CN109644006B - 编码数据和解码数据的装置及方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及编码数据和解码数据的装置和方法。例如，本发明涉及一种将维度为k的数据x编码成长度为n的码字c的编码装置(102)，其中，所述编码装置(102)包括处理器(102a)，被配置为基于等式c＝uA，使用C(n，k，d)码编码所述数据x，其中，所述码C(n，k，d)具有长度n和最小距离d，其中，
Figure DDA0001931142030000011
其中，mh是整数，h＝1，...，s，其中，如果
Figure DDA0001931142030000019
则
Figure DDA0001931142030000012
0≤ji＜k‑1，其中，F是所述码C(n，k，d)的n‑k个冻结位索引的集合，并且如果i∈F，则
Figure DDA0001931142030000013
其中，
Figure DDA00019311420300000110
是由等式
Figure DDA0001931142030000014
的解得出的约束矩阵，其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的所述矩阵
Figure DDA0001931142030000015
的行的索引，并且其中，
Figure DDA0001931142030000016
是预编码矩阵，并且其中A是基于
Figure DDA0001931142030000017
限定的矩阵，并且其中，
Figure DDA0001931142030000018
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积(Kronecker product)。

Description

编码数据和解码数据的装置及方法
技术领域
通常，本发明涉及在通信系统中的数据编码和解码。更具体地，本发明涉及用于使用基于极化码或者子码的码来编码数据和解码数据的装置和方法。
背景技术
在嘈杂的通信信道上可靠地传输数据通常需要使用某种纠错码。示出极化码以实现许多信道的香农容量(Shannon capacity)(参见E.Arikan，“信道极化：构造用于对称二进制输入无记忆信道的容量实现码的方法(Channel polarization：A method forconstructing capacity achieving codes for symmetric binary-input memorylesschannels)”，IEEE信息理论汇刊(IEEE Trans.on Inf.Theory)，第55卷，第7期，第3051-3073页，2009年7月)。然而，具有实际参数的极化码的性能通常不令人满意。
出现了极化子码(参见P.Trifonov和V.Miloslavskaya，“极化子码(Polarsubcodes)”，IEEE通信领域期刊(IEEE Journal on Selected Areas inCommunications)，34(2)：254-266，2016年2月)，其具有比传统极化码更高的最小距离，并且在列表、顺序以及分块顺序解码下提供了实质上更好的性能(参见I.Tal和A.Vardy，“极化码的列表解码(List decoding ofpolar codes)”，IEEE信息论国际讨论会会议录(Proc.IEEEInt.Symp.Inf.Theory)，2011年7月，第1-5页以及V.Miloslavskaya和P.Trifonov，“极化码的顺序解码(Sequential decoding of polar codes)”，IEEE通信快报(IEEE Commun.Lett.)，第18卷，第7期，第1127-1130页，2014年7月)。然而，极化子码的性能还是可以被提高。
通常，在GF(2)上的一个(n＝2m，k)的极化子码C可以被限定为矢量c＝xWAm的集合，其中，W表示k×n预编码矩阵，
Figure GDA0001931142090000011
表示极化转换，以及
Figure GDA0001931142090000012
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积(Kronecker product)。可以通过采用使得W的每个列具有至多为1的权重，每一行权重为1的矩阵W来得到传统极性码。可以通过采用使得矢量c也是具有足够高的最小距离的一些母码的码字的W来得到极化子码，例如，HT＝0，其中，H是母码的校验矩阵。例如，实践证明，扩展的博斯-查德胡里-霍坤格姆(Bose-Chaudhuri-Hocquenghem，BCH)码可以是良好的母码。
定义极化子码的另一种等效方法是将其视为矢量c＝uA的集合，其中，uVT＝0，并且其中，V是(n-k)×n约束矩阵，使得WVT＝0。通过高斯消去法，可以以在每列中至多一行结束的方式来构造矩阵V。然后，可以通过得到极化转换Am的输入符号ui上的如下约束集合：
Figure GDA0001931142090000013
其中，ji是在V的第i行中最后一个非零项的位置。也可以将符号ji表示成动态冻结符号。这些动态冻结符号可以被认为是在传统极化码的构造中使用的(静态)冻结符号概念的泛化。用以构造极化子码的标准方式是构造矩阵V＝HAT，其中，H是母码的校验矩阵，并且随后引入用于具有最高错误概率
Figure GDA0001931142090000015
的符号的附加约束
Figure GDA0001931142090000014
(静态冻结约束)，其中，Pi表示通过极化转换Am引入的合成比特子信道中的比特错误概率，其中，转移概率函数可以描述如下：
Figure GDA0001931142090000021
其中，W(y|c)是底层二进制输入无记忆输出对称信道的转移概率函数，并且
Figure GDA0001931142090000022
Figure GDA0001931142090000023
描述极化子码的另一种方法是定义冻结位索引ji的集合F，使得
Figure GDA0001931142090000024
固定在前面的符号上或者独立于前面的符号，并且考虑母码的生成矩阵G。然后，可以计算矩阵
Figure GDA0001931142090000025
并且可以将高斯消去法应用于这个矩阵，以便确保不同行(例如，具有第一非零项)在不同列中开始，并且所述行具有最高
Figure GDA0001931142090000026
其中，si是在第i行开始处的位置并且可以从得到的矩阵消除。
所有以上描述的方法提供了长度为2m的码。然而，对于实际的应用，具有任何码长度的构造是合乎需要的。
为了得到具有不同于2m的长度的码，可以采用多种技术，例如，所谓的缩短(shortening)和收缩(puncturing)技术。根据缩短技术，给定一个C(N，K，D)线性分组码，可以从作为矢量
Figure GDA0001931142090000027
(c1，...，cN)∈C的集合的码C来得到一个(n＝N-v，k＝K-v，d≥D)缩短码，
Figure GDA0001931142090000028
jt∈S，1≤t≤v，
Figure GDA0001931142090000029
1≤s≤n，其中，S表示缩短符号的集合。根据收缩技术，给定一个C(N，K，D)线性分组码C，可以从作为矢量
Figure GDA00019311420900000210
(c1，...，cN)∈C的集合的码C来得到一个(n＝N-v，k≤K，d≥D-v)收缩码，
Figure GDA00019311420900000211
1≤t≤n，其中，P表示收缩符号的集合。通常，需要对收缩符号的集合P和缩短符号的集合S进行优化，以便获得令人满意的码性能，并且集合P和S的选择影响集合F的最优选择。由于集合F、P以及S必须联合优化，因此码的构造变得非常复杂。而且，严重缩短的或者收缩的码并不具有令人满意的性能。
得到不同长度的码的另一种方式是使用级联(concatenation)技术。这样的技术的示例是通过N.J.A.Sloane等在“新二进制编码(New binary codes)”(IEEE信息论会刊(IEEETrans.On Inform.Theory)，第IT-18卷，第503-510页，1972年7月)的著作中描述的所谓X4构造给出。这种构造基于线性码C0(n0，k0，d0)，C1(n0，k1，d1)，C2(n2，k2，d2)，C3(n2，k3，d3)，使得
Figure GDA00019311420900000212
k1-k0＝k3-k2，并且可以假设Ci具有生成矩阵Gi，其中，
Figure GDA00019311420900000213
Figure GDA00019311420900000214
在这样的方式中，可以得到通过如下等式给定的具有生成矩阵G的一个(n0+n2，k0+k3，min(d0，d2，d1+d3))码：
Figure GDA00019311420900000215
级联技术的另一个示例是通过W.Alltop在“扩展二进制线性码的方法(A Methodfor Extending Binary Linear Codes)”(IEEE信息论会刊(IEEE Transactions)，30(6)，1984年11月)的著作中描述的所谓XX构造给出，其基于Ci(ni，ki，di)，i＝1，...，6码，其中，C1＝C2+C3，C4＝C2∩C3，例如，
Figure GDA00019311420900000216
k5＝k2-k4，k6＝k3-k4。通过这些码，可以得到通过如下等式给定的具有生成矩阵G的一个(n1+n5+n6，k1，min(d4，d2+d5，d3+d6，d1+d5+d6))码：
Figure GDA0001931142090000031
但是，仍然明显可以改进通过级联技术的方式得到的码的性能。
因此，需要使用基于极化码或子码的码对编码数据和解码数据的装置和方法进行改进。
发明内容
本发明的一个目的是提供使用基于极化码或者子码以及指定的这些码的码来编码数据和解码数据的改进的装置和方法。
根据本发明的第一方面，涉及一种将维度为k的数据x编码成长度为n的码字c的编码装置。所述编码装置包括处理器，被配置为基于如下等式使用C(n，k，d)码编码所述数据x，其中，所述码C(n，k，d)具有长度n和最小距离d，其中，
Figure GDA0001931142090000032
其中，mh是整数，h＝1，...，s：
c＝uA，
其中，如果
Figure GDA0001931142090000033
则
Figure GDA0001931142090000034
其中，F是所述码C(n，k，d)的n-k个冻结位索引(frozen bit indices)的集合，并且如果i∈F，则
Figure GDA0001931142090000035
其中，
Figure GDA0001931142090000036
是由如下等式的解得出的约束矩阵：
Figure GDA0001931142090000037
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的所述矩阵
Figure GDA0001931142090000038
的行的索引，其中，
Figure GDA0001931142090000039
是预编码矩阵，并且其中，以如下方式限定A：
Figure GDA00019311420900000310
其中，
Figure GDA00019311420900000311
并且其中，
Figure GDA00019311420900000312
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积。
根据所述第一方面本身，在所述编码装置的第一种可能的实现形式中，所述处理器还被配置为基于多个嵌套线性分组码
Figure GDA00019311420900000313
来构造所述码C(n，k，d)，Ki，j+1＞Ki，j，0≤j＜τi，其中，τi是正整数，其中，
Figure GDA00019311420900000314
的生成矩阵(generator matrix)通过如下等式来给定：
Figure GDA00019311420900000315
其中，G(i，j)是
Figure GDA00019311420900000316
矩阵，
Figure GDA00019311420900000317
其中，G(i，j)的预编码矩阵通过
Figure GDA00019311420900000318
来限定，其中，
Figure GDA00019311420900000319
的预编码矩阵通过
Figure GDA00019311420900000320
来限定，其中，通过等式
Figure GDA00019311420900000321
来限定矩阵
Figure GDA00019311420900000322
的第p行的开始处的列的索引li，p，
Figure GDA0001931142090000041
并且用来将所述预编码矩阵
Figure GDA0001931142090000042
构造为分块矩阵，其中，所述预编码矩阵
Figure GDA0001931142090000043
的分块矩阵由所选择的所述矩阵
Figure GDA0001931142090000044
的行组成。
根据所述第一方面的第一种实现形式，在所述编码装置的第二种可能的实现形式中，所述多个嵌套线性分组码
Figure GDA0001931142090000045
是扩展博斯-查德胡里-霍坤格姆(extendedBose-Chaudhuri-Hocquenghem，e-BCH)码。
根据所述第一方面本身或者所述第一方面的第一至第二种实现形式中的任何一种，在所述编码装置的第三种可能的实现形式中，所述处理器还被配置为以如下方式来构造所述码C(n，k，d)的预编码矩阵
Figure GDA0001931142090000046
Figure GDA0001931142090000047
其中，
Figure GDA0001931142090000048
是至少具有最小距离d的长度为
Figure GDA0001931142090000049
的最大e-BCH码的索引，并且其中，
Figure GDA00019311420900000410
是基于所述矩阵
Figure GDA00019311420900000411
限定的矩阵。
根据所述第一方面的第一至第三种实现形式中的任何一种，在所述编码装置的第四种可能的实现形式中，所述处理器还被配置为通过具有
Figure GDA00019311420900000412
的最小值的所述矩阵
Figure GDA00019311420900000413
的行来构造所述矩阵
Figure GDA00019311420900000414
其中，Pm，i是在比特子信道
Figure GDA00019311420900000415
中的错误概率，其中，
Figure GDA00019311420900000416
表示在通过通信信道的传输后的所述码字c的2m-1个嘈杂符号(noisy symbol)。
根据所述第一方面本身或者所述第一方面的第一至第四种实现形式中的任何一种，在所述编码装置的第五种可能的实现形式中，所述处理器还被配置为以这样的方式构造所述矩阵
Figure GDA00019311420900000417
的第一多个t行，使得在所述第一多个t行中的所述最后的非零元素位于不同位置j，对于某整数j0，j≥j0，其中，整数j的二进制扩展中的非零位的数目被设置为等于w0，通过伪随机数发生器来构造在具有索引z＜j的列中定位的所述第一多个t行的元素，并且将矩阵
Figure GDA00019311420900000418
的第二多个n-k-t行构造为不同的权重为一的行。
根据所述第一方面的第五种实现形式，在所述编码装置的第六种可能的实现形式中，所述伪随机数发生器是线性反馈移位寄存器。
根据所述第一方面的第一至第六种实现形式中的任何一种，在所述编码装置的第七种可能的实现形式中，所述处理器还被配置为分别以所述值li，p和lj，p的递增次序排列所述矩阵
Figure GDA00019311420900000419
或
Figure GDA00019311420900000420
的所述行。
根据所述第一方面的所述第一至第七实现形式的任何一种，在所述编码装置的第八种可能的实现形式中，所述处理器被配置为基于具有所述li，p的最小值的所述矩阵
Figure GDA00019311420900000421
的k行来构造所述矩阵
Figure GDA00019311420900000422
根据本发明的第二方面，涉及一种将维度为k的数据x编码成长度为n的码字c的方法。所述方法包括如下步骤：
基于如下等式使用C(n，k，d)码编码所述数据x，其中，所述码C(n，k，d)具有长度n和最小距离d，其中，
Figure GDA0001931142090000051
其中，mh是整数，h＝1，...，s：
c＝uA，
其中，如果
Figure GDA0001931142090000052
则
Figure GDA0001931142090000053
其中，F是所述码C(n，k，d)的n-k个冻结位索引的集合，并且如果i∈F，则
Figure GDA0001931142090000054
其中，
Figure GDA0001931142090000055
是由如下等式的解得出的约束矩阵：
Figure GDA0001931142090000056
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的所述矩阵
Figure GDA0001931142090000057
的行的索引，其中，
Figure GDA0001931142090000058
是预编码矩阵，并且其中，以如下方式限定A：
Figure GDA0001931142090000059
其中，
Figure GDA00019311420900000510
并且其中，
Figure GDA00019311420900000511
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积。
可以通过根据本发明的第一方面的所述编码装置执行根据本发明的第二方面的方法。从根据本发明的第一方面及其不同的实现形式的所述编码装置的功能直接导出根据本发明的第二方面的方法的其他特征。
根据本发明的第三方面，涉及一种解码长度为n的码字c的解码装置。所述解码装置包括：处理器，被配置为使用C(n，k，d)码解码所述码字c，其中，所述码C(n，k，d)具有长度n和最小距离d，其中，
Figure GDA00019311420900000512
其中，mh是整数，h＝1，...，s，其中：
c＝uA，
其中，如果
Figure GDA00019311420900000513
则
Figure GDA00019311420900000514
其中，x是维度为k的数据，其中，F是所述码C(n，k，d)的n-k个冻结位索引的集合，并且如果i∈F，则
Figure GDA00019311420900000515
其中，
Figure GDA00019311420900000516
是由如下等式的解得出的约束矩阵：
Figure GDA00019311420900000517
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的矩阵
Figure GDA00019311420900000518
的行的索引，其中，
Figure GDA00019311420900000519
是预编码矩阵，并且其中，以如下方式限定A：
Figure GDA00019311420900000520
其中，
Figure GDA00019311420900000521
并且其中，
Figure GDA00019311420900000522
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积。
根据所述第三方面本身，在所述解码装置的第一种可能的实现形式中，所述处理器还被配置为通过泛化的连续消除算法来解码所述码字c。
根据所述第三方面的所述第一种实现形式，在所述解码装置的第二种可能的实现形式中，所述处理器还被配置为通过如下等式来计算u：
Figure GDA0001931142090000061
以及
Figure GDA0001931142090000062
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的矩阵
Figure GDA0001931142090000063
的行的索引，
Figure GDA0001931142090000064
表示通过通信信道传输至所述解码装置后的所述码字c的n个嘈杂符号，
Figure GDA0001931142090000065
并目
Figure GDA0001931142090000066
根据所述第三方面的第二种实现形式，在所述解码装置的第三种可能的实现形式中，所述处理器还被配置为如果
Figure GDA0001931142090000067
并且i1＜i2，则在计算
Figure GDA0001931142090000068
之前计算
Figure GDA0001931142090000069
并且如果i∈F，则在计算
Figure GDA00019311420900000610
之前计算
Figure GDA00019311420900000611
根据第四方面，本发明涉及一种解码长度为n的码字c的方法，其中，所述方法包括如下步骤：
使用C(n，k，d)码解码所述码字c，其中，所述码C(n，k，d)具有长度n和最小距离d，其中，
Figure GDA00019311420900000612
其中，mh是整数，h＝1，...，s，其中：
c＝uA，
其中，如果
Figure GDA00019311420900000613
则
Figure GDA00019311420900000614
其中，x是维度为k的数据，其中，F是所述码C(n，k，d)的n-k个冻结位索引的集合，并且如果i∈F，则
Figure GDA00019311420900000615
其中，
Figure GDA00019311420900000616
是由如下等式的解得出的约束矩阵：
Figure GDA00019311420900000617
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的矩阵
Figure GDA00019311420900000618
的行的索引，其中，
Figure GDA00019311420900000619
是预编码矩阵，并且其中，以如下方式限定A：
Figure GDA00019311420900000620
其中，
Figure GDA00019311420900000621
并且其中，
Figure GDA00019311420900000622
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积。
可以通过根据本发明的第三方面的所述解码装置执行根据本发明的第四方面的方法。从根据本发明的第三方面及其不同的实现形式的所述解码装置的功能直接导出根据本发明的第四方面的方法的其他特征。
根据第五方面，本发明涉及一种计算机程序，包括程序代码用于当在计算机上运行时执行根据本发明第二方面所述的方法和根据本发明第四方面所述的方法。
本发明可以在硬件和/或软件中实现。
附图说明
将对应如下附图来描述本发明的其他实施例，其中：
图1示出了描述包括根据一实施例的编码装置和根据一实施例的解码装置的通信系统的示意图；
图1a示出了根据一实施例的用于构造码的扩展BHC码的四个示例性生成矩阵；
图1b示出了根据一实施例的用于构造码的扩展BHC码的三个示例性生成矩阵；
图1c示出了根据一实施例的用于构造码的扩展BHC码的四个示例性预编码矩阵；
图1d示出了根据一实施例的用于构造码的扩展BHC码的三个示例性预编码矩阵；
图1e示出了根据一实施例的用于构造码的扩展BHC码的一个示例性预编码矩阵；
图1f示出了根据一实施例的码的一个示例性预编码矩阵；
图1g示出了根据一实施例的码的一个示例性预编码矩阵；
图2示出了根据一实施例的基于链式极化子码的码的编码装置的结构的示意图；
图3示出了根据一实施例的作为以dB为单位的信噪比(signal-to-noise ratio，Eb/V0)的函数的不同码的误帧率(frame error rates，FER)；
图4示出了根据一实施例的作为以dB为单位的信噪比(Eb/N0)的函数的不同码的误帧率(FER)；
图5示出了根据一实施例的将维度为k的数据x编码成长度为n的码字c的方法的示意图；
图6示出了根据一实施例的解码长度为n的码字c的方法的示意图；
在附图中，相同参数标记将用于相同或功能性等同的特征。
具体实施方式
在下面的描述中，参考形成本公开的一部分的附图，并且其中通过说明的方式示出可以放置本发明的特定方面。能够理解，本发明可以放在其他方面，并且可以在不脱离本发明的范围的情况下进行结构上或逻辑上的改变。因此，由于本发明的范围由所附权利要求限定，因此以下详细描述不应被视为具有限制意义。
举例来说，能够理解，结合所描述的方法的本公开通常也将适用于被配置为执行该方法的相应设备或系统，反之亦然。例如，如果描述了特定的方法步骤，则相应的设备可以包括执行所描述的方法步骤的单元，即使这些单元未在附图中明确描述或示出。
而且，在下面的详细描述以及权利要求书中，描述了具有功能块或处理单元的实施例，其相互连接或与交换信号相连接。能够理解，本发明还涵盖包括设置在下面描述的实施例的功能块或处理单元之间的附加功能块或处理单元的实施例。
最后，能够明白，除非另外特别指出，否则本文描述的各个示例性方面的特征可以彼此组合。
图1示出了描述包括可以经由通信信道110进行通信的编码装置102和解码装置104的通信系统100的示意图。
编码装置102包括处理器102a并且被配置为编码数据。类似地，解码装置104包括处理器104a并且被配置为解码数据，更具体地，解码装置104解码由编码装置102编码的数据。编码装置102和/或解码装置104可以被实现为通信设备(诸如蜂窝通信网络的移动电话或基站)的一部分。
在一个实施例中，处理器102a被配置为基于如下等式使用C(n，k，d)码将维度为k的数据x编码成长度为n的码字c，其中，码c(n，k，d)具有长度n和最小距离d，其中，
Figure GDA0001931142090000071
其中，mh＞mh+1，h＝1，...，s是整数：
c＝uA，
其中，如果
Figure GDA0001931142090000081
则
Figure GDA0001931142090000082
其中，F是码C(n，k，d)的n-k个冻结位索引的集合，并且如果i∈F，则
Figure GDA0001931142090000083
其中，
Figure GDA0001931142090000084
是约束矩阵。
由如下等式的解得出约束矩阵
Figure GDA0001931142090000085
Figure GDA0001931142090000086
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的矩阵
Figure GDA0001931142090000087
的行的索引，其中，
Figure GDA0001931142090000088
是预编码矩阵，并且其中，以如下方式限定A：
Figure GDA0001931142090000089
其中，
Figure GDA00019311420900000810
并且其中，
Figure GDA00019311420900000811
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积。
在一个实施例中，类似于处理器102a，解码装置104的处理器104a被配置为使用C(n，k，d)码来对码字c进行解码，其中，码C(n，k，d)具有长度n和最小距离d，其中，
Figure GDA00019311420900000812
其中，mh是整数，h＝1，...，s，其中：
c＝uA，
其中，如果
Figure GDA00019311420900000813
则
Figure GDA00019311420900000814
其中，x是维度为k的数据，其中，F是码C(n，k，d)的n-k个冻结位索引的集合，并且如果i∈F，则
Figure GDA00019311420900000815
其中，
Figure GDA00019311420900000816
是由如下等式的解得出的约束矩阵：
Figure GDA00019311420900000817
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的矩阵
Figure GDA00019311420900000818
的行的索引，其中，
Figure GDA00019311420900000819
是预编码矩阵，并且其中，以如下方式限定A：
Figure GDA00019311420900000820
其中，
Figure GDA00019311420900000821
并且其中，
Figure GDA00019311420900000822
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积。
通信信道110可以是有线或者无线通信信道。
在一个实施例中，处理器102a可以配置为基于如下步骤来生成约束矩阵
Figure GDA00019311420900000823
第一步骤：构造嵌套扩展原语狭义(nested extended primitive narrow-sense)BCH码
Figure GDA00019311420900000824
的生成矩阵
Figure GDA00019311420900000825
其中，G(E，j)是
Figure GDA00019311420900000826
矩阵，
Figure GDA00019311420900000827
并且将G(i，j)的相应预编码矩阵限定为：
Figure GDA00019311420900000828
并且
Figure GDA00019311420900000829
其中，通过如下来限定矩阵
Figure GDA00019311420900000830
的第p行的开始处的列的索引：
Figure GDA0001931142090000091
在一个实施例中，可以假设，对于任何i，所有li，p都是不同的，并且通常，整数τi等于M次的不可约多项式的数目，其中M表示mi的除数。
第二步骤：对
Figure GDA0001931142090000092
进行基本行操作，以便在保留矩阵
Figure GDA0001931142090000093
的嵌套结构的同时，确保所有行开始于不同的列。
第三步骤：选择矩阵
Figure GDA0001931142090000094
di，j≥d的行，并且将它们放置到预编码矩阵
Figure GDA0001931142090000095
的第i列中，其中，所述预编码矩阵
Figure GDA0001931142090000096
是分块矩阵。
第四步骤：对于某∈＞0，选择矩阵
Figure GDA0001931142090000097
d＞di，j≥d-∈的行，将它们放置到预编码矩阵
Figure GDA0001931142090000098
的第i列中。对于每一个这样的行，选择在之前步骤中未被选择的矩阵
Figure GDA0001931142090000099
的行，i′＞i，di′，j′≥∈，并且将其放置到矩阵
Figure GDA00019311420900000910
的相同行的第i′列中。总的来说，通过如下来得出所构造的预编码矩阵
Figure GDA00019311420900000911
Figure GDA00019311420900000912
其中，
Figure GDA00019311420900000913
是具有最小距离d的长度为
Figure GDA00019311420900000914
的最大e-BCH码的索引，并且
Figure GDA00019311420900000915
是不同于下一个最大e-BCH码的最小距离。矩阵
Figure GDA00019311420900000916
由矩阵
Figure GDA00019311420900000917
的一些行和零行组成，其中，
Figure GDA00019311420900000918
使得对于任意s，至多存在一个具有非零行
Figure GDA00019311420900000919
的分块i。
Figure GDA00019311420900000920
信道110的传输后的码字c的2m-1个嘈杂符号。设
Figure GDA00019311420900000921
是所得到的矩阵。
第六步骤：得到
Figure GDA00019311420900000926
使用高斯消去法来确保
Figure GDA00019311420900000922
的行在不同列ji中结束，0≤i＜n-k并且将(动态)冻结位索引的集合限定为F＝{ji，0≤i＜n-k}。
为了描述上方用以生成约束矩阵
Figure GDA00019311420900000923
的所描述的步骤，考虑在链式极化子码的基础上构建示例性(24，11，6)码。在这种情况中，码具有维度n＝24，其也可以被写为24＝24+23，使得m0＝4，m1＝3。在附图1a和1b中，示出了相应的扩展BCH码的嵌套生成矩阵G(i，j)，i＝0，1并且j＝1，2，3，其中，d0，0＝16，d0，1＝8，d0，2＝6，d0，3＝4，d1，0＝8，d1，1＝4，d1，2＝2。通过将附图1a和1b中示出的矩阵G(i，j)乘以矩阵
Figure GDA00019311420900000924
并且通过进行基本行操作，可以得到图1c和图1d中示出的相应的预编码矩阵W(i，j)。将预编码矩阵W(i，j)与∈＝2相结合，可以得到如图1e中示出的母码的预编码矩阵
Figure GDA00019311420900000925
在二进制擦除信道具有擦除概率为0.5的情况下，比特子信道中的错误概率例如是：
0.499，0.496，0.492，0.386，0.48，0.32，0.26，0.5e-1，0.44，0.23，0.17，0.18e-1，0.11，0.7e-2，0.38e-2，0.76e-5：0.498，0.44，0.40，0.15，0.34，0.09，0.06，0.0019。
由于矩阵
Figure GDA0001931142090000101
的第6行从列3开始，其对应于具有最高错误率0.386的子信道，其可以被去除。因此，可以得到如图1f中示出的基于链式极化子码的(24，11，6)码的预编码矩阵
Figure GDA00019311420900001025
最终，可以得到如图1g中示出的相应的约束矩阵V。
在另一实施例中，处理器102a可以被配置为根据如下步骤来构造(n-k)×n矩阵
Figure GDA00019311420900001026
第一步骤：将
Figure GDA0001931142090000102
的行设置为权重为1的不同矢量，在具有最高
Figure GDA0001931142090000103
的分块i的列li，p中包含1；以及
第二步骤：对于
Figure GDA0001931142090000104
的最后ρ行的每行，将任意二进制值放置到至多两个分块i的列j＜li，p中。
在一个实施例中，可以通过诸如线性反馈移位寄存器的伪随机数发生器(pseudo-random number generator，PRNG)来得到二进制值。这样做的优点在于可以通过只提供PRNG的参数和种子值来以紧凑的方式指定码。还有，根据上述步骤构造的矩阵
Figure GDA0001931142090000105
具有提供具有高性能的链式极化子码的优点。
一旦矩阵
Figure GDA0001931142090000106
和
Figure GDA0001931142090000107
是可用的，在另一实施例中，处理器102a还可以被配置为根据如下等式将维度k的数据x编码成码字c：
Figure GDA0001931142090000108
还有，一旦对码字c进行了编码，则可以经由通信信道110将其发送到解码装置104。然而，在经由通信信道110进行传输之后，码字c的n个符号受到噪声的影响并且最终生成了嘈杂符号
Figure GDA0001931142090000109
因此，需要一种方法来恢复码字c的正确符号。
在一个实施例中，解码装置104的处理器104a可以被配置为基于如下等式使用泛化的连续消除算法及其列表或顺序扩展来恢复码字c：
Figure GDA00019311420900001010
以及
Figure GDA00019311420900001011
其中，
Figure GDA00019311420900001012
并且
Figure GDA00019311420900001013
也可以扩展解码方法以得到与由Tal和Vardy和Miloslavskaya以及Trifonov在上述著作中提出的内容类似的列表和顺序连续消除方法
在一个实施例中，可以基于如下规则对得到的符号
Figure GDA00019311420900001014
的次序进行重新排列：
a.如果
Figure GDA00019311420900001015
并且i1＜i2，则在计算
Figure GDA00019311420900001016
之前计算
Figure GDA00019311420900001017
以及
b.如果i∈F，则在计算
Figure GDA00019311420900001018
之前计算
Figure GDA00019311420900001019
重新排列符号
Figure GDA00019311420900001020
的检测次序的优点是其可以带来列表和顺序连续消除算法的性能的改进。
图2示出了根据一实施例的基于链式极化子码的码的编码装置的结构的示意图。在这个实施例中，码具有长度n＝12＝23+22并且其包括两个极化转换(polarizingtransformation)：
Figure GDA00019311420900001021
m1＝3，大小为8(极化转换1)以及
Figure GDA00019311420900001022
m2＝2，大小为4(极化转换2)。用四个符号x0，x1，x2，x3表示将要被编码的维度为4的数据x，它们可以被映射到符号u3，u5，u7，u9。用u0，u1，u2，u4，u6，u8，u10，u11来表示冻结位符号的集合。在一个实施例中，编码装置102的处理器102a可以被配置为计算作为根据如图2所示的相应的极化转换的其他输入符号的一些线性组合的函数的符号u6和u10。还有，处理器102a可以配置为计算作为极化转换1的输入符号的函数的极化转换2的输入符号u11。而且，冻结和交叉码约束的结构可以以这样的方式实现，即所得到的码具有足够高的最小距离，并且可以以通过连续消除算法的可能的泛化或修改有效地对其进行解码。
图3示出了根据实施例的作为以dB为单位的信噪比(Eb/N0)的函数的不同码的误帧率(FER)。如其在图3中示出的，与缩短的极化子码、turbo码以及卷积LTE咬尾码的性能相比，在连续解码算法下基于链式极化子码的码的性能可以显著提高。更具体地，基于链式极化子码的码相比缩短的极化子码可以提供多达0.3-0.7dB的功率增益。
图4示出了根据实施例的作为以dB为单位的信噪比(Eb/N0)的函数的不同码的误帧率(FER)。类似于图3，同样在这种情况下，与缩短的极化子码和turbo码的性能相比，基于链式极化子码的码的性能得到显著提高。
图5示出了根据一实施例的将维度为k的数据x编码成长度为n的码字c的方法500的示意图。方法500包括如下步骤：
基于如下等式使用C(n，k，d)码编码502数据x，其中，码C(n，k，d)具有长度n和最小距离d，其中，
Figure GDA0001931142090000111
其中，mh是整数，h＝1，...，s：
c＝uA，
其中，如果
Figure GDA0001931142090000112
则
Figure GDA00019311420900001120
其中，F是码C(n，k，d)的n-k个冻结位索引的集合，并且如果i∈F，则
Figure GDA0001931142090000114
其中，
Figure GDA0001931142090000115
是如下等式的解得出的约束矩阵：
Figure GDA0001931142090000116
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的矩阵
Figure GDA0001931142090000117
的行的索引，其中，
Figure GDA0001931142090000118
是预编码矩阵，并且其中，以如下方式限定A：
Figure GDA0001931142090000119
其中，
Figure GDA00019311420900001110
并且其中，
Figure GDA00019311420900001111
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积。
图6示出了根据一实施例的解码长度为n的码字c的方法600的示意图。方法600包括如下步骤：
使用C(n，k，d)码解码602码字c，其中，码C(n，k，d)具有长度n和最小距离d，其中，
Figure GDA00019311420900001112
其中，mh是整数，h＝1，...，s，其中：
c＝uA，
其中，如果
Figure GDA00019311420900001113
则
Figure GDA00019311420900001121
其中，x是维度为k的数据，其中，F是码C(n，k，d)的n-k个冻结位索引的集合，并且如果i∈F，则
Figure GDA00019311420900001115
其中，
Figure GDA00019311420900001116
是由如下等式的解得出的约束矩阵：
Figure GDA00019311420900001117
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的矩阵
Figure GDA00019311420900001118
的行的索引，其中，
Figure GDA00019311420900001119
是预编码矩阵，并且其中，以如下方式限定A：
Figure GDA0001931142090000121
其中，
Figure GDA0001931142090000122
并且其中，
Figure GDA0001931142090000123
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积。
虽然本公开的具体特征或方面可能已经仅相对于若干实施方式或实施例中的其中一个被公开，这样的特征或方面可以与其他实施方式或实施例的一个或多个其他特征或方面相结合，这对于任何给定的或具体的应用可能是期望的和有利的。此外，就具体实施方式或权利要求书中使用的术语“包括”、“具有”、“带有”或其他变体而言，这样的术语旨在以类似于术语“包含”的方式是包含性的。而且，术语“示例性”，“例如”和“即”仅仅是作为一个实例，而不是最好的或最优的。术语“耦合”和“连接”以及派生词可能已被使用。应该理解的是，这些术语可能已经被用于指示两个元素彼此协作或相互作用，而不管它们是直接物理接触还是电接触，还是彼此不直接接触。
尽管这里已经说明和描述了特定的方面，本领域的普通技术人员将理解，在不脱离本公开的范围的情况下，各种替代和/或等同的实施方式可以替代所示和所述的特定方面。本申请旨在涵盖在此讨论的特定方面的任何修改或变化。
尽管以下权利要求中的元素以具有相应标签的特定顺序列举，除非权利要求另外暗示的陈述了以特定序列用于实现一些或全部这些元素的，那些元素不一定意图被限制为以该特定顺序来实现。
鉴于上述教导，许多替代、修改和变化对于本领域技术人员来说将是显而易见的。当然，本领域的技术人员将容易认识到，除了本文所描述的以外，还有许多本发明的应用。虽然已经参考一个或多个特定实施例描述了本发明，但是本领域技术人员将认识到，在不脱离本发明的范围的情况下可以对其做出许多改变。因此应该理解，在所附权利要求及其等同物的范围内，本发明可以以不同于本文具体描述的方式实施。

Claims (14)

1.一种将维度为k的数据x编码成长度为n的码字c的编码装置(102)，其特征在于，所述编码装置(102)包括：
处理器(102a)，被配置为基于如下等式使用C(n,k,d)码编码所述数据x，其中，所述码C(n,k,d)具有长度n和最小距离d，其中，
Figure FDA0003115108370000011
其中，mh是整数，h＝1,…,s：
c＝uA，
其中，如果
Figure FDA0003115108370000012
则
Figure FDA0003115108370000013
0≤ji＜k-1，其中，F是所述码C(n,k,d)的n-k个冻结位索引的集合，并且如果i∈F，则
Figure FDA0003115108370000014
其中，
Figure FDA0003115108370000015
是由如下等式的解得出的约束矩阵：
Figure FDA0003115108370000016
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的所述矩阵
Figure FDA0003115108370000017
的行的索引，其中，
Figure FDA0003115108370000018
是预编码矩阵，并且其中，以如下方式限定A：
Figure FDA0003115108370000019
其中，
Figure FDA00031151083700000110
并且其中，
Figure FDA00031151083700000111
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积；
其中，所述处理器(102a)还被配置为基于多个嵌套线性分组码
Figure FDA00031151083700000112
来构造所述码C(n,k,d)，Ki,j+1＞Ki,j，0≤j＜τi，其中，τi是正整数，其中，
Figure FDA00031151083700000113
的生成矩阵通过如下等式来给定：
Figure FDA00031151083700000114
其中，G(i,j)是
Figure FDA00031151083700000115
矩阵，
Figure FDA00031151083700000116
其中，G(i,j)的预编码矩阵通过
Figure FDA00031151083700000117
来限定，其中，
Figure FDA00031151083700000118
的预编码矩阵通过
Figure FDA00031151083700000119
来限定，其中，通过等式
Figure FDA00031151083700000120
来限定矩阵
Figure FDA00031151083700000121
的第p行的开始处的列的索引li,p，
Figure FDA00031151083700000122
并且用来将所述预编码矩阵
Figure FDA00031151083700000123
构造为分块矩阵，其中，所述预编码矩阵
Figure FDA00031151083700000124
的分块矩阵由所选择的所述矩阵
Figure FDA00031151083700000125
的行组成。
2.根据权利要求1所述的编码装置(102)，其中，所述多个嵌套线性分组码
Figure FDA00031151083700000126
是扩展博斯-查德胡里-霍坤格姆e-BCH码。
3.根据权利要求1或2所述的编码装置(102)，其中，所述处理器(102a)还被配置为以如下方式来构造所述码C(n,k,d)的预编码矩阵
Figure FDA00031151083700000127
Figure FDA0003115108370000021
其中，
Figure FDA0003115108370000022
是至少具有最小距离d的长度为
Figure FDA0003115108370000023
的最大e-BCH码的索引，并且其中，所述矩阵
Figure FDA0003115108370000024
由矩阵
Figure FDA0003115108370000025
的一些行和零行组成，其中，
Figure FDA0003115108370000026
使得对于任意s，至多存在一个具有非零行
Figure FDA0003115108370000027
的分块i。
4.根据权利要求1或2所述的编码装置(102)，其中，所述处理器(102a)还被配置为通过具有
Figure FDA0003115108370000028
的最小值的矩阵
Figure FDA0003115108370000029
的行来构造所述矩阵
Figure FDA00031151083700000210
其中，Pm,i是在比特子信道
Figure FDA00031151083700000211
中的错误概率，其中，
Figure FDA00031151083700000212
表示在通过通信信道(110)的传输后的所述码字c的2m-1个嘈杂符号。
5.根据权利要求1或2所述的编码装置(102)，其中，所述处理器(102a)还被配置为以这样的方式构造所述矩阵
Figure FDA00031151083700000213
的第一多个t行，使得在所述第一多个t行中的所述最后的非零元素位于不同位置j，对于某整数j0，j≥j0，通过伪随机数发生器构造位于具有索引z＜j的列中的所述第一多个t行的元素，并且将矩阵
Figure FDA00031151083700000214
的第二多个n-k-t行构造为不同的权重为一的行。
6.根据权利要求5所述的编码装置(102)，其中，所述伪随机数发生器是线性反馈移位寄存器。
7.根据权利要求1或2所述的编码装置(102)，其中，所述处理器(102a)还被配置为分别以所述值li,p和lj,p的递增次序排列矩阵
Figure FDA00031151083700000215
或
Figure FDA00031151083700000216
的所述行。
8.根据权利要求1或2所述的编码装置(102)，其中，所述处理器(102a)被配置为基于具有所述li,p的最小值的矩阵
Figure FDA00031151083700000217
的k行来构造所述矩阵
Figure FDA00031151083700000218
9.一种将维度为k的数据x编码成长度为n的码字c的方法(500)，其特征在于，所述方法包括如下步骤：
基于如下等式使用C(n,k,d)码编码所述数据x，其中，所述码C(n,k,d)具有长度n和最小距离d，其中，
Figure FDA00031151083700000219
其中，mh是整数，h＝1,…,s：
c＝uA，
其中，如果
Figure FDA00031151083700000220
则
Figure FDA00031151083700000221
0≤ji＜k-1，其中，F是所述码C(n,k,d)的n-k个冻结位索引的集合，并且如果i∈F，则
Figure FDA00031151083700000222
其中，
Figure FDA00031151083700000223
是由如下等式的解得出的约束矩阵：
Figure FDA00031151083700000224
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的所述矩阵
Figure FDA00031151083700000225
的行的索引，其中，
Figure FDA00031151083700000226
是预编码矩阵，并且其中，以如下方式限定A：
Figure FDA0003115108370000031
其中，
Figure FDA0003115108370000032
并且其中，
Figure FDA0003115108370000033
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积；
其中，所述方法还包括为基于多个嵌套线性分组码
Figure FDA0003115108370000034
来构造所述码C(n,k,d)，Ki,j+1＞Ki,j，0≤j＜τi，其中，τi是正整数，其中，
Figure FDA0003115108370000035
的生成矩阵通过如下等式来给定：
Figure FDA0003115108370000036
其中，G(i,j)是
Figure FDA0003115108370000037
矩阵，
Figure FDA0003115108370000038
其中，G(i,j)的预编码矩阵通过
Figure FDA0003115108370000039
来限定，其中，
Figure FDA00031151083700000310
的预编码矩阵通过
Figure FDA00031151083700000311
来限定，其中，通过等式
Figure FDA00031151083700000312
来限定矩阵
Figure FDA00031151083700000313
的第p行的开始处的列的索引li,p，
Figure FDA00031151083700000314
并且用来将所述预编码矩阵
Figure FDA00031151083700000315
构造为分块矩阵，其中，所述预编码矩阵
Figure FDA00031151083700000316
的分块矩阵由所选择的所述矩阵
Figure FDA00031151083700000317
的行组成。
10.一种解码长度为n的码字c的解码装置(104)，其特征在于，所述解码装置(104)包括：
处理器(104a)，被配置为使用C(n,k,d)码解码所述码字c，其中，所述码C(n,k,d)具有长度n和最小距离d，其中，
Figure FDA00031151083700000318
其中，mh是整数，h＝1,…,s，其中：
c＝uA，
其中，如果
Figure FDA00031151083700000319
则
Figure FDA00031151083700000320
0≤ji＜k-1，其中，x是维度为k的数据，其中，F是所述码C(n,k,d)的n-k个冻结位索引的集合，并且如果i∈F，则
Figure FDA00031151083700000321
其中，
Figure FDA00031151083700000322
是由如下等式的解得出的约束矩阵：
Figure FDA00031151083700000323
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的矩阵
Figure FDA00031151083700000324
的行的索引，其中，
Figure FDA00031151083700000325
是预编码矩阵，并且其中，以如下方式限定A：
Figure FDA00031151083700000326
其中，
Figure FDA00031151083700000327
并且其中，
Figure FDA00031151083700000328
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积；
其中，所述处理器(104a)还被配置为基于多个嵌套线性分组码
Figure FDA00031151083700000329
来构造所述码C(n,k,d)，Ki,j+1＞Ki,j，0≤j＜τi，其中，τi是正整数，其中，
Figure FDA00031151083700000330
的生成矩阵通过如下等式来给定：
Figure FDA0003115108370000041
其中，G(i,j)是
Figure FDA0003115108370000042
矩阵，
Figure FDA0003115108370000043
其中，G(i,j)的预编码矩阵通过
Figure FDA0003115108370000044
来限定，其中，
Figure FDA0003115108370000045
的预编码矩阵通过
Figure FDA0003115108370000046
来限定，其中，通过等式
Figure FDA0003115108370000047
来限定矩阵
Figure FDA0003115108370000048
的第p行的开始处的列的索引li,p，
Figure FDA0003115108370000049
并且用来将所述预编码矩阵
Figure FDA00031151083700000410
构造为分块矩阵，其中，所述预编码矩阵
Figure FDA00031151083700000411
的分块矩阵由所选择的所述矩阵
Figure FDA00031151083700000412
的行组成。
11.根据权利要求10所述的解码装置(104)，所述处理器(104a)还被配置为通过泛化的连续消除算法来解码所述码字c。
12.根据权利要求11所述的解码装置(104)，所述处理器(104a)还被配置为通过如下等式来计算u：
Figure FDA00031151083700000413
以及
Figure FDA00031151083700000414
如果
Figure FDA00031151083700000415
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的矩阵
Figure FDA00031151083700000416
的行的索引，
Figure FDA00031151083700000417
表示通过通信信道(110)传输至所述解码装置后的所述码字c的n个嘈杂符号，
Figure FDA00031151083700000418
Figure FDA00031151083700000419
并且
Figure FDA00031151083700000420
13.根据权利要求12所述的解码装置(104)，所述处理器(104a)还被配置为如果
Figure FDA00031151083700000421
并且i1＜i2，则在计算
Figure FDA00031151083700000422
之前计算
Figure FDA00031151083700000423
并且如果i∈F，则在计算
Figure FDA00031151083700000424
之前计算
Figure FDA00031151083700000425
s＜i。
14.一种解码长度为n的码字c的方法(600)，其特征在于，所述方法包括如下步骤：
使用C(n,k,d)码解码所述码字c，其中，所述码C(n,k,d)具有长度n和最小距离d，其中，
Figure FDA00031151083700000426
其中，mh是整数，h＝1,…,s，其中：
c＝uA，
其中，如果
Figure FDA00031151083700000427
则
Figure FDA00031151083700000428
0≤ji＜k-1，其中，x是维度为k的数据，其中，F是所述码C(n,k,d)的n-k个冻结位索引的集合，并且如果i∈F，则
Figure FDA00031151083700000429
其中，
Figure FDA00031151083700000430
是由如下等式的解得出的约束矩阵：
Figure FDA00031151083700000431
其中，φi是在列i中具有最后一个非零元素的矩阵
Figure FDA00031151083700000432
的行的索引，其中，
Figure FDA00031151083700000433
是预编码矩阵，并且其中，以如下方式限定A：
Figure FDA0003115108370000051
其中，
Figure FDA0003115108370000052
并且其中，
Figure FDA0003115108370000053
表示矩阵Q与其自身的m次克罗内克积；
其中，所述方法还包括为基于多个嵌套线性分组码
Figure FDA0003115108370000054
来构造所述码C(n,k,d)，Ki,j+1＞Ki,j，0≤j＜τi，其中，τi是正整数，其中，
Figure FDA0003115108370000055
的生成矩阵通过如下等式来给定：
Figure FDA0003115108370000056
其中，G(i,j)是
Figure FDA0003115108370000057
矩阵，
Figure FDA0003115108370000058
其中，G(i,j)的预编码矩阵通过
Figure FDA0003115108370000059
来限定，其中，
Figure FDA00031151083700000510
的预编码矩阵通过
Figure FDA00031151083700000511
来限定，其中，通过等式
Figure FDA00031151083700000512
来限定矩阵
Figure FDA00031151083700000513
的第p行的开始处的列的索引li,p，
Figure FDA00031151083700000514
并且用来将所述预编码矩阵
Figure FDA00031151083700000515
构造为分块矩阵，其中，所述预编码矩阵
Figure FDA00031151083700000516
的分块矩阵由所选择的所述矩阵
Figure FDA00031151083700000517
的行组成。
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