CN109633741A - 基于双凸优化稀疏约束的混合震源数据一次波分离方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种基于双凸优化稀疏约束的混合震源数据一次波分离方法，先由观测系统设定的震源激发排列信息，分析组成混合震源地震数据的各个地震数据的对应时差；利用获得的激发延时序列构建频率域的混合震源激发延时算子；在传统的一次波‑多次波物理正演模型中引入混合震源激发延时算子从而构建新的混合震源一次波‑多次波物理正演模型，再通过正演模型构建混合震源一次波分离目标函数；引入L1范数双凸优化约束条件，将反演过程变换到三维稀疏域进行混合震源一次波‑多次波的解构；通过分离后的震源子波算子和地下一次波响应交替迭代反演获得最终结果。该方法在实现炮分离的同时完成一次波分离，极大的节省了处理成本，为后续地震成像与解释奠定了基础。
Description
技术领域
本发明属于地球物理勘探技术领域，具体涉及一种混合震源地震数据的一次波分离方法，特别涉及一种基于双凸优化稀疏约束的混合震源数据一次波分离方法。
背景技术
混合震源采集是一种新兴的地震采集方式，其通过人为缩短每一次震源激发的时间间隔，达到高效、高密度采集的目的。同传统的地震数据采集方式相比，混合震源采集具有采集成本小，节省时间的特点。但是，由于混采不考虑炮集间的干扰，所以炮集数据中一般包含两炮以上的传统未混合单震源数据，增加了后续地震数据处理的进一步解释的难度。同时，由于海上地震数据多次波发育明显，多次波作为一种相干噪声，会降低地震数据的信噪比，降低地震数据处理与解释的准确度与精确度。
Berkhout(2008.Changing the mindset in seismic acquisition.THE LEADINGEDGE 27.924-938)提出两种针对混采数据的采集方法：一种方法是在进行传统地震数据处理前，先尝试将混合炮数据进行分离；第二种是在处理混采数据的过程中直接实现混采数据的分离。但是，后者必须保证模型信息包含在处理过程中。Berkhout等人(2008.Fromsimultaneous shooting to blended acquisition.78th SEG MEETING,Las Vegas,Nevada,USA,Expanded Abstracts,2831-2838)提出可以将混采分离过程结合到多次波压制以及偏移过程中。Vershcuuur和Berkhout(2011.Seismic migration of blended shotrecords with surface-related multiple scattering.Geophysics 76(1),A7-A13)提出一种基于混采数据表层多次波偏移的方法。同年，Van Groenestijn等人(2011.Usingsurface multiples to estimate primaries by sparse inversion from blendeddata.Geophysical Prospecting 59.10-23)提出将EPSI(Estimated primaries bysparse inversion)应用于混采数据，通过大规模反演过程能够直接获得分离炮的一次波估计结果。马继涛等人(2016.Free-surface multiple attenuation for blendeddata.GEOPHYSICS 81(3).V227-V233)提出在反数据域中进行混采地震数据一次波的分离。但是，由于上述方法采用的反演方法或者求逆方法具有不稳定性，容易在求解过程中将相邻炮集的信息引入到分离结果中，降低求解结果的精度。
发明内容
本发明的目的就在于针对上述现有技术的不足，提供一种基于双凸优化稀疏约束的混合震源数据一次波分离方法。
本发明的目的是通过以下技术方案实现的：
首先，分析混合震源采集技术的采集观测系统并了解震源特征，提取混合震源激发的延迟时差，构建频率域的震源延迟算子矩阵；然后，对传统的一次波-多次波正演模型进行改进，在正演模型中加入震源延迟算子，构建混合震源一次波-多次波正演传播模型；接下来，输入混合震源原始地震记录，利用混合震源一次波-多次波传播模型建立一次波分离的目标函数并进行分离反演；最后，引入基于L1范数的双凸优化反演集合和三维稀疏变换构建L1范数双凸优化稀疏约束条件，并用谱梯度投影法进行混合震源一次波响应的分离反演，通过将一次波响应和估计的子波进行褶积，从而确定最终获得的结果。
一种基于双凸优化稀疏约束的混合震源数据一次波分离方法，包括以下步骤：
a、提取混合震源采集观测系统的混合震源激发的延迟时差；
b、利用混合震源的激发延迟时差，构建频率域的混合震源延迟算子
其中，S代表频率域的震源子波算子，Гbl代表频率域混合震源延时算子，Sbl代表频率域混合震源子波算子
其中，P代表传统的未经混合的地震记录，Pbl代表混合震源地震记录的频率域表现形式；
c、构建传统的一次波-多次波正演模型(非混采地震记录)
P＝X0S+X0RP
其中，P代表传统的地震记录，X0代表地下介质的一次波响应，S代表震源子波算子，R代表地层的反射系数算子；随后，我们在正演模型中引入混合震源延迟算子从而构建混合震源一次波-多次波正演模型
Pbl＝X0Sbl+X0RPbl
其中，Pbl代表混合震源地震记录，X0代表地下介质的一次波响应，Sbl代表混合震源子波算子，R代表地层的反射系数算子,一般将反射系数视为-1；
d、在上述正演模型中输入混合震源原始地震记录Pbl，并根据正演模型构建目标函数进行一次波分离
pbl和x0分别代表输入混合震源地震波场数据列向量和地下一次波响应列向量；代表矩阵和向量的Kronecker乘积；BlockDiag代表在频率域生成对角线的块状矩阵；ft和ft *分别代表能够实现对波场数据进行时间域-频率域正反变换的傅里叶正反变换算子；
e、在目标函数反演过程中引入L1范数的双凸优化反演集合作为地下一次波响应分离反演的约束条件
x0←argmin||x0||1s.t.||pbl-Ax0||2≤σ
使用上式对混采数据的地下一次波响应进行分离估计。将地下一次波响应和混合震源子波算子设为零，然后代入到改进后的目标函数中，先对地下一次波响应算子进行求解，获得地下一次波响应的初次迭代值x0；
f、将地下一次波响应的初次迭代值代入
S←argmin||pbl-X0RPbl||
求取分离后的震源算子的估计值；
g、将获得的震源算子估计值带入改进好的目标函数中并引入三维稀疏条件，进行地下一次波响应的求解
其中，C为三维稀疏变换,通过反演过程获得的混合震源一次波分离结果的系数值，c0代表稀疏系数；
h、计算目标函数残差，如果目标函数残差大于设定值，返回步骤g；如果目标函数的残差直到目标函数的残差小于设定值σ即可跳出循环。然后将最终获得地下一次波响应和震源子波算子进行褶积即可求得所求的混合震源一次波分离结果。
与现有技术相比，本发明的有益效果在于：
本发明将基于稀疏约束的传统地震数据一次波估计方法引入到混合震源地震数据一次波分离中，对该方法在混合震源一次波分离中进行了大量针对性改进，使用混合震源延迟算子在频率域对混合震源地震数据进行解构，并引入基于L1范数的双凸优化稀疏约束条件来约束混合震源一次波分离过程，显著提高了混合震源一次波分离的精度和准确度。
本发明有以下特点：
1、基于双凸优化稀疏约束的混合震源数据一次波分离方法无需地下模型信息和速度信息，属于数据驱动的混采数据分离方法，仅需要输入混合震源地震数据和由震源排列信息构成的延时震源算子矩阵，就可以实现压制混合震源地震数据一次波分离的目的。
2、该方法同普通的混合震源数据分离方法只能实现单炮数据分离的特点不同，通过延时震源算子和一次波-多次波正演模型在频率域对输入数据进行解构，能够直接分离出一次波，极大的降低了地震数据处理与解释的成本。
3、基于L1范数的双凸优化稀疏约束条件克服了普通反演策略中求解会陷入局部最小值的缺点，通过持续的求解获得全局最值。稀疏约束条件的加入使得输入数据在稀疏域获得了更完整的表达，使得估计的地下一次波响应结果具有更高的信噪比和精度，可以获得更加准确的混合震源一次波分离结果。
附图说明
图1基于双凸优化稀疏约束的混合震源数据一次波分离方法方法流程图；
图2混合震源时间延时序列示意图；
图3传统的一次波-多次波正演模型示意图；
图4混合震源情况下一次波-多次波正演模型示意图；
图5a盐丘模型；
图5b混合震源地震数据；
图5c第一次求解获得的地下一次波响应x0；
图5d获得的分离后的震源子波算子；
图5e使用稀疏时窗获得同地下一次波响应的对应的震源子波算子；
图5f最后获得混采数据一次波分离结果；
图5g由相同盐丘模型获得的传统一次波该炮数据；
图5h由相同盐丘模型获得的含有多次波的数据；
图6a使用传统海洋采集方式获得2D海洋数据含多次波记录(45炮)；
图6b使用传统海洋采集方式获得2D海洋数据含多次波记录(125炮)；
图6c使用混合震源采集方式获得2D海洋数据混采含多次波记录(45炮)；
图6d使用混合震源采集方式获得2D海洋数据混采含多次波记录(125炮)；
图6e获得的震源子波算子；
图6f使用稀疏时窗获得同地下一次波响应的对应的震源子波算子；
图6g最后获得混采数据某一炮一次波分离结果(45炮)；
图6h最后获得混采数据某一炮一次波分离结果(125炮)；
图6i传统方式获得的该测线的某一炮2D海洋地震数据SRME结果(45炮)；
图6j传统方式获得的该测线的某一炮2D海洋地震数据SRME结果(125炮)。
具体实施方式
下面结合附图和实例对本发明进行进一步的详细说明。
本发明对EPSI方法在混合震源地震数据一次波分离进行了大量的针对性改进，利用观测系统设定的震源激发排列信息，获得频率域的混合震源延时算子，并利用混合震源一次波和多次波正演模型构建目标函数直接分离一次波，同时使用L1范数双凸优化稀疏集合来约束一次波分离过程。
本发明基于双凸优化稀疏约束的混合震源数据一次波分离方法，包括以下步骤：
a、提取混合震源采集观测系统的混合震源激发的延迟时差；
b、利用混合震源的激发延迟时差，构建频率域的混合震源延迟算子
其中，S代表频率域的震源子波算子，Γbl代表混合震源延时算子，Sbl代表混合震源算子。在下式中，其中P代表传统的未经混合的地震记录，Pbl代表混合震源地震记录的频率域表现形式。
从算子维度上来说，假设现有i炮地震记录，每一炮地震记录有i个检波器，为了方便陈述，这里的炮数取偶数形式，同时n＝i/2。所以，震源算子S和传统单炮数据P的维度是ii*ii，而混合震源延时算子Γbl、混合震源子波算子Sbl以及混合震源数据矩阵Pbl是ii*n大小的矩阵。如果炮数为奇数，对应的原理和偶数炮一致。
对于震源子波来说，频率域的震源子波的相关信息是只排列在主对角线位置的，通过和混合震源延时算子进行计算，能够使震源算子的相位进行移动，从而实现震源延时混合算子的组成。如图2所示，混合延时震源激发延时序列是指每个震源的激发延时相对延时时差，通常在混采采集中指的是相对于前一部分炮集的相对时差。
对于地震记录来说，从时间域来考虑，可以简单的考虑为增加地震记录在零时刻处的时间延时，即增加地震记录上方的“留白”。但如果从频率域来表示则是在炮集的频率域切片上乘上混合延时因子Γbl实现相位的移动，同时也要注意在相位移动的同时，也要保持振幅不变。在实际生产中，根据观测系统的排列提取关于混合震源的激发延时信息，组成震源延时矩阵；
c、构建传统的一次波-多次波正演模型(非混采地震记录)
P＝X0S+X0RP
其中，P代表传统的地震记录，X0代表地下介质的一次波响应，S代表震源子波算子，R代表地层的反射系数算子。
如图3所示，传统的一次波-多次波正演模型可以理解为：原始数据由一次波(X0S)和多次波(X0RP)相加而成，同时请注意这里的多次波指的是表层相关多次波并不包括层间多次波。同时该传统模型也可以理解为：由普通震源(S)以及上行波场(P)组成的震源再次经由地下传播(X0)并在地表被接收获得的总波场。
随后，我们在正演模型中引入混合震源延迟算子从而构建混合震源一次波-多次波正演模型，如图4所示，
Pbl＝X0Sbl+X0RPbl
其中，Pbl代表混合震源地震记录，X0代表地下介质的一次波响应，Sbl代表混合震源子波算子，R代表地层的反射系数算子，一般将反射系数视为-1。基于混合算子的混合震源一次波-多次波模型可以理解为：混合震源地震记录是由混合震源激发形成的混合震源一次波地震记录(X0Sbl)和混合震源多次波地震记录之和(X0RPbl)，同时也可以理解为混合震源Sbl和上行波场Pbl经由地下传播后形成混合震源地震记录；
d、在上述的混合震源正演模型中输入混合震源原始地震记录Pbl，并根据正演模型构建目标函数进行一次波分离反演
pbl和x0分别代表输入混合震源地震波场数据列向量和地下一次波响应列向量；代表矩阵和向量的Kronecker乘积；BlockDiag代表在频率域生成对角线的块状矩阵；ft和ft *分别代表能够实现对波场数据进行傅里叶正反变换的傅里叶正反变换算子。
该目标函数的构建，重现了频率域的混合震源一次波-多次波波场在地下传播的物理作用过程：先将时间域的地下一次波响应转换至频率域的响应，然后跟混合震源算子和混合震源地震记录的差相互作用，将获得的结果重新转换为时间域，就完成了混合震源一次波-多次波的正演过程；
e、在目标函数反演过程中引入L1范数的双凸优化反演集合作为一次波反演分离的约束条件
x0←argmin||pbl-Ax0||2s.t.||x0||1≤τ
基于L1范数的双凸优化反演是稳定的，同传统的反演策略相比，没有求解陷入局部最小值的问题，但是对于地下一次波响应算子来说，它的L1范数τ是比较难求的。基于最优化理论上的相似性，可以将上式转化为下式
x0←argmin||x0||1s.t.||pbl-Ax0||2≤σ
σ代表输入数据的L2范数，同L1范数相比，L2范数无疑是非常好求的。因此我们使用上式对混采数据的一次波分离结果进行估计。
L1范数的选择一般是选取浅层的一次波作为先验信息，通过圈定时窗选取少部分一次波信息求取τ。通过求取圈定时窗部分数据的L1范数来求取τ。这样可以保证L1范数的精确度，从而保证反演的稳定性。σ的选取一般与输入数据本身的L2范数有关将地下一次波响应x0和震源子波算子Sbl设为零，然后代入到改进后的目标函数中，先对地下一次波响应算子进行求解，获得地下一次波响应的初次x0；
f、将地下一次波响应的初次代入
S←argmin||pbl-X0RPbl||
求取分离后的震源算子的估计值，将预测多次波从原始数据的多次波中减去，只保留同震源算子有关的一次波响应的项，然后进行剩余的混合震源一次波项对震源算子进行估计。只保留震源算子中只跟地下一次波响应的项是为了防止在反演过程中引入多次波和混采数据中其他炮的影响，为此我们在时间域对分离后的震源子波进行时窗分选，一般根据子波长度的一般上下采取十分之一总长度的采样点为宜；
g、将获得的震源子波算子估计值带入改进好的目标函数中并引入三维稀疏条件，进行地下一次波响应的求解
其中，C为三维稀疏变换,通过反演过程获得的混合震源一次波分离结果的系数值，c0代表稀疏系数；
h、计算目标函数残差，如果目标函数残差大于设定值，返回步骤g；如果目标函数的残差小于设定值σ即可跳出循环。然后将最终获得地下一次波响应和震源子波算子进行褶积即可求得所求的混合震源一次波分离结果。
本发明基于双凸优化稀疏约束的混合震源数据一次波分离方法是通过MATLAB平台实现的。
实施例1
基于双凸优化稀疏约束的混合震源数据一次波分离方法，包括以下步骤：
a、提取混合震源采集观测系统的混合震源激发的延迟时差。如图5a所示，模型是5400*1200的盐丘模型，网格间距是5m，地表均匀分布150个检波器，检波器间距为20m。观测系统为：一艘船沿着一条测线从第一个检波器处向中间的检波器行进，途中在各个检波器处进行震源激发；与此同时，另一艘船从中间的检波器处出发，向最后一个检波器处行驶，同样是在每一个检波器处激发震源，两艘船的震源激发间隔为Δt＝t2-t1。本实施实例的目的是通过模拟数据来测试本方法对混合震源一次波分离估计的正确性；
b、利用混合震源的激发延迟时差，构建频率域的混合震源延迟算子。利用观测系统提取出的震源激发时间差Δt＝t2-t1以及传统地震数据总炮数和检波器个数，形成混合震源激发延时算子Γbl，并构建响应的混合震源子波算子以及混合震源地震数据矩阵。
其中，S代表频率域的震源子波算子，Γbl代表混合震源延时算子，Sbl代表混合震源子波算子。其中各个算子中元素的横坐标代表炮数，纵坐标代表检波器个数。
其中P代表传统的未经混合的地震记录，Pbl代表混合震源地震记录的频率域表现形式，其中各个算子的横坐标代表炮数，纵坐标代表检波器个数,混合震源延时算子维度为150*75；
c、构建混合震源一次波-多次波正演模型
Pbi＝X0Sbl+X0RPbl
其中，Pbl代表混合震源地震记录，X0代表地下介质的一次波响应，Sbl代表混合震源子波算子，R代表地层的反射系数算子,一般将反射系数视为-1。如图5b所示，通过传统的分离单炮数据形成混合震源原始记录；
d、在上述的正演模型中输入混合震源原始地震记录Pbl，并根据正演模型构建目标函数进行一次波分离反演
pbl和x0分别代表输入混合震源地震波场数据列向量和地下一次波响应列向量；代表矩阵和向量的Kronecker乘积；BlockDiag代表在频率域生成对角线的块状矩阵；ft和ft *分别代表能够实现对波场数据进行傅里叶正反变换的傅里叶正反变换算子；
e、在目标函数反演过程中引入L1范数的双凸优化反演集合作为一次波反演分离的约束条件
x0←argmin||x0||1s.t.||pbl-Ax0||2≤σ
通过选取时窗为0.02s-0.4s的时窗范围，选取一次波信息，求取该部分混采一次波的L1范数，同时为了保持反演的稳定性，最终的τ为该部分的L1范数除以该部分数据无穷范数。将σ选取全体数据的L2范数8％。将地下一次波响应和震源子波算子设为零，然后代入到改进后的目标函数中，先对地下一次波响应算子进行求解，获得地下一次波响应的初次x0，如图5c所示；
f、将地下一次波响应的初次估计值代入
S←argmin||pbl-X0RPbl||
如图5d所示，求取分离后的震源子波算子的估计值，再使用时间域稀疏时窗选取对应于地下一次波响应的分离震源子波算子估计值，如图5e；
g、将获得的震源算子估计值带入改进好的目标函数混合中并引入三维稀疏条件，进行地下一次波响应的求解
其中，C为三维稀疏变换,通过反演过程获得的混合震源一次波分离结果的系数值，c0代表稀疏系数；
h、计算目标函数残差，如果目标函数残差大于设定值，返回步骤g；如果目标函数的残差直到目标函数的残差小于设定值σ即可跳出循环。然后将最终获得地下一次波响应和震源子波算子进行褶积即可求得所求的混合震源一次波分离结果，如图5f。同由相同的盐丘模型获得的传统一次波数据如图5g以及混合震源原始数据，如图5h相比，可以看出该方法对于混合震源地震数据进行很好的分离，同传统的分离方法相比，该方法在分离过程直接实现了一次波的分离，因此对后续的地震处理与解释提供了良好的基础。
实施例2
基于双凸优化稀疏约束的混合震源数据一次波分离方法，包括以下步骤：
a、提取混合震源采集观测系统的混合震源激发的延迟时差。使用2D海洋实际数据检测该方法的有效性，从而判断是否能够进行工业化的应用。该数据总共具有170个检波器，间距为25m。85炮的混合震源，同时具有512个纵向采样点，如图6a和图6b所示，采样间隔为0.004s。同时，针对同一测线采取混合采集观测，观测系统为:一艘船沿着一条测线从第一个检波器处向中间的检波器行进，途中在各个检波器处进行震源激发；与此同时，另一艘船从中间的检波器处出发，向最后一个检波器处行驶，同样是在每一个检波器处激发震源，两艘船的震源激发间隔为Δt＝t2-t1，获得实际混采数据，如图6c和图6d所示；
b、利用混合震源的激发延迟时差，构建频率域的混合震源延迟算子。将由观测系统提取出的震源激发时间差Δt＝t2-t1代入下式中，同时由检波器个数和混合震源个数逆推得到下式，形成混合震源激发延时算子Γbl,以便实现混合震源原始数据在频率域上的分离一次波的解构
其中，S代表频率域的震源子波算子，Γbl代表混合震源延时算子，Sbl代表混合震源算子，各个算子横坐标为震源个数，纵坐标为检波器个数。其中混合震源延时算子维度为150*75。
其中P代表传统的未经混合的地震记录，Pbl代表混合震源地震记录的频率域表现形式，各个算子的横坐标为震源个数，纵坐标为检波器个数，混合震源延时算子大小为170*85；
c、根据混合震源延迟算子从而构建混合震源一次波-多次波正演模型
Pbl＝X0Sbl+X0RPbl
其中，Pbl代表混合震源地震记录，X0代表地下介质的一次波响应，Sbl代表混合震源子波算子，R代表地层的反射系数算子,一般将反射系数视为-1；
d、在上述的正演模型中输入混合震源原始地震记录Pbl，并根据正演模型构建目标函数进行一次波分离反演
pbl和x0分别代表输入混合震源地震波场数据列向量和地下一次波响应列向量；代表矩阵和向量的Kronecker乘积；BlockDiag代表在频率域生成对角线的块状矩阵；ft和ft *分别代表能够实现对波场数据进行傅里叶正反变换的傅里叶正反变换算子；
e、在目标函数反演过程中引入L1范数的双凸优化反演集合作为一次波反演分离的约束条件
x0←argmin||x0||1s.t.||pbl-Ax0||2≤σ
通过选取时窗为0.04s-0.6s的时窗范围，选取一次波信息，求取该部分混采一次波的L1范数，同时为了保持反演的稳定性，最终的τ为该部分的L1范数除以该部分数据无穷范数。将σ选取全体数据的L2范数7％。将地下一次波响应和震源子波算子设为零，然后代入到改进后的目标函数中，先对地下一次波响应算子进行求解，获得地下一次波响应的初次迭代值x0；
f、将地下一次波响应的初次代入
S←argmin||pbl-X0RPbl||
求取分离后的震源子波算子的估计值S，如图6e所示，再使用时间域稀疏时窗选取对应于地下一次波响应的分离震源子波算子估计值，如图6f所示；
g、将获得的震源子波算子估计值带入改进好的目标函数中并引入三维稀疏条件，进行地下一次波响应的求解
其中，C为三维稀疏变换,通过反演过程获得的混合震源一次波分离结果的系数值，c0代表稀疏系数；
h、计算目标函数残差，如果目标函数残差大于设定值，返回步骤g；如果目标函数的残差直到目标函数的残差小于设定值σ即可跳出循环。然后将最终获得地下一次波响应和震源子波算子进行褶积即可求得所求的混合震源一次波分离结果，如图6g和图6h所示。同混合采集原始数据(图6b)相比，该方法近乎完美的实现了分离的目的。同采取传统方式获得的该测线的2D海洋地震数据(图6a和图6b)以及经过SRME获得的一次波结果(图6i和图6j)相比，该方法直接实现了原始数据一次波的分离，同时一次波分离结果具有极高的精度。
Claims (1)
1.一种基于双凸优化稀疏约束的混合震源数据一次波分离方法，其特征在于，包括以下步骤：
a、提取混合震源采集观测系统的混合震源激发的延迟时差；
b、利用混合震源的激发延迟时差，构建频率域的混合震源延迟算子
其中，S代表频率域的震源子波算子，Γbl代表频率域混合震源延时算子，Sbl代表频率域混合震源子波算子
其中，P代表传统的未经混合的地震记录，Pbl代表混合震源地震记录的频率域表现形式；
c、构建传统的一次波-多次波正演模型(非混采地震记录)
P＝X0S+X0RP
其中，P代表传统的地震记录，X0代表地下介质的一次波响应，S代表震源子波算子，R代表地层的反射系数算子；随后，我们在正演模型中引入混合震源延迟算子从而构建混合震源一次波-多次波正演模型
Pbl＝X0Sbl+X0RPbl
其中，Pbl代表混合震源地震记录，X0代表地下介质的一次波响应，Sbl代表混合震源子波算子，R代表地层的反射系数算子,一般将反射系数视为-1；
d、在上述正演模型中输入混合震源原始地震记录Pbl，并根据正演模型构建目标函数进行一次波分离
pbl和x0分别代表输入混合震源地震波场数据列向量和地下一次波响应列向量；代表矩阵和向量的Kronecker乘积；BlockDiag代表在频率域生成对角线的块状矩阵；ft和ft*分别代表能够实现对波场数据进行时间域-频率域正反变换的傅里叶正反变换算子；
e、在目标函数反演过程中引入L1范数的双凸优化反演集合作为地下一次波响应分离反演的约束条件
x0←argmin||x0||1s.t.||pbl-Ax0||2≤σ
使用上式对混采数据的地下一次波响应进行分离估计。将地下一次波响应和混合震源子波算子设为零，然后代入到改进后的目标函数中，先对地下一次波响应算子进行求解，获得地下一次波响应的初次迭代值x0；
f、将地下一次波响应的初次迭代值代入
S←argmin||pbl-X0RPbl||
求取分离后的震源算子的估计值；
g、将获得的震源算子估计值带入改进好的目标函数中并引入三维稀疏条件，进行地下一次波响应的求解
其中，C为三维稀疏变换,通过反演过程获得的混合震源一次波分离结果的系数值，c0代表稀疏系数；
h、计算目标函数残差，如果目标函数残差大于设定值，返回步骤g；如果目标函数的残差直到目标函数的残差小于设定值σ即可跳出循环。然后将最终获得地下一次波响应和震源子波算子进行褶积即可求得所求的混合震源一次波分离结果。
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