CN109766946B - 基于复杂网络构建的自主式水下航行器航行数据分析方法 - Google Patents

Abstract

本申请实施例提供一种基于复杂网络构建的自主式水下航行器航行数据分析方法，以自主式水下航行器现场所采集和保存的航姿数据为基础，采用密度峰值聚类算法消除冗余波动，同时保留大部分关键数据转折点，实现航行数据优化和去噪的目标；通过构建加权复杂网络，使用拓扑统计来分析数据的波动模式并描述航行状态，以调整自主式水下航行器朝着有意义的作业航向前进，即在整个航行过程中航姿数据始终与航行模式间存在关联关系，以此提升自主式水下航行器高度自主性和海洋长航程调查任务实施的质量与效率。

Description

基于复杂网络构建的自主式水下航行器航行数据分析方法

技术领域

本申请涉及水下航行数据处理、理解及应用技术领域，尤其涉及一种基于复杂网络构建的自主式水下航行器航行数据分析方法。

背景技术

基于数据驱动的自主式水下航行器(Autonomous Underwater vehicle,AUV)航行数据分析方法是研究自主式水下航行器在使用水下空间在线观测数据(如AHRS航姿参考传感器数据)，运用密度峰值聚类算法、加权复杂网络等先进技术手段，建立不同水深条件下AUV航姿观测数据的全局拓扑统计模型来获取航行数据的波动模式，实现在复杂的水下环境中航行器自主分析航行状态与决策执行最优航行模式或作业模式的技术。

目前自主式水下航行器的航行模式根据执行各类海洋调查任务的不同进行预先人工设定，采集和保存水下数据后，返航经由后处理揭示和发现海洋现象与规律，因而在整个航行过程中航行状态数据与自主式水下航行器航行模式关联性不强。海洋环境通常不稳定，特别是在长途航行过程中自主式水下航行器加速、减速及洋流等因素不可避免地会产生各种复杂的噪声。无人干预的情况下，自主式水下航行器的航行状态和健康状况无法得到监测和保障，导致探测调查任务效率低下甚至失败，严重情况下可能造成航行器丢失或损坏的后果。

发明内容

本申请提供了一种基于复杂网络构建的自主式水下航行器航行数据分析方法，以自主式水下航行器现场所采集和保存的航姿数据为基础，采用密度峰值聚类算法消除冗余波动，同时保留大部分关键数据转折点，实现航行数据优化和去噪的目标；通过构建加权复杂网络，使用拓扑统计来分析数据的波动模式并描述航行状态，以调整自主式水下航行器朝着有意义的作业航向前进，即在整个航行过程中航姿数据始终与航行模式间存在关联关系，以此提升自主式水下航行器高度自主性和海洋长航程调查任务实施的质量与效率。

一种基于复杂网络构建的自主式水下航行器航行数据分析方法，包括如下步骤：

对所述水下航行器采集到的航姿数据进行映射与密度峰值聚类结合的预处理；

构建有向加权复杂网络；

对所述有向加权复杂网络进行分析，以确定所述水下航行器的航向。

进一步地，所述航姿数据为航向角时间序列；

所述映射与密度峰值聚类结合的预处理包括：

映射：将长度为n的航向角时间序列{f₁,f₂,…,f_n}转化为若干个长度为3的第二时间序列{f_i-1,f_i,f_i+1}，n＞3，根据映射规则将所述第二时间序列映射到二维平面内；

聚类：基于密度峰值聚类算法对所述二维平面内的点进行聚类；

复原：根据复原函数重新将所述二维平面的点转化为时间序列。

进一步地，所述构建有向加权复杂网络具体为：

对于所述复原后的时间序列，定义H表示所述复原后的时间序列中两个相邻的点之间变化模式S_i为增大，M表示所述复原后的时间序列中两个相邻的点之间变化模式S_i为不变，L表示所述复原后的时间序列中两个相邻的点之间变化模式S_i为减小，即：

定义滑动窗口l，将所述滑动窗口内l个符号构成的短模式组作为所述复杂网络的节点，所述短模式组之间的转换构成所述复杂网络的连边，所述连边的权重ω为两个模式组之间的转化次数，构建有向加权复杂网络。

进一步地，在所述构建有向加权复杂网络之后，还包括：确定滑动窗口长度l，具体为：

定义节点强度：节点强度

式中，ns_i为节点i的强度，ω_ij为节点i和节点j之间的权重，N为节点i到节点j之间的节点集合；

选取节点强度最高的t个节点作为关键节点，t为正整数；

选取可以明显观察到所述关键节点的滑动窗口长度l。

进一步地，所述对所述有向加权复杂网络进行分析，确定所述水下航行器的航向，即：通过拓扑统计和/或社团划分对所述有向加权复杂网络进行分析，反映出航向角时间序列的波动模式，进而确定所述水下航行器的航向。

进一步地，所述通过拓扑统计对所述有向加权复杂网络进行分析，即：对关键节点强度比例，关键节点自转换概率以及平均最短路径进行综合分析，其中，所述关键节点强度比例反映了时间序列中的关键波动模式，是一个节点强度与整个复杂网络中所有节点强度之和的比例；

所述关键节点的自转换概率反映了相同模式之间的转换规律，其中，节点i和节点j之间的转换率为

当i＝j时，pr_ij表示节点i的自转换概率；

所述平均最短路径反映了不同模式之间的转换规律，其中，平均最短路径为：

式中，

l_ij为节点i到节点j的最短路径，ω_mn为节点m到n边的权重，N为节点i到节点j之间的节点集合，avg(ω_N)为权重平均值。

本申请实施例提供的一种基于复杂网络构建的自主式水下航行器航行数据分析方法，以自主式水下航行器现场所采集和保存的航姿数据为基础，采用密度峰值聚类算法消除冗余波动，同时保留大部分关键数据转折点，实现航行数据优化和去噪的目标；通过构建加权复杂网络，使用拓扑统计来分析数据的波动模式并描述航行状态，以调整自主式水下航行器朝着有意义的作业航向前进，即在整个航行过程中航姿数据始终与航行模式间存在关联关系，以此提升自主式水下航行器高度自主性和海洋长航程调查任务实施的质量与效率。

附图说明

为了更清楚地说明本申请的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，对于本领域普通技术人员而言，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本申请实施例提供的数据分析方法流程图；

图2为本申请实施例提供的将第二时间序列映射到二维平面的示意图；

图3为本申请实施例提供的聚类结果示意图；

图4(a)为本申请实施例提供的原始航姿数据示意图；

图4(b)为本申请实施例提供的经Pro-DPCA预处理后的航姿数据示意图；

图5为本申请实施例提供的有向加权复杂网络拓扑结构图；

图6(a)为本申请实施例提供的AUV在0.2米深度采集的原始航行数据示意图；

图6(b)为本申请实施例提供的AUV在4米深度采集的原始航行数据示意图；

图7(a)为本申请实施例提供的0.2米深度预处理后的数据示意图；

图7(b)为本申请实施例提供的4米深度预处理后的数据示意图；

图8(a)为本申请实施例提供的0.2米深度作业时，l＝3的复杂网络拓扑结构图；

图8(b)为本申请实施例提供的0.2米深度作业时，l＝5的复杂网络拓扑结构图；

图8(c)为本申请实施例提供的0.2米深度作业时，l＝10的复杂网络拓扑结构图；

图8(d)为本申请实施例提供的4米深度作业时，l＝3的复杂网络拓扑结构图；

图8(e)为本申请实施例提供的4米深度作业时，l＝5的复杂网络拓扑结构图；

图8(f)为本申请实施例提供的4米深度作业时，l＝10的复杂网络拓扑结构图；

图9(a)为本申请实施例提供的0.2米深度作业时，秩与节点强度值的分布曲线图；

图9(b)为本申请实施例提供的4米深度作业时，秩与节点强度值的分布曲线图；

图10(a)为本申请实施例提供的0.2米深度作业时社团划分拓扑图；

图10(b)为本申请实施例提供的4米深度作业时社团划分拓扑图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例

一种基于复杂网络构建的自主式水下航行器航行数据分析方法，如图1所示，包括如下步骤：

由所述水下航行器采集航姿数据，所述航姿数据为航向角时间序列；

对所述航向角时间序列进行预处理；

构建有向加权复杂网络；

对所述有向加权复杂网络进行分析，确定所述水下航行器的航向。

现对基于复杂网络构建的自主式水下航行器航行数据分析方法做进一步地详细说明：

原始的水下航姿数据因自主式水下航行器加速、减速和洋流得那个因素会产生冗余波动，湮没数据重要转折点，为了更好的实现数据的预处理，既保留关键的转折点，又能去除多余的波动，本发明提出了一种优化的数据预处理算法，算法分为映射、聚类、复原三步。首先，将长时间序列转化为若干个长度为3的短序列，根据映射规则将短序列投影到二维平面内，然后，利用密度峰值聚类算法对平面内的点进行聚类，最后，根据复原函数重新将二维平面的点转化为时间序列。

S11：映射

设需要处理长度为n的航向角时间序列{f₁,f₂,…,f_n}，选取3个连续的数据点f_i-1,f_i,f_i+1，将长度为n的航向角时间序列{f₁,f₂,…,f_n}转化为若干个长度为3的第二时间序列{f_i-1,f_i,f_i+1}，n＞3，(如果n不是3的倍数，则在不影响完整时间序列的情况下添加或者减少一个点)，通常情况下，航向角时间序列的长度很长，远远大于3，根据映射规则将所述第二时间序列(短序列)映射到二维平面内，映射后的参数作为二维平面的横纵坐标X,Y。

要选取合适的映射参数，需要遵循以下几点映射原则：

1)两个参数之间不存在直接的相关性

2)两个参数的取值范围相同

3)两个参数的变化可以完备的表现出3个数据点的所有变化形式

4)对于增大、保持、减小等不同模式的变化敏感，且映射后相反模式之间的距离最大

基于以上几点，将映射后的横坐标X_i为中间点到首尾两点连线的距离，纵坐标Y_i为首尾两点的高度差，如图2所示。即：

Y_i＝y_i+1-y_i-1i＝2,3,…n-1     (2)

式中，x_i为第i个数据点f_i的横坐标值，y_i为第i个数据点f_i的纵坐标值。

S12：基于密度峰值聚类对所述二维平面内的点进行聚类；

聚类采用Alex Rodriguez和Alessandro Laio提出的基于密度峰值的聚类方法(DPCA)，其主要思想是寻找被低密度区域分离的高密度区域。对于一个数据集，聚类中心被一些低局部密度的数据点包围，而且这些低局部密度的点距离其他有高局部密度的点的距离都比较大。因此，通过计算局部密度和与高密度点之间的距离来实现理想的聚类效果。

局部密度ρ_i定义为：

其中，

式中，d_ij为第i个数据点与第j个数据点之间的距离，d_c为截断距离，

χ(x)为01函数，当x小于0时，χ(x)＝1，当x大于等于0时，χ(x)＝0；

与高密度点之间的距离δ_i定义为：

公式(4)的目的是找到所有比第i个数据点的局部密度都大的数据点中，与第i个数据点之间的距离的最小值。而对于具有最大密度的数据点，通常取

聚类以后，波动较小的短序列会被分为一类(定义为class 1)，幅度较大的增大或减小则会被分为其他几类。如图3所示为聚类结果图。

S13：复原

在S11中，原始时间序列被转化成了诸多长度为3的片段，并将它们映射到二维平面中，现在需要将其复原，也就是根据聚类的结果把它们从二维平面转化为时间序列，复原函数如下：

式中，Z表示复原后的时间序列，下标表示时刻，若第一个点被分为class1，则对应关系为Z_1，2，3＝f₁。该算法的思想是利用聚类方法，将冗余波动进行平滑，这些冗余波动聚类后就被分到class1(代表第一类)，其余的主要波动模式则被分到其他类别。

通过映射、聚类和复原三个步骤可实现自主式水下航行器噪声滤除同时保留关键数据转折点。未经处理的航姿原始数据如图4(a)所示，经过Pro-DPCA处理后的航姿数据如图4(b)所示。

构建有向加权复杂网络：

原始的航向角时间序列优化后(即预处理后)用于构建有向加权复杂网络。

对于所述复原后的时间序列，将通过两个相邻点之间的距离以符号化形式来表示，定义H表示所述复原后的时间序列中两个相邻的点之间变化模式S_i为增大，M表示所述复原后的时间序列中两个相邻的点之间变化模式S_i为不变，L表示所述复原后的时间序列中两个相邻的点之间变化模式S_i为减小，即：

定义滑动窗口l，将所述滑动窗口内l个符号构成的短模式组作为所述复杂网络的节点，所述短模式组之间的转换构成所述复杂网络的连边，所述连边的权重ω为两个模式组之间的转化次数，构建有向加权复杂网络。

利用滑动窗口长度l将符号序列划分为不同模式，表1中为l＝3时复杂网络的波动模式。从表1中可以看出波动模式的变化由滑动窗口长度的取值决定，当l＝3时，得到波动模式{LML，MLH，LHH，HHH......}的序列，并对应于{LML→MLH→LHH→HHH→......·}的时间变化，以上转换的规律反映了自主式水下航行器的基本航行状态的变化，深度揭示航行状态变化规律可在此基础上构建定向加权网络。将波动模式定义为网络节点，节点变换定义为边(加权复杂网络拓扑结构如图5所示，l＝3)。每条边的权重与两种类型的波动模式的变换频率相对应。通过分析加权复杂网络中的拓扑统计，可以准确有效地挖掘自主式水下航行器波动模式的变换规律。

表1复杂网络的波动模式l＝3

确定滑动窗口长度：

自主式水下航行器在0.2米和4米水深作业，航行速度为1m/s时获得的航向数据如图6所示，其对应的预处理后的数据如图7所示，通过选择不同的滑动窗口(l取3,5,10)构建定向加权复杂网络如图8所示。

由图8可以得出，随着滑动窗口长度l的增加复杂网络的结构随之复杂。为了有效描述自主式水下航行器航行状态，通过定义节点强度来选取选择最优滑动窗口长度。节点强度是有向加权复杂网络中节点信息的综合指标，其关注与节点相邻的节点数以及节点连接的次数。

节点强度

式中，ns_i为节点i的强度，ω_ij为节点i和节点j之间的权重，N为节点i到节点j之间的节点集合；

具有较高强度的节点被称为关键节点，对自主式水下航行器航向状态的描述具有显著影响，在本实施例中，关键节点定位为节点强度最高的t个节点，t为正整数。

图9是基于图8中加权复杂网络计算秩r与节点强度值的分布曲线图。秩r表示按节点强度值排序的序列号。当滑动窗口长度l对应于3和5时，几个节点的强度值超过50或甚至70，关键节点可以明显观察到。当滑动窗口长度l增加到10时，网络呈现出均匀性，此时不易找到关键节点。选取可以明显观察到关键节点的滑动窗口长度，滑动窗口长度l＝3和l＝5适合于评估自主式水下航行器航行状态。

对有向加权复杂网络进行分析，确定水下航行器的航向：

通过网络拓扑统计量与社团划分的不同，反映出不同深度下，AUV航向角时间序列波动模式的区别，进而表征不同深度下AUV定航航行的状态差异。

1)拓扑统计：

在复杂网络中，关键节点决定AUV导航状态的重要波动模式，计算不同水深的节点强度及其关键节点的比例，结果如表2所示。

表2水深0.2米和4米的关键节点的比例

如表2所示，作业深度不同条件下复杂网络中最高强度的三个节点(t＝3)对应于节点MMM、HHH和LLL。在同一深度，HHH和LLL的比例几乎相等。当水深为0.2m时，HHH的比例为0.1，LLL的比例为0.09，在4m的深度条件下具有相同的情况。该结果表明当深度一定时，数据在一定范围内波动，且上升和下降的幅度几乎相同。说明AUV的实际航向也是在期望的航向附近波动。

相反，不同深度的相同关键节点强度比例的比较表明：在4米深度处节点HHH的比例约为0.2米处的节点HHH的3倍，且对于节点LLL存在相同情况。对于4米深度条件下，结果表明大规模重复波动约是在0.2米处的三倍，这与原始数据是一致的。这是因为方向舵在深水中比在靠近水面处受到更大的阻力。因此，AUV在4米深度实现期望的航向角难度较大且重复波动性强。

关键节点强度比例能够反映AUV航行状态的大规模重复波动，而节点之间的转换显示了波动过程的细节。即反映了在AUV航行中，占比较多的模式，举例说明：如节点HHH比例最高，那么反映了对应时间序列中上升的情况最多，也就意味着AUV航行中，航向角度升高的航行状态最多，但只凭着这一点不足以说明AUV的航行状态具体是怎样的，因为上升多，AUV的航行状态可能是上升、上升、下降、上升、保持、上升、下降，所以需要评估关键节点的自转变概率，来判断AUV是否是保持持续的一个状态，比如说是保持上升、上升、上升这种状态。具体而言，关键节点的自我变换反映了波动的稳定性。节点i和节点j之间的转换率为

当i＝j时，pr_ij表示节点i的自转换概率。表3显示了不同水深的关键节点的自转变概率。

表3不同深度的关键节点的自转变概率

如表3所示，所有关键节点的自转换概率都超过50％。结果表明由关键节点表示的模式表现出保持连续状态的高概率。与0.2米深度相比，节点HHH在4米深度处的自我变换显着增加，对于节点LLL也有相同的情况。说明在航向调整过程中，深水中航向变化的稳定性比靠近水面上的稳定性好。因为波浪对水面的影响比深水效果明显。关键节点的自转换概率揭示了相同模式之间的转换规律。不同模式之间的转换规律在复杂网络中通过最短路径来评估分析，最短路径是指连接任意两个节点所需的最小边数。对于加权复杂网络，使用改进的Dijkstra算法来计算最短路径。首先，基于平均权重对网络的每个权重进行归一化。随后，基于归一化权重的倒数，精确计算加权复杂网络的最短路径。最短路径

式中，l_ij为节点i到节点j的最短路径，ω_mn为节点m到n边的权重，N为节点i到节点j之间的节点集合，avg(ω_N)为权重平均值。

对于复杂网络系统，状态变化的频率由复杂网络的平均最短路径L反映，平均最短路径定义如下：

N为网络中的整个节点的数量。计算在不同水深的复杂网络的每个节点的最短路径l_ij。最短路径的最小值为1，在深度为0.2米时的最短路径最大值为19.3，在深度为4米时的最短路径最大值为39.6。因此，0.2米深度时的最短路径的平均值为6.32，4米深度时的最短路径的平均值为13.37。上述结果表明深水中的平均最短路径长于靠近水面的最短路径。原因是当AUV在水面上航行时，航向状态的变化比在深水中航行时更频繁。

举例说明，如果AUV的航行状态是上升、上升、下降、上升、保持、上升、下降；那么“上升到下降的距离就是1(因为上升紧接下降)”同理上升到保持的距离也是1(因为上升紧接着保持)，下降到保持就是2(因为下降，先到上升，再到保持)，这个就是最短路径的意义(此处只是方便理解，实际的定义更加复杂一些)，因此通过最短路径的分析，就可以知道AUV的航行状态变化的频繁程度。

2)社团划分：

社团划分是复杂网络研究的另一个重要部分。对社团结构的研究有助于理解网络功能、发现网络中的隐藏规律，甚至是预测网络的行为。通过AUV采集的水下实际数据构建复杂网络，在不同深度下，对复杂网络进行社团划分，通过社团划分的结果可以发现：相似的波动模式集中在同一个社团里，这表明类似的航行模式之间更容易相互转化换，形成社团。而一些关键节点则作为中介节点(在两个社团之间)，这些节点意味着航行模式即将发生变化。

选择滑动窗口长度为5的网络来分析社区结构。如图10所示，由0.2米深度的航向数据构成的复杂网络(如图10(a)所示)被划分为具有近似节点数的三个社团。社团1中的节点表示很少包含M的模式。另外，社团3中的节点表示很少包含H的模式。由深度为4米的航向数据构建的复杂网络(如图10(b)所示)分为两个社团。社团1中的节点表示没有M的模式。显然，社团1中的节点数量少于社团2中的节点数量。不同模式之间的转换规则如下：表示相似模式的节点通常被划分到同一个社团且它们更容易相互转化。连接不同社团的节点总是与关键节点对应，例如LLLLL(如图10(a)和(b)中的节点1)和HHHHH(如图10(a)中的节点50和图10(b)中的节点11)。基于以上属性可表明关键节点表现出具有连接不同关键节点的功能。这些可以用于描述自主式水下航行器航向状态的变化。当一个主航行状态的结束时表明自主式水下航行器将转换为另一种类型的航行状态。这种变化规则可以在一段时间内预测自主式水下航行器下一阶段的航行状态。

需要说明的是，当本申请实施例提及“第一”、“第二”等序数词时，除非根据上下文其确实表达顺序之意，否则应当理解为仅仅是起区分之用。术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的物品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者设备所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括所述要素的过程、方法、物品或者设备中还存在另外的相同要素。

以上所述仅是本申请的具体实施方式，使本领域技术人员能够理解或实现本申请。对这些实施例的多种修改对本领域的技术人员来说将是显而易见的，本发明中所定义的一般原理可以在不脱离本申请的精神或范围的情况下，在其它实施例中实现。因此，本申请将不会被限制于本发明所示的这些实施例，而是要符合与本发明所公开的原理和新颖特点相一致的最宽的范围。

应当理解的是，本申请并不局限于上面已经描述的内容，并且可以在不脱离其范围进行各种修改和改变。本申请的范围仅由所附的权利要求来限制。

Claims (3)

1.一种基于复杂网络构建的自主式水下航行器航行数据分析方法，其特征在于，包括如下步骤：对所述水下航行器采集到的航姿数据进行映射与密度峰值聚类结合的预处理；

构建有向加权复杂网络；

对所述有向加权复杂网络进行分析，以确定所述水下航行器的航向；

其中，所述航姿数据为航向角时间序列；

所述映射与密度峰值聚类结合的预处理包括：

映射：将长度为n的航向角时间序列{f₁,f₂,…,f_n}转化为若干个长度为3的第二时间序列{f_i-1,f_i,f_i+1}，n＞3，根据映射规则将所述第二时间序列映射到二维平面内；

聚类：基于密度峰值聚类算法对所述二维平面内的点进行聚类；

复原：根据复原函数重新将所述二维平面的点转化为时间序列；

所述构建有向加权复杂网络具体为：

对于复原后的时间序列，定义H表示复原后的时间序列中两个相邻的点之间变化模式S_i为增大，M表示复原后的时间序列中两个相邻的点之间变化模式S_i为不变，L表示复原后的时间序列中两个相邻的点之间变化模式S_i为减小，即：

定义滑动窗口l，将所述滑动窗口内l个符号构成的短模式组作为所述复杂网络的节点，所述短模式组之间的转换构成所述复杂网络的连边，所述连边的权重ω为两个模式组之间的转化次数，构建有向加权复杂网络；

在所述构建有向加权复杂网络之后，还包括：确定滑动窗口长度l，具体为：

定义节点强度：节点强度

式中，ns_i为节点i的强度，ω_ij为节点i和节点j之间的权重，N为节点i到节点j之间的节点集合；

选取节点强度最高的t个节点作为关键节点，t为正整数；

选取明显观察到所述关键节点的滑动窗口长度l。

2.根据权利要求1所述的数据分析方法，其特征在于，所述对所述有向加权复杂网络进行分析，确定所述水下航行器的航向，即：通过拓扑统计和/或社团划分对所述有向加权复杂网络进行分析，反映出航向角时间序列的波动模式，进而确定所述水下航行器的航向。

3.根据权利要求1所述的数据分析方法，其特征在于，通过拓扑统计对所述有向加权复杂网络进行分析，即：对关键节点强度比例，关键节点自转换概率以及平均最短路径进行综合分析，其中，所述关键节点强度比例反映了时间序列中的关键波动模式，是一个节点强度与整个复杂网络中所有节点强度之和的比例；

所述关键节点的自转换概率反映了相同模式之间的转换规律，其中，节点i和节点j之间的转换率为

当i＝j时，pr_ij表示节点i的自转换概率；

所述平均最短路径反映了不同模式之间的转换规律，其中，平均最短路径为：

式中，

l_ij为节点i到节点j的最短路径，ω_mn为节点m到n边的权重，N为节点i到节点j之间的节点集合，avg(ω_N)为权重平均值。

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