CN109783985A - 一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建与应用方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建与应用方法，包括：建立线性热粘弹性本构方程，求解老化发展方程和损伤发展方程，计算交联密度、折算时间、损伤变量，建立含热老化和损伤的环氧胶本构模型；本发明还公开了一种惯性器件用环氧胶本构模型的应用方法。本发明的本构模型构建方法能更精确地反映粘弹性材料在极端外部环境温度变化下的力学行为，以及粘接胶层对惯性器件静态输出的影响机理；可在有限元软件中对构建的粘弹性本构模型进行准确的数值仿真和力学分析，可以作为惯性器件的温变特性分析的理论依据和应用手段。

Description

一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建与应用方法

技术领域

本发明涉及粘弹性材料本构模型研究领域，具体涉及一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建方法与应用方法。

技术背景

环氧胶主要作为粘接胶剂用于惯性器件组件间的粘结，同时作为一种粘弹性材料，其材料特性对于惯性器件的性能有着显著的影响。惯性器件是惯性导航系统和控制检测设备中的重要组成部分，其工作条件比较苛刻，经常工作于极端高温或低温的环境下，而温度对惯性器件稳定性的影响非常显著，往往造成惯性器件输出不稳定，同时由于迟滞和惯性器件温度循环测试过程中输出不重复等现象的存在造成惯性器件输出很难甚至无法进行补偿，从而严重影响惯性器件的精度，使得产品的成活率难以提升。

迟滞和惯性器件温度循环测试过程中输出不重复在惯性器件设计以及制造领域是一种尚未被认知的现象。通过考虑老化和损伤的粘弹性理论可以解释材料的粘弹性特性与惯性器件迟滞和三次不重复现象之间的关系，从机理上解释了造成惯性器件温变特性的原因。对于惯性器件温变特性的分析需要用到考虑热老化和损伤的粘弹性本构模型，而目前商业有限元软件只包含简单的本构模型，不能精确地描述惯性器件的温变特性。

用户材料子程序可以在有限元软件中定义其材料库中不存在的材料本构模型，在现有的商业有限元软件中提供给用户自定义材料属性的子程序接口，用户材料子程序通过与有限元软件主求解程序的接口程序实现与有限元软件的数据交流。由于对粘弹性材料进行温变特性分析时，采用软件中已有的简单粘弹性模型，所得结果与实际情况有较大差别。

发明内容

本发明针对惯性器件的温变特性分析过程中使用现有环氧胶的本构模型所遇到的问题，提出了一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建方法。该方法针对以环氧胶为代表的粘弹性材料，在已有的线性热粘弹性本构模型的基础上，考虑了热老化和损伤对力学性能的影响，加入交联密度和损伤变量，能更精确地反映粘弹性材料结构在极端外部环境温度变化下的力学行为，同时可在有限元软件中对构建的粘弹性本构模型进行准确的数值仿真和力学分析。

为了解决上述技术问题，本发明采用的技术方案为：

首先，本发明提供一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建方法，具体包括如下步骤：

步骤1、建立用于描述粘弹性材料力学行为的各向同性的线性热粘弹性本构方程；

步骤2、求解惯性器件用环氧胶的老化发展方程；

步骤3、计算惯性器件用环氧胶的老化松弛模量；

步骤4、计算折算时间；

步骤5、求解惯性器件用环氧胶的损伤发展方程；

步骤6、建立含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型。

进一步的，在步骤1中，所述各向同性的线性粘弹性材料的本构方程如式(1)所示：

其中，σ_ij为应力张量，S_ij为应力偏张量，σ_kk为应力球张量，μ为泊松比，E(t)为无老化的松弛模量，e_ij为应变偏张量，α^T为热膨胀系数，t和τ均为时间，ξ(t)为折算时间。

进一步的，在步骤2中，所述老化发展方程的求解过程包括：以惯性器件用环氧胶的老化过程为对象建立以交联密度v为老化变量的环氧胶老化发展方程；忽略应力应变场对老化的影响，对环氧胶老化发展方程进行求解，其求解过程如(2)～(4)所示：

其中，t′和τ为老化时间，T为老化温度，为无应力应变场作用的老化反应活化能，α^C为化学反应方程待定系数，k_B为Boltzmann常数，h_p为Planck常数，A为老化反应速率常数，v_m为最大交联密度，v_m为初始交联密度，上标含“C”的变量指化学反应相关参数。

进一步的，在步骤3中，所述老化松弛模量包括未老化时的松弛模量值和由老化引起的松弛模量变化值，其计算式写成Prony级数形式如式(5)所示：

其中N_E为E(t,t′)的Prony级数项数，均为待定系数，为第n项Maxwell模型对应的松弛时间，和分别对应于未老化与老化的松弛模量系数，它们均可通过进行不同贮存期的环氧胶应力松弛实验，并利用最小二乘法对实验数据进行拟合得到，为无量纲的交联密度变化量。

进一步的，在步骤4中，所述折算时间的计算过程：获得当前温度下代入老化松弛模量计算式中的实际时间变量并根据时温等效原理通过式(6)获得当前温度下的时温等效平移因子，然后将该时间变量和当前温度下的时温等效平移因子代入式(7)中算得到折算时间变量，其中最后将换算后的时间变量代入老化松弛模量计算：

其中，ξ为折算时间，t为实际时间，a_T为时温等效平移因子，C₁和C₂为材料常数，T为当前温度，T_r为参考温度。

进一步的，在步骤5中，所述损伤发展方程求解过程包括：采用损伤变量D描述损伤状态，然后在单轴条件下建立环氧胶损伤发展方程，该方程的具体形式如式(8)所示：

其中，D₀为初始损伤，D_ΔV为扩展形成的新损伤。

进一步的，在步骤6中，所述本构模型的建立过程包括：基于线性粘弹性本构方程，引入损伤和老化效应，并对老化时间和加载作用时间取相同的零点，根据老化松弛模量形式和应变等效原理，得出含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型如式(9)所示：

其中，为有效应力张量，为有效应力偏张量，为有效应力球张量，α^T为热膨胀系数，θ＝T-T₀为温度变化量，σ_ij为应力张量，e_ij为应变偏张量，ε_kk为应变球张量，D为损伤变量，μ为泊松比，t和τ均为时间，ξ(t)为折算时间，E(ξ,t)为含老化的松弛模量。

另外，本发明还提供一种惯性器件用环氧胶本构模型的应用方法，包括如下步骤：

步骤S1、通过步骤1～6构建含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型；

步骤S2、推导含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型的增量形式；

步骤S3、利用有限元软件提供的自定义材料本构模型的扩展接口对增量形式的含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型进行编程，得到用户子程序，使用有限元软件调用用户子程序进行二次开发。

进一步的，步骤S2中推导含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型的增量形式如式(10)所示：

其中，为t～t+Δt时间内的含热老化和损伤的应力张量，为t+Δt时刻含热老化和损伤的应力张量，为t时刻含热老化和损伤的应力张量，ΔD^t+Δt为t～t+Δt时间内的损伤变量，D^t+Δt为t+Δt时刻的损伤变量，D^t为t时刻的损伤变量，为t～t+Δt时间内的含热老化和损伤的应力偏张量，为t～t+Δt时间内的含热老化和损伤的应力球张量。

进一步的，步骤S3中使用有限元软件调用用户子程序进行二次开发的详细步骤包括：

步骤S3.1、有限元软件在每次调用用户子程序之前，预先为用户子程序读取模型材料参数和上一个过程结束时的温度T^t、应力张量应变张量应变增量以及计算过程中的状态变量；

步骤S3.2、在用户子程序中计算交联密度、老化松弛模量和折算时间，通过损伤判定准则判定是否达到损伤发展条件，利用有限元软件主程序读取和子程序计算得到的指定参量获取Jacobian矩阵返回给主程序代替连续变化的粘弹性材料刚度，计算应力增量

步骤S3.3、用户子程序更新本次增量结束时的应力张量应变张量和状态变量；

步骤S3.3中用户子程序更新本次增量结束时的状态变量由式(10-29)推导得到递推求解公式如式(11)所示：

其中，为t+Δt时刻的状态变量，为t时刻的状态变量，为t～t+Δt时间内的应变张量增量，为第n项Maxwell模型对应的松弛时间，ξ为折算时间。

本发明所公开的一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建方法具有下述优点：该构建方法在已有的线性热粘弹性本构模型的基础上，考虑了热老化和损伤对力学性能的影响，加入交联密度和损伤变量，构建了含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型，能更精确地反映惯性器件用环氧胶结构在极端外部环境温度变化下的力学行为。

本发明一种惯性器件用环氧胶本构模型的应用方法具有下述优点：该应用方法采用上述惯性器件用环氧胶本构模型的构建方法构建模型，因此同样也具备前述有点，该应用方法在有限元软件中对构建的含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶三维本构模型进行推导，得到交联密度、损伤变量、折算时间和应力的增量形式，并在有限元软件中对构建的的惯性器件用环氧胶本构模型进行准确的数值仿真和力学分析，为惯性器件的温变特性分析提供理论依据和应用手段。

附图说明

图1为本发明实施例惯性器件用环氧胶本构模型构建方法的流程图；

图2为本发明实施例广义Maxwell模型；

图3为本发明实施例Wiechert模型；

图4为本发明实施例的时间-温度等效示意图；

图5为本发明模型应用方法的原理示意图；

图6为本发明有限元软件二次开发的原理示意图；

图7为本发明实施例试样P1的实验简化模型；

图8为本发明实施例试样P2的实验简化模型；

图9为本发明实施例试样P1的胶块网格划分图；

图10为本发明实施例试样P1的某时刻胶块应力分布云图；

图11为本发明实施例试样P2的粘胶硅片网格划分图；

图12为本发明实施例试样P2的某时刻粘胶硅片应力分布云图。

具体实施方式

如图1所示，本实施例一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建方法实施步骤包括：

步骤1、建立用于描述粘弹性材料力学行为的各向同性的线性热粘弹性本构方程；

步骤2、求解惯性器件用环氧胶的老化发展方程；

步骤3、计算惯性器件用环氧胶的老化松弛模量；

步骤4、计算折算时间；

步骤5、求解惯性器件用环氧胶的损伤发展方程；

步骤6、建立含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型。

本实施例中，步骤1中建立的各向同性的线性热粘弹性材料三维本构方程如式(1)所示：

其中，σ_ij为应力张量，S_ij为应力偏张量，σ_kk为应力球张量，μ为泊松比，E(t)为无老化的松弛模量，e_ij为应变偏张量，α^T为热膨胀系数，t和τ均为时间，ξ(t)为折算时间。为了更好地描述粘弹性材料的力学性能，并便于描述材料的记忆性能和实验测试，也便于考虑材料老化、温度和损伤等因素的影响，式(1)所示的线性热粘弹性三维本构方程采用的是积分形式的本构模型。在线粘弹性问题中，多个起因的总效应等于各分起因的效应之和，即Boltzmann叠加原理。式(1)中无老化的松弛模量E(t)是基于Wiechert模型推导得出的。Wiechert模型是由广义Maxwell模型并联一个弹簧元件组成的，如图2和图3所示，当Maxwell单元数量足够多时，这两种模型均能很好地描述一般线粘弹性材料的力学特性。对于Wiechert模型，E(t)的Prony级数表达式如式(1-1)所示，应力偏张量的表达式如式(1-2)所示，应力球张量的表达式如式(1-3)所示：

其中，为第n项Maxwell模型对应的松弛时间，E_∞和E_n为松弛模量系数，其余各参量与式(1)相同，不予赘述。

高分子材料在加工、贮存和使用过程中，会出现由于各种因素的影响，性能和使用价值逐渐降低的现象，这种现象被称为老化。使用于惯性器件上的环氧胶，由于其内部物理化学结构的不稳定性，加上外部复杂物理化学环境的持续作用，必然导致其性能的不断老化。老化可分为物理老化和化学老化两种。物理老化不涉及分子结构的改变，它仅仅是由于物理作用发生的可逆性变化。而化学老化是导致环氧胶贮存和使用老化的主要原因，它是一种不可逆的化学反应，是分子结构变化的结果。化学老化可以分为降解和交联两种类型。交联密度作为分子结构氧化交联程度的定量表征变量，是反映高分子网格结构力学性质最重要的分子结构参数之一，采用交联密度作为老化变量具有较合理的物理化学基础。降解是指高分子材料受紫外线、热、机械力等因素作用而发生的分子键的断裂，可降低粘合剂交联密度并破坏高阶有序结构，导致熵增，属于自发反应；交联是指高分子材料变硬变脆，交联密度增加，形成高阶有序结构，导致熵减，属于非自发反应。本发明采用交联链段的摩尔浓度作为交联密度描述老化发展过程。

本实施例中，步骤2中所述老化发展方程的求解过程包括：以惯性器件用环氧胶的老化过程为对象建立以交联密度v为老化变量的环氧胶老化发展方程；忽略应力应变场对老化的影响，对环氧胶老化发展方程进行求解，如式(2)～(4)所示：

其中，t′和τ为老化时间，T为老化温度，为无应力应变场作用的老化反应活化能，α^C为化学反应方程待定系数，k_B为Boltzmann常数，h_p为Planck常数，A为老化反应速率常数，v_m为最大交联密度，v_m为初始交联密度，上标含C的变量指化学反应相关参数。

本实施例中，步骤3中对环氧胶老化过程的惯性器件结构分析，首先需要建立环氧胶力学性能与老化变量之间的定量关系式，老化松弛模量包含未老化时的松弛模量值和由老化引起的松弛模量变化值，其计算式写成Prony级数形式，如式(5)所示：

其中N_E为E(t,t′)的Prony级数项数，均为待定系数，为第n项Maxwell模型对应的松弛时间，和分别对应于未老化与老化的松弛模量系数，它们均可通过进行不同贮存期的环氧胶应力松弛实验，并利用最小二乘法对实验数据进行拟合得到，为无量纲的交联密度变化量，其表达式如式(5-1)所示：

其中，v(t′)为当前时刻交联密度，v_m为最大交联密度，v₀为初始交联密度。

实际上，材料的粘弹性能随温度而发生变化，常温下没有明显蠕变的材料，在较高温度时会产生显著的变形和流动；如果温度变化太大，还会改变材料的力学形态。通常，在一定的温度范围内，温度升高会加速蠕变或松弛的进程。在较低温度下需要较长时间才能观察到的某一松弛行为，也能在较高温度下用较短时间来获得，这说明改变温度和改变时间的尺度是等效的，简称为时温等效。如图4所示，温度升高时的E(t)，相当于基准温度T₀时所得曲线沿对数时间减少方向移动lga_T，如式(5-2)所示：

在步骤4中，所述折算时间的计算过程：获得当前温度下代入老化松弛模量计算式中的实际时间变量并根据时温等效原理通过式(6)获得当前温度下的时温等效平移因子，然后将该时间变量和当前温度下的时温等效平移因子代入式(7)中算得到折算时间变量，其中最后将换算后的时间变量代入老化松弛模量计算：

其中，ξ为折算时间，t为实际时间，a_T为时温等效平移因子，C₁和C₂为材料常数，T为当前温度，T_r为参考温度。

材料的内部缺陷对其力学性能有着至关重要的影响，这些缺陷从几何尺度上可大致分为点缺陷、线缺陷、面缺陷和体缺陷。这些缺陷可能形成于材料制备、加工以及使用过程，并随机分布于整个材料介质中。在外部载荷/环境谱的作用下，材料的细观缺陷可能会发生成核、扩展和汇合等不可逆热力学耗散过程，在宏观上往往表现为材料性能的渐进劣化，这个过程称为材料的损伤过程。对于环氧胶，其细观结构也不可避免地存在内部缺陷，在受载荷条件下，这些缺陷形式的损伤可能不断发生扩展直至结构破坏。而采用合理的环氧胶损伤模型，则是准确分析损伤过程的环氧胶变形和破坏规律的前提。

本实施例中，步骤5中环氧胶损伤发展方程是基于损伤各向同性假设，采用损伤变量D来描述损伤状态，最终建立了单轴条件下的环氧胶损伤发展方程，其具体形式如式(8)所示：

其中，D₀为初始损伤如式(8-1)所示，D_ΔV为扩展形成的新损伤如式(8-2)所示。

其中，γ、K和β均为与损伤相关的材料常数，可通过材料破坏试验获得，σ_th为损伤应力阈值，g(x)函数的表达式如式(8-3)、(8-4)所示，σ^*为损伤各向同性的当量应力如式(8-5)所示：

g(x)＝0,(x＞1)(8-4)

式(8-3)中，各参量与式(8)完全相同，故在此不再赘述。

式(8-5)中，μ为泊松比，σ_H为静水压应力如式(8-6)所示，σ_v为Von Mises等效应力如式(8-7)所示。

式(8-6)～(8-8)中σ_kk＝σ₁₁+σ₂₂+σ₃₃，S_ij为偏应力张量，σ_ij为应力张量。

本实施例中，步骤6中基于线性粘弹性本构方程，引入损伤和老化效应，并对老化时间和加载作用时间取相同的零点(t＝t′)，根据老化松弛模量形式和应变等效原理，得出含热老化和损伤的粘弹性本构模型如式(9)所示：

其中，为有效应力张量，为有效应力偏张量，为有效应力球张量，α^T为热膨胀系数，θ＝T-T₀为温度变化量，σ_ij为应力张量，e_ij为应变偏张量，ε_kk为应变球张量，D为损伤变量，μ为泊松比，t和τ均为时间，ξ(t)为折算时间，E(ξ,t)为含老化的松弛模量，其表达式如式(5)所示。

如图5所示，本实施例中惯性器件用环氧胶本构模型的应用方法实施步骤包括：

步骤S1、通过步骤1～6构建含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型；

步骤S2、推导含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型的增量形式；

步骤S3、利用有限元软件提供的自定义材料本构模型的扩展接口对增量形式的含热老化和损伤的粘弹性本构模型进行编程，得到用户子程序，使用有限元软件调用用户子程序进行二次开发。

本实施例中，步骤S2中推导含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型的增量形式如式(10)所示：

其中，为t～t+Δt时间内的含热老化和损伤的应力张量，为t+Δt时刻含热老化和损伤的应力张量，为t时刻含热老化和损伤的应力张量，ΔD^t+Δt为t～t+Δt时间内的损伤变量，D^t+Δt为t+Δt时刻的损伤变量，D^t为t时刻的损伤变量，为t～t+Δt时间内的含热老化和损伤的应力偏张量，为t～t+Δt时间内的含热老化和损伤的应力球张量。

本实施例中，步骤S2中推导含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型的增量形式得详细步骤包括：

步骤S2.1、将步骤6中建立的如式(9)所示的含热老化和损伤的粘弹性本构模型中和根据Stieltjes卷积积分定义可改写为如式(10-1)、(10-2)所示形式：

其中，各参量与式(9)完全相同，故在此不再赘述。

步骤S2.2、求解老化松弛模量表达式中无量纲交联密度中的变量β^C的增量形式如式(10-3)～(10-6)所示：

其中，为无应力应变场作用的老化反应活化能，α^C为化学反应方程待定系数，k_B为Boltzmann常数，h_p为Planck常数，A为老化反应速率常数，v_m为最大交联密度，v_m为初始交联密度，上标含“C”的变量指化学反应相关参数，T(τ)为τ时刻的老化温度如式(10-7)所示，p(t)表达式如式(10-8)所示。

步骤S2.3、求解折算时间的增量形式如式(10-9)所示：

其中，构造如式(10-10)所示表达式：

其中，考虑到Δt为很短的时间增量，假定w(t)在[t,t+Δt]内近似随时间呈线性变化，故可构造如式(10-11)所示线性表达式：

w(t)＝a+bt (10-11)

其中a、b的表达式如式(10-12)所示，同时联立式(10-10)、(10-11)可得如式(10-13)所示表达式：

步骤S2.4，判定损伤扩展判据并求解损伤发展过程，该过程在步骤5中已有详细叙述，此处对具体步骤进行梳理如下：

步骤S2.4.1、根据式(8-5)计算当量应力σ^*；

步骤S2.4.2、判定损伤应力阈值和当量应力之比σ_th/σ^*，若σ_th/σ^*≤1时，按式(8-3)计算函数g(σ_th/σ^*)，若σ_th/σ*＞1时，按式(8-4)计算函数g(σ_th/σ^*)；

步骤S2.4.3、按式(8-1)、(8-2)计算初始损伤D₀和扩展形成的新损伤D_ΔV；

步骤S2.4.4、根据式(8)计算损伤变量D，当初始损伤D₀为零或将初始损伤状态等效到初始材料属性中时，则有D₀＝0，此时的损伤发展方程式(8)可退化为D＝D_ΔV。

步骤S2.5，计算有效应力偏张量和球张量的增量形式分别写成如式(10-14)和式(10-15)所示形式：

其中，以及为引入的中间变量，分别具有如式(10-16)～(10-21)所示形式：

其中，上标含“t”、“τ”以及“t+Δt”的变量表示t时刻、τ时刻以及t+Δt时刻对应的相关变量，式(10-16)及(10-20)中式(10-17)和式(10-21)中状态变量的表达式如式(10-22)、(10-23)、(10-24)所示：

在式(10-22)中，当折算时间增量Δξ为零或接近于零时，此表达式的计算是奇异的，然而也发现，当时，有为此针对较小的时间步长，应用Taylor级数将式(10-22)在的邻域内进行展开，可得的Taylor级数形式如式(10-25)所示：

分析式(10-25)可以发现，当时间增量比率较小时，采用少数的几项便可获得数值上的精确解。综上，为保证求解过程的数值稳定性并便于编程计算，在计算时采用的方法是，对于较小的时间增量比率直接应用式(10-25)进行计算，当时间增量比率大于某一临界值δ时(δ为较小实数)，则采用式(10-22)进行计算，总的表达式如式(10-26)所示：

步骤S2.6，计算含热老化和损伤有效应力张量的增量形式如式(10-27)所示：

其中，上标含“t”、“τ”以及“t+Δt”的变量表示t时刻、τ时刻以及t+Δt时刻对应的相关变量，和分别表示有效应力张量、有效应力偏张量和有效应力球张量的增量，N_E为E(t,t′)的Prony级数项数，为第n项Maxwell模型对应的松弛时间， 和分别对应于未老化与老化的松弛模量系数，为无量纲的交联密度变化量，ξ为折算时间，的计算式如式(10-26)所示，ε_ij为应变张量，上标为“0”时表示为0时刻的应变张量，它与应变偏张量e_ij和球张量的关系式如式(10-28)所示，为状态变量，它与状态变量的关系式如式(10-29)所示：

步骤S2.7，在式(10-27)的基础上，根据损伤各向同性假设，其有效应力为由此可计算得到有效应力张量的增量形式的另一表达式如式(10-30)所示：

联立(10-27)、(10-30)可推导计算得到含热老化和损伤应力张量的增量形式如式(10)所示。

步骤S2.8，有限元软件对总体平衡方程进行求解时，需要计算一致切线刚度矩阵即Jacobian矩阵进而形成总体平衡方程中的系统整体刚度矩阵，对于小变形问题，t+Δt时刻离散形式的切线刚度矩阵可表示为：

其中，D^t+Δt为t+Δt时刻的损伤变量，和的表达式如式(10-32)、(10-33)所示：

根据式(10-31)和式(10)可推导计算得到含热老化和损伤应力张量的另一增量形式如式(10-34)所示：

如图6所示，本实施例中步骤S3使用有限元软件调用用户子程序进行二次开发的详细步骤包括：

步骤S3.1、有限元软件在每次调用用户子程序之前，预先为用户子程序读取模型材料参数和上一个过程结束时的温度T^t、应力张量应变张量应变增量以及计算过程中的状态变量；

步骤S3.2、在用户子程序中计算交联密度、老化松弛模量和折算时间，通过损伤判定准则判定是否达到损伤发展条件，利用有限元软件主程序读取和子程序计算得到的指定参量获取Jacobian矩阵返回给主程序代替连续变化的粘弹性材料刚度，计算应力增量

步骤S3.3、用户子程序更新本次增量结束时的应力张量应变张量和状态变量。

本实施例中，步骤S3.3中用户子程序更新本次增量结束时的状态变量由式(10-29)推导得到递推求解公式如式(11)所示：

其中，为t+Δt时刻的状态变量，为t时刻的状态变量，为t～t+Δt时间内的应变张量增量，为第n项Maxwell模型对应的松弛时间，ξ为折算时间，的计算式如式(10-26)所示。

下面以试样P1和P2为例，进行相关仿真计算。

(1)试样P1和P2的实验简化模型如图6和图8所示，以试件P1和P2表面某一点(一般取试件表面中心部位的节点)随时间变化的位移曲线作为测试和仿真响应，施加的温度载荷随时间变化，获得在不同温度载荷作用的测试结果和仿真结果。

(2)对于P1试件，在动态热机械分析仪(DMA)上进行单向压缩试验，施加静态作用力，同时加以不同的温度载荷，选取试件上表面中心点沿压缩方向的位移作为测试响应；对于P2试件，在动态热机械分析仪(DMA)上进行三点弯曲试验，施加不同的温度载荷，选取试件上表面中心点沿压缩方向的位移作为测试响应。

(3)采用ABAQUS软件对试件P1和P2进行有限元建模，如图9～图12所示，其中试件P1为纯胶块模型，试件P2为粘胶硅片模型。采用Fortran软件对环氧胶本构模型进行编译，其松弛模量的数据由ABAQUS软件中的自定义材料界面输入，其中试件P1与试件P2中环氧胶的初始模量为5280MPa，泊松比取0.3，热膨胀系数取5×10^-5/℃；试件P2中被粘物硅片的弹性模量取140000MPa，泊松比取0.18，热膨胀系数取2.33×10^-6/℃。

(4)在测试与仿真过程中均间隔相同时间记录位移结果。对于试件P1，所关注的结果一是恒温测试时的弹性形变和粘性形变，二是高低温循环测试时相邻最低温度处位移的差值和最高温度处位移的蠕变值；对于试件P2，所关注的结果为高低温循环测试时相邻最低温度处位移的差值和最高温度处位移的蠕变值。各试验测试结果和仿真结果以及仿真结果吻合度如下表所示。

试件P1蠕变试验(1)～(3)

试件P1高低温循环试验(4)

试件P2高低温循环试验(1)

试件P2高低温循环试验(2)

以上所述仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (10)

1.一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1、建立用于描述粘弹性材料力学行为的各向同性的线性热粘弹性本构方程；

步骤2、求解惯性器件用环氧胶的老化发展方程；

步骤3、计算惯性器件用环氧胶的老化松弛模量；

步骤4、计算折算时间；

步骤5、求解惯性器件用环氧胶的损伤发展方程；

步骤6、建立含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型。

2.根据权利要求1所述的一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建方法，其特征在于：

在步骤1中，所述各向同性的线性粘弹性材料的本构方程如式(1)所示：

其中，σ_ij为应力张量，S_ij为应力偏张量，σ_kk为应力球张量，μ为泊松比，E(t)为无老化的松弛模量，e_ij为应变偏张量，α^T为热膨胀系数，t和τ均为时间，ξ(t)为折算时间。

3.根据权利要求2所述的一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建方法，其特征在于：

在步骤2中，所述老化发展方程的求解过程包括：以惯性器件用环氧胶的老化过程为对象建立以交联密度v为老化变量的环氧胶老化发展方程；忽略应力应变场对老化的影响，对环氧胶老化发展方程进行求解，其求解过程如(2)～(4)所示：

其中，t′和τ为老化时间，T为老化温度，为无应力应变场作用的老化反应活化能，α^C为化学反应方程待定系数，k_B为Boltzmann常数，h_p为Planck常数，A为老化反应速率常数，v_m为最大交联密度，v_m为初始交联密度。

4.根据权利要求3所述的一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建方法，其特征在于：

在步骤3中，所述老化松弛模量包括未老化时的松弛模量值和由老化引起的松弛模量变化值，其计算式写成Prony级数形式如式(5)所示：

其中N_E为E(t,t′)的Prony级数项数，均为待定系数，为第n项Maxwell模型对应的松弛时间，和分别对应于未老化与老化的松弛模量系数，为无量纲的交联密度变化量。

5.根据权利要求4所述的一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建方法，其特征在于：

在步骤4中，所述折算时间的计算过程：获得当前温度下代入老化松弛模量计算式中的实际时间变量并根据时温等效原理通过式(6)获得当前温度下的时温等效平移因子，然后将该时间变量和当前温度下的时温等效平移因子代入式(7)中算得到折算时间变量，其中最后将换算后的时间变量代入老化松弛模量计算：

其中，ξ为折算时间，t为实际时间，a_T为时温等效平移因子，C₁和C₂为材料常数，T为当前温度，T_r为参考温度。

6.根据权利要求5所述的一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建方法，其特征在于：

在步骤5中，所述损伤发展方程求解过程包括：采用损伤变量D描述损伤状态，然后在单轴条件下建立环氧胶损伤发展方程，该方程的具体形式如式(8)所示：

其中，D₀为初始损伤，D_ΔV为扩展形成的新损伤。

7.根据权利要求6所述的一种惯性器件用环氧胶本构模型的构建方法，其特征在于：

在步骤6中，所述本构模型的建立过程包括：基于线性粘弹性本构方程，引入损伤和老化效应，并对老化时间和加载作用时间取相同的零点(t＝t′)，根据老化松弛模量形式和应变等效原理，得出含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型如式(9)所示：

其中，为有效应力张量，为有效应力偏张量，为有效应力球张量，α^T为热膨胀系数，θ＝T-T₀为温度变化量，σ_ij为应力张量，e_ij为应变偏张量，ε_kk为应变球张量，D为损伤变量，μ为泊松比，t和τ均为时间，ξ(t)为折算时间，E(ξ,t)为含老化的松弛模量。

8.根据权利要求1～7任一项所述的一种惯性器件用环氧胶本构模型的应用方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤S1、通过步骤1～6构建含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型；

步骤S2、推导含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型的增量形式；

步骤S3、利用有限元软件提供的自定义材料本构模型的扩展接口对增量形式的含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型进行编程，得到用户子程序，使用有限元软件调用用户子程序进行二次开发。

9.根据权利要求8所述的一种惯性器件用环氧胶本构模型的应用方法，其特征在于：

在步骤S2中，推导含热老化和损伤的惯性器件用环氧胶本构模型的增量形式如式(10)所示：

其中，为t～t+Δt时间内的含热老化和损伤的应力张量，为t+Δt时刻含热老化和损伤的应力张量，为t时刻含热老化和损伤的应力张量，ΔD^t+Δt为t～t+Δt时间内的损伤变量，D^t+Δt为t+Δt时刻的损伤变量，D^t为t时刻的损伤变量，为t～t+Δt时间内的含热老化和损伤的应力偏张量，为t～t+Δt时间内的含热老化和损伤的应力球张量。

10.根据权利要求9所述的一种惯性器件用环氧胶本构模型的应用方法，其特征在于：

在步骤S3中使用有限元软件调用用户子程序进行二次开发的详细步骤包括：

步骤S3.1、有限元软件在每次调用用户子程序之前，预先为用户子程序读取模型材料参数和上一个过程结束时的温度T^t、应力张量应变张量应变增量以及计算过程中的状态变量；

步骤S3.2、在用户子程序中计算交联密度、老化松弛模量和折算时间，通过损伤判定准则判定是否达到损伤发展条件，利用有限元软件主程序读取和子程序计算得到的指定参量获取Jacobian矩阵返回给主程序代替连续变化的粘弹性材料刚度，计算应力增量

步骤S3.3、用户子程序更新本次增量结束时的应力张量应变张量和状态变量，

在步骤S3.3中用户子程序更新本次增量结束时的状态变量由式(10-29)推导得到递推求解公式如式(11)所示：

其中，为t+Δt时刻的状态变量，为t时刻的状态变量，为t～t+Δt时间内的应变张量增量，为第n项Maxwell模型对应的松弛时间，ξ为折算时间。