方程为

其中，T^*＝T-T_env(K)是铜板与周围环境的温度差，ρ_d为铜板密度，c_h为铜板比热，k_c和ρ_r分别为铜板的电导率和电阻率；J为电流密度矢量，h_t为热传递系数；

3)分别获得热传导热传递系数、对流热传递系数和辐射热传递系数，以得到总的热传递系数ht；为了得到热方程(1)的稳态解，令方程的右端为零，则方程改写为

进一步写为如下形式，

其中，

f＝T^*，u＝J·J；

4)对方程

进行傅里叶分析，得到在极坐标系下，T^*在点(r，θ)的温度表达式为：

5)最小化最大温度值的梯度线圈设计：根据梯度线圈的对称性，在1/4成像区的球面取点，取一个线圈平面的1/4进行网格划分，角度方向[0，π/2]区间内划分Nf份，半径方向划分Nr份，进行温度计算；

最小化梯度线圈温度峰值的设计归为最小最大优化问题，是一个非线性最优化问题，即

min max T^*(r，θ)

约束条件：

其中，ε＝0.05为给定的梯度磁场非线性度误差限；

上式非线性约束条件可写为线性约束条件：

A为系数矩阵，X为自变量列向量，Bzdes为理想目标磁场列向量；

求解得到X，然后得到电流密度表达式，用流函数技术进行离散，得到最小化最大温度值的梯度线圈形状；

获得总的热传递系数ht的具体步骤为：假定上部分的热损耗为q_u，铜板中心层面温度为T_c，有一小面积A_c，相对应的上部平面面积为A_u，温度为T_u记z＞z₀+w/2+w_u部分的温度为T_env，环氧树脂板的热电导是k_f，对流热传递系数是h_u；使用傅里叶定律来决定传导热传递速率，

这个热与z＝z₀+w/2+w_u平面的对流热传递有关；根据牛顿冷却定律，有

q_u＝h_uA_u(T_u-T_env)；

得到

同理，得到通过z＝z₀-w/2-w_d平面的下面的热损耗；最后，得到传导和对流的热损耗表达式

其中，h_d是通过z＝z₀-w/2-w_d平面的热传递系数，A_d是环氧树脂板下平面对应的面积；把A_u＝A_c和A_d＝A_c带入，得到

通过Stefan-Boltzmann定律，得到z＝z₀-w/2-w_d和z＝z₀+w/2+w_u平面的辐射热损耗

其中σ＝5.67×10^-8是Stefan-Boltzmann常数，单位为W/m²/K⁴，ε_u和ε_d分别是两个表面的辐射率；

线性化上式，得到

q_rad＝h_r(T_c-T_env)(ε_uA_u+ε_dA_d)；

其中，辐射热传递系数

从h_r的表达式看出，h_r的值依赖于温度；结合A_u＝A_c和A_d＝A_c，得到由于冷却产生的总的热损耗：

q_cooling＝h_t(T_c-T_env)A_c；

其中，总的热传递系数

2.根据权利要求1所述的最小化最大温度值的盘式梯度线圈，其特征在于：在步骤5)前设置最小功耗梯度线圈设计步骤：

在极坐标系下，电流密度只有r和θ分量，因为电流密度展开成傅里叶级数的形式，

其中，N为傅里叶级数的个数，a_n为待求系数，n＝1：N；流函数S_z用来得到线圈的绕线形式，

根据Biot-Savart定律，得到空间点(x，y，z)的磁场z分量，

其中

上式中，

在成像区选择M个点，建立目标函数

Γ＝Φ+λ∏；

其中，Φ为M个点的计算值与理想值的误差平方和，λ为正则化因子，∏为惩罚函数，表示为功耗或储能；为了控制温度分布，这里写为功耗的表达式

最小化目标函数，得到线性方程组，写成矩阵形式为

(A+λP)X＝b；

其中，X＝{x₁，x₂，...x_N}^T为待求傅里叶系数列向量，x_j＝a_j，其中j＝1：N；A＝α^Tα，矩阵α的元素为K_ij，其中i＝1：M；j＝1：N；b＝α^TB_zdes，B_zdes的元素为

其中i＝1：M，G_x为梯度场强，

为第i个点的x轴坐标；矩阵P的元素P_ij如下式，其中i，j＝1：N，

得到方程(A+λP)X＝b的解后，就得到线圈的电流密度，并根据温度表达式得到线圈的温度分布；所述线圈的电流密度用于最小化最大温度值的梯度线圈设计的计算；最小化最大温度值的梯度线圈设计中X的初值由最小功耗梯度线圈的解给定。

3.根据权利要求1的最小化最大温度值的盘式梯度线圈，其特征在于：所述傅里叶分析的具体步骤为：假设频域(u，v)对应时域(x，y)，并且有

对式

进行变换，得到

其中，F和U分别为f，u的傅里叶变换；

根据下面的表达式

其中，F_q{}是频域到时域的汉克尔变换，K₀()是第二类修正的零阶贝塞尔函数；

根据卷积定理，得到f的表达式

因此，极坐标系下，T^*在点(r，θ)的温度表达式为

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