CN109829203A - 一种建筑空间膜结构中织物基材的生产方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种建筑空间膜结构中织物基材的生产方法，包括如下步骤：设计空间膜结构中的织物基材结构；建立单胞的应变能密度和总势能泛函；得到单胞的拉伸刚度、弯曲刚度及拉‑弯耦合刚度；得到一阶翘曲函数节点值表达式和一阶近似能应变能密度；重构所述空间膜结构中的织物基材结构的三维局部位移场、局部应变场和局部应力场；当空间膜结构中的织物基材结构满足预设性能需求时，按照空间膜结构中的织物基材结构制造空间膜结构中的织物基材。本发明通过对单胞细观分析得到有效材料属性，从而大大减少有限元模型的单元数量和全局分析时的总自由度。通过均匀结构代替原非均质结构进行全局行为分析，极大地提高了膜结构中织物基材性能计算的效率。

Description

一种建筑空间膜结构中织物基材的生产方法

技术领域

本发明涉及材料生产方法技术领域，尤其涉及一种建筑空间膜结构中织物基材的生产方法。

背景技术

膜结构是近十几年发展起来的一种采用新型材料的全新建筑结构形式，膜结构研究和应用的关键是材料问题。膜材料主要分为织物基材和箔片两大类，其中织物基材是由平织或曲织生成的，迄今已有很长的历史。织物基材不仅具有比单向复合材料更低的面内刚度比，而且具有更好的面外特性。与易分层的层合复合材料相比，织物基材具有更高的断裂韧性和抗冲击性能。织物基材另一个主要优势是可直接从纱线织造出所需结构形状，形成预成型件，然后以预成型件作为增强体进行浸胶固化，直接形成复合材料，从而大大降低了制造成本。

在建筑用空间膜结构的生产过程中，准确预测织物基材行为的一个关键要求是得到正确的织物基材本构关系，对膜结构的各项性能进行计算，当性能满足要求后再进行生产。现有技术中，通常将设计好的膜结构直接进行有限元分析，然而，这种方法需要规模较大的有限元模型，且计算量大，效率低，并不是有效的可行方法。

如何提供一种新的织物基材生产方法，减少生产过程中对于结构的各项性能进行计算的计算量，提高建筑用空间膜结构中织物基材的生产效率，成为了本领域技术人员急需解决的问题。

发明内容

针对现有技术存在的上述不足，本发明要解决的技术问题是：如何减少生产过程中对于结构的各项性能进行计算的计算量，提高建筑用空间膜结构中织物基材的生产效率。

为解决上述技术问题，本申请采用了如下的技术方案：

一种建筑空间膜结构中织物基材的生产方法，包括如下步骤：

S1、基于预设性能需求设计空间膜结构中的织物基材结构；

S2、将所述空间膜结构中的织物基材结构划分为多个单胞，每个单胞的结构均相同，且多个单胞通过相同形式进行组合可以形成所述空间膜结构中的织物基材结构；

S3、建立所述单胞的应变能密度和总势能泛函；

S4、将所述单胞的翘曲函数离散化得到离散形式的应变能泛函；

S5、对所述单胞的应变能密度泛函进行零阶近似得到单胞的拉伸刚度、弯曲刚度及拉-弯耦合刚度；

S6、对所述单胞的总势能泛函进行一阶近似得到一阶翘曲函数节点值表达式和一阶近似能应变能密度；

S7、重构所述空间膜结构中的织物基材结构的三维局部位移场、局部应变场和局部应力场；

S8、基于所述空间膜结构中的织物基材的刚度及三维局部位移场、局部应变场和局部应力场；判断所述空间膜结构中的织物基材结构是否满足所述预设性能需求；

S9、当所述空间膜结构中的织物基材结构满足所述预设性能需求时，按照所述空间膜结构中的织物基材结构制造空间膜结构中的织物基材。

优选地，步骤S2包括如下步骤：

以整个建筑用空间膜结构中织物基材为基准建立宏观坐标系，宏观坐标系内的坐标用xi表示，以一个单胞为基准建立细观坐标系，细观坐标系内的坐标用y_i表示，均匀化单胞，建筑用空间膜结构中织物基材内任一点可由宏观坐标x_i描述，i＝1，2，3，x₁，x₂表示的平面为参考面，x₃为法向坐标，引入两个细观坐标y₁和y₂，y_α＝x_α/η，α＝1，2，η为宏观坐标系和细观坐标系的比例尺，单胞体积域范围为：

由于宏观坐标和细观坐标描述的空间变化存在明显的尺度分离，在多尺度结构建模时，定义在V中的场函数偏导为：

式中：()表示任意字符或函数，α＝1，2；

用整个织物基材的二维应变量表示整个织物基材的三维位移场：

式中：u_i＝u_i(x_α；y_j)，j＝1，2，3，u_i，分别表示原三维结构和二维模型的位移；w_i是为单胞的翘曲函数，w＝[w₁ w₂ w₃]^T，翘曲函数的引入用于描述织物基材内各材料点所有可能的位移；下划线项为由参考面变形引起的位移；

单胞的三维应变场可表示为：

将式(2)代入式(3)，忽略渐近小项，三维应变场可以表示为：

式中：二维应变量ε_αβ＝ε_αβ(x₁，x₂)和曲率κ_αβ＝κ_αβ(x₁，x₂)可定义为：

式(4)的矩阵形式可表示为：

式中：

单胞中的应变能密度可表示为：

U_2D＝∫_Ω<Γ^TDΓ>dΩ (9)

式中：<·>表示对单胞域的积分，D为6×6阶三维材料矩阵，D＝D(x₂，x₃；y₁)；

外载所做的虚功表示为：

式中：是与翘曲函数w_i无关的虚功，是与翘曲函数有关的虚功：

式中：f_i，m_i分别为广义力和力矩，分别为位移产生的虚拟位移和旋转，F_i，Q_i分别为作用体力和面力。

至此，问题的完整表达式可用虚功原理表示为：

U表示应变能，δU表示U的变分，当外载不是w_i的函数时，通过对总势能泛函的最小化求解w_i：

δΠ＝δ(U+W^*)＝0 (13)

式中，δ∏表示总势能的变分。

优选地，步骤S4包括如下步骤：

使用有限元法，将w离散化为：

w(x₁，x₂，x₃；y₁，y₂)＝S(x₃；y₁，y₂)N(x₁，x₂) (14)

式中，w＝w(x₁，x₂，x₃；y₁，y₂)，N＝N(x₁，x₂)，S＝S(x₃；y₁，y₂)，N是翘曲函数节点值列阵，S是取决于单元类型的形函数矩阵。

将式(14)代入式(9)，得到如下离散形式的应变能泛函：

式中：D_hh＝<(Γ_hS)^TD(Γ_hS)>，D_hε＝<(Γ_hS)^TDΓ_ε>，

优选地，步骤S5包括如下步骤：

对于零阶近似，泛函的主导项为：

周期性约束条件和均匀化约束条件下，最小化式(16)中的U_2D，得到如下线性系统：

由式(17)可得N与线性相关，零阶近似翘曲解表示为：

将式(18)代入式(14)，再代入式(9)，得到存储在单胞内的零阶近似能量为：

式中：表示6×6阶有效弹性刚度矩阵，具体表达式为：

式中：A₁₁，A₂₂，…A₆₆构成的子矩阵A是拉伸刚度矩阵，D₁₁，D₂₂，…D₆₆构成的子矩阵D是弯曲刚度矩阵，B₁₁，B₂₂，…B₆₆构成的子矩阵B是拉弯耦合刚度矩阵。

优选地，步骤S6包括如下步骤：

对零阶近似N作如下摄动：

N＝N₀+N₁ (21)

将式(21)代回式(13)，得到一阶近似能量泛函：

式中：L为外荷载相关项；

与零阶近似类似，可求解一阶近似N为：

N₁＝N₁₁ε_，1+N₁₂ε_，2+N_1L (23)

以及一阶近似应变能为：

式中：

优选地，步骤S7包括如下步骤：

重构局部位移场u_i：

局部应变场可重构为：

局部应力场可直接使用胡克定律得到：

σ＝DΓ (28)

综上所述，本发明公开了一种建筑空间膜结构中织物基材的生产方法，包括如下步骤：基于预设性能需求设计空间膜结构中的织物基材结构；将所述空间膜结构中的织物基材结构划分为多个单胞，每个单胞的结构均相同，且多个单胞通过相同形式进行组合可以形成所述空间膜结构中的织物基材结构；建立所述单胞的应变能密度和总势能泛函；将所述单胞的翘曲函数离散化得到离散形式的应变能泛函；对所述单胞的应变能密度泛函进行零阶近似得到单胞的拉伸刚度、弯曲刚度及拉-弯耦合刚度；对所述单胞的总势能泛函进行一阶近似得到一阶翘曲函数节点值表达式和一阶近似能应变能密度；重构所述空间膜结构中的织物基材结构的三维局部位移场、局部应变场和局部应力场；基于所述空间膜结构中的织物基材的刚度及三维局部位移场、局部应变场和局部应力场；判断所述空间膜结构中的织物基材结构是否满足所述预设性能需求；当所述空间膜结构中的织物基材结构满足所述预设性能需求时，按照所述空间膜结构中的织物基材结构制造空间膜结构中的织物基材。本发明通过对单胞细观分析得到有效材料属性，从而大大减少有限元模型的单元数量和全局分析时的总自由度。然后，通过均匀结构代替原非均质结构进行全局行为分析，极大地提高了膜结构中织物基材性能计算的效率。

附图说明

为了使申请的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本申请作进一步的详细描述，其中：

图1为本发明公开的一种建筑空间膜结构中织物基材的生产方法的流程图；

图2为工程中广泛应用的织物构造以及基材结构图；

图3为本发明织物基材单胞和二维分析模型示意图；

图4为本发明算例中使用TexGen生成织物基材几何形状和计算有效属性图；

图5为平纹织物基材及相应单胞示意图；

图6为Abaqus中平纹织物基材的三维有限元模型图；

图7为平纹织物基材板沿x1方向的挠度对比图；

图8(a)、图8(b)及图8(c)为平纹织物基材沿厚度方向的局部应力对比图；

图9为三维正交织物基材及相应单胞示意图；

图10为三维正交织物基材沿x1方向的挠度比较对比图；

图11(a)及图11(b)为三维正交编织材料板沿厚度方向的局部应力对比图。

具体实施方式

下面结合附图对本申请作进一步的详细说明。

如图1所示，本发明公开了一种建筑空间膜结构中织物基材的生产方法，包括如下步骤：

S1、基于预设性能需求设计空间膜结构中的织物基材结构；

S2、如图3所示，将所述空间膜结构中的织物基材结构划分为多个单胞，每个单胞的结构均相同，且多个单胞通过相同形式进行组合可以形成所述空间膜结构中的织物基材结构；

S3、建立所述单胞的应变能密度和总势能泛函；

S4、将所述单胞的翘曲函数离散化得到离散形式的应变能泛函；

S5、对所述单胞的应变能密度泛函进行零阶近似得到单胞的拉伸刚度、弯曲刚度及拉-弯耦合刚度；

S6、对所述单胞的总势能泛函进行一阶近似得到一阶翘曲函数节点值表达式和一阶近似能应变能密度；

S7、重构所述空间膜结构中的织物基材结构的三维局部位移场、局部应变场和局部应力场；

S8、基于所述空间膜结构中的织物基材的刚度及三维局部位移场、局部应变场和局部应力场；判断所述空间膜结构中的织物基材结构是否满足所述预设性能需求；

S9、当所述空间膜结构中的织物基材结构满足所述预设性能需求时，按照所述空间膜结构中的织物基材结构制造空间膜结构中的织物基材。

本发明通过对单胞细观分析得到有效材料属性，从而大大减少有限元模型的单元数量和全局分析时的总自由度。然后，通过均匀结构代替原非均质结构进行全局行为分析，极大地提高了膜结构中织物基材性能计算的效率。

具体实施时，步骤S2包括如下步骤：

以整个建筑用空间膜结构中织物基材为基准建立宏观坐标系，宏观坐标系内的坐标用x_i表示，以一个单胞为基准建立细观坐标系，细观坐标系内的坐标用y_i表示，均匀化单胞，建筑用空间膜结构中织物基材内任一点可由宏观坐标x_i描述，i＝1，2，3(本发明中，处刚度矩阵外，下标1，2，3分别表示沿建筑用空间膜结构中织物基材的宽度、长度及厚度方向)，x₁，x₂表示的平面为参考面，x₃为法向坐标，引入两个细观坐标y₁和y₂，y_α＝x_α/η，α＝1，2，η为宏观坐标系和细观坐标系的比例尺，单胞体积域范围为：

由于宏观坐标和细观坐标描述的空间变化存在明显的尺度分离，在多尺度结构建模时，定义在V中的场函数偏导为：

式中：()表示任意字符或函数，例如，

用整个织物基材的二维应变量表示整个织物基材的三维位移场：

式中：u_i＝u_i(x_α；y_j)，j＝1，2，3，u_i，分别表示原三维结构和二维模型的位移；w_i是为单胞的翘曲函数，w＝[w₁ w₂ w₃]^T，翘曲函数的引入用于描述织物基材内各材料点所有可能的位移；下划线项为由参考面变形引起的位移；

单胞的三维应变场可表示为：

将式(2)代入式(3)，忽略渐近小项，三维应变场可以表示为：

式中：例如，例如， 二维应变量ε_αβ＝ε_αβ(x₁，x₂)和曲率κ_αβ＝κ_αβ(x₁，x₂)可定义为：

式(4)的矩阵形式可表示为：

式中：

单胞中的应变能密度可表示为：

U_2D＝∫_Ω<Γ^TDΓ>dΩ (9)

式中：<·>表示对单胞域的积分，D为6×6阶三维材料矩阵，D＝D(x₂，x₃；y₁)；

外载所做的虚功表示为：

式中：是与翘曲函数w_i无关的虚功，是与翘曲函数有关的虚功：

式中：f_i，m_i分别为广义力和力矩，分别为位移产生的虚拟位移和旋转，F_i，Q_i分别为作用体力和面力。

至此，问题的完整表达式可用虚功原理表示为：

U表示应变能，δU表示U的变分，当外载不是w_i的函数时，通过对总势能泛函的最小化求解w_i：

δΠ＝δ(U+W^*)＝0 (13)

式中，δ∏表示总势能的变分。

具体实施时，步骤S4包括如下步骤：

使用有限元法，将w离散化为：

w(x₁，x₂，x₃；y₁，y₂)＝S(x₃；y₁，y₂)N(x₁，x₂) (14)

式中，w＝w(x₁，x₂，x₃；y₁，y₂)，N＝N(x₁，x₂)，S＝S(x₃；y₁，y₂)，N是翘曲函数节点值列阵，S是取决于单元类型的形函数矩阵。

将式(14)代入式(9)，得到如下离散形式的应变能泛函：

式中：D_hh＝<(Γ_hS)^TD(Γ_hS)>，D_hε＝<(Γ_hS)^TDΓ_ε>，

具体实施时，步骤S5包括如下步骤：

对于零阶近似，泛函的主导项为：

周期性约束条件和均匀化约束条件下，最小化式(16)中的U_2D，得到如下线性系统：

由式(17)可得N与线性相关，零阶近似翘曲解表示为：

将式(18)代入式(14)，再代入式(9)，得到存储在单胞内的零阶近似能量为：

式中：表示6×6阶有效弹性刚度矩阵，具体表达式为：

式中：A₁₁，A₂₂，…A₆₆构成的子矩阵A是拉伸刚度矩阵，D₁₁，D₂₂，…D₆₆构成的子矩阵D是弯曲刚度矩阵，B₁₁，B₂₂，…B₆₆构成的子矩阵B是拉弯耦合刚度矩阵。刚度矩阵可以直接输入有限元软件程序(如Abaqus和Ansys)中的相关单元中进行宏观板分析。

具体实施时，步骤S6包括如下步骤：

对零阶近似N作如下摄动：

N＝N₀+N₁ (21)

将式(21)代回式(13)，得到一阶近似能量泛函：

式中：L为外荷载相关项；

与零阶近似类似，可求解一阶近似N为：

N₁＝N₁₁ε_，1+N₁₂ε_，2+N_1L (23)

以及一阶近似应变能为：

式中：

具体实施时，步骤S7包括如下步骤：

重构局部位移场u_i：

局部应变场可重构为：

局部应力场可直接使用胡克定律得到：

σ＝DΓ (28)

在本发明中，β作为下标时，β的取值为2或3。

下面为使用本发明的方法计算平纹的建筑空间膜结构中织物基材和三维正交的建筑空间膜结构中织物基材刚度，具体算例如下：

考虑两种碳纤维T300和环氧树脂-3601构成的织物基材板，组分材料属性如表1所示。假定纱线和基体是完美结合的，不考虑界面效应。

表1 环氧树脂3601和碳纤维T-300材料属性

织物基材的几何建模和有效属性计算采用若丁汉大学研发的开源软件TexGen完成(图4)，纱线路径通过离散化系列材料点，并用样条插值函数在这些点内插得到正确的纱线路径。使用椭圆面域建立纱线截面。

如图4所示厚度为0.02mm的两层平纹织物基材，平纹织物基材的单胞如图5所示，图6为Abaqus中平纹织物基材的三维有限元模型图。长度和宽度分别等于2.1mm。典型平纹织物基材单胞如图2所示。单胞包含2经纱和2纬纱。纱线间距为1个单位，宽度为0.8个单位。厚度为0.2个单位，纱线为椭圆形截面。使用TexGen计算得到的平纹织物基材有效属性为：E₁＝E₂＝49.952/GPa，E₃＝14.905/GPa，G₁₂＝3.414/GPa，G₁₃＝G₂₃＝3.133/Gpa，v₁₂＝0.137，v₁₃＝v₂₃＝0.424。基材一边固定，其它边自由。沿x₃方向作用10-2MPa的均布载荷。在本发明模型中使用二维STRI3壳单元离散化，单元总数5,100个，标记为本发明模型。为了验证变分渐近均匀化的准确性和有效性，在Abaqus 6.13中直接使用4,233,600个C3D20R实体单元进行离散化，标记为三维有限元(图7)。

图7比较了三种方法(本发明模型，经典层合板理论和三维有限元)计算的竖向挠度结果。结果表明：基于本发明模型预测的板挠度u3几乎与三维有限元相同；经典层合板理论与本发明模型和三维有限元相比，预测的板挠度偏小。

图8绘出了x₁＝1.575mm，x₂＝0.075mm处沿厚度方向局部应力分布。可看出：本发明模型预测的沿厚度应力分布与三维有限元预测结果吻合得很好；纬纱的变化波动较大，经纱的基本在0MPa附近变化；与之相反，纬纱的变化不大，经纱的呈线性变化。这主要是因为纬纱的纤维方向与弯曲方向一致，而经纱纤维方向与弯曲方向相垂直导致的。构建模型可精确捕捉到经纱和纬纱间应力的不连续性。经典层合板理论由于平面应力假设，不能预测横法向应力；预测在整个厚度上呈线性分布，这与三维有限元预测的精确应力分布有较大差异。

两种模型计算平纹织物基材所需计算时间和计算效率对比如表2所示。由表可看出：相较三维有限元，本发明模型可节省数量级计算时间和计算成本，在准确性和有效性间取得较好折中，可以准确、高效地分析平纹织物基材结构。

表2 两种模型计算平纹织物基材计算时间和效率对比

如图9所示，考虑具有更复杂微结构的三维正交织物基材更复杂微结构的三维正交织物基材为，长度、宽度和厚度分别为3mm、3.6mm和0.07mm。原结构及三维单胞如图7所示，单胞尺寸为0.3mm×0.45mm×0.07mm，其中3层经纱层，每层有2条经纱。经纱间距为1个单位，宽度为0.8个单位，高度为0.1个单位；另有2层纬纱和包芯纱。纬纱的间距、宽度和高度与经纱相同。使用TexGen计算的材料有效属性：E₁＝32.974/GPa，E₂＝51.21/GPa，E₃＝11.27/GPa，G₁₂＝2.88/GPa，G₁₃＝2.433/GPa，G₂₃＝2.449/GPa，v₁₂＝0.0622，v₁₃＝0.497，v₂₃＝0.4556。采用与上节相同的边界条件和加载方式。为了评估基于变分渐近多尺度分析有效性和准确性，在Abaqus 6.13中对三维正交织物基材直接数值模拟，使用5,760,000个C3D20R实体单元进行离散化。

图10给出了三种方法(本发明模型，经典层合板理论和三维有限元)预测的竖向挠度u₃。可以看出：本发明模型与三维有限元对挠度u₃的预测相一致。当使用经典层合板理论预测位移场时，精度损失较大

图11绘出了x₁＝1.575mm，x₂＝1.875mm处沿厚度方向局部应力分布。可看出：本发明模型预测的与三维有限元预测结果吻合得很好；纬纱的变化波动较大，经纱和包芯纱的基本在0MPa附近变化；与之相反，纬纱的在(-1MPa，1MPa)间呈线性变化，经纱的在(-2MPa，-1MPa)、(1MPa，2MPa)间呈线性变化，原因与上一算例相同。构建模型可能准确地捕捉包芯纱与经纱、经纱与纬纱间沿厚度的显著的应力不连续性变化。与平纹织物基材一样，经典层合板理论无法捕捉的不连续性，预测的精度与本发明模型相比差距较大。

两种模型计算三维正交织物基材所需计算时间和计算效率对比如表3所示。由表可看出：本发明模型计算效率更高，耗时仅为三维有限元的1/4，但可以得到与三维有限元相媲美的精度，在有效性和准确性间取得较好的折中。

表3 两种模型计算三维正交织物基材计算时间和效率对比

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本申请的技术方案而非限制，尽管通过参照本申请的优选实施例已经对本申请进行了描述，但本领域的普通技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离所附权利要求书所限定的本申请的精神和范围。

Claims (6)

1.一种建筑空间膜结构中织物基材的生产方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、基于预设性能需求设计空间膜结构中的织物基材结构；

S2、将所述空间膜结构中的织物基材结构划分为多个单胞，每个单胞的结构均相同，且多个单胞通过相同形式进行组合可以形成所述空间膜结构中的织物基材结构；

S3、建立所述单胞的应变能密度和总势能泛函；

S4、将所述单胞的翘曲函数离散化得到离散形式的应变能泛函；

S5、对所述单胞的应变能密度泛函进行零阶近似得到单胞的拉伸刚度、弯曲刚度及拉-弯耦合刚度；

S6、对所述单胞的总势能泛函进行一阶近似得到一阶翘曲函数节点值表达式和一阶近似能应变能密度；

S7、重构所述空间膜结构中的织物基材结构的三维局部位移场、局部应变场和局部应力场；

S8、基于所述空间膜结构中的织物基材的刚度及三维局部位移场、局部应变场和局部应力场；判断所述空间膜结构中的织物基材结构是否满足所述预设性能需求；

S9、当所述空间膜结构中的织物基材结构满足所述预设性能需求时，按照所述空间膜结构中的织物基材结构制造空间膜结构中的织物基材。

2.如权利要求1所述的建筑空间膜结构中织物基材的生产方法，其特征在于，步骤S2包括如下步骤：

以整个建筑用空间膜结构中织物基材为基准建立宏观坐标系，宏观坐标系内的坐标用x_i表示，以一个单胞为基准建立细观坐标系，细观坐标系内的坐标用y_i表示，均匀化单胞，建筑用空间膜结构中织物基材内任一点可由宏观坐标x_i描述，i＝1,2,3，x₁，x₂表示的平面为参考面，x₃为法向坐标，引入两个细观坐标y₁和y₂，y_α＝x_α/η，α＝1,2，η为宏观坐标系和细观坐标系的比例尺，单胞体积域范围为：

由于宏观坐标和细观坐标描述的空间变化存在明显的尺度分离，在多尺度结构建模时，定义在V中的场函数偏导为：

式中：()表示任意字符或函数，α＝1,2；

用整个织物基材的二维应变量表示整个织物基材的三维位移场:

式中： 分别表示原三维结构和二维模型的位移；w_i是为单胞的翘曲函数，w＝[w₁ w₂ w₃]^T，翘曲函数的引入用于描述织物基材内各材料点所有可能的位移；下划线项为由参考面变形引起的位移；

单胞的三维应变场可表示为:

将式(2)代入式(3)，忽略渐近小项，三维应变场可以表示为：

式中：二维应变量ε_αβ＝ε_αβ(x₁,x₂)和曲率κ_αβ＝κ_αβ(x₁,x₂)可定义为：

式(4)的矩阵形式可表示为：

式中：

单胞中的应变能密度可表示为：

U_2D＝∫_Ω<Γ^TDΓ>dΩ (9)

式中：<·>表示对单胞域的积分，D为6×6阶三维材料矩阵，D＝D(x₂,x₃；y₁)；

外载所做的虚功表示为：

式中：是与翘曲函数w_i无关的虚功，是与翘曲函数有关的虚功：

式中：f_i,m_i分别为广义力和力矩，分别为位移产生的虚拟位移和旋转，F_i,Q_i分别为作用体力和面力。

至此，问题的完整表达式可用虚功原理表示为：

U表示应变能，δU表示U的变分，当外载不是w_i的函数时，通过对总势能泛函的最小化求解w_i：

δΠ＝δ(U+W^*)＝0 (13)

式中，δΠ表示总势能的变分。

3.如权利要求2所述的建筑空间膜结构中织物基材的生产方法，其特征在于，步骤S4包括如下步骤：

使用有限元法，将w离散化为：

w(x₁,x₂,x₃；y₁,y₂)＝S(x₃；y₁,y₂)N(x₁,x₂) (14)

式中，w＝w(x₁,x₂,x₃；y₁,y₂)，N＝N(x₁,x₂)，S＝S(x₃；y₁,y₂)，N是翘曲函数节点值列阵，S是取决于单元类型的形函数矩阵。

将式(14)代入式(9)，得到如下离散形式的应变能泛函：

式中：D_hh＝<(ΓhS)^TD(Γ_hS)>,D_hε＝<(Γ_hS)^TDΓ_ε>， <·>表示对单胞域的积分。

4.如权利要求3所述的建筑空间膜结构中织物基材的生产方法，其特征在于，步骤S5包括如下步骤：

对于零阶近似，泛函的主导项为:

周期性约束条件和均匀化约束条件下，最小化式(16)中的U_2D，得到如下线性系统：

由式(17)可得N与线性相关，零阶近似翘曲解表示为：

将式(18)代入式(14)，再代入式(9)，得到存储在单胞内的零阶近似能量为：

式中：表示6×6阶有效弹性刚度矩阵，具体表达式为：

式中：A₁₁,A₂₂,…A₆₆构成的子矩阵A是拉伸刚度矩阵，D₁₁,D₂₂,…D₆₆构成的子矩阵D是弯曲刚度矩阵，B₁₁,B₂₂,…B₆₆构成的子矩阵B是拉弯耦合刚度矩阵。

5.如权利要求4所述的建筑空间膜结构中织物基材的生产方法，其特征在于，步骤S6包括如下步骤：

对零阶近似N作如下摄动：

N＝N₀+N₁ (21)

将式(21)代回式(13)，得到一阶近似能量泛函：

式中：L为外荷载相关项；

与零阶近似类似，可求解一阶近似N为：

N₁＝N₁₁ε_,1+N₁₂ε_,2+N_1L (23)

以及一阶近似应变能为：

式中：

6.如权利要求5所述的建筑用空间膜结构中织物基材的生产方法，其特征在于，步骤S7包括如下步骤：

重构局部位移场u_i：

局部应变场可重构为：

局部应力场可直接使用胡克定律得到：

σ＝DΓ (28) 。