CN109932052A - 超声换能器机械谐振频率的快速追踪装置和方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及超声技术领域，为快速追踪换能器机械谐振频率的装置和方法。本发明超声换能器机械谐振频率的快速追踪装置，由压电超声换能器、电压传感器、电流传感器、匹配电感、D类功率放大器、任意波形发生器DDS、微处理器、检相电路、峰值检测电路、放大滤波电路组成，微处理器控制DDS输出正弦驱动信号，经D类功率放大器驱动压电超声换能器；同时，电流传感器采集流过压电超声换能器的电流，电压传感器采集压电超声换能器两端的电压；两路采样信号经过滤波放大电路滤除噪声和谐波、放大；计算出换能器此时的复导纳大小，并判断换能器的谐振状态，从而解调出换能器的机械谐振频率。本发明主要应用于超声探测场合。

Description

超声换能器机械谐振频率的快速追踪装置和方法

技术领域

本发明涉及超声技术领域，特别是一种超声换能器机械谐振频率的快速追踪装置和方法。

背景技术

压电式超声换能器以其低成本、小体积、高功率等优点而广泛应用于超声技术领域。其关键技术是对超声换能器进行频率跟踪，以获得更高的输出效率。压电超声换能器本身存在多个特征频率，有谐振频率、反谐振频率、串联谐振频率、并联谐振频率等，串联谐振频率是换能器的机械谐振频率，具有最大的功率输出和最小的发热量，是最佳工作频率。由于谐振频率和串联谐振频率较近且容易追踪，因此许多研究者以谐振频率代替串联谐振频率进行驱动，但其并不是最佳工作频率，超声换能器大都有较高的品质因数，微量的频率误差便会大幅降低换能器输出功率。此外由于生产、加工以及材料的不确定性，不同换能器的谐振频率不同，并且温度、刚度、负载等因素也会引起压电换能器的频率特性改变，实时跟踪其串联谐振频率才能保证超声系统的工作性能。

目前，频率跟踪系统大都是采用锁相的方式实现，此种方式，首先使用调谐匹配电路换能器的谐振频率和机械谐振频率调整至同一个频率上，然后使用PID控制、零相位检测等方法将电压、电流的相位差锁定在零附近，以实现追踪机械谐振频率的目的。而这种方法存在诸多问题，首先，所采用的静态匹配电路，仅在单一频率点上生效，当换能器的参数因为环境等因素改变时，匹配电路将失效；其次，锁相法还会出现反谐振频率追踪、失锁等问题。有国内外学者提出采用动态匹配的方式进行调谐匹配，却又使匹配系统变得复杂、实现困难，又增加了成本和体积。

此外，在频率的追踪方法上，有顺序查找法、二分查找法、黄金分割查找法等方法。其中顺序查找法使用最广，却又速度最慢，追踪谐振频率需要查找几十次到上百次。相比较而言，二分法和黄金分割法等大大提高了频率追踪效率，但依旧需要十次左右的迭代。对于高精度、负载变化较快的超声系统，真正的加工或接触时间仅有几十毫秒，要想保证加工的质量，需要更加快速的追踪到换能器的机械谐振频率。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明针对压电式超声换能器的特点，提出了一种快速追踪换能器机械谐振频率的装置和方法。本发明采取的技术方案是，超声换能器机械谐振频率的快速追踪装置，由压电超声换能器、电压传感器、电流传感器、匹配电感、D类功率放大器、任意波形发生器DDS、微处理器、检相电路、峰值检测电路、放大滤波电路组成，其运行过程如下：微处理器控制DDS输出正弦驱动信号，经D类功率放大器放大后去驱动经匹配电感匹配后的压电超声换能器；同时，电流传感器采集流过压电超声换能器的电流，电压传感器采集压电超声换能器两端的电压；两路采样信号经过滤波放大电路滤除噪声和谐波、放大；滤波放大的信号分别经过检相电路和峰值检测电路，得到电压、电流之间的相位差和它们的峰值；相位差和峰值信号被微处理器采样得到，计算出换能器此时的复导纳大小，并判断换能器的谐振状态，以一定的频率间隔Δω，采样三次，得到三组包含驱动频率、复导纳的数据，从而解调出换能器的机械谐振频率。

在谐振频率附近，压电式超声换能器的等效电路为第一电阻、第一电容和第一电感串接在一起，一个电阻和一个电容并接后再与串接的第一电阻、第一电容和第一电感并接，其复导纳Y为：

Y＝G+Bj＝1/R₀+jωC₀+1/[R₁+j(ωL₁-1/ωC₁)]

＝{1/R₀+ω²C₁ ²R₁/[(1-ω²L₁C₁)²+ω²C₁ ²R₁ ²]}+j{ωC₀+(1-ω²L₁C₁)ωC₁/[(1-ω²L₁C₁)²+ω²C₁ ²R₁ ²]}. (1)

其中ω驱动频率，G是电导，B是电纳，G和B分别为：

换能器两端的电压u和流过换能器的电流i之间的关系如下：

i＝u·Y＝u·|Y|∠θ (4)

则电压峰值I、电流峰值U、相位差θ与导纳|Y|的关系为：

其中，R₀、C₀分别为所述并接的一个电阻和一个电容的阻值、容值，L₁、C₁、R₁分别为第一电感、第一电容和第一电阻的感值、容值、阻值，由式(5)、(6)和(7)计算出换能器此时的导纳，电导和电纳。

超声换能器机械谐振频率的快速追踪方法，首先，设置初始驱动角频率ω₀，微处理器控制任意波形发生器DDS产生角频率ω₀驱动信号，经D类功率放大器放大成高压功率信号，驱动经调谐匹配电匹配后的压电超声换能器，电流传感器采集得到流过压电超声换能器实时的电流信号i，电压传感器采集得到压电超声换能器实时的电压信号u，信号i、u再经过放大滤波电路进行信号放大并滤除噪声和谐波，进一步的，放大滤波后的电压电流信号分别通过检相电路和峰值检测电路，得到电压和电流的峰值U、I，以及之间的相位角θ；解调出换能器的机械谐振频率。

在谐振频率附近，压电式超声换能器的等效电路为第一电阻、第一电容和第一电感串接在一起，一个电阻和一个电容并接后再与串接的第一电阻、第一电容和第一电感并接，R₀、C₀分别为所述并接的一个电阻和一个电容的阻值、容值，L₁、C₁、R₁分别为第一电感、第一电容和第一电阻的感值、容值、阻值，解调出换能器的机械谐振频率具体过程：

1)以初始设定频率ω₀为初始频率驱动换能器，采样得到点P₀(ω₀，G₀，B₀)；

2)以频率ω₁＝ω₀-Δω、ω₂＝ω₀+Δω驱动换能器，得到采样点P₁(ω₁，G₁，B₁)、P₂(ω₂，G₂，B₂)，Δω为频率步长；

3)对采样点进行校正，得到同一换能器导纳圆上三点P₀、P_1a、P_2a；

4)由圆上三点求出换能器导纳圆圆心坐标(x，y)，并由圆心的坐标计算出R₁、C₀；

5)由公式计算C₁和L₁C₁的大小，进一步求出机械谐振频率f_s，并以此频率驱动换能器。

更进一步地，换能器复导纳Y为：

Y＝G+Bj＝1/R₀+jωC₀+1/[R₁+j(ωL₁-1/ωC₁)]

＝{1/R₀+ω²C₁ ²R₁/[(1-ω²L₁C₁)²+ω²C₁ ²R₁ ²]}+j{ωC₀+(1-ω²L₁C₁)ωC₁/[(1-ω²L₁C₁)²+ω²C₁ ²R₁ ²]}. (1)

其中ω驱动频率，G是电导，B是电纳，G和B分别为：

换能器两端的电压u和流过换能器的电流i之间的关系如下：

i＝u·Y＝u·|Y|∠θ (4)

则电压峰值I、电流峰值U、相位差θ与导纳|Y|的关系为：

由式(5)、(6)和(7)可以计算出换能器此时的导纳，电导和电纳；

换能器机械谐振频率的快速追踪方法如下：

由式(2)和(3)得到：

(G-1/R₀-1/2R₁)²+(B-ωC₀)²＝(1/2R₁)² (8)

式(8)显示，换能器的导纳变化近似用一个圆c₀表示，圆的圆心为：(1/R₀+1/2R₁，ωC₀)，R₀因为阻值较大而被忽略，因此圆心简写为：(1/2R₁，ωC₀)，由此可见导纳圆的圆心并不是一个定值，其纵坐标会随驱动频率ω的改变而改变，从而导致导纳圆实际在上下平移，以相同的频率间隔，分别以频率ω₀、ω₁、ω₂驱动换能器，其中ω₁＝ω₀-Δω、ω₂＝ω₀+Δω，采样得到三组数据：(ω₀，G₀，B₀)、(ω₁，G₁，B₁)、(ω₂，G₂，B₂)，分别对应点P₀、P₁、P₂，分别在圆c₀、c₁、c₂上，由于导纳圆的上下平移，要对P₁、P₂进行校正，才能得到与P₀在同一圆上P_1a、P_2a，易得P₀、P_1a、P_2a的坐标分别为：P₀：(G₀，B₀)、P_1a：(G₁，B₁-ΔωC₀)、P_2a：(G₂，B₂-ΔωC₀)。由圆上的三点则可以求出圆心坐标O(x，y)，由圆心的坐标(1/2R₁，ωC₀)得到：

R₁＝1/2x (9)

C₀＝y/ω₀ (10)

忽略R₀，由式(2)、(3)得：

式(12)为L₁和C₁之间的关系，代入采集的两点P₁(ω₁，G₁，B₁)、P₂(ω₂，G₂，B₂)，得到：

解得：

则机械谐振频率f_s为：

由式(16)计算出换能器的机械谐振频率，并以此频率驱动换能器。

本发明的特点及有益效果是：

(1)可以直接追踪到超声换能器的机械谐振频率，而不是以谐振频率或其他频率驱动，可以提高换能器的功率输出效率；

(2)利用导纳圆对换能器的机械谐振频率进行追踪，避免因为匹配调谐电路失效导致的追踪失败、或误追踪，克服了锁相法、零相位法的缺点；

(3)频率追踪速度快，最快只需要一步迭代，采样三个频率点的导纳信息便可以解调出机械谐振频率，相对于顺序查找法、二分查找法等方法都大大提高了追踪速度。

(4)适应性强，根据噪声的大小，可以调整迭代次数，以在追踪速度和追踪精度之间找到折中的方法，以适应不同场合的要求。

综上所述，与其他超声换能器谐振频率追踪方法相比，本发明具有适应能力强、频率跟踪精度高、跟踪速度快、可跟踪串联谐振频率等优点。

附图说明：

图1为一种快速追踪换能器机械谐振频率的方法系统构成示意图。

图2为压电式换能器的等效电路。

图3为三次采样中换能器的导纳圆。

图4为机械谐振频率追踪的算法流程图。

图1中，1位电流传感器，2为电压传感器，3为压电超声换能器，4为调谐匹配电感，5为D类功率放大器，6为任意波形发生器(DDS)，7为微处理器，8为检相电路，9为峰值检测电路，10为放大滤波电路。

图2中，L₁为动态电感，C₁为动态电容，R₁为动态电阻，C₀为静态电容，R₀为静态电阻，i为流过换能器电流，u为换能器两端电压。

图3中，横坐标是电导G，纵坐标是电纳B，P₀、P₁、P₂为采样得到的三点，分别位于圆c₀、c₁、c₂上，P₀、P_1a、P_2a是补偿后的三点，均位于圆c₀上，圆c₀圆心为O(x，y)，其中x＝1/2R₁，y＝ωC₀，半径为1/2R₁。

具体实施方式

本发明采用的技术方案是，一种快速追踪换能器机械谐振频率的方法，其系统结构图如图1所示，由压电超声换能器、电压传感器、电流传感器、匹配电感、D类功率放大器、任意波形发生器(DDS)、微处理器、检相电路、峰值检测电路、放大滤波电路组成。其运行过程如下：微处理器控制DDS输出一定频率的正弦驱动信号，经D类功率放大器放大后去驱动经匹配电感匹配后的压电超声换能器；同时，电流传感器采集流过换能器的电流，电压传感器采集换能器两端的电压；两路采样信号经过滤波放大电路滤除噪声和谐波，并经过一定比例的放大；滤波放大的信号分别经过检相电路和峰值检测电路，得到电压、电流之间的相位差和它们的峰值；相位差和峰值信号被微处理器采样得到，计算出换能器此时的复导纳大小，并判断换能器的谐振状态。以一定的频率间隔Δω，采样三次，得到三组包含驱动频率、复导纳的数据，从而解调出换能器的机械谐振频率。

上文提到的复导纳计算方法如下：

在谐振频率附近，压电式超声换能器的等效电路如图2所示，其复导纳Y为：

Y＝G+Bj＝1/R₀+jωC₀+1/[R₁+j(ωL₁-1/ωC₁)]

＝{1/R₀+ω²C₁ ²R₁/[(1-ω²L₁C₁)²+ω²C₁ ²R₁ ²]}+j{ωC₀+(1-ω²L₁C₁)ωC₁/[(1-ω²L₁C₁)²+ω²C₁ ²R₁ ²]}. (1)

其中ω驱动频率，G是电导，B是电纳，G和B分别为：

换能器两端的电压u和流过换能器的电流i之间的关系如下：

i＝u·Y＝u·|Y|∠θ (4)

则电压峰值I、电流峰值U、相位差θ与导纳|Y|的关系为：

由式(5)、(6)和(7)可以计算出换能器此时的导纳，电导和电纳。

上文提到的换能器机械谐振频率的快速追踪方法如下：

由式(2)和(3)可以得到：

(G-1/R₀-1/2R₁)²+(B-ωC₀)²＝(1/2R₁)² (8)

式(8)显示，换能器的导纳变化可以近似用一个圆表示，如图3所示的圆c₀。圆的圆心为：(1/R₀+1/2R₁，ωC₀)，通常情况下R₀因为阻值较大而被忽略，因此圆心可以简写为：(1/2R₁，ωC₀)，由此可见导纳圆的圆心并不是一个定值，其纵坐标会随驱动频率ω的改变而改变，从而导致导纳圆实际在上下平移，如c₁、c₂。以相同的频率间隔，分别以频率ω₀、ω₁、ω₂驱动换能器，其中ω₁＝ω₀-Δω、ω₂＝ω₀+Δω，采样得到三组数据：(ω₀，G₀，B₀)、(ω₁，G₁，B₁)、(ω₂，G₂，B₂)，分别对应图3中的点P₀、P₁、P₂，分别在圆c₀、c₁、c₂上，由于导纳圆的上下平移，要对P₁、P₂进行校正，才能得到与P₀在同一圆上P_1a、P_2a，易得P₀、P_1a、P_2a的坐标分别为：P₀：(G₀，B₀)、P_1a：(G₁，B₁-ΔωC₀)、P_2a：(G₂，B₂-ΔωC₀)。由圆上的三点则可以求出圆心坐标O(x，y)，由圆心的坐标(1/2R₁，ωC₀)得到：

R₁＝1/2x (9)

C₀＝y/ω₀ (10)

忽略R₀，由式(2)、(3)可得：

式(12)为L₁和C₁之间的关系，代入采集的两点P₁(ω₁，G₁，B₁)、P₂(ω₂，G₂，B₂)，得到：

解得：

则机械谐振频率f_s为：

由式(16)计算出换能器的机械谐振频率，并以此频率驱动换能器。

上述机械谐振频率的算法实现过程如图4所示，过程如下：

1)以初始设定频率ω0为初始频率驱动换能器，采样得到点P₀(ω₀，G₀，B₀)；

2)以频率ω₁＝ω₀-Δω、ω₂＝ω₀+Δω驱动换能器，得到采样点P₁(ω₁，G₁，B₁)、P₂(ω₂，G₂，B₂)；

3)对采样点进行校正，得到同一导纳圆上三点P₀、P_1a、P_2a；

4)由圆上三点求出导纳圆圆心坐标(x，y)，并由圆心的坐标计算出R₁、C₀；

5)由公式计算C₁和L₁C₁的大小，进一步求出机械谐振频率f_s，并以此频率驱动换能器。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细描述。

一种快速追踪换能器机械谐振频率的方法，其实施方法如下：

首先，设置初始驱动角频率ω₀，图1中，微处理器7控制任意波形发生器(DDS)6产生角频率ω₀驱动信号，经D类功率放大器5放大成高压功率信号，驱动经调谐匹配电4匹配后的压电超声换能器3，电流传感器1采集得到实时的电流信号i，电压传感器2采集得到实时的电压信号u，信号i、u再经过放大滤波电路10进行信号放大并滤除噪声和谐波，进一步的，放大滤波后的电压电流信号分别通过检相电路8和峰值检测电路9，得到电压和电流的峰值U、I，以及之间的相位角θ。在谐振频率附近，压电式超声换能器的等效电路如图2所示，其复导纳Y为：

Y＝G+Bj＝1/R₀+jωC₀+1/[R₁+j(ωL₁-1/ωC₁)]

＝{1/R₀+ω²C₁ ²R₁/[(1-ω²L₁C₁)²+ω²C₁ ²R₁ ²]}+j{ωC₀+(1-ω²L₁C₁)ωC₁/[(1-ω²L₁C₁)²+ω²C₁ ²R₁ ²]}. (1)

其中ω驱动频率，G是电导，B是电纳，G和B分别为：

换能器两端的电压u和流过换能器的电流i之间的关系如下：

i＝u·Y＝u·|Y|∠θ (4)

则电压峰值I、电流峰值U、相位差θ与导纳|Y|的关系为：

由式(2)和(3)可以得到：

(G-1/R₀-1/2R₁)²+(B-ωC₀)²＝(1/2R₁)² (8)

其轨迹是一个圆，如图三所示。

由式(5)、(6)和(7)可以计算出换能器此时的导纳|Y|，电导G₀和电纳B₀，由此得到第一个采样点P₀(ω₀，G₀，B₀)，其所在导纳圆为如图3中的c₀，圆的圆心为：(1/R₀+1/2R₁，ωC₀)，通常情况下R₀因为阻值较大而被忽略，因此圆心可以简写为：(1/2R₁，ωC₀)，由此可见导纳圆的圆心并不是一个定值，其纵坐标会随驱动频率ω的改变而改变，从而导致导纳圆实际在上下平移。

进一步的，调整驱动频率，使ω₁＝ω₀-Δω、ω₂＝ω₀+Δω，以角频率ω₁、ω₂分别驱动换能器，并按照上述方法采样计算，得到第二、三个采样点P₁(ω₁，G₁，B₁)、P₂(ω₂，G₂，B₂)，分别位于图3的圆c₁、c₂上。为方便计算，对点P₁、P₂进行校正，得到P_1a：(G₁，B₁-ΔωC₀)、P_2a：(G₂，B₂-ΔωC₀)，易得P₀、P_1a、P_2a位于同一圆c₀上。由圆上上三点，可以求出求出圆心坐标(x，y)，由圆心的坐标(1/2R₁，ωC₀)得到：

R₁＝1/2x (9)

C₀＝y/ω₀ (10)

忽略R₀，由(2)、(3)可得：

式(12)为L₁和C₁之间的关系，代入采集的两点P₁(ω₁，G₁，B₁)、P₂(ω₂，G₂，B₂)，得到：

解得：

则机械谐振频率f_s为：

由式(16)计算出换能器的机械谐振频率f_s，并以此频率驱动换能器。

上述机械谐振频率的算法实现过程如图4所示，过程如下：

1)以初始设定频率ω0为初始频率驱动换能器，采样得到点P₀(ω₀，G₀，B₀)；

2)以频率ω₁＝ω₀-Δω、ω₂＝ω₀+Δω驱动换能器，得到采样点P₁(ω₁，G₁，B₁)、P₂(ω₂，G₂，B₂)；

3)对采样点进行校正，得到同一导纳圆上三点P₀、P_1a、P_2a；

4)由圆上三点求出导纳圆圆心坐标(x，y)，并由圆心的坐标计算出R₁、C₀；

5)由公式计算C₁和L₁C₁的大小，进一步求出机械谐振频率f_s，并以此频率驱动换能器。

经由以上步骤，可以快速追踪到换能器的机械谐振频率f_s。可以看出，上述步骤只进行了三次采样和导纳计算，大大提高了机械谐振频率的追踪速度。同时，追踪过程不依赖于零相位，而是直接检测相位差，可以避免因调谐匹配电路失效造成的追踪失败。此外，追踪精度取决于初始驱动角频率ω₀和频率间隔Δω的大小，根据经验和实验仔细调整ω₀和Δω的值，可以大幅提高频率跟踪精度。此外，在跟踪精度要求较高的场合，可以多次追踪以提高精度，即以第一次的跟踪结果作为第二次的初始频率，如此进行两次或多次频率追踪，可以大幅提高频率追踪精度。

Claims (4)

1.一种超声换能器机械谐振频率的快速追踪装置，其特征是，由压电超声换能器、电压传感器、电流传感器、匹配电感、D类功率放大器、任意波形发生器DDS、微处理器、检相电路、峰值检测电路、放大滤波电路组成，其运行过程如下：微处理器控制DDS输出正弦驱动信号，经D类功率放大器放大后去驱动经匹配电感匹配后的压电超声换能器；同时，电流传感器采集流过压电超声换能器的电流，电压传感器采集压电超声换能器两端的电压；两路采样信号经过滤波放大电路滤除噪声和谐波、放大；滤波放大的信号分别经过检相电路和峰值检测电路，得到电压、电流之间的相位差和它们的峰值；相位差和峰值信号被微处理器采样得到，计算出换能器此时的复导纳大小，并判断换能器的谐振状态，以一定的频率间隔Δω，采样三次，得到三组包含驱动频率、复导纳的数据，从而解调出换能器的机械谐振频率。

2.如权利要求1所述的超声换能器机械谐振频率的快速追踪装置，其特征是，在谐振频率附近，压电式超声换能器的等效电路为第一电阻、第一电容和第一电感串接在一起，一个电阻和一个电容并接后再与串接的第一电阻、第一电容和第一电感并接，其复导纳Y为：

其中ω驱动频率，G是电导，B是电纳，G和B分别为：

换能器两端的电压u和流过换能器的电流i之间的关系如下：

i＝u·Y＝u·|Y|∠θ (4)

则电压峰值I、电流峰值U、相位差θ与导纳|Y|的关系为：

其中，R₀、C₀分别为所述并接的一个电阻和一个电容的阻值、容值，L₁、C₁、R₁分别为第一电感、第一电容和第一电阻的感值、容值、阻值，由式(5)、(6)和(7)计算出换能器此时的导纳，电导和电纳。

3.一种超声换能器机械谐振频率的快速追踪方法，其特征是，首先，设置初始驱动角频率ω₀，微处理器控制任意波形发生器DDS产生角频率ω₀驱动信号，经D类功率放大器放大成高压功率信号，驱动经调谐匹配电匹配后的压电超声换能器，电流传感器采集得到流过压电超声换能器实时的电流信号i，电压传感器采集得到压电超声换能器实时的电压信号u，信号i、u再经过放大滤波电路进行信号放大并滤除噪声和谐波，进一步的，放大滤波后的电压电流信号分别通过检相电路和峰值检测电路，得到电压和电流的峰值U、I，以及之间的相位角θ；解调出换能器的机械谐振频率。

4.如权利要求3所述的超声换能器机械谐振频率的快速追踪装置，其特征是，在谐振频率附近，压电式超声换能器的等效电路为第一电阻、第一电容和第一电感串接在一起，一个电阻和一个电容并接后再与串接的第一电阻、第一电容和第一电感并接，R₀、C₀分别为所述并接的一个电阻和一个电容的阻值、容值，L₁、C₁、R₁分别为第一电感、第一电容和第一电阻的感值、容值、阻值，解调出换能器的机械谐振频率具体过程：

1)以初始设定频率ω₀为初始频率驱动换能器，采样得到点P₀(ω₀,G₀,B₀)；

2)以频率ω₁＝ω₀-Δω、ω₂＝ω₀+Δω驱动换能器，得到采样点P₁(ω₁,G₁,B₁)、P₂(ω₂,G₂,B₂),Δω为频率步长；

3)对采样点进行校正，得到同一换能器导纳圆上三点P₀、P_1a、P_2a；

4)由圆上三点求出换能器导纳圆圆心坐标(x,y)，并由圆心的坐标计算出R₁、C₀；

5)由公式计算C₁和L₁C₁的大小，进一步求出机械谐振频率f_s，并以此频率驱动换能器。

更进一步地，换能器复导纳Y为：

其中ω驱动频率，G是电导，B是电纳，G和B分别为：

换能器两端的电压u和流过换能器的电流i之间的关系如下：

i＝u·Y＝u·|Y|∠θ (4)

则电压峰值I、电流峰值U、相位差θ与导纳|Y|的关系为：

由式(5)、(6)和(7)可以计算出换能器此时的导纳，电导和电纳；

换能器机械谐振频率的快速追踪方法如下：

由式(2)和(3)得到：

(G-1/R₀-1/2R₁)²+(B-ωC₀)²＝(1/2R₁)² (8)

式(8)显示，换能器的导纳变化近似用一个圆c₀表示，圆的圆心为：(1/R₀+1/2R₁,ωC₀)，R₀因为阻值较大而被忽略，因此圆心简写为：(1/2R₁,ωC₀)，由此可见导纳圆的圆心并不是一个定值，其纵坐标会随驱动频率ω的改变而改变，从而导致导纳圆实际在上下平移，以相同的频率间隔，分别以频率ω₀、ω₁、ω₂驱动换能器，其中ω₁＝ω₀-Δω、ω₂＝ω₀+Δω，采样得到三组数据：(ω₀,G₀,B₀)、(ω₁,G₁,B₁)、(ω₂,G₂,B₂)，分别对应点P₀、P₁、P₂，分别在圆c₀、c₁、c₂上，由于导纳圆的上下平移，要对P₁、P₂进行校正，才能得到与P₀在同一圆上P_1a、P_2a，易得P₀、P_1a、P_2a的坐标分别为：P₀:(G₀,B₀)、P_1a:(G₁,B₁-ΔωC₀)、P_2a:(G₂,B₂-ΔωC₀)。由圆上的三点则可以求出圆心坐标O(x,y)，由圆心的坐标(1/2R₁,ωC₀)得到：

R₁＝1/2x (9)

C₀＝y/ω₀ (10)

忽略R₀，由式(2)、(3)得:

式(12)为L₁和C₁之间的关系，代入采集的两点P₁(ω₁,G₁,B₁)、P₂(ω₂,G₂,B₂)，得到：

解得：

则机械谐振频率f_s为：

由式(16)计算出换能器的机械谐振频率，并以此频率驱动换能器。