CN107944177A - 一种梯形直波纹板生产方法 - Google Patents
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Abstract
一种梯形直波纹板生产方法，将梯形直波纹板分为多个计算单元；建立计算单元的应变能方程；求解计算单元的周期函数；基于计算单元的周期函数计算计算单元的等效板拉伸刚度、等效板弯曲刚度及等效板拉弯耦合；利用分析软件基于计算单元的等效板拉伸刚度、等效板弯曲刚度及等效板拉弯耦合计算梯形直波纹板的拉伸刚度、拉弯刚度及拉伸耦合。本发明通过具有相应等效板刚度的平板代替梯形直波纹板，从而大大减少单元数量和全局分析时有限元模型的总自由度，通过梯形直波纹板截面分析得到等效刚度。通过有限元分析或封闭形式解析解来计算梯形直波纹板的整体性能，极大地提高了梯形直波纹板性能计算的效率，进而提高了梯形直波纹板的生产效率。
Description
技术领域
本发明涉及生产方法技术领域，尤其涉及一种梯形直波纹板生产方法。
背景技术
板壳是由两个接近的曲面或平面构成的薄三维体。在工程应用中，薄板缺乏抗剪、抗压和抗弯曲载荷的能力，可通过波纹结构进行弥补。与平板相比，波纹板在平面上沿某个方向存在重复曲率，其宏观行为主要受此曲率控制。一般来说，波纹板的弯曲不能脱离其在一定方向上的拉伸，这使得其结构分析比平板更复杂。
在梯形直波纹板的生产过程中，需要先对梯形直波纹板进行结构设计，并对梯形直波纹板的各项性能进行计算，当性能满足要求后再进行生产。现有技术中，通常将设计好的梯形直波纹板结构直接进行有限元分析，然而，这种方法需要规模较大的有限元模型，且计算量大，效率低。
因此，本发明公开了一种梯形直波纹板生产方法，通过具有相应等效板刚度的平板代替梯形直波纹板，从而大大减少单元数量和全局分析时有限元模型的总自由度，通过梯形直波纹板截面分析得到等效刚度。然后，通过有限元分析或封闭形式解析解来计算梯形直波纹板的整体性能，极大地提高了梯形直波纹板性能计算的效率。
发明内容
针对现有技术存在的上述不足，本发明要解决的技术问题是：如何减少单元数量和全局分析时有限元模型的总自由度，从而提高梯形直波纹板性能计算的效率，进而提高梯形直波纹板的生产效率。
为解决上述技术问题，本发明采用了如下的技术方案：
一种梯形直波纹板生产方法，包括根据性能需求设计梯形直波纹板结构，计算所述梯形直波纹板结构的拉伸刚度及弯曲刚度，当所述梯形直波纹板的拉伸刚度及拉弯刚度满足所述梯形直波纹板的性能需求时，按照设计的梯形直波纹板结构制造所述梯形直波纹板，其中，计算所述梯形直波纹板的拉伸刚度、弯曲刚度及拉弯耦包括如下步骤：
将所述梯形直波纹板分为多个计算单元；
建立所述计算单元的应变能方程；
基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的周期函数；
基于所述计算单元的周期函数计算所述计算单元的等效板拉伸刚度及等效板弯曲刚度；
利用分析软件基于所述计算单元的等效板拉伸刚度及等效板弯曲刚度计算所述梯形直波纹板的全局行为。
梯形直波纹板的全局应变包括梯形直波纹板的应力和应变。本发明通过具有相应等效板刚度的平板代替梯形直波纹板，从而大大减少单元数量和全局分析时有限元模型的总自由度，通过梯形直波纹板截面分析得到等效刚度。然后，通过有限元分析或封闭形式解析解来计算梯形直波纹板的整体性能，极大地提高了梯形直波纹板性能计算的的效率。
优选地，建立所述计算单元的应变能方程包括以下步骤：
建立每个所述计算单元的应变能方程
其中J表示所述计算单元的应变能、G表示剪切模量、t表示厚度、a表示表面度量张量、μ为第一计算参数，μ＝v/(1-v)、γ表示拉伸应变、ρ表示弯曲应变、v表示泊松比，在本发明中，字符的下标为1表示此字符代表的量的方向为梯形波波纹的正方向，下标为3表示此字符代表的量的方向为垂直于梯形波波纹的正方向向上，下标为2表示此字符代表的量的方向为梯形波波纹正方向和垂直于梯形波波纹正方向向上两个方向的夹角方向，下标为连续的两个数字时，带有前一个下标数字的此字符与带有后一个下标数字的此字符相乘，< >表示求< >内的量关于X在-1/2至1/2间的积分，X为无量纲计算单元坐标，X＝x1/L，L表示一个完整的梯形波结构的长度，x表示在计算单元中心建立的坐标系的坐标。
在本发明中，每个计算单元，包括了梯形波纹板中一个角以及构成这个角的两个边的一半，如图2所示，波纹的形状可由x3(X)＝Lφ(X)这一周期函数描述。斜率k和表面度量张量a的行列式分别可表示为：
显然，对于梯形直波纹板，k和|a|为梯形常数。x3(X)可分解为
式中：P为折点位置，上标内的括号表示梯形号，梯形号为1表示计算单元内左边的直线，为2表示右边的直线，如图3所示。
描述波纹板位移的函数u可认为是计算单元坐标、坐标x和y的函数，即：
式中：υ为有效板位移，为X的周期性函数，下标α为自然数，取值为1或2。
根据周期性结构的一般理论，可以定义为在计算单元上的平均值：
υi(x1,x2)＝<ui(X,x1,x2)> (4)
在本发明中i为自然数，i＝1、2或3，显然：
波纹板拉伸应变的主导项可表示为：
弯曲应变的主导项变为：
计算单元的应变能可写为：
式中：μ＝v/(1-v)，v为泊松比，G为剪切模量。材料参数G,μ和厚度t是X的函数，通过观察式(6)和式(7)，不包含项，仅与相关，涉及为此可将总应变能分为三部分，其中J1对应于J2对应于J3包含常量部分。
优选地，基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的周期函数包括：
基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的第一周期函数：
υ表示有效板位移、φ表示描述波纹形状的函数、c1表示第一积分系数、k表示斜率、Z表示第二积分系数，在本发明中，字符的下标为中间用逗号隔开的两个数字时，表示带有后一个下标数字的X对带有前一个下标数字的此字符求导；
基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的第二周期函数：
t表示梯形直波纹板的厚度；
基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的第三周期函数：
首先求解与有关的主导应变能为：
周期函数可通过式(5)约束下最小化式(9)中的得到。通过引入Lagrange乘子λ2处理约束，相应的Euler-Lagrange方程为。
以及边界条件：
式中：方括号表示整个计算单元域两端值之间的差异，例如表示两个条件，一个是周期性边界条件另一个是连续性在本发明中，公式间用逗号隔开，则表示为不同的条件，例如式(11)中第二个条件即为由式(11)的第二个条件得到λ2＝0，因此
将式(13)代入式(6)第二个方程，得到
对式(14)两侧相对X积分，得到的显式表达式:
类似地，使用Lagrange乘子λ1,λ3来处理式(5)中和的约束。相应的Euler-Lagrange方程为
以及边界条件
为建立式(17)中的第五个条件，需要两段之间角度变化的几何关系，如图4所示。在经典板理论(Kirchhoff-Love板理论)下构建波纹板模型时，剪切效应不会导致角度θ的变化，即Δθ＝0。δ为变分符号。
一个计算单元内两块直板的角度变化定义为：
式中：K为位置矢量矩阵，u为位移矢量矩阵，s(α)分别是计算单元内从段(1)和段(2)连接测量的长度，段(1)表示计算单元内左边的直板，段(2)表示计算单元内右边的直板。忽略高阶项的小位移，式(18)改写为
其中：
将式(3)代入式(19)和式(20)，得到边界条件
在不连续点处用式(21)修改式(17)中的第五个条件得到
式(17)的第二和第四个条件得到λ1＝λ3＝0和第一积分系数因此
考虑式(22)的条件，在计算单元长度上积分(k×(23)-(24))。得到
c3＝0 (25)
式(23)和式(24)可以简化为
对式(26)积分得到
考虑式(7)，重写式(28)
如表示分段(1)的零阶近似应变，上标为数字加梯形号时，表示梯形号对应的分段处求括号外的数字的阶数的近似应变，边界条件式(21)下沿计算单元长度进行积分，得到不连续点处对式(28)进行评估，得到以及
注意
对式(29)积分并考虑c4，得到因此
其中：
k×(27)+(31)得到
沿计算单元长度积分，得到
注意到
对式(34)两侧相对X积分，得到的显示表达式
重写式(27)得到
将式(34)代入式(36)，得到
对式(37)两侧相对X积分，得到的显示表达式为
优选地，基于所述计算单元的周期函数计算所述计算单元的等效板拉伸刚度及等效板弯曲刚度：
计算所述计算单元的等效板拉伸刚度A
E为弹性模量
计算所述计算单元的等效板弯曲刚度D
使用式(27)和式(28)计算J1
将式(34)和式(37)代入式(36)，并沿计算单元长度上积分
因此
c1＝(υ1,1+vυ2,2)/C (41)
特定多项式C为
式中：
将式(30)和(41)代入式(39)，得到
重写式(9)，得到：
式(14)和(15)代入式(44)，得到
J3不是的函数，因此
将式(6)中的和式(7)中的代入式(46)，得到
设应变能中
εxx＝υ1,1,εyy＝υ2,2,2εxy＝υ1,2+υ2,1,
κxx＝-υ3,11,κyy＝-υ3,22,κxy＝-υ3,12 (49)
当波纹板衰减为平板结构，可得到如下等效板刚度
在本发明中还可利用计算单元的刚度重构关系：
使用式(6)和(7)计算的局部应变场为
力和力矩N可以通过使用与应变场相应的本构关系来重构
N＝DΥ (52)
式中：
附图说明
为了使发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作进一步的详细描述，其中：
图1为本发明公开的一种梯形直波纹板生产方法中计算梯形直波纹板的拉伸刚度、弯曲刚度及拉弯耦的流程图；
图2为本发明公开的梯形直波纹板的结构示意图；
图3为本发明公开的一个计算单元的示意图；
图4为本发明公开的一个计算单元的接头处刚性约束示意图；
图5为本发明算例中的梯形波纹板的结构示意图；
图6为使用ANSYS计算的梯形波纹板挠度云图；
图7为使用不同方法得到的沿梯形波纹板中心线变形图；
图8为ANSYS中计算的梯形波纹板应力σ11图；
图9为梯形波纹板应力σ11对比图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步的详细说明。
本发明公开了一种梯形直波纹板生产方法，包括根据性能需求设计梯形直波纹板结构，计算所述梯形直波纹板结构的拉伸刚度及弯曲刚度，当所述梯形直波纹板的拉伸刚度及拉弯刚度满足所述梯形直波纹板的性能需求时，按照设计的梯形直波纹板结构制造所述梯形直波纹板，其中，计算所述梯形直波纹板的拉伸刚度、弯曲刚度及拉弯耦包括如下步骤：
将所述梯形直波纹板分为多个计算单元；
建立所述计算单元的应变能方程；
基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的周期函数；
基于所述计算单元的周期函数计算所述计算单元的等效板拉伸刚度及等效板弯曲刚度；
利用分析软件基于所述计算单元的等效板拉伸刚度及等效板弯曲刚度计算所述梯形直波纹板的全局行为。
梯形直波纹板的全局应变包括梯形直波纹板的应力和应变。本发明通过具有相应等效板刚度的平板代替梯形直波纹板，从而大大减少单元数量和全局分析时有限元模型的总自由度，通过梯形直波纹板截面分析得到等效刚度。然后，通过有限元分析或封闭形式解析解来计算梯形直波纹板的整体性能，极大地提高了梯形直波纹板性能计算的的效率。
具体实施时，建立所述计算单元的应变能方程包括以下步骤：
建立每个所述计算单元的应变能方程
其中J表示所述计算单元的应变能、G表示剪切模量、t表示厚度、a表示表面度量张量、μ为第一计算参数，μ＝v/(1-v)、γ表示拉伸应变、ρ表示弯曲应变、v表示泊松比，在本发明中，字符的下标为1表示此字符代表的量的方向为梯形波波纹的正方向，下标为3表示此字符代表的量的方向为垂直于梯形波波纹的正方向向上，下标为2表示此字符代表的量的方向为梯形波波纹正方向和垂直于梯形波波纹正方向向上两个方向的夹角方向，下标为连续的两个数字时，带有前一个下标数字的此字符与带有后一个下标数字的此字符相乘，<>表示求<>内的量关于X在-1/2至1/2间的积分，X为无量纲计算单元坐标，X＝x1/L，L表示一个完整的梯形波结构的长度，x表示在计算单元中心建立的坐标系的坐标。
在本发明中，每个计算单元，包括了梯形波纹板中一个角以及构成这个角的两个边的一半，如图2所示，波纹的形状可由x3(X)＝Lφ(X)这一周期函数描述。斜率k和表面度量张量a的行列式分别可表示为：
显然，对于梯形直波纹板，k和|a|为梯形常数。x3(X)可分解为
式中：P为折点位置，上标内的括号表示梯形号梯形号为1表示计算单元内左边的直线，为2表示右边的直线，如图3所示。
描述波纹板位移的函数u可认为是计算单元坐标、坐标x和y的函数，即：
式中：υ为有效板位移，为X的周期性函数，下标α为自然数，取值为1或2。
根据周期性结构的一般理论，可以定义为在计算单元上的平均值：
υi(x1,x2)＝〈ui(X,x1,x2)> (4)
在本发明中i为自然数，i＝1、2或3，显然：
波纹板拉伸应变的主导项可表示为：
弯曲应变的主导项变为：
计算单元的应变能可写为：
式中：μ＝v/(1-v)，v为泊松比，G为剪切模量。材料参数G,μ和厚度t是X的函数，通过观察式(6)和式(7)，不包含项，仅与相关，涉及为此可将总应变能分为三部分，其中J1对应于J2对应于J3包含常量部分。
优选地，基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的周期函数包括：
基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的第一周期函数：
υ表示有效板位移、φ表示描述波纹形状的函数、c1表示第一积分系数、k表示斜率、Z表示第二积分系数，在本发明中，字符的下标为中间用逗号隔开的两个数字时，表示带有后一个下标数字的X对带有前一个下标数字的此字符求导；
基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的第二周期函数：
t表示梯形直波纹板的厚度；
基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的第三周期函数：
首先求解与有关的主导应变能为：
周期函数可通过式(5)约束下最小化式(9)中的得到。通过引入Lagrange乘子λ2处理约束，相应的Euler-Lagrange方程为。
以及边界条件：
式中：方括号表示整个计算单元域两端值之间的差异，例如表示两个条件，一个是周期性边界条件另一个是连续性在本发明中，公式间用逗号隔开，则表示为不同的条件，例如式(11)中第二个条件即为由式(11)的第二个条件得到λ2＝0，因此
将式(13)代入式(6)第二个方程，得到
对式(14)两侧相对X积分，得到的显式表达式:
类似地，使用Lagrange乘子λ1,λ3来处理式(5)中和的约束。相应的Euler-Lagrange方程为
以及边界条件
为建立式(17)中的第五个条件，需要两段之间角度变化的几何关系，如图4所示。在经典板理论(Kirchhoff-Love板理论)下构建波纹板模型时，剪切效应不会导致角度θ的变化，即Δθ＝0。δ为变分符号。
一个计算单元内两块直板的角度变化定义为：
式中：K为位置矢量矩阵，u为位移矢量矩阵，s(α)分别是计算单元内从段(1)和段(2)连接测量的长度，段(1)表示计算单元内左边的直板，段(2)表示计算单元内右边的直板。忽略高阶项的小位移，式(18)改写为
其中：
将式(3)代入式(19)和式(20)，得到边界条件
在不连续点处用式(21)修改式(17)中的第五个条件得到
式(17)的第二和第四个条件得到λ1＝λ3＝0和第一积分系数因此
考虑式(22)的条件，在计算单元长度上积分(k×(23)-(24))。得到
c3＝0 (25)
式(23)和式(24)可以简化为
对式(26)积分得到
考虑式(7)，重写式(28)
如表示分段(1)的零阶近似应变，上标为数字加上括号里的数字时，表示在括号内的数字的分段处求括号外的数字的阶数的近似应变，边界条件式(21)下沿计算单元长度进行积分，得到不连续点处对式(28)进行评估，得到以及
注意
对式(29)积分并考虑c4，得到因此
其中：
k×(27)+(31)得到
沿计算单元长度积分，得到
注意到
对式(34)两侧相对X积分，得到的显示表达式
重写式(27)得到
将式(34)代入式(36)，得到
对式(37)两侧相对X积分，得到的显示表达式为
优选地，基于所述计算单元的周期函数计算所述计算单元的等效板拉伸刚度及等效板弯曲刚度：
计算所述计算单元的等效板拉伸刚度A
E为弹性模量
计算所述计算单元的等效板弯曲刚度D
使用式(27)和式(28)计算J1
将式(34)和式(37)代入式(36)，并沿计算单元长度上积分
因此
c1＝(υ1,1+vυ2,2)/C (41)
特定多项式C为
式中：
将式(30)和(41)代入式(39)，得到
重写式(9)，得到：
式(14)和(15)代入式(44)，得到
J3不是的函数，因此
将式(6)中的和式(7)中的代入式(46)，得到
设应变能中
εxx＝υ1,1,εyy＝υ2,2,2εxy＝υ1,2+υ2,1,
κxx＝-υ3,11,κyy＝-υ3,22,κxy＝-υ3,12 (49)
当波纹板衰减为平板结构，可得到如下等效板刚度
在本发明中还可利用计算单元的刚度重构关系：
使用式(6)和(7)计算的局部应变场为
力和力矩N可以通过使用与应变场相应的本构关系来重构
N＝DΥ (52)
式中：
使用本发明的方法还可计算梯形波纹板的刚度，具体算例如下：
如图5所示，描述梯形波纹钢板中面形状的参数为：L＝0.1016m，H＝0.0127m，t＝0.00635m，θ＝45°,钢材属性为各向同性：E＝2.06GPa，v＝0.3。使用不同方法得到的等效板刚度列于表1。由表1可看出：本文方法与FEM预测和Xia(Xia,Y.,Friswell,M.I.,andFlores,E.I.S.,“Equivalent models of corrugated panels,”International Journalof Solids and Structures,2012,49(13):1453–1462.)结果有很好的吻合性；沿波纹方向的拉伸刚度A11和垂直波纹方向的拉伸刚度A33，以及D33存在很大的差异(后者通常大于前者2-3个数量级)，主要原因是垂直波纹方向的弯矩主要由沿板厚度分布的膜应力平衡，而沿波纹方向的扩展位移主要是由波纹结构的弯曲而不是平面拉伸引起的。
表1为梯形波纹的等效板刚度
为验证等效板刚度，使用含九个梯形波纹的波纹板，承受均布荷载100Pa。ANSYS中使用SURF184单元覆盖到波纹面积SHELL181单元上，以保证加载方向。为去除刚体运动，除了约束板四边面外运动外，同时也对四边的面内位移进行约束。变形的解析方程为：
式中：p0是压力，r表示整个波纹板的长度，b表示整个波纹板的宽度，m，n分别表示x，y方向的波纹数。
图6绘出了使用ANSYS计算的梯形波纹板挠度云图。
使用不同方法得到的沿波纹板中心线变形绘于图7。由图可看出：构建方法预测的变形与ANSYS有较好的吻合性。图7中ANSYS表示直接采用ANSYS软件仿真得到的结果，Xiaetal表示采用Xia方法得到的结果，Present method表示采用本方法得到的结果。
应力σ11的解析解为
式中：
由ANSYS计算得到的σ11绘于图8，相关的对比分析列于图9。ANSYS表示直接采用ANSYS软件仿真得到的结果，Present method表示采用本方法得到的结果。由图9可看出：构建方法预测的应力与ANSYS吻合较好，仅在板中点最大应力处，由于等效关系，存在一定偏差。
最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通过参照本发明的优选实施例已经对本发明进行了描述，但本领域的普通技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离所附权利要求书所限定的本发明的精神和范围。
Claims (4)
1.一种梯形直波纹板生产方法，其特征在于，包括根据性能需求设计梯形直波纹板结构，计算所述梯形直波纹板结构的拉伸刚度及弯曲刚度，当所述梯形直波纹板的拉伸刚度及拉弯刚度满足所述梯形直波纹板的性能需求时，按照设计的梯形直波纹板结构制造所述梯形直波纹板，其中，计算所述梯形直波纹板的拉伸刚度、弯曲刚度及拉弯耦包括如下步骤：
将所述梯形直波纹板分为多个计算单元；
建立所述计算单元的应变能方程；
基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的周期函数；
基于所述计算单元的周期函数计算所述计算单元的等效板拉伸刚度及等效板弯曲刚度；
利用分析软件基于所述计算单元的等效板拉伸刚度及等效板弯曲刚度计算所述梯形直波纹板的全局行为。
2.如权利要求1所述的梯形直波纹板生产方法，其特征在于，建立所述计算单元的应变能方程包括以下步骤：
建立每个所述计算单元的应变能方程
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其中J表示所述计算单元的应变能、G表示剪切模量、t表示厚度、a表示表面度量张量、μ为第一计算参数，μ＝v/(1-v)、γ表示拉伸应变、ρ表示弯曲应变、v表示泊松比，在本发明中，字符的下标为1表示此字符代表的量的方向为梯形波波纹的正方向，下标为3表示此字符代表的量的方向为垂直于梯形波波纹的正方向向上，下标为2表示此字符代表的量的方向为梯形波波纹正方向和垂直于梯形波波纹正方向向上两个方向的夹角方向，下标为连续的两个数字时，带有前一个下标数字的此字符与带有后一个下标数字的此字符相乘，<>表示求<>内的量关于X在-1/2至1/2间的积分，X为无量纲计算单元坐标，X＝x1/L，L表示一个完整的梯形波结构的长度，x表示在计算单元中心建立的坐标系的坐标。
3.如权利要求2所述的梯形直波纹板生产方法，其特征在于，基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的周期函数包括：
基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的第一周期函数：
υ表示有效板位移、φ表示描述波纹形状的函数、c表示第一积分系数、k表示斜率、Z表示第二积分系数、const表示预设常数，在本发明中，字符的下标为中间用逗号隔开的两个数字时，表示带有后一个下标数字的X对带有前一个下标数字的此字符求导；
基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的第二周期函数：
t表示梯形直波纹板的厚度；
基于所述计算单元的应变能方程求解所述计算单元的第三周期函数：
4.如权利要求3所述的梯形直波纹板生产方法，其特征在于，基于所述计算单元的周期函数计算所述计算单元的等效板拉伸刚度及等效板弯曲刚度：
计算所述计算单元的等效板拉伸刚度A
E为弹性模量
计算所述计算单元的等效板弯曲刚度D
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| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
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| CN109740268A (zh) * | 2019-01-07 | 2019-05-10 | 重庆大学 | 一种建筑用夹芯板生产方法 |
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| CN102096736A (zh) * | 2011-01-28 | 2011-06-15 | 重庆大学 | 一种基于渐近变分法的复合材料层合板仿真及优化方法 |
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2017
- 2017-12-07 CN CN201711286539.8A patent/CN107944177A/zh active Pending
Patent Citations (2)
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| CN114136214B (zh) * | 2021-12-02 | 2024-03-26 | 中国人民解放军军事科学院国防科技创新研究院 | 一种基于双刚度方波状结构的位移传感器 |
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