CN109708639B - 飞行器平飞跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及飞行器平飞时跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成方法，使飞行器的飞行路径逐渐趋向收敛到预先设定要经过的直线或圆弧路径，控制飞行器与预先设定的直线路径或/和圆弧路径的垂直距离越来越短，同时控制飞行器的飞行方向收敛到直线方向或/和圆弧切线方向上。本发明的方法，容易控制，而不要求飞行器在特定的时间飞过某一个点，从而能够很好的满足小型飞行器在巡航平飞时易受风等外界环境干扰的前提下，有效跟随预设路径的要求，为小型飞行器巡航平飞时完成预设任务提供了技术支持，提高系统的可靠性和准确性。

Description

飞行器平飞跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成方法

技术领域

本发明属于飞行器导航制导和控制的技术领域，具体涉及一种飞行器平飞时跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成方法。

背景技术

小型无人飞行器因体积小、造价成本低、地勤保障要求低，广泛应用与军事与民用领域，例如远程监视、侦查和打击等军事领域，以及航拍、植保、快递运输、灾难救援和测绘等民事领域，具有广阔的军用和民用前景。

随着小型无人飞行器使用用途的不断扩展，特别是无人飞行器自主化程度要求的不断提高，设计先进的导航、制导和控制方法是飞行器自主飞行的前提。小型飞行器的起飞、空中巡航和降落等飞行任务中，主要的飞行时间集中在空中巡航飞行。然而由于小型飞行器体积小、重量轻、飞行速度慢的特点，当环境中存在风干扰时，风的速度可能与飞行速度在同一量级，要使小型飞行器在风中灵活地按照预定航线飞行，传统的机器人控制领域中的轨迹跟踪方法很难应用，因为传统的轨迹跟踪算法中要求在确定的时间到达确定的地点，而这在由于环境风速未知变化而导致小型飞行器实际飞行速度极易变化的情况下难以精确实现。

小型飞行器在巡航平飞航线管理过程中，需要使飞行器经过设定的飞行路径点，这些一系列的路径点(位置和方向)连接在一起通常可以分解为一系列的直线路径和弧形路径的组合。因此针对小型飞行器在风干扰下巡航飞行的特殊使用环境，如何使飞行器经过设定的路径点，实现生成跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令方法是亟待研究解决的问题。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明改变传统的轨迹跟踪算法中要求在确定的时间到达确定的地点的做法，有效避免了由于环境风速未知变化而导致小型飞行器实际飞行速度容易变化的情况下难以精确实现的问题。

实现本发明目的所采用的技术方案具体如下：

飞行器平飞跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成方法，其特征在于使飞行器的飞行路径逐渐趋向收敛到预先设定要经过的直线或圆弧路径，控制飞行器与预先设定的直线路径或/和圆弧路径的垂直距离越来越短，同时控制飞行器的飞行方向收敛到直线方向或/和圆弧切线方向上。

进一步地，其具体步骤包括：

S1步骤、分别设计飞行器跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成算法；

S2步骤、设定飞行器的期望路径，根据具体飞行任务要求设定期望路径；

S3步骤、飞行器测量自身的飞行姿态、速度和地理位置，通过导航系统测量自身的飞行姿态、速度和地理位置三维坐标信息；

S4步骤、信息比对后实时生成期望指令航线角，将飞行器自身位置信息与期望路径比对，按S1步骤设计的跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成算法，实时生成期望指令航线角(飞行速度与正北方向的夹角，图1中的χ)，其中航线角为飞行器速度方向与正北方向的夹角；

S5步骤、导引飞行器到期望路径，通过生成的期望指令航线角导引飞行器到期望路径上，有效实现飞行器按期望路径跟随的目的。

更进一步地，所述S1步骤设计的跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成算法具体为一种航向指令的连续平滑矢量场方法，并通过李雅普诺夫稳定性定理证明算法的稳定性。

优选地，所述S2步骤的导航系统包括惯性传感器器件和卫星接收机。

具体地，所述航向指令的连续平滑矢量场方法及李雅普诺夫稳定性定理证明算法的稳定性具体方法步骤为：

飞行器相对地面惯性坐标系的姿态角信息通常由惯性传感器来测量，而三维世界位置和平移速度通常由卫星全球定位系统(GPS)来测量，当飞行器在执行巡航平飞跟踪航线路径任务时，飞行轨迹状态包括水平北—东平面坐标系的位置信息P(p_n,p_e)，飞行器的飞行速度在水平面的投影为地速V_g，定义飞行速度方向与正北方向的夹角为航线角χ，在水平北—东平面中飞行器的运动微分方程如下：

其中，

为飞行器正北位置状态的导数，

为飞行器正东位置状态的导数。

S11步骤、生成跟踪直线路径的侧向航线角指令策略

如图1所示，期望飞行器在平飞时跟踪一条直线航线L，直线路径与正北方向的夹角为χ_q，飞行器实际的航线角为χ(参见图1)，在路径坐标系中，定义在水平北—东平面中飞行器与直线航线相对水平误差表示为e_px，相对垂直距离误差表示为e_py(参见图1)，e_py也定义为飞行器距路径航线的侧偏距(参见图1)；

设计的生成跟踪直线路径的侧向航线角指令策略是生成跟踪直线路径的侧向航线角指令χ_d(t)，不断调节飞行航向，控制飞行器与设定的直线路径的垂直距离e_py越来越短，并且当接近指定直线路径时，同时控制飞行器的飞行方向χ收敛到直线方向χ_q上，垂直距离即侧偏距e_py的动态变化在路径坐标系中的转换方程表示为：

其中，

中表示垂直距离e_py的导数，星号“*”代表称号，后续公式中星号均代表乘号；

根据以上设计策略，构建航线角矢量场，使得当侧偏距e_py相当大时，飞行器会直接以预设期望的相对直线路径需用航向角χ_∞飞向直线路径，其中χ_∞是在0度到90度之间的设计参数值，即χ_∞∈(0,π/2)；当侧偏距e_py接近0时，相对直线路径需用航向为零度，此时飞行器实际的飞行航线角χ接近路径航线角χ_q，满足以上设计目标的相对直线路径需用航向角χ_d(e_py)为：

其中，设计参数k_path满足k_path＞0，是影响需用航向从χ_∞变化到0之间的过渡速率的正常数；当设计参数χ_∞被限制在(0,π/2)范围内时，对于所有的飞行侧偏距e_py，有：

综上所述，设计跟踪直线路径的侧向航线角指令χ_d(t)策略如下：

最后，通过李雅普诺夫Lyapunov稳定性定理来证明当飞行器按照公式(5)设计的航线角指令χ_d(t)飞行时，系统稳定收敛，飞行轨迹距直线路径的侧偏距e_py会逐渐趋向到0；选择李雅普诺夫函数V₁如下：

根据公式(2)，同时定义系统轨迹沿李雅普诺夫函数的导数

为：

由于函数arctan(x)是奇函数，而且在arctan(x)的值域

内，函数sin(x)也是奇函数，而且由于地速V_g＞0和参数χ_∞＞0，所以当侧偏距e_py不为0时，无论侧偏距e_py为正值或负值时，选定的李雅普诺夫函数及其导数都满足：

V₁＞0

根据李雅普诺夫稳定性定理，当李雅普诺夫函数正定大于零，李雅普诺夫函数的导数负定小于零时，系统稳定；公式(5)所设计航线角指令，会不断连续调节飞行航向，使得侧偏距e_py收敛到零，飞行航向不断接近指定直线路径航线，满足直线路径跟踪制导的需求；

S12步骤、生成跟踪圆弧路径的侧向航线角指令策略

如图2所示，设需要跟踪的平面圆弧路径是中心在C＝(p_nc,p_ec)^T点，半径为ρ，方向为λ_c∈{-1,1}的圆，圆的轨道为：

其中符号T表示转置符号，定义当λ_c＝-1时，路径是逆时针轨迹，当λ_c＝1时，路径是顺时针轨迹。

如图2所示，设d是飞行器相对圆轨道圆心C＝(p_nc,p_ec)^T的相对横向距离，

是飞行器相对圆轨道圆心C＝(p_nc,p_ec)^T的相对正北方向的相对航线相位角，在水平北—东平面中，飞行器相对圆轨道的法线和切线方向上的运动方程为：

其中，

代表飞行器与圆弧路径圆心相对横向距离的导数，

代表飞行器相对圆弧路径圆心与正北方向的相对航向角相位角的导数。

系统的极坐标描述的运动方程如下：

根据跟踪圆弧路径的要求，当飞行器位于圆轨道上时，针对顺时针轨道，飞行器的所需指令航线角为

针对逆时针轨道，飞行器的所需指令航线角为

所以飞行器位于圆轨迹上的所需指令航线角为

设计的圆弧路径跟踪制导策略的控制目标是生成跟踪圆弧路径的侧向航线角指令χ_C(d-ρ,λ)，不断调节飞行航向，控制飞行器相对圆心的相对距离d逐渐收敛趋向圆半径ρ，同时使飞行器的航线角χ收敛趋向到圆弧路径与正北方向的夹角χ_C0上。

根据以上设计制导策略，类似于直线路径的跟踪策略，构造航向矢量场，当飞行器距离圆轨道圆心C的距离很大时，飞行器应该朝向圆心C飞行，即当d＞＞ρ时，相对圆弧路径需用飞行航向为λ_cπ/2，即飞行方向指向圆心，理想的飞行航线角χ_c为：

当飞行器距离圆轨道圆心C的距离相等时，即d＝ρ时，相对圆弧路径需用飞行航向为0，理想的飞行航线角χ_c为：

综上所述，设计跟踪圆弧路径的侧向航线角指令χ_C(d-ρ,λ)策略如下：

其中，设计参数k_orbit满足k_orbit＞0，表示相对圆弧路径需用飞行航线从λ_cπ/2变化到0的速率；

与直线路径跟踪制导策略类似，通过李雅普诺夫Lyapunov稳定性定理来证明当飞行器按照公式(15)设计的航线角指令χ_C(d-ρ,λ)飞行时，系统稳定收敛，对于所有相对圆心距离d≥0的情况，都满足使飞行器飞行轨迹逐渐趋向指令圆弧路径；选择李雅普诺夫函数V₂如下：

根据公式(11)，定义系统轨迹沿李雅普诺夫函数的导数

为：

由于函数arctan(x)是奇函数，而且在arctan(x)的值域

内，函数sin(x)也是奇函数，并且设计参数k_orbit，地速V_g和圆轨迹半径ρ都大于零，系统沿选定航线角指令的轨迹时，选定的李雅普诺夫函数及其导数满足：

V₂＞0

根据李雅普诺夫稳定性定理，当李雅普诺夫函数正定大于零，李雅普诺夫函数的导数负定小于零时，系统稳定。

本发明针对小型飞行器在巡航平飞航线管理过程，设计跟踪预设航线路径的制导策略，本发明使飞行器的飞行路径逐渐趋向收敛到预先设定要经过的直线或圆弧路径，即控制飞行器与设定的直线路径或圆弧路径的垂直距离越来越短，同时控制飞行器的飞行方向收敛到直线方向或圆弧切线方向上，这样容易控制，而不要求飞行器在特定的时间飞过某一个点，从而能够很好的满足小型飞行器在巡航平飞时易受风等外界环境干扰的前提下，有效跟随预设路径的要求，为小型飞行器巡航平飞时完成预设任务提供了技术支持，提高系统的可靠性和准确性。

附图说明

图1为本发明(小型)飞行器、期望跟踪直线路径及水平北—东平面坐标系的关系图；

图2为本发明(小型)飞行器、期望跟踪圆弧路径及水平北—东平面坐标系的关系图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方案对本发明作进一步详细说明。以下实施例仅是说明性的，并不构成对本发明的限制。

本发明方法中涉及到的飞行器(机体)、期望跟踪直线和圆弧路径及水平北—东平面坐标系的关系图分别如图1和图2所示，飞行器平飞跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成方法，使飞行器的飞行路径逐渐趋向收敛到预先设定要经过的直线或圆弧路径，控制飞行器与预先设定的直线路径或/和圆弧路径的垂直距离越来越短，同时控制飞行器的飞行方向收敛到直线方向或/和圆弧切线方向上；

其具体步骤包括：

S1步骤、分别设计飞行器跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成算法，具体为一种航向指令的连续平滑矢量场方法，并通过李雅普诺夫稳定性定理证明算法的稳定性；

S2步骤、设定飞行器的期望路径，根据具体飞行任务要求设定期望路径；

S3步骤、飞行器测量自身的飞行姿态、速度和地理位置，通过导航系统测量自身的飞行姿态、速度和地理位置三维坐标信息；导航系统包括惯性传感器器件和卫星接收机；

S4步骤、信息比对实时生成期望指令航线角，将飞行器自身位置信息与期望路径比对，按S1步骤设计的跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成算法，实时生成期望指令航线角(飞行速度与正北方向的夹角，图1中的χ)，其中航线角为飞行器速度方向与正北方向的夹角；

所述航向指令的连续平滑矢量场方法及李雅普诺夫稳定性定理证明算法的稳定性具体步骤为：

飞行器相对地面惯性坐标系的姿态角信息通常由惯性传感器来测量，而三维世界位置和平移速度通常由卫星全球定位系统(GPS)来测量，当飞行器在执行巡航平飞跟踪航线路径任务时，飞行轨迹状态包括水平北—东平面坐标系的位置信息P(p_n,p_e)，飞行器的飞行速度在水平面的投影为地速V_g，定义飞行速度方向与正北方向的夹角为航线角χ，在水平北—东平面中飞行器的运动微分方程如下：

其中，

为飞行器正北位置状态的导数，

为飞行器正东位置状态的导数。

S11步骤、生成跟踪直线路径的侧向航线角指令策略

如图1所示，期望飞行器在平飞时跟踪一条直线航线L，直线路径与正北方向的夹角为χ_q，飞行器实际的航线角为χ(参见图1)，在路径坐标系中，定义在水平北—东平面中飞行器与直线航线相对水平误差表示为e_px，相对垂直距离误差表示为e_py(参见图1)，e_py也定义为飞行器距路径航线的侧偏距(参见图1)；

设计的生成跟踪直线路径的侧向航线角指令策略是生成跟踪直线路径的侧向航线角指令χ_d(t)，不断调节飞行航向，控制飞行器与设定的直线路径的垂直距离e_py越来越短，并且当接近指定直线路径时，同时控制飞行器的飞行方向χ收敛到直线方向χ_q上，垂直距离即侧偏距e_py的动态变化在路径坐标系中的转换方程表示为：

其中，

中表示垂直距离e_py的导数，星号“*”代表称号，后续公式中星号均代表乘号；

根据以上设计策略，构建航线角矢量场，使得当侧偏距e_py相当大时，飞行器会直接以预设期望的相对直线路径需用航向角χ_∞飞向直线路径，其中χ_∞是在0度到90度之间的设计参数值，即χ_∞∈(0,π/2)；当侧偏距e_py接近0时，相对直线路径需用航向为零度，此时飞行器实际的飞行航线角χ接近路径航线角χ_q(直线路径与正北方向的夹角)，满足以上设计目标的相对直线路径需用航向角χ_d(e_py)为：

其中，设计参数k_path满足k_path＞0，是影响需用航向从χ_∞变化到0之间的过渡速率的正常数；当设计参数χ_∞被限制在(0,π/2)范围内时，对于所有的飞行侧偏距e_py，有：

综上所述，设计跟踪直线路径的侧向航线角指令χ_d(t)策略如下：

最后，通过李雅普诺夫Lyapunov稳定性定理来证明当飞行器按照公式(5)设计的航线角指令χ_d(t)飞行时，系统稳定收敛，飞行轨迹距直线路径的侧偏距e_py会逐渐趋向到0；选择李雅普诺夫函数V₁如下：

根据公式(2)，同时定义系统轨迹沿李雅普诺夫函数的导数

为：

由于函数arctan(x)是奇函数，而且在arctan(x)的值域

内，函数sin(x)也是奇函数，而且由于地速V_g＞0和参数χ_∞＞0，所以当侧偏距e_py不为0时，无论侧偏距e_py为正值或负值时，选定的李雅普诺夫函数及其导数都满足：

V₁＞0

根据李雅普诺夫稳定性定理，当李雅普诺夫函数正定大于零，李雅普诺夫函数的导数负定小于零时，系统稳定；公式(5)所设计航线角指令，会不断连续调节飞行航向，使得侧偏距e_py收敛到零，飞行航向不断接近指定直线路径航线，满足直线路径跟踪制导的需求；

S12步骤、生成跟踪圆弧路径的侧向航线角指令策略

如图2所示，设需要跟踪的平面圆弧路径是中心在C＝(p_nc,p_ec)^T点，半径为ρ，方向为λ_c∈{-1,1}的圆，圆的轨道为：

其中符号T表示转置符号，定义当λ_c＝-1时，路径是逆时针轨迹，当λ_c＝1时，路径是顺时针轨迹。

如图2所示，设d是飞行器相对圆轨道圆心C＝(p_nc,p_ec)^T的相对横向距离，

是飞行器相对圆轨道圆心C＝(p_nc,p_ec)^T的相对正北方向的相对航线相位角，在水平北—东平面中，飞行器相对圆轨道的法线和切线方向上的运动方程为：

其中，

代表飞行器与圆弧路径圆心相对横向距离的导数，

代表飞行器相对圆弧路径圆心与正北方向的相对航向角相位角的导数。

系统的极坐标描述的运动方程如下：

根据跟踪圆弧路径的要求，当飞行器位于圆轨道上时，针对顺时针轨道，飞行器的所需指令航线角为

针对逆时针轨道，飞行器的所需指令航线角为

所以飞行器位于圆轨迹上的所需指令航线角为

设计的圆弧路径跟踪制导策略的控制目标是生成跟踪圆弧路径的侧向航线角指令χ_C(d-ρ,λ)，不断调节飞行航向，控制飞行器相对圆心的相对距离d逐渐收敛趋向圆半径ρ，即控制飞行器质心到圆周(圆半径ρ)上，同时使飞行器的航线角χ收敛趋向到圆弧路径与正北方向的夹角χ_C0(即圆弧(圆半径ρ)切线方向与正北向夹角)上。

根据以上设计制导策略，类似于直线路径的跟踪策略，构造航向矢量场，当飞行器距离圆轨道圆心C的距离很大时，飞行器应该朝向圆心C飞行，即当d＞＞ρ时，相对圆弧路径需用飞行航向为λ_cπ/2，即飞行方向指向圆心，理想的飞行航线角χ_c为：

当飞行器距离圆轨道圆心C的距离相等时，即d＝ρ时，相对圆弧路径需用飞行航向为0，理想的飞行航线角χ_c为：

综上所述，设计跟踪圆弧路径的侧向航线角指令χ_C(d-ρ,λ)策略如下：

其中，设计参数k_orbit满足k_orbit＞0，表示相对圆弧路径需用飞行航线从λ_cπ/2变化到0的速率；

与直线路径跟踪制导策略类似，通过李雅普诺夫Lyapunov稳定性定理来证明当飞行器按照公式(15)设计的航线角指令χ_C(d-ρ,λ)飞行时，系统稳定收敛，对于所有相对圆心距离d≥0的情况，都满足使飞行器飞行轨迹逐渐趋向指令圆弧路径；选择李雅普诺夫函数V₂如下：

根据公式(11)，定义系统轨迹沿李雅普诺夫函数的导数

为：

由于函数arctan(x)是奇函数，而且在arctan(x)的值域

内，函数sin(x)也是奇函数，并且设计参数k_orbit，地速V_g和圆轨迹半径ρ都大于零，系统沿选定航线角指令的轨迹时，选定的李雅普诺夫函数及其导数满足：

V₂＞0

根据李雅普诺夫稳定性定理，当李雅普诺夫函数正定大于零，李雅普诺夫函数的导数负定小于零时，系统稳定；

S5步骤、导引飞行器到期望路径：通过生成的期望指令航线角导引飞行器到期望路径上，有效实现飞行器按期望路径跟随的目的。即公式(15)所设计航线角指令，会不断连续调节飞行航向，使得飞行器相对圆弧圆心的距离收敛到圆弧半径，飞行器飞行轨迹逐渐趋向指令圆弧路径，满足圆弧路径跟踪制导的需求。

Claims (1)

1.飞行器平飞跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成方法，其特征在于使飞行器的飞行路径逐渐趋向收敛到预先设定要经过的直线或圆弧路径，控制飞行器与预先设定的直线路径或/和圆弧路径的垂直距离越来越短，同时控制飞行器的飞行方向收敛到直线方向或/和圆弧切线方向上；

具体步骤包括：

S1步骤、分别设计飞行器跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成算法；

S2步骤、设定飞行器的期望路径，根据具体飞行任务要求设定期望路径；

S3步骤、飞行器测量自身的飞行姿态、速度和地理位置，通过导航系统测量自身的飞行姿态、速度和地理位置三维坐标信息；

S4步骤、信息比对后实时生成期望指令航线角，将飞行器自身位置信息与期望路径比对，按S1步骤设计的跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成算法，实时生成期望指令航线角，其中航线角为飞行器速度方向与正北方向的夹角；

S5步骤、导引飞行器到期望路径，通过生成的期望指令航线角导引飞行器到期望路径上，有效实现飞行器按期望路径跟随的目的；

所述S1步骤设计的跟踪直线和圆弧路径的侧向制导指令生成算法具体为一种航向指令的连续平滑矢量场方法，并通过李雅普诺夫稳定性定理证明算法的稳定性；

所述S3步骤的导航系统包括惯性传感器器件和卫星接收机；

所述S1步骤的航向指令的连续平滑矢量场方法及李雅普诺夫稳定性定理证明算法的稳定性具体方法步骤为：

飞行器相对地面惯性坐标系的姿态角信息由惯性传感器测量，而三维世界位置和平移速度由卫星全球定位系统GPS测量，当飞行器在执行巡航平飞跟踪航线路径任务时，飞行轨迹状态包括水平北—东平面坐标系的位置信息P(p_n,p_e)，飞行器的飞行速度在水平面的投影为地速V_g，定义飞行速度方向与正北方向的夹角为航线角χ，在水平北—东平面中飞行器的运动微分方程如下：

其中，

为飞行器正北位置状态的导数，

为飞行器正东位置状态的导数；

S11步骤、生成跟踪直线路径的侧向航线角指令策略

期望飞行器在平飞时跟踪一条直线航线L，直线路径与正北方向的夹角为χ_q，飞行器实际的航线角为χ，在路径坐标系中，定义在水平北—东平面中飞行器与直线航线相对水平误差表示为e_px，相对垂直距离误差表示为e_py，e_py也定义为飞行器距路径航线的侧偏距；

设计的生成跟踪直线路径的侧向航线角指令策略是生成跟踪直线路径的侧向航线角指令χ_d(t)，不断调节飞行航向，控制飞行器与设定的直线路径的垂直距离e_py越来越短，并且当接近指定直线路径时，同时控制飞行器的飞行方向χ收敛到直线方向χ_q上，垂直距离即侧偏距e_py的动态变化在路径坐标系中的转换方程表示为：

其中，

中表示垂直距离e_py的导数，星号“*”代表乘号，后续公式中星号均代表乘号；

根据以上设计策略，构建航线角矢量场，使得当侧偏距e_py相当大时，飞行器会直接以预设期望的相对直线路径需用航向角χ_∞飞向直线路径，其中χ_∞是在0度到90度之间的设计参数值，即χ_∞∈(0,π/2)；当侧偏距e_py接近0时，相对直线路径需用航向为零度，此时飞行器实际的飞行航线角χ接近路径航线角χ_q，满足以上设计目标的相对直线路径需用航向角χ_d(e_py)为：

其中，设计参数k_path满足k_path＞0，是影响需用航向从χ_∞变化到0之间的过渡速率的正常数；当设计参数χ_∞被限制在(0,π/2)范围内时，对于所有的飞行侧偏距e_py，有：

综上所述，设计跟踪直线路径的侧向航线角指令χ_d(t)策略如下：

最后，通过李雅普诺夫Lyapunov稳定性定理来证明当飞行器按照公式(5)设计的航线角指令χ_d(t)飞行时，系统稳定收敛，飞行轨迹距直线路径的侧偏距e_py会逐渐趋向到0；选择李雅普诺夫函数V₁如下：

根据公式(2)，同时定义系统轨迹沿李雅普诺夫函数的导数

为：

由于函数arctan(x)是奇函数，而且在arctan(x)的值域

内，函数sin(x)也是奇函数，而且由于地速V_g＞0和参数χ_∞＞0，所以当侧偏距e_py不为0时，无论侧偏距e_py为正值或负值时，选定的李雅普诺夫函数及其导数都满足：

根据李雅普诺夫稳定性定理，当李雅普诺夫函数正定大于零，李雅普诺夫函数的导数负定小于零时，系统稳定；公式(5)所设计航线角指令，会不断连续调节飞行航向，使得侧偏距e_py收敛到零，飞行航向不断接近指定直线路径航线，满足直线路径跟踪制导的需求；

S12步骤、生成跟踪圆弧路径的侧向航线角指令策略

设需要跟踪的平面圆弧路径是中心在C＝(p_nc,p_ec)^T点，半径为ρ，方向为λ_c∈{-1,1}的圆，圆的轨道为：

其中符号T表示转置符号，定义当λ_c＝-1时，路径是逆时针轨迹，当λ_c＝1时，路径是顺时针轨迹；

设d是飞行器相对圆轨道圆心C＝(p_nc,p_ec)^T的相对横向距离，

是飞行器相对圆轨道圆心C＝(p_nc,p_ec)^T的相对正北方向的相对航线相位角，在水平北—东平面中，飞行器相对圆轨道的法线和切线方向上的运动方程为：

其中，

代表飞行器与圆弧路径圆心相对横向距离的导数，

代表飞行器相对圆弧路径圆心与正北方向的相对航向角相位角的导数；

系统的极坐标描述的运动方程如下：

根据跟踪圆弧路径的要求，当飞行器位于圆轨道上时，针对顺时针轨道，飞行器的所需指令航线角为

针对逆时针轨道，飞行器的所需指令航线角为

所以飞行器位于圆轨迹上的所需指令航线角为

设计的圆弧路径跟踪制导策略的控制目标是生成跟踪圆弧路径的侧向航线角指令χ_C(d-ρ,λ)，不断调节飞行航向，控制飞行器相对圆心的相对距离d逐渐收敛趋向圆半径ρ，同时使飞行器的航线角χ收敛趋向到圆弧路径与正北方向的夹角χ_C0上；

根据以上设计制导策略，类似于直线路径的跟踪策略，构造航向矢量场，当飞行器距离圆轨道圆心C的距离很大时，飞行器应该朝向圆心C飞行，即当d＞＞ρ时，相对圆弧路径需用飞行航向为λ_cπ/2，即飞行方向指向圆心，理想的飞行航线角χ_c为：

当飞行器距离圆轨道圆心C的距离相等时，即d＝ρ时，相对圆弧路径需用飞行航向为0，理想的飞行航线角χ_c为：

综上所述，设计跟踪圆弧路径的侧向航线角指令χ_C(d-ρ,λ)策略如下：

其中，设计参数k_orbit满足k_orbit＞0，表示相对圆弧路径需用飞行航线从λ_cπ/2变化到0的速率；

与直线路径跟踪制导策略类似，通过李雅普诺夫Lyapunov稳定性定理来证明当飞行器按照公式(15)设计的航线角指令χ_C(d-ρ,λ)飞行时，系统稳定收敛，对于所有相对圆心距离d≥0的情况，都满足使飞行器飞行轨迹逐渐趋向指令圆弧路径；选择李雅普诺夫函数V₂如下：

根据公式(11)，定义系统轨迹沿李雅普诺夫函数的导数

为：

由于函数arctan(x)是奇函数，而且在arctan(x)的值域

内，函数sin(x)也是奇函数，并且设计参数k_orbit，地速V_g和圆轨迹半径ρ都大于零，系统沿选定航线角指令的轨迹时，选定的李雅普诺夫函数及其导数满足：

根据李雅普诺夫稳定性定理，当李雅普诺夫函数正定大于零，李雅普诺夫函数的导数负定小于零时，系统稳定。

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