CN109782338A - 一种频率域地震正演模拟的高精度差分数值法 - Google Patents
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Abstract
本发明提出一种频率域地震正演模拟的高精度差分数值法,本方法对于频率域波动方程高阶项的离散,先在25点模板的水平(垂直)方向分别进行单倍和双倍步长的二阶离散,后在垂直(水平)方向利用对称性和泰勒展开式消除二阶项,得到两种四阶精度的逼近。接着,把这两种四阶精度的逼近与传统的四阶中心差分格式进行加权组合,权系数和为1。对于低阶项的离散,先利用25点模板四个角处的16个网格点进行离散,得到四阶精度逼近,接着再与水平和竖直方向的四阶中心离散进行加权组合,权系数的和为1。最后对得到的差分方案进行频散分析,并基于频散极小化原理得到各个权系数的值。本方法达到了四阶收敛,有效减少了数值频散,提升正演模拟的精度与效率。
Description
技术领域
本发明涉及地震波模拟领域,更具体地,涉及一种频率域地震正演模拟的高精度差分数值法。
背景技术
地震波正演模拟是研究地震波传播规律的重要工具,也是反演地下层结构图像的基础,被广泛地应用于地球物理、海洋技术、油气勘探等科学技术领域。近几十年来,地震波正演模拟技术一直是地震勘探领域的重要研究内容。地震波正演模拟通常在时间域或频率域进行。相对于时间域模拟,频率域模拟更具优势。频率域波动方程正演过程只需要几个频点的信息,大大提高了计算效率。此外,在频率域可以更加灵活地模拟地震波衰减效应。频率域模拟进一步分为有限差分模拟和有限元模拟等两类主要方法。相对于有限元法,有限差分法计算复杂度较低,易于执行,故在地震勘探领域有着广泛的应用。当前,地震波频率域差分模拟方法主要是基于混合交错网格设计差分方案,并通过极小化数值频散机制得到混合交错网格上的加权组合系数。相对于传统有限差分方案,交错网格方案可有效减小数值频散,提升数值模拟精度。
当前,频率域地震正演模拟的混合交错网格差分法主要有9点方案、13点、17点方案、25点方案。通常情况下,使用较多网格点数的差分方案,其数值频散也较小。其中,25点差分方案展现了优良的性能。但是,当前25点差分方案尚存在以下几个问题。首先,多数方案的差分格式是2阶收敛,收敛精度不高。其次,有一部分声称的高阶方案本质上是伪高阶方案,即方程的高阶项采用的是高阶离散,但是低阶项采用的却是二阶离散,因此总体上还是二阶收敛精度。最后,有些基于旋转坐标轴的差分方案虽是高阶,但添加边界条件后,如PML(Perfectly Matched Layer),相应的差分格式与原方程并非点态相容(pointwiseconsistent),一定程度上影响了模拟精度。
发明内容
本发明为克服上述现有技术所述的至少一种缺陷(不足),提供一种频率域地震正演模拟的高精度差分数值法,以提升地震正演数值精度和效率。
为解决上述技术问题,本发明的技术方案如下:
一种频率域地震正演模拟的高精度差分数值法,包括以下步骤:
S1、对二维标量频率域波动方程高阶项离散,首先在25点模板的水平(垂直)方向分别进行单倍和双倍步长的二阶离散,然后在垂直(水平)方向利用对称性和泰勒展开式消除二阶项,得到两种四阶精度的逼近;
S2、把这两种四阶精度的逼近与经典的四阶中心差分格式进行加权组合;其中,为了确保收敛性,权系数的和为1;
S3、对于低阶项的离散,先利用25点模板四个角处的16个网格点进行离散,得到四阶精度逼近,接着再与水平和竖直方向的四阶中心离散进行加权组合,权系数的和为1;
S4、对得到的差分方案进行频散分析,并基于频散极小化原理得到各个权系数的值
优选的,已知二维标量频率域波动方程为:
这里,未知量u表示压力场,为波数,其中f和v分别表示波的频率和波的传播速度;
为了在有限的计算区域内进行模拟仿真,对方程(1)进行添加PML边界层,得到
其中C=exey,ω为角频率,σx定义如下:
其中f0为震源主频,a0=1.79为一经验常数,LPML为PML的厚度,lx为到PML和内部区域间界面的距离;σy的定义与σx类似;其中,在内部区域Ω0中,ex=ey=1,在PML区域Ω1中ex=1,在PML区域Ω2中ey=1;
记um,n为函数u在网格点(xm,yn)处的离散值,定义符号如下:
其中j∈{-2,-1,1,2},t=1,2,h为离散步长;定义符号:
继续定义符号Φxu为:
其中α1+α2+α3=1Φxu即为高阶项的离散逼近;
类似地,分别定义符号Φx如下:
Φyu即为高阶项的离散逼近;则频率域波动方程(2)的高阶项离散逼近为:
-Φxu-Φyu (3)
定义符号Ι1,Ι2如下,其中j={-2,-1,0,1,2};
I1(Ck2u)=(Ck2u)m,n,
则频率域波动方程(2)的低阶项离散逼近为
I(Ck2u):=β1I1(Ck2u)+β2Ι2(Ck2u)+β3Ι3(Ck2u),(4)
其中β1+β2+β3=1,综合(3)式与(4)式,得到频率域波动方程(2)的4阶差分逼近;
-Φxu-Φyu-I(Ck2u)=0 (5)
在PML内部区域,25点四阶差分方案(5)简化为
其中,Um+j,n+l为未知量u在(xm+j,yn+l)处的离散值,j,l=-2,-1,0,1,2,
令U(x,y):=e-ik(xcosθ+ysinθ),则U(x,y)是频率域波动方程的面波解,其中θ为波传播方向与y轴的夹角;记λ为波长,G为单个波长内的网格点数,即G=λ/h;又由于λ=v/f,故有kh=2π/G;把离散面波解带入差分格式(6),并利用欧拉公式e-ix=cosx+isinx式进行变换,得到频散方程如下4T1P2Q2+4T2(P1Q2+P2Q1)+2T3(P2+Q2)+4T4P1Q1+2T5(P1+Q1)+T4=0,(7)
其中
把Tj(j=1,2,...,6)的值带入(7)式,并用数值波数kN替换k,得到
其中
R=a1M+a2N+a3O,
M=[(P2+Q2)-16(P1+Q1)+30],
N=[2P2Q2-4(P1Q2+P2Q1)-(P2+Q2)+4(P1+Q1)],
O=[4(P1Q2+P2Q1)-4(P2+Q2)-32P1Q1+16(P1+Q1)]
联合kh=2π/G和(8)式得到
记则求参数α1,α2,α3,β1,β2,β3的值转化为求最优化问题
其中,由对称性得到,而G≥2由Nyqusit采样定理得到;
令并带入α1=1-α2-α3,β1=1-β2-β3,得到方程(11)
其中P1,Q1,P2,Q2,O,M,N是关于θ,G的函数;分别在θ和G的取值范围内采样l=10和r=100个点,即:
把(12)中的l*r=1000个点带入方程(11)得到超定线性系统
其中,
利用最小二乘法求解线性系统(13),即
得到α2=0.0266,α3=0.1923,β1=0.0970,β2=0.1902,则α1=1-α2-α3=0.7811,
β1=1-β2-β3=0.7128
把参数α1,α2,α3,β1,β2,β3的值带入(5)式,得到最终的频率波动方程正演模拟的4阶25点差分方案。
与现有技术相比,本发明技术方案的有益效果是:
本发明提出了一种频率域地震波正演模拟的25点四阶高精度差分数值法,以提升地震正演数值精度和效率。本发明的有益效果如下:
(1)本发明构造了一种新的、不同于当前25点方案的频率域波动方程正演方法。对于方程的高阶项和低阶项,分别设计多种离散逼近格式,然后对它们进行有机加权组合,并基于频散极小化机制,利用最小二乘法求得加权系数。该方法易于实施,且有效地减少了数值频散,提升了正演模拟的计算效率。
(2)本技术方案的差分数值法是真正的高(四)阶精度差分方案,有效地提升了数值模拟精度。对于方程高阶项的离散,先在25点模板的一个方向(水平或垂直方向)分别进行单倍和双倍步长的二阶离散,然后再在另一个方向利用对称性和泰勒展开式消除二阶项,得到两种四阶精度的逼近。接着,把这两种四阶精度的逼近与传统的四阶中心差分格式进行加权组合。对于低阶项的离散,先利用25点模板四个角处的16个网格点进行离散,得到四阶精度逼近,接着再与水平和竖直方向的四阶中心离散进行加权组合。在理论和数值上,本方案都被证明是4阶收敛的。
(3)本技术方案的差分格式在方程添加了PML边界层后,仍与带PML的方程点态相容,这与旋转差分等格式不同。点态相容性是离散方案性质的一个重要指标,其确保了数值模拟的收敛性和精度。
(4)本技术方案的差分数值法实用性好,对光滑性要求不高。目前,一些高阶方案对解的光滑性和方程右端项的要求苛刻,因而限制了其实际应用。本技术方案没有这方面的限制,特别是对于右端项,因此本方案实用性更高。
附图说明
图1为加密算法执行流程图PML示意图;
图2为离散示意图;
图3为的离散示意图;
图4为低阶项Ck2u的离散示意图;
图5为本发明差分格式的标准化相速度曲线示意图;
图6为基于本差分方案的频率域地震波正演模拟(均匀介质)示意图;5(a)为f=5,5(b)为f=20;
图7为盐丘体速度场模型示意图;
图8为基于本差分方案的频率域地震波正演模拟(盐丘体模型,非均匀介质)示意图;
图9为盐丘体模型的波场快照示意图。9(a)为t=50ms,9(b)为t=100ms。
具体实施方式
对于本领域技术人员来说,附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。下面结合附图和实施例对本发明的技术方案做进一步的说明。
本发明提出一种频率域地震波正演模拟的25点四阶高精度差分数值法,以进一步提升地震正演数值精度和效率。该方案不仅真正具有4阶收敛精度,同时,还与添加PML边界层后的方程保持点态相容,且对光滑性要求不高。在本方法中,对于频率域波动方程高阶项的离散,首先在25点模板的水平(垂直)方向分别进行单倍和双倍步长的二阶离散,然后在垂直(水平)方向利用对称性和泰勒展开式消除二阶项,得到两种四阶精度的逼近。接着,把这两种四阶精度的逼近与传统的四阶中心差分格式进行加权组合。其中,为了确保收敛性,权系数的和为1。对于低阶项的离散,先利用25点模板四个角处的16个网格点进行离散,得到四阶精度逼近,接着再与水平和竖直方向的四阶中心离散进行加权组合。同理,权系数的和也为1。最后,对得到的差分方案进行频散分析,并基于频散极小化原理得到各个权系数的值。仿真实验显示,本数值方法达到了四阶收敛,且有效地减少了数值频散,提升了正演模拟的精度与效率。
本发明是为了进一步提升频率域地震正演模拟的精度和效率,为地球物理、油气勘探等科学技术领域提供重要的应用支持。
其具体的实现过程为:已知二维标量频率域波动方程为,
这里,未知量u表示压力场,为波数,其中f和v分别表示波的频率和波的传播速度。
为了在有限的计算区域内进行模拟仿真,对方程(1)进行添加PML边界层,得到
其中C=exey,ω为角频率,σx定义如下:
其中f0为震源主频,a0=1.79为一经验常数,LPML为PML的厚度,lx为到PML和内部区域间界面的距离。σy的定义与σx类似。PML的示意图见图1。其中,在内部区域Ω0中,ex=ey=1,在PML区域Ω1中ex=1,在PML区域Ω2中ey=1。
记um,n为函数u在网格点(xm,yn)处的离散值,定义符号如下
其中j∈{-2,-1,1,2},t=1,2,h为离散步长。定义符号
继续定义符号Φxu为:
其中α1+α2+α3=1.Φxu即为高阶项的离散逼近,离散示意图见图2。
类似地,分别定义符号Φyu如下:
Φyu即为高阶项的离散逼近,离散示意图见图3。则频率域波动方程(2)的高阶项离散逼近为:
-Φxu-Φyu (3)
定义符号Ι1,Ι2,Ι3如下(j={-2,-1,0,1,2})
则频率域波动方程(2)的低阶项离散逼近为
I(Ck2u):=β1I1(Ck2u)+β2Ι2(Ck2u)+β3Ι3(Ck2u),(4)
其中β1+β2+β3=1.低阶项Ck2u的离散示意图见图4,综合(3)式与(4)式,得到频率域波动方程(2)的4阶差分逼近。
-Φxu-Φyu-I(Ck2u)=0 (5)
在PML内部区域,25点四阶差分方案(5)可简化为
其中,Um+j,n+l(j,l=-2,-1,0,1,2)为未知量u在(xm+j,yn+l)处的离散值,
令U(x,y):=e-ik(xcosθ+ysinθ),则U(x,y)是频率域波动方程的面波解,其中θ为波传播方向与y轴的夹角。记λ为波长,G为单个波长内的网格点数,即G=λ/h.又由于λ=v/f,故有kh=2π/G。把离散面波解带入差分格式(6),并利用欧拉公式e-ix=cosx+isinx式进行变换,得到频散方程如下4T1P2Q2+4T2(P1Q2+P2Q1)+2T3(P2+Q2)+4T4P1Q1+2T5(P1+Q1)+T4=0,(7)
其中
把Tj(j=1,2,...,6)的值带入(7)式,并用数值波数kN替换k,得到
其中
R=a1M+a2N+a3O,
M=[(P2+Q2)-16(P1+Q1)+30],
N=[2P2Q2-4(P1Q2+P2Q1)-(P2+Q2)+4(P1+Q1)],
O=[4(P1Q2+P2Q1)-4(P2+Q2)-32P1Q1+16(P1+Q1)].
联合kh=2π/G和(8)式得到
记则求参数α1,α2,α3,β1,β2,β3的值转化为求最优化问题
其中,由对称性得到,而G≥2由Nyqusit采样定理得到。
令并带入α1=1-α2-α3,β1=1-β2-β3,得到方程(11)
其中P1,Q1,P2,Q2,O,M,N是关于θ,G的函数。分别在θ和G的取值范围内采样l=10和r=100个点,即
把(12)中的l*r=1000个点带入方程(11)得到超定线性系统
其中,
利用最小二乘法求解线性系统(13),即
得到α2=0.0266,α3=0.1923,β1=0.0970,β2=0.1902,则α1=1-α2-α3=0.7811,
β1=1-β2-β3=0.7128.
把参数α1,α2,α3,β1,β2,β3的值带入(5)式,得到最终的频率波动方程正演模拟的4阶25点差分方案。
仿真实验
(1)数值频散分析。首先给出本发明25点4阶差分格式的标准相速度曲线,即以单位波长内网格点数的倒数1/G为横坐标,以数值波数和精确波数的比值kN/k为纵坐标的曲线。图5显示了4条标准化相速度曲线,分别对应θ=0°,15°,30°,45°;可以看出,标准化相速度曲线接近直线y=1,且即使每个波长内仅取2个网格点(达到Nyqusit采样极限)时,kN/k的值仍接近于1,表明相应的数值频散较小,有效地提升了数值模拟精度。
(2)收敛阶测试。考虑求解右端项非零的频率域波动方程(14)
其中,右端项g(x,y)=(2n2-1)sin(nkx)sin(nky),则方程有精确解利用本方案提出的差分数值法求解(14),表1列出了模拟误差(在|·|∞的意义下)和数值收敛阶。可以看出,计算的数值收敛阶接近于4,表明本差分方案是4阶精度收敛的。
表1本差分方案的数值收敛阶
(3)频率域正演模拟测试。设置方程(2)的右端项为点震源,下面针对均匀传播介质和非均匀传播介质两种情况进行正演模拟。对于均匀介质情形,计算区域为2160m×2160m,波速v=2000,频率分别取f=5,20,对仿真结果的实部进行可视化,如图6所示。
对于均匀介质情形,采用盐丘体速度场模型进行测试。盐丘体模型模拟了海底地质结构,考虑矩形区域2160m×4720m,相应的速度场如图7所示。地震波在盐丘体中最小传播速度为1524m/s,最大传播速度为4480m/s。把点震源放置在(1080m,2360m)处,取f=20,基于本差分方案对频率域波动方程进行正演模拟,模拟结果的实部可视化如图8所示。可见,波的传播从震源处开始,穿过整个盐丘体区域。接着,生成盐丘体模型对应的波长快照。波长快照给出了具体时刻波前(wavefront)的位置,其形状取决于速度的分布。基于本差分方案,模拟60个单频率波(f=1,2,...,59,60)的传播情况,在进行波场快照时,取200个采样点,且时间间隔为0.005s。图9显示了t=50ms(毫秒)和t=100ms时的快照。频率域正演模拟测试显示了本差分方案的优良性能。
显然,本发明的上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例,而并非是对本发明的实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说,在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等,均应包含在本发明权利要求的保护范围之内。
Claims (4)
1.一种频率域地震正演模拟的高精度差分数值法,其特征在于,包括以下步骤:
S1、对二维标量频率域波动方程高阶项离散,首先在25点模板的水平或垂直方向分别进行单倍和双倍步长的二阶离散,然后在垂直或水平方向利用对称性和泰勒展开式消除二阶项,得到两种四阶精度的逼近;
S2、把这两种四阶精度的逼近与经典的四阶中心差分格式进行加权组合;其中,权系数的和为1;
S3、对于低阶项的离散,先利用25点模板四个角处的16个网格点进行离散,得到四阶精度逼近,接着再与水平和竖直方向的四阶中心离散进行加权组合,权系数的和为1;
S4、对得到的差分方案进行频散分析,并基于频散极小化原理得到各个权系数的值。
2.根据权利要求1所述的一种频率域地震正演模拟的高精度差分数值法,其特征在于,已知二维标量频率域波动方程为:
这里,未知量u表示压力场,为波数,其中f和v分别表示波的频率和波的传播速度;
为了在有限的计算区域内进行模拟仿真,对方程(1)进行添加PML边界层,得到
其中C=exey,ω为角频率,σx定义如下:
其中f0为震源主频,a0为一经验常数,LPML为PML的厚度,lx为到PML和内部区域间界面的距离;σy的定义与σx类似;
记um,n为函数u在网格点(xm,yn)处的离散值,定义符号如下:
其中j∈{-2,-1,1,2},t=1,2,h为离散步长;定义符号:
继续定义符号Φxu为:
其中α1+α2+α3=1,Φxu即为高阶项的离散逼近;
类似地,分别定义符号 Φyu如下:
Φyu即为高阶项的离散逼近;则频率域波动方程(2)的高阶项离散逼近为:
-Φxu-Φyu (3)
定义符号Ι1,Ι2,Ι3如下,其中j={-2,-1,0,1,2};
I1(Ck2u)=(Ck2u)m,n,
则频率域波动方程(2)的低阶项离散逼近为
I(Ck2u):=β1I1(Ck2u)+β2Ι2(Ck2u)+β3Ι3(Ck2u), (4)
其中β1+β2+β3=1,综合(3)式与(4)式,得到频率域波动方程(2)的4阶差分逼近;
-Φxu-Φyu-I(Ck2u)=0 (5)
在PML内部区域,25点四阶差分方案(5)简化为
其中,Um+j,n+l为未知量u在(xm+j,yn+l)处的离散值,j,l=-2,-1,0,1,2,系数T1至T6为:
令U(x,y):=e-ik(xcosθ+ysinθ),则U(x,y)是频率域波动方程的面波解,其中θ为波传播方向与y轴的夹角;记λ为波长,G为单个波长内的网格点数,即G=λ/h;又由于λ=v/f,故有kh=2π/G;
把离散面波解带入差分格式(6),并利用欧拉公式e-ix=cosx+isinx式进行变换,得到频散方程如下:
4T1P2Q2+4T2(P1Q2+P2Q1)+2T3(P2+Q2)+4T4P1Q1+2T5(P1+Q1)+T4=0, (7)
其中
把Tj的值带入(7)式,j=1,2,…,6;并用数值波数kN替换k,得到
其中
R=a1M+a2N+a3O,
M=[(P2+Q2)-16(P1+Q1)+30],
N=[2P2Q2-4(P1Q2+P2Q1)-(P2+Q2)+4(P1+Q1)],
O=[4(P1Q2+P2Q1)-4(P2+Q2)-32P1Q1+16(P1+Q1)]
联合kh=2π/G和(8)式得到
记则求参数α1,α2,α3,β1,β2,β3的值转化为求最优化问题
其中,由对称性得到,而G≥2由Nyqusit采样定理得到;
令并带入α1=1-α2-α3,β1=1-β2-β3,得到方程(11)
其中P1,Q1,P2,Q2,O,M,N是关于θ,G的函数;分别在θ和G的取值范围内采样l=10和r=100个点,即
把(12)中的l*r=1000个点带入方程(11)得到超定线性系统
其中,
利用最小二乘法求解线性系统(13),即
得到α2=0.0266,α3=0.1923,β1=0.0970,β2=0.1902,则α1=1-α2-α3=0.7811,
β1=1-β2-β3=0.7128
把参数α1,α2,α3,β1,β2,β3的值带入(5)式,得到最终的频率波动方程正演模拟的4阶25点差分方案。
3.根据权利要求2所述的一种频率域地震正演模拟的高精度差分数值法,其特征在于,经验常数a0=1.79。
4.根据权利要求2或3所述的一种频率域地震正演模拟的高精度差分数值法,其特征在于,在PML内部区域Ω0中,ex=ey=1,在PML区域Ω1中ex=1,在PML区域Ω2中ey=1。
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